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Roberto André Kraenkel
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• Nosso conceito primitivo será o de uma população.• Trata-se de um grupo de organismos (plantas, animais,..)
composto por indivíduos da mesma espécie.• Estes indivíduos vivem agregados e se reproduzem.• Note: vamos tratar de populações e não de indivíduos.
• Populações crescem ou diminuem por ganharem ouperderem indivíduos.
• O crescimento ou decrescimento pode se dar por nascimento,morte, imigração ou emigração.
O curso trata de modelar a dinâmica de populações.Como elasaumentam e diminuem no tempo,como elas se distribuem pelo
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• Nosso conceito primitivo será o de uma população.
• Trata-se de um grupo de organismos (plantas, animais,..)composto por indivíduos da mesma espécie.
• Estes indivíduos vivem agregados e se reproduzem.• Note: vamos tratar de populações e não de indivíduos.
• Populações crescem ou diminuem por ganharem ouperderem indivíduos.
• O crescimento ou decrescimento pode se dar por nascimento,morte, imigração ou emigração.
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• Nosso conceito primitivo será o de uma população.• Trata-se de um grupo de organismos (plantas, animais,..)
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• Estes indivíduos vivem agregados e se reproduzem.• Note: vamos tratar de populações e não de indivíduos.
• Populações crescem ou diminuem por ganharem ouperderem indivíduos.
• O crescimento ou decrescimento pode se dar por nascimento,morte, imigração ou emigração.
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• Nosso conceito primitivo será o de uma população.• Trata-se de um grupo de organismos (plantas, animais,..)
composto por indivíduos da mesma espécie.• Estes indivíduos vivem agregados e se reproduzem.
• Note: vamos tratar de populações e não de indivíduos.
• Populações crescem ou diminuem por ganharem ouperderem indivíduos.
• O crescimento ou decrescimento pode se dar por nascimento,morte, imigração ou emigração.
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composto por indivíduos da mesma espécie.• Estes indivíduos vivem agregados e se reproduzem.• Note: vamos tratar de populações
e não de indivíduos.
• Populações crescem ou diminuem por ganharem ouperderem indivíduos.
• O crescimento ou decrescimento pode se dar por nascimento,morte, imigração ou emigração.
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• Populações crescem ou diminuem por ganharem ouperderem indivíduos.
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composto por indivíduos da mesma espécie.• Estes indivíduos vivem agregados e se reproduzem.• Note: vamos tratar de populações e não de indivíduos.
• Populações crescem ou diminuem por ganharem ouperderem indivíduos.
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• Populações crescem ou diminuem por ganharem ouperderem indivíduos.
• O crescimento ou decrescimento pode se dar por nascimento,morte,
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• Populações crescem ou diminuem por ganharem ouperderem indivíduos.
• O crescimento ou decrescimento pode se dar por nascimento,morte, imigração ou emigração.
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• Populações crescem ou diminuem por ganharem ouperderem indivíduos.
• O crescimento ou decrescimento pode se dar por nascimento,morte, imigração ou emigração.
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• Populações crescem ou diminuem por ganharem ouperderem indivíduos.
• O crescimento ou decrescimento pode se dar por nascimento,morte, imigração ou emigração.
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• Populações crescem ou diminuem por ganharem ouperderem indivíduos.
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• Nosso conceito primitivo será o de uma população.• Trata-se de um grupo de organismos (plantas, animais,..)
composto por indivíduos da mesma espécie.• Estes indivíduos vivem agregados e se reproduzem.• Note: vamos tratar de populações e não de indivíduos.
• Populações crescem ou diminuem por ganharem ouperderem indivíduos.
• O crescimento ou decrescimento pode se dar por nascimento,morte, imigração ou emigração.
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Figure: Thomas Malthus, circa 1830
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A lei mais Simples
• A lei mais simples regendo a evolução temporal de umapopulação:
•dN(t)
dt= rN(t)
• onde N(t) é o número de indivíduos na população e r é ataxa de crescimento da população, as vezes chamado deparâmetro malthusiano.
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A solução
A solução da equação malthusiana é:
N(t) = N0ert
• A equação prevê o crescimento exponencial da população notempo.
• Será verdade?
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• A equação prevê o crescimento exponencial da população notempo.
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• Será verdade?
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A solução da equação malthusiana é:
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• A equação prevê o crescimento exponencial da população notempo.
• Será verdade?
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• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial nãopode ser verdade de forma absoluta,
pois teríamospopulações enormes depois de um certo tempo ( digamos,ocupando um espaço maior que a Terra...).
• Mas, nos estágios iniciais de crescimento de uma populaçãopodemos ter crescimento exponencial.
• Em outras palavras: quando a população não é muito grande,a lei malthusiana deve valer. Quando a população aumentamuito, algo deve conter a taxa de crescimento.Já veremos oque mais adiante.
• Primeiro, alguns exemplos.
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• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial nãopode ser verdade de forma absoluta, pois teríamospopulações enormes depois de um certo tempo
( digamos,ocupando um espaço maior que a Terra...).
• Mas, nos estágios iniciais de crescimento de uma populaçãopodemos ter crescimento exponencial.
• Em outras palavras: quando a população não é muito grande,a lei malthusiana deve valer. Quando a população aumentamuito, algo deve conter a taxa de crescimento.Já veremos oque mais adiante.
• Primeiro, alguns exemplos.
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Crescimento Exponencial
• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial nãopode ser verdade de forma absoluta, pois teríamospopulações enormes depois de um certo tempo ( digamos,ocupando um espaço maior que a Terra...).
• Mas, nos estágios iniciais de crescimento de uma populaçãopodemos ter crescimento exponencial.
• Em outras palavras: quando a população não é muito grande,a lei malthusiana deve valer. Quando a população aumentamuito, algo deve conter a taxa de crescimento.Já veremos oque mais adiante.
• Primeiro, alguns exemplos.
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• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial nãopode ser verdade de forma absoluta, pois teríamospopulações enormes depois de um certo tempo ( digamos,ocupando um espaço maior que a Terra...).
• Mas,
nos estágios iniciais de crescimento de uma populaçãopodemos ter crescimento exponencial.
• Em outras palavras: quando a população não é muito grande,a lei malthusiana deve valer. Quando a população aumentamuito, algo deve conter a taxa de crescimento.Já veremos oque mais adiante.
• Primeiro, alguns exemplos.
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• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial nãopode ser verdade de forma absoluta, pois teríamospopulações enormes depois de um certo tempo ( digamos,ocupando um espaço maior que a Terra...).
• Mas, nos estágios iniciais de crescimento de uma populaçãopodemos ter crescimento exponencial.
• Em outras palavras: quando a população não é muito grande,a lei malthusiana deve valer. Quando a população aumentamuito, algo deve conter a taxa de crescimento.Já veremos oque mais adiante.
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• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial nãopode ser verdade de forma absoluta, pois teríamospopulações enormes depois de um certo tempo ( digamos,ocupando um espaço maior que a Terra...).
• Mas, nos estágios iniciais de crescimento de uma populaçãopodemos ter crescimento exponencial.
• Em outras palavras:
quando a população não é muito grande,a lei malthusiana deve valer. Quando a população aumentamuito, algo deve conter a taxa de crescimento.Já veremos oque mais adiante.
• Primeiro, alguns exemplos.
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• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial nãopode ser verdade de forma absoluta, pois teríamospopulações enormes depois de um certo tempo ( digamos,ocupando um espaço maior que a Terra...).
• Mas, nos estágios iniciais de crescimento de uma populaçãopodemos ter crescimento exponencial.
• Em outras palavras: quando a população não é muito grande,a lei malthusiana deve valer.
Quando a população aumentamuito, algo deve conter a taxa de crescimento.Já veremos oque mais adiante.
• Primeiro, alguns exemplos.
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• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial nãopode ser verdade de forma absoluta, pois teríamospopulações enormes depois de um certo tempo ( digamos,ocupando um espaço maior que a Terra...).
• Mas, nos estágios iniciais de crescimento de uma populaçãopodemos ter crescimento exponencial.
• Em outras palavras: quando a população não é muito grande,a lei malthusiana deve valer. Quando a população aumentamuito, algo deve conter a taxa de crescimento.
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• Mas, nos estágios iniciais de crescimento de uma populaçãopodemos ter crescimento exponencial.
• Em outras palavras: quando a população não é muito grande,a lei malthusiana deve valer. Quando a população aumentamuito, algo deve conter a taxa de crescimento.Já veremos oque mais adiante.
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• Mas, nos estágios iniciais de crescimento de uma populaçãopodemos ter crescimento exponencial.
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• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial nãopode ser verdade de forma absoluta, pois teríamospopulações enormes depois de um certo tempo ( digamos,ocupando um espaço maior que a Terra...).
• Mas, nos estágios iniciais de crescimento de uma populaçãopodemos ter crescimento exponencial.
• Em outras palavras: quando a população não é muito grande,a lei malthusiana deve valer. Quando a população aumentamuito, algo deve conter a taxa de crescimento.Já veremos oque mais adiante.
• Primeiro, alguns exemplos.
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Atraso temporal
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Exemplos
Figure: A população dos E.U.A. Até 1920, o crescimento da população é bemaproximado por uma exponencial. Depois, a taxa de crescimento diminui.
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Exemplos
Figure: A população da Jamaica apresenta uma taxa de crescimento exponencial entre1860 e 1995l
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Figure: Crescimento de uma população de bactérias (Escherichia coli) em laboratório.
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• Vemos que populações podem ter fases de crescimentoexponencial, mas que ao atingir níveis elevados estecrescimento é atenuado.
• Ou seja, o crescimento sobre uma saturação.
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• De forma geral vimos que o crescimento exponencial de umapopulação sofre uma saturação.
• Mas não nos iludamos! O mundo tem coisas muito maiscomplexas que crescimento e sua saturação!
• Apenas mantenhamos na nossa mente que há padrões deevolução temporal como os a seguir:
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• De forma geral vimos que o crescimento exponencial de umapopulação sofre uma saturação.
• Mas não nos iludamos!
O mundo tem coisas muito maiscomplexas que crescimento e sua saturação!
• Apenas mantenhamos na nossa mente que há padrões deevolução temporal como os a seguir:
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• De forma geral vimos que o crescimento exponencial de umapopulação sofre uma saturação.
• Mas não nos iludamos! O mundo tem coisas muito maiscomplexas que crescimento e sua saturação!
• Apenas mantenhamos na nossa mente que há padrões deevolução temporal como os a seguir:
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• De forma geral vimos que o crescimento exponencial de umapopulação sofre uma saturação.
• Mas não nos iludamos! O mundo tem coisas muito maiscomplexas que crescimento e sua saturação!
• Apenas mantenhamos na nossa mente que há padrões deevolução temporal como os a seguir:
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Figure: População de raposas e coelhos num parque nacional americano.
⇒Não nos esqueçamos deste exemplo!.
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Figure: População de raposas e coelhos num parque nacional americano.
⇒Não nos esqueçamos deste exemplo!.
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Modelos Simples II: equaçãologística
• A forma mais simples de incluir um termo de saturação docrescimento é modificar a equação malthusiana :
•dNdt
= rN − bN2 ≡ rN(1− N/K)
• O termo−bN2 é sempre negativo ( assumimos b > 0),⇒tende a fazer dN
dt diminuir.• Para N/K � 1, podemos fazer 1− N/K ∼ 1 e
recuperamos a equação mathusiana.• Qual será a solução desta equação?• A propósito, esta equação é chamada de logística.
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• A forma mais simples de incluir um termo de saturação docrescimento é modificar a equação malthusiana :
•dNdt
= rN − bN2 ≡ rN(1− N/K)
• O termo−bN2 é sempre negativo ( assumimos b > 0),⇒tende a fazer dN
dt diminuir.• Para N/K � 1, podemos fazer 1− N/K ∼ 1 e
recuperamos a equação mathusiana.• Qual será a solução desta equação?• A propósito, esta equação é chamada de logística.
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• A forma mais simples de incluir um termo de saturação docrescimento é modificar a equação malthusiana :
•dNdt
= rN − bN2
≡ rN(1− N/K)
• O termo−bN2 é sempre negativo ( assumimos b > 0),⇒tende a fazer dN
dt diminuir.• Para N/K � 1, podemos fazer 1− N/K ∼ 1 e
recuperamos a equação mathusiana.• Qual será a solução desta equação?• A propósito, esta equação é chamada de logística.
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• A forma mais simples de incluir um termo de saturação docrescimento é modificar a equação malthusiana :
•dNdt
= rN − bN2 ≡ rN(1− N/K)
• O termo−bN2 é sempre negativo ( assumimos b > 0),⇒tende a fazer dN
dt diminuir.• Para N/K � 1, podemos fazer 1− N/K ∼ 1 e
recuperamos a equação mathusiana.• Qual será a solução desta equação?• A propósito, esta equação é chamada de logística.
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• A forma mais simples de incluir um termo de saturação docrescimento é modificar a equação malthusiana :
•dNdt
= rN − bN2 ≡ rN(1− N/K)
• O termo−bN2 é sempre negativo ( assumimos b > 0),
⇒tende a fazer dN
dt diminuir.• Para N/K � 1, podemos fazer 1− N/K ∼ 1 e
recuperamos a equação mathusiana.• Qual será a solução desta equação?• A propósito, esta equação é chamada de logística.
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• A forma mais simples de incluir um termo de saturação docrescimento é modificar a equação malthusiana :
•dNdt
= rN − bN2 ≡ rN(1− N/K)
• O termo−bN2 é sempre negativo ( assumimos b > 0),⇒tende a fazer dN
dt diminuir.
• Para N/K � 1, podemos fazer 1− N/K ∼ 1 erecuperamos a equação mathusiana.
• Qual será a solução desta equação?• A propósito, esta equação é chamada de logística.
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• A forma mais simples de incluir um termo de saturação docrescimento é modificar a equação malthusiana :
•dNdt
= rN − bN2 ≡ rN(1− N/K)
• O termo−bN2 é sempre negativo ( assumimos b > 0),⇒tende a fazer dN
dt diminuir.• Para N/K � 1, podemos fazer 1− N/K ∼ 1 e
recuperamos a equação mathusiana.
• Qual será a solução desta equação?• A propósito, esta equação é chamada de logística.
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• A forma mais simples de incluir um termo de saturação docrescimento é modificar a equação malthusiana :
•dNdt
= rN − bN2 ≡ rN(1− N/K)
• O termo−bN2 é sempre negativo ( assumimos b > 0),⇒tende a fazer dN
dt diminuir.• Para N/K � 1, podemos fazer 1− N/K ∼ 1 e
recuperamos a equação mathusiana.• Qual será a solução desta equação?
• A propósito, esta equação é chamada de logística.
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• A forma mais simples de incluir um termo de saturação docrescimento é modificar a equação malthusiana :
•dNdt
= rN − bN2 ≡ rN(1− N/K)
• O termo−bN2 é sempre negativo ( assumimos b > 0),⇒tende a fazer dN
dt diminuir.• Para N/K � 1, podemos fazer 1− N/K ∼ 1 e
recuperamos a equação mathusiana.• Qual será a solução desta equação?• A propósito, esta equação é chamada de logística.
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• A forma mais simples de incluir um termo de saturação docrescimento é modificar a equação malthusiana :
•dNdt
= rN − bN2 ≡ rN(1− N/K)
• O termo−bN2 é sempre negativo ( assumimos b > 0),⇒tende a fazer dN
dt diminuir.• Para N/K � 1, podemos fazer 1− N/K ∼ 1 e
recuperamos a equação mathusiana.• Qual será a solução desta equação?• A propósito, esta equação é chamada de logística.
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Equação Logística
Figure: Pierre-François Verhust, introdutor da equação logística em 1838: “’Notice surla loi que la population pursuit dans son accroissement”
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Solução da Equação Logística
• Podemos facilmente resolver a equação logístiicadNdt = rN(1− N/K).
• Basta fazer dt = dN/(rN(1− n/K)), integrar e obter:•
N(t) =N0Kert
[K + N0(ert − 1)]
• Eis aqui um gráfico da solução para diversos valores de N0:
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• Podemos facilmente resolver a equação logístiicadNdt = rN(1− N/K).
• Basta fazer dt = dN/(rN(1− n/K)),
integrar e obter:•
N(t) =N0Kert
[K + N0(ert − 1)]
• Eis aqui um gráfico da solução para diversos valores de N0:
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• Podemos facilmente resolver a equação logístiicadNdt = rN(1− N/K).
• Basta fazer dt = dN/(rN(1− n/K)), integrar e
obter:•
N(t) =N0Kert
[K + N0(ert − 1)]
• Eis aqui um gráfico da solução para diversos valores de N0:
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• Podemos facilmente resolver a equação logístiicadNdt = rN(1− N/K).
• Basta fazer dt = dN/(rN(1− n/K)), integrar e obter:
•
N(t) =N0Kert
[K + N0(ert − 1)]
• Eis aqui um gráfico da solução para diversos valores de N0:
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• Podemos facilmente resolver a equação logístiicadNdt = rN(1− N/K).
• Basta fazer dt = dN/(rN(1− n/K)), integrar e obter:•
N(t) =N0Kert
[K + N0(ert − 1)]
• Eis aqui um gráfico da solução para diversos valores de N0:
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• Podemos facilmente resolver a equação logístiicadNdt = rN(1− N/K).
• Basta fazer dt = dN/(rN(1− n/K)), integrar e obter:•
N(t) =N0Kert
[K + N0(ert − 1)]
• Eis aqui um gráfico da solução para diversos valores de N0:
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Figure: Evolução temporal de uma população obedecendo a equação logística. Cadacurva corresponde a uma diferente condição inicial. Vê-se que não importa qual condiçãoinicial, para t→∞, teremos N→ K
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Em outras palavras...
• A equaçãodNdt
= rN(1− N/K)
tem dois pontos fixos:• N = 0 e• N = K,
• sendo primeiro instável e o segundo estável.• Ou ainda: K é um atrator.
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Em outras palavras...
• A equação
dNdt
= rN(1− N/K)
tem dois pontos fixos:• N = 0 e• N = K,
• sendo primeiro instável e o segundo estável.• Ou ainda: K é um atrator.
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Em outras palavras...
• A equaçãodNdt
= rN(1− N/K)
tem dois pontos fixos:• N = 0 e• N = K,
• sendo primeiro instável e o segundo estável.• Ou ainda: K é um atrator.
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Em outras palavras...
• A equaçãodNdt
= rN(1− N/K)
tem dois pontos fixos:• N = 0
e• N = K,
• sendo primeiro instável e o segundo estável.• Ou ainda: K é um atrator.
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Em outras palavras...
• A equaçãodNdt
= rN(1− N/K)
tem dois pontos fixos:• N = 0 e• N = K,
• sendo primeiro instável e o segundo estável.• Ou ainda: K é um atrator.
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Em outras palavras...
• A equaçãodNdt
= rN(1− N/K)
tem dois pontos fixos:• N = 0 e• N = K,
• sendo primeiro instável e o segundo estável.
• Ou ainda: K é um atrator.
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Em outras palavras...
• A equaçãodNdt
= rN(1− N/K)
tem dois pontos fixos:• N = 0 e• N = K,
• sendo primeiro instável e o segundo estável.• Ou ainda: K é um atrator.
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Em outras palavras...
• A equaçãodNdt
= rN(1− N/K)
tem dois pontos fixos:• N = 0 e• N = K,
• sendo primeiro instável e o segundo estável.• Ou ainda: K é um atrator.
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Mais sobre a equação logística
• O termo quadrático
(rN2/K) na equação logística
dNdt
= rN(1− N/K),
modela a competição entre os indivíduos da população porrecursos vitais.
• Exemplo:• Espaço,• Alimentos .
• Chamamos esta competição de intra-específica.
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Mais sobre a equação logística
• O termo quadrático (rN2/K) na equação logística
dNdt
= rN(1− N/K),
modela a competição entre os indivíduos da população porrecursos vitais.
• Exemplo:• Espaço,• Alimentos .
• Chamamos esta competição de intra-específica.
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• O termo quadrático (rN2/K) na equação logística
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= rN(1− N/K),
modela a competição entre os indivíduos da população porrecursos vitais.
• Exemplo:• Espaço,• Alimentos .
• Chamamos esta competição de intra-específica.
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• O termo quadrático (rN2/K) na equação logística
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= rN(1− N/K),
modela a competição entre os indivíduos da população porrecursos vitais.
• Exemplo:• Espaço,
• Alimentos .
• Chamamos esta competição de intra-específica.
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• O termo quadrático (rN2/K) na equação logística
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modela a competição entre os indivíduos da população porrecursos vitais.
• Exemplo:• Espaço,• Alimentos .
• Chamamos esta competição de intra-específica.
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• O termo quadrático (rN2/K) na equação logística
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= rN(1− N/K),
modela a competição entre os indivíduos da população porrecursos vitais.
• Exemplo:• Espaço,• Alimentos .
• Chamamos esta competição de intra-específica.
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Equação logística
Num lago com vitórias régias, evidentemente teremos competiçãopor espaço quando chegarmos próximos da capacidade de suportedo lago:
No caso de árvores temos, portanto, uma competição pornutrientes.
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Equação logística
A mesma coisa acontece com a cobertura por flores numaplantação em uma área restrita:
No caso de árvores temos, portanto, uma competição pornutrientes.
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Equação logística
Árvores dependem essencialmente de nutrientes no solo. Aquantidade limitada de destes limita a densidade de árvores.Exemplo: Em montanhas altas, a quantidade de água disponívelno solo depende da altitude. Próximo de regioes suficientementealtas, a água congela e não está disponível para “consumo”.Abaixo, a linha de árvores nos Alpes:
No caso de árvores temos, portanto, uma competição pornutrientes.
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Nomenclatura
• A constante K que aparece na equação logística,
dNdt
= rN(1− N/K)
é usualmente conhecida por capacidade de suporte do meio.• Como vimos, a população tende ao valor limite K para
grandes tempos.
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Populações
ModelosSimples I:Malthus
ModelosSimples II:equaçãologística
Generalizações
ComentáriosEscalas
EspéciesNão-Interagentes
O que ficou deforaEquação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
Nomenclatura
• A constante K que aparece na equação logística,
dNdt
= rN(1− N/K)
é usualmente conhecida por capacidade de suporte do meio.• Como vimos, a população tende ao valor limite K para
grandes tempos.
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Nomenclatura
• A constante K que aparece na equação logística,
dNdt
= rN(1− N/K)
é usualmente conhecida por capacidade de suporte do meio.• Como vimos, a população tende ao valor limite K para
grandes tempos.
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Nomenclatura
• A constante K que aparece na equação logística,
dNdt
= rN(1− N/K)
é usualmente conhecida por capacidade de suporte do meio.
• Como vimos, a população tende ao valor limite K paragrandes tempos.
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Nomenclatura
• A constante K que aparece na equação logística,
dNdt
= rN(1− N/K)
é usualmente conhecida por capacidade de suporte do meio.• Como vimos, a população tende ao valor limite K para
grandes tempos.
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Glória e Miséria da EquaçãoLogística
Glórias
• Ela é simples e solúvel.• Ela permite introduzir o conceito de capacidade de suporte.• ela aproxima bem alguns dos fenômenos observados na natureza.
Misérias
• Ela é simples demais.• Muito da dinâmica que se observa não é compatível com ela..
Por que eu devo gostar da Equação LogísticaEla é um modelo mínimo o qual pode servir de base a generalizações e modificações.
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• Ela é simples e solúvel.• Ela permite introduzir o conceito de capacidade de suporte.• ela aproxima bem alguns dos fenômenos observados na natureza.
Misérias
• Ela é simples demais.• Muito da dinâmica que se observa não é compatível com ela..
Por que eu devo gostar da Equação LogísticaEla é um modelo mínimo o qual pode servir de base a generalizações e modificações.
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• Ela é simples e solúvel.
• Ela permite introduzir o conceito de capacidade de suporte.• ela aproxima bem alguns dos fenômenos observados na natureza.
Misérias
• Ela é simples demais.• Muito da dinâmica que se observa não é compatível com ela..
Por que eu devo gostar da Equação LogísticaEla é um modelo mínimo o qual pode servir de base a generalizações e modificações.
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• Ela é simples e solúvel.• Ela permite introduzir o conceito de capacidade de suporte.
• ela aproxima bem alguns dos fenômenos observados na natureza.
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• Ela é simples demais.• Muito da dinâmica que se observa não é compatível com ela..
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• Ela é simples e solúvel.• Ela permite introduzir o conceito de capacidade de suporte.• ela aproxima bem alguns dos fenômenos observados na natureza.
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• Ela é simples e solúvel.• Ela permite introduzir o conceito de capacidade de suporte.• ela aproxima bem alguns dos fenômenos observados na natureza.
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• Ela é simples demais.• Muito da dinâmica que se observa não é compatível com ela..
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• Ela é simples e solúvel.• Ela permite introduzir o conceito de capacidade de suporte.• ela aproxima bem alguns dos fenômenos observados na natureza.
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• Ela é simples demais.• Muito da dinâmica que se observa não é compatível com ela..
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• Ela é simples e solúvel.• Ela permite introduzir o conceito de capacidade de suporte.• ela aproxima bem alguns dos fenômenos observados na natureza.
Misérias
• Ela é simples demais.• Muito da dinâmica que se observa não é compatível com ela..
Por que eu devo gostar da Equação LogísticaEla é um modelo mínimo o qual pode servir de base a generalizações e modificações.
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• Uma forma de ir além da equação logística é tomar:
dN(t)dt
= F(N)
onde F é uma função dada de N.• Alguns exemplos seriam:
• F(N) = rN(1− N/K)− BN2
(A2+N2)
• F(N) = −aN + bN2 − cN3
• F(N) = L− rN + s Nq
mq+Nq
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• Uma forma de ir além da equação logística é tomar:
dN(t)dt
= F(N)
onde F é uma função dada de N.• Alguns exemplos seriam:
• F(N) = rN(1− N/K)− BN2
(A2+N2)
• F(N) = −aN + bN2 − cN3
• F(N) = L− rN + s Nq
mq+Nq
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• Uma forma de ir além da equação logística é tomar:
dN(t)dt
= F(N)
onde F é uma função dada de N.• Alguns exemplos seriam:
• F(N) = rN(1− N/K)− BN2
(A2+N2)
• F(N) = −aN + bN2 − cN3
• F(N) = L− rN + s Nq
mq+Nq
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• Uma forma de ir além da equação logística é tomar:
dN(t)dt
= F(N)
onde F é uma função dada de N.
• Alguns exemplos seriam:• F(N) = rN(1− N/K)− BN2
(A2+N2)
• F(N) = −aN + bN2 − cN3
• F(N) = L− rN + s Nq
mq+Nq
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• Uma forma de ir além da equação logística é tomar:
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= F(N)
onde F é uma função dada de N.• Alguns exemplos seriam:
• F(N) = rN(1− N/K)− BN2
(A2+N2)
• F(N) = −aN + bN2 − cN3
• F(N) = L− rN + s Nq
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• Uma forma de ir além da equação logística é tomar:
dN(t)dt
= F(N)
onde F é uma função dada de N.• Alguns exemplos seriam:
• F(N) = rN(1− N/K)− BN2
(A2+N2)
• F(N) = −aN + bN2 − cN3
• F(N) = L− rN + s Nq
mq+Nq
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• Uma forma de ir além da equação logística é tomar:
dN(t)dt
= F(N)
onde F é uma função dada de N.• Alguns exemplos seriam:
• F(N) = rN(1− N/K)− BN2
(A2+N2)
• F(N) = −aN + bN2 − cN3
• F(N) = L− rN + s Nq
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= F(N)
onde F é uma função dada de N.• Alguns exemplos seriam:
• F(N) = rN(1− N/K)− BN2
(A2+N2)
• F(N) = −aN + bN2 − cN3
• F(N) = L− rN + s Nq
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• Uma forma de ir além da equação logística é tomar:
dN(t)dt
= F(N)
onde F é uma função dada de N.• Alguns exemplos seriam:
• F(N) = rN(1− N/K)− BN2
(A2+N2)
• F(N) = −aN + bN2 − cN3
• F(N) = L− rN + s Nq
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• De uma forma geral, para estudar estas generalizações, nãonecessariamente resolvemos a equação diferencial.
• Recorremos antes a uma análise qualitativa:• Procuramos os pontos fixos, N∗, dados por F(N∗) = 0.• Em posse de N∗ determinamos a sua estabilidade.• Tente fazer este exercício para as funções da transparência
anterior.
• Desta forma podemos ter uma visão qualitativa da dinâmica.
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• De uma forma geral, para estudar estas generalizações, nãonecessariamente resolvemos a equação diferencial.
• Recorremos antes a uma análise qualitativa:• Procuramos os pontos fixos, N∗, dados por F(N∗) = 0.• Em posse de N∗ determinamos a sua estabilidade.• Tente fazer este exercício para as funções da transparência
anterior.
• Desta forma podemos ter uma visão qualitativa da dinâmica.
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• De uma forma geral, para estudar estas generalizações, nãonecessariamente resolvemos a equação diferencial.
• Recorremos antes a uma análise qualitativa:
• Procuramos os pontos fixos, N∗, dados por F(N∗) = 0.• Em posse de N∗ determinamos a sua estabilidade.• Tente fazer este exercício para as funções da transparência
anterior.
• Desta forma podemos ter uma visão qualitativa da dinâmica.
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• De uma forma geral, para estudar estas generalizações, nãonecessariamente resolvemos a equação diferencial.
• Recorremos antes a uma análise qualitativa:• Procuramos os pontos fixos, N∗, dados por F(N∗) = 0.
• Em posse de N∗ determinamos a sua estabilidade.• Tente fazer este exercício para as funções da transparência
anterior.
• Desta forma podemos ter uma visão qualitativa da dinâmica.
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• De uma forma geral, para estudar estas generalizações, nãonecessariamente resolvemos a equação diferencial.
• Recorremos antes a uma análise qualitativa:• Procuramos os pontos fixos, N∗, dados por F(N∗) = 0.• Em posse de N∗ determinamos a sua estabilidade.
• Tente fazer este exercício para as funções da transparênciaanterior.
• Desta forma podemos ter uma visão qualitativa da dinâmica.
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• Recorremos antes a uma análise qualitativa:• Procuramos os pontos fixos, N∗, dados por F(N∗) = 0.• Em posse de N∗ determinamos a sua estabilidade.• Tente fazer este exercício para as funções da transparência
anterior.
• Desta forma podemos ter uma visão qualitativa da dinâmica.
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• Recorremos antes a uma análise qualitativa:• Procuramos os pontos fixos, N∗, dados por F(N∗) = 0.• Em posse de N∗ determinamos a sua estabilidade.• Tente fazer este exercício para as funções da transparência
anterior.
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• De uma forma geral, para estudar estas generalizações, nãonecessariamente resolvemos a equação diferencial.
• Recorremos antes a uma análise qualitativa:• Procuramos os pontos fixos, N∗, dados por F(N∗) = 0.• Em posse de N∗ determinamos a sua estabilidade.• Tente fazer este exercício para as funções da transparência
anterior.
• Desta forma podemos ter uma visão qualitativa da dinâmica.
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• A equação malthusiana introduziu uma parâmetr r,
que temdimensões de tempo−1.
• Ou seja, r−1 define uma escala de tempo.• A equação logística utiliza igualmente um parâmetro
adicional, K.• K define uma escala para o tamanho das populações.
• Escalas de tempo e espaço são importantes.• Devemos ter sempre em mente que a modelagem de uma
situação é válida em certas escalas.• Vejamos um exemplo.
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• A equação malthusiana introduziu uma parâmetr r, que temdimensões de tempo−1.
• Ou seja, r−1 define uma escala de tempo.• A equação logística utiliza igualmente um parâmetro
adicional, K.• K define uma escala para o tamanho das populações.
• Escalas de tempo e espaço são importantes.• Devemos ter sempre em mente que a modelagem de uma
situação é válida em certas escalas.• Vejamos um exemplo.
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• A equação malthusiana introduziu uma parâmetr r, que temdimensões de tempo−1.
• Ou seja, r−1 define uma escala de tempo.
• A equação logística utiliza igualmente um parâmetroadicional, K.
• K define uma escala para o tamanho das populações.
• Escalas de tempo e espaço são importantes.• Devemos ter sempre em mente que a modelagem de uma
situação é válida em certas escalas.• Vejamos um exemplo.
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• A equação malthusiana introduziu uma parâmetr r, que temdimensões de tempo−1.
• Ou seja, r−1 define uma escala de tempo.• A equação logística utiliza igualmente um parâmetro
adicional, K.
• K define uma escala para o tamanho das populações.
• Escalas de tempo e espaço são importantes.• Devemos ter sempre em mente que a modelagem de uma
situação é válida em certas escalas.• Vejamos um exemplo.
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• A equação malthusiana introduziu uma parâmetr r, que temdimensões de tempo−1.
• Ou seja, r−1 define uma escala de tempo.• A equação logística utiliza igualmente um parâmetro
adicional, K.• K define uma escala para o tamanho das populações.
• Escalas de tempo e espaço são importantes.• Devemos ter sempre em mente que a modelagem de uma
situação é válida em certas escalas.• Vejamos um exemplo.
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• Ou seja, r−1 define uma escala de tempo.• A equação logística utiliza igualmente um parâmetro
adicional, K.• K define uma escala para o tamanho das populações.
• Escalas de tempo e espaço são importantes.
• Devemos ter sempre em mente que a modelagem de umasituação é válida em certas escalas.
• Vejamos um exemplo.
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• A equação malthusiana introduziu uma parâmetr r, que temdimensões de tempo−1.
• Ou seja, r−1 define uma escala de tempo.• A equação logística utiliza igualmente um parâmetro
adicional, K.• K define uma escala para o tamanho das populações.
• Escalas de tempo e espaço são importantes.• Devemos ter sempre em mente que a modelagem de uma
situação é válida em certas escalas.
• Vejamos um exemplo.
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• A equação malthusiana introduziu uma parâmetr r, que temdimensões de tempo−1.
• Ou seja, r−1 define uma escala de tempo.• A equação logística utiliza igualmente um parâmetro
adicional, K.• K define uma escala para o tamanho das populações.
• Escalas de tempo e espaço são importantes.• Devemos ter sempre em mente que a modelagem de uma
situação é válida em certas escalas.• Vejamos um exemplo.
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• A equação malthusiana introduziu uma parâmetr r, que temdimensões de tempo−1.
• Ou seja, r−1 define uma escala de tempo.• A equação logística utiliza igualmente um parâmetro
adicional, K.• K define uma escala para o tamanho das populações.
• Escalas de tempo e espaço são importantes.• Devemos ter sempre em mente que a modelagem de uma
situação é válida em certas escalas.• Vejamos um exemplo.
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R.A. Kraenkel
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ModelosSimples I:Malthus
ModelosSimples II:equaçãologística
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ComentáriosEscalas
EspéciesNão-Interagentes
O que ficou deforaEquação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
Comentários I:População humana
Figure: População da Europa entre 1000 e 1700
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O que ficou deforaEquação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
Comentários I:População humana
Figure: População da Terra entre 500 e 2000
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O que ficou deforaEquação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
Comentários I:População humana
Figure: População da Terra entre 500 e 2000, com indica¸ao da pestebubônica.
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O que ficou deforaEquação a diferenças
Atraso temporal
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Comentários I:População humana
Figure: População da Terra estimada entre -4000 e 2000
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Comentários I:População humana
• Conforme olhemos a população humana em certas escalas detempo e espaço, veremos diferentes feições dominantes.
• Modelagem matemática sempre é válida em dadas escalas.
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O que ficou deforaEquação a diferenças
Atraso temporal
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Comentários II
• A visão até aqui desenvolvida considera uma populaçãoindependentemente das outras.
• Sabemos, no entanto, que as mais diversas espécies vivemem redes interagentes
• Animais compettem por alimento• Espécies se alimentam umas das outras• Indivíduos passam de uma classe para outra ( susceptível,
infectado, recuperado)
• Em suma:“a quantidade de ratos depende da quantidade degatos que depende da quantidade de cachorros, que...”.
• Tais redes podem ser bastante complicadas.
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Atraso temporal
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Comentários II
• A visão até aqui desenvolvida considera uma populaçãoindependentemente das outras.
• Sabemos, no entanto, que as mais diversas espécies vivemem redes interagentes
• Animais compettem por alimento• Espécies se alimentam umas das outras• Indivíduos passam de uma classe para outra ( susceptível,
infectado, recuperado)
• Em suma:“a quantidade de ratos depende da quantidade degatos que depende da quantidade de cachorros, que...”.
• Tais redes podem ser bastante complicadas.
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Comentários II
• A visão até aqui desenvolvida considera uma populaçãoindependentemente das outras.
• Sabemos, no entanto, que as mais diversas espécies vivemem redes interagentes
• Animais compettem por alimento
• Espécies se alimentam umas das outras• Indivíduos passam de uma classe para outra ( susceptível,
infectado, recuperado)
• Em suma:“a quantidade de ratos depende da quantidade degatos que depende da quantidade de cachorros, que...”.
• Tais redes podem ser bastante complicadas.
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• A visão até aqui desenvolvida considera uma populaçãoindependentemente das outras.
• Sabemos, no entanto, que as mais diversas espécies vivemem redes interagentes
• Animais compettem por alimento• Espécies se alimentam umas das outras
• Indivíduos passam de uma classe para outra ( susceptível,infectado, recuperado)
• Em suma:“a quantidade de ratos depende da quantidade degatos que depende da quantidade de cachorros, que...”.
• Tais redes podem ser bastante complicadas.
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• A visão até aqui desenvolvida considera uma populaçãoindependentemente das outras.
• Sabemos, no entanto, que as mais diversas espécies vivemem redes interagentes
• Animais compettem por alimento• Espécies se alimentam umas das outras• Indivíduos passam de uma classe para outra ( susceptível,
infectado, recuperado)
• Em suma:“a quantidade de ratos depende da quantidade degatos que depende da quantidade de cachorros, que...”.
• Tais redes podem ser bastante complicadas.
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• A visão até aqui desenvolvida considera uma populaçãoindependentemente das outras.
• Sabemos, no entanto, que as mais diversas espécies vivemem redes interagentes
• Animais compettem por alimento• Espécies se alimentam umas das outras• Indivíduos passam de uma classe para outra ( susceptível,
infectado, recuperado)
• Em suma:
“a quantidade de ratos depende da quantidade degatos que depende da quantidade de cachorros, que...”.
• Tais redes podem ser bastante complicadas.
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Comentários II
• A visão até aqui desenvolvida considera uma populaçãoindependentemente das outras.
• Sabemos, no entanto, que as mais diversas espécies vivemem redes interagentes
• Animais compettem por alimento• Espécies se alimentam umas das outras• Indivíduos passam de uma classe para outra ( susceptível,
infectado, recuperado)
• Em suma:“a quantidade de ratos depende da quantidade degatos que depende da quantidade de cachorros, que...”.
• Tais redes podem ser bastante complicadas.
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Rede trófica de animais no ártico
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Comentários II
Para que servem os modelos que estudamos?
• Diversas populações têm uma dinâmica desvinculada dasdemais.
Dependem de fatores limitantes( alimento, espaço),mas estes fatores não são diretamente afetados pelapopulação.
• Se tivermos, por exemplo, uma espécie (A) que se alimentade muitas outras.
• O acoplamento desta espécie com cada uma das suas presasserá fraco
• As mudanças da população predada influi pouco napopulação predadora.
• Se ao mesmo tempo (A) não for presa exclusiva de algumredador, então, (A) se comporta de efetivamente como umaespécie não-acoplada.
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Para que servem os modelos que estudamos?
• Diversas populações têm uma dinâmica desvinculada dasdemais.Dependem de fatores limitantes
( alimento, espaço),mas estes fatores não são diretamente afetados pelapopulação.
• Se tivermos, por exemplo, uma espécie (A) que se alimentade muitas outras.
• O acoplamento desta espécie com cada uma das suas presasserá fraco
• As mudanças da população predada influi pouco napopulação predadora.
• Se ao mesmo tempo (A) não for presa exclusiva de algumredador, então, (A) se comporta de efetivamente como umaespécie não-acoplada.
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Para que servem os modelos que estudamos?
• Diversas populações têm uma dinâmica desvinculada dasdemais.Dependem de fatores limitantes( alimento, espaço),mas estes fatores não são diretamente afetados pelapopulação.
• Se tivermos, por exemplo, uma espécie (A) que se alimentade muitas outras.
• O acoplamento desta espécie com cada uma das suas presasserá fraco
• As mudanças da população predada influi pouco napopulação predadora.
• Se ao mesmo tempo (A) não for presa exclusiva de algumredador, então, (A) se comporta de efetivamente como umaespécie não-acoplada.
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Para que servem os modelos que estudamos?
• Diversas populações têm uma dinâmica desvinculada dasdemais.Dependem de fatores limitantes( alimento, espaço),mas estes fatores não são diretamente afetados pelapopulação.
• Se tivermos, por exemplo, uma espécie (A) que se alimentade muitas outras.
• O acoplamento desta espécie com cada uma das suas presasserá fraco
• As mudanças da população predada influi pouco napopulação predadora.
• Se ao mesmo tempo (A) não for presa exclusiva de algumredador, então, (A) se comporta de efetivamente como umaespécie não-acoplada.
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Para que servem os modelos que estudamos?
• Diversas populações têm uma dinâmica desvinculada dasdemais.Dependem de fatores limitantes( alimento, espaço),mas estes fatores não são diretamente afetados pelapopulação.
• Se tivermos, por exemplo, uma espécie (A) que se alimentade muitas outras.
• O acoplamento desta espécie com cada uma das suas presasserá fraco
• As mudanças da população predada influi pouco napopulação predadora.
• Se ao mesmo tempo (A) não for presa exclusiva de algumredador, então, (A) se comporta de efetivamente como umaespécie não-acoplada.
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Para que servem os modelos que estudamos?
• Diversas populações têm uma dinâmica desvinculada dasdemais.Dependem de fatores limitantes( alimento, espaço),mas estes fatores não são diretamente afetados pelapopulação.
• Se tivermos, por exemplo, uma espécie (A) que se alimentade muitas outras.
• O acoplamento desta espécie com cada uma das suas presasserá fraco
• As mudanças da população predada influi pouco napopulação predadora.
• Se ao mesmo tempo (A) não for presa exclusiva de algumredador, então, (A) se comporta de efetivamente como umaespécie não-acoplada.
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Para que servem os modelos que estudamos?
• Diversas populações têm uma dinâmica desvinculada dasdemais.Dependem de fatores limitantes( alimento, espaço),mas estes fatores não são diretamente afetados pelapopulação.
• Se tivermos, por exemplo, uma espécie (A) que se alimentade muitas outras.
• O acoplamento desta espécie com cada uma das suas presasserá fraco
• As mudanças da população predada influi pouco napopulação predadora.
• Se ao mesmo tempo (A) não for presa exclusiva de algumredador, então, (A) se comporta de efetivamente como umaespécie não-acoplada.
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Para que servem os modelos que estudamos?
• Diversas populações têm uma dinâmica desvinculada dasdemais.Dependem de fatores limitantes( alimento, espaço),mas estes fatores não são diretamente afetados pelapopulação.
• Se tivermos, por exemplo, uma espécie (A) que se alimentade muitas outras.
• O acoplamento desta espécie com cada uma das suas presasserá fraco
• As mudanças da população predada influi pouco napopulação predadora.
• Se ao mesmo tempo (A) não for presa exclusiva de algumredador, então, (A) se comporta de efetivamente como umaespécie não-acoplada.
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Comentários II: exemplo
Figure: Rede trófica simplificada na região ártica
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Comentários II: exemplo
Figure: O lobo se alimenta de diversos animais, mas é presa de umpredador especialista. Sua correla¸ao com a população de homens égrande.
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Comentários II: exemplo
Figure: O falcão é umm especialista. Depende essencialmente dalebreártica
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Comentários II: exemplo
Figure: A lebre é uma generalista predada por outros generalistas. Ummodelo matemático baseado em uma só população pode ser adequado.
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Atraso temporal
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O que ficou de fora I
Modelos discretos no tempo
• Nos modelos que consideramos, o tempo é contínuo.
Natural!
• Isso pressupõe que o crescimento ou descrescimento se dêem a todomomento. Continuamente.
• Mas isso não é verdade para todas as espécies.
• Algumas delas tem gerações bem definidas.em geral, reguladas porestações.
• Flores, por exemplo. Faz pouco sentido falarmos de flores em tempocontínuo. Muito melhor falar de floradas anuais.
• Assim é mais interessante escrever:
Nt+1 = rNt| {z }Equivalente da equação malthusiana
ou Nt+1 = F(Nt)
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O que ficou deforaEquação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
O que ficou de fora I
Modelos discretos no tempo
• Nos modelos que consideramos, o tempo é contínuo. Natural!
• Isso pressupõe que o crescimento ou descrescimento se dêem a todomomento. Continuamente.
• Mas isso não é verdade para todas as espécies.
• Algumas delas tem gerações bem definidas.em geral, reguladas porestações.
• Flores, por exemplo. Faz pouco sentido falarmos de flores em tempocontínuo. Muito melhor falar de floradas anuais.
• Assim é mais interessante escrever:
Nt+1 = rNt| {z }Equivalente da equação malthusiana
ou Nt+1 = F(Nt)
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Modelos discretos no tempo
• Nos modelos que consideramos, o tempo é contínuo. Natural!
• Isso pressupõe que o crescimento ou descrescimento se dêem a todomomento.
Continuamente.
• Mas isso não é verdade para todas as espécies.
• Algumas delas tem gerações bem definidas.em geral, reguladas porestações.
• Flores, por exemplo. Faz pouco sentido falarmos de flores em tempocontínuo. Muito melhor falar de floradas anuais.
• Assim é mais interessante escrever:
Nt+1 = rNt| {z }Equivalente da equação malthusiana
ou Nt+1 = F(Nt)
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Modelos discretos no tempo
• Nos modelos que consideramos, o tempo é contínuo. Natural!
• Isso pressupõe que o crescimento ou descrescimento se dêem a todomomento. Continuamente.
• Mas isso não é verdade para todas as espécies.
• Algumas delas tem gerações bem definidas.em geral, reguladas porestações.
• Flores, por exemplo. Faz pouco sentido falarmos de flores em tempocontínuo. Muito melhor falar de floradas anuais.
• Assim é mais interessante escrever:
Nt+1 = rNt| {z }Equivalente da equação malthusiana
ou Nt+1 = F(Nt)
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• Nos modelos que consideramos, o tempo é contínuo. Natural!
• Isso pressupõe que o crescimento ou descrescimento se dêem a todomomento. Continuamente.
• Mas isso não é verdade para todas as espécies.
• Algumas delas tem gerações bem definidas.em geral, reguladas porestações.
• Flores, por exemplo. Faz pouco sentido falarmos de flores em tempocontínuo. Muito melhor falar de floradas anuais.
• Assim é mais interessante escrever:
Nt+1 = rNt| {z }Equivalente da equação malthusiana
ou Nt+1 = F(Nt)
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• Nos modelos que consideramos, o tempo é contínuo. Natural!
• Isso pressupõe que o crescimento ou descrescimento se dêem a todomomento. Continuamente.
• Mas isso não é verdade para todas as espécies.
• Algumas delas tem gerações bem definidas.
em geral, reguladas porestações.
• Flores, por exemplo. Faz pouco sentido falarmos de flores em tempocontínuo. Muito melhor falar de floradas anuais.
• Assim é mais interessante escrever:
Nt+1 = rNt| {z }Equivalente da equação malthusiana
ou Nt+1 = F(Nt)
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• Nos modelos que consideramos, o tempo é contínuo. Natural!
• Isso pressupõe que o crescimento ou descrescimento se dêem a todomomento. Continuamente.
• Mas isso não é verdade para todas as espécies.
• Algumas delas tem gerações bem definidas.em geral, reguladas porestações.
• Flores, por exemplo. Faz pouco sentido falarmos de flores em tempocontínuo. Muito melhor falar de floradas anuais.
• Assim é mais interessante escrever:
Nt+1 = rNt| {z }Equivalente da equação malthusiana
ou Nt+1 = F(Nt)
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• Nos modelos que consideramos, o tempo é contínuo. Natural!
• Isso pressupõe que o crescimento ou descrescimento se dêem a todomomento. Continuamente.
• Mas isso não é verdade para todas as espécies.
• Algumas delas tem gerações bem definidas.em geral, reguladas porestações.
• Flores, por exemplo. Faz pouco sentido falarmos de flores em tempocontínuo.
Muito melhor falar de floradas anuais.
• Assim é mais interessante escrever:
Nt+1 = rNt| {z }Equivalente da equação malthusiana
ou Nt+1 = F(Nt)
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• Nos modelos que consideramos, o tempo é contínuo. Natural!
• Isso pressupõe que o crescimento ou descrescimento se dêem a todomomento. Continuamente.
• Mas isso não é verdade para todas as espécies.
• Algumas delas tem gerações bem definidas.em geral, reguladas porestações.
• Flores, por exemplo. Faz pouco sentido falarmos de flores em tempocontínuo. Muito melhor falar de floradas anuais.
• Assim é mais interessante escrever:
Nt+1 = rNt| {z }Equivalente da equação malthusiana
ou Nt+1 = F(Nt)
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• Nos modelos que consideramos, o tempo é contínuo. Natural!
• Isso pressupõe que o crescimento ou descrescimento se dêem a todomomento. Continuamente.
• Mas isso não é verdade para todas as espécies.
• Algumas delas tem gerações bem definidas.em geral, reguladas porestações.
• Flores, por exemplo. Faz pouco sentido falarmos de flores em tempocontínuo. Muito melhor falar de floradas anuais.
• Assim é mais interessante escrever:
Nt+1 = rNt
| {z }Equivalente da equação malthusiana
ou Nt+1 = F(Nt)
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• Nos modelos que consideramos, o tempo é contínuo. Natural!
• Isso pressupõe que o crescimento ou descrescimento se dêem a todomomento. Continuamente.
• Mas isso não é verdade para todas as espécies.
• Algumas delas tem gerações bem definidas.em geral, reguladas porestações.
• Flores, por exemplo. Faz pouco sentido falarmos de flores em tempocontínuo. Muito melhor falar de floradas anuais.
• Assim é mais interessante escrever:
Nt+1 = rNt| {z }
Equivalente da equação malthusiana
ou Nt+1 = F(Nt)
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• Nos modelos que consideramos, o tempo é contínuo. Natural!
• Isso pressupõe que o crescimento ou descrescimento se dêem a todomomento. Continuamente.
• Mas isso não é verdade para todas as espécies.
• Algumas delas tem gerações bem definidas.em geral, reguladas porestações.
• Flores, por exemplo. Faz pouco sentido falarmos de flores em tempocontínuo. Muito melhor falar de floradas anuais.
• Assim é mais interessante escrever:
Nt+1 = rNt| {z }Equivalente da equação malthusiana
ou Nt+1 = F(Nt)
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• Nos modelos que consideramos, o tempo é contínuo. Natural!
• Isso pressupõe que o crescimento ou descrescimento se dêem a todomomento. Continuamente.
• Mas isso não é verdade para todas as espécies.
• Algumas delas tem gerações bem definidas.em geral, reguladas porestações.
• Flores, por exemplo. Faz pouco sentido falarmos de flores em tempocontínuo. Muito melhor falar de floradas anuais.
• Assim é mais interessante escrever:
Nt+1 = rNt| {z }Equivalente da equação malthusiana
ou Nt+1 = F(Nt)
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R.A. Kraenkel
Populações
ModelosSimples I:Malthus
ModelosSimples II:equaçãologística
Generalizações
ComentáriosEscalas
EspéciesNão-Interagentes
O que ficou deforaEquação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
O que ficou de fora II
Atraso temporal
• Nosso modelo básicodNdt
= F(N(t))
é tal que a taxa de variação de N no tempo t depende de N apenas no tempo t.• Dizemos que o modelo é local no tempo.• No entanto, há muitas situações em que a taxa de crescimento não depende da
população instantaneamente.Por que?• Parte da população pode ainda não estar madura para a reprodução.• Assim, podemos muito bem considerar modelos em que:
dNdt
= F(N(t− τ))
• São ditos modelos não-locais no tempo.• São complicados.
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O que ficou de fora II
Atraso temporal
• Nosso modelo básicodNdt
= F(N(t))
é tal que a taxa de variação de N no tempo t depende de N apenas no tempo t.• Dizemos que o modelo é local no tempo.• No entanto, há muitas situações em que a taxa de crescimento não depende da
população instantaneamente.Por que?• Parte da população pode ainda não estar madura para a reprodução.• Assim, podemos muito bem considerar modelos em que:
dNdt
= F(N(t− τ))
• São ditos modelos não-locais no tempo.• São complicados.
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• Nosso modelo básico
dNdt
= F(N(t))
é tal que a taxa de variação de N no tempo t depende de N apenas no tempo t.• Dizemos que o modelo é local no tempo.• No entanto, há muitas situações em que a taxa de crescimento não depende da
população instantaneamente.Por que?• Parte da população pode ainda não estar madura para a reprodução.• Assim, podemos muito bem considerar modelos em que:
dNdt
= F(N(t− τ))
• São ditos modelos não-locais no tempo.• São complicados.
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• Nosso modelo básicodNdt
= F(N(t))
é tal que a taxa de variação de N no tempo t depende de N apenas no tempo t.• Dizemos que o modelo é local no tempo.• No entanto, há muitas situações em que a taxa de crescimento não depende da
população instantaneamente.Por que?• Parte da população pode ainda não estar madura para a reprodução.• Assim, podemos muito bem considerar modelos em que:
dNdt
= F(N(t− τ))
• São ditos modelos não-locais no tempo.• São complicados.
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• Nosso modelo básicodNdt
= F(N(t))
é tal que a taxa de variação de N no tempo t depende de N apenas no tempo t.
• Dizemos que o modelo é local no tempo.• No entanto, há muitas situações em que a taxa de crescimento não depende da
população instantaneamente.Por que?• Parte da população pode ainda não estar madura para a reprodução.• Assim, podemos muito bem considerar modelos em que:
dNdt
= F(N(t− τ))
• São ditos modelos não-locais no tempo.• São complicados.
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• Nosso modelo básicodNdt
= F(N(t))
é tal que a taxa de variação de N no tempo t depende de N apenas no tempo t.• Dizemos que o modelo é local no tempo.
• No entanto, há muitas situações em que a taxa de crescimento não depende dapopulação instantaneamente.Por que?
• Parte da população pode ainda não estar madura para a reprodução.• Assim, podemos muito bem considerar modelos em que:
dNdt
= F(N(t− τ))
• São ditos modelos não-locais no tempo.• São complicados.
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• Nosso modelo básicodNdt
= F(N(t))
é tal que a taxa de variação de N no tempo t depende de N apenas no tempo t.• Dizemos que o modelo é local no tempo.• No entanto,
há muitas situações em que a taxa de crescimento não depende dapopulação instantaneamente.Por que?
• Parte da população pode ainda não estar madura para a reprodução.• Assim, podemos muito bem considerar modelos em que:
dNdt
= F(N(t− τ))
• São ditos modelos não-locais no tempo.• São complicados.
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• Nosso modelo básicodNdt
= F(N(t))
é tal que a taxa de variação de N no tempo t depende de N apenas no tempo t.• Dizemos que o modelo é local no tempo.• No entanto, há muitas situações em que a taxa de crescimento não depende da
população instantaneamente.
Por que?• Parte da população pode ainda não estar madura para a reprodução.• Assim, podemos muito bem considerar modelos em que:
dNdt
= F(N(t− τ))
• São ditos modelos não-locais no tempo.• São complicados.
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• Nosso modelo básicodNdt
= F(N(t))
é tal que a taxa de variação de N no tempo t depende de N apenas no tempo t.• Dizemos que o modelo é local no tempo.• No entanto, há muitas situações em que a taxa de crescimento não depende da
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• Parte da população pode ainda não estar madura para a reprodução.• Assim, podemos muito bem considerar modelos em que:
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• São ditos modelos não-locais no tempo.• São complicados.
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é tal que a taxa de variação de N no tempo t depende de N apenas no tempo t.• Dizemos que o modelo é local no tempo.• No entanto, há muitas situações em que a taxa de crescimento não depende da
população instantaneamente.Por que?• Parte da população pode ainda não estar madura para a reprodução.
• Assim, podemos muito bem considerar modelos em que:
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• São ditos modelos não-locais no tempo.• São complicados.
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é tal que a taxa de variação de N no tempo t depende de N apenas no tempo t.• Dizemos que o modelo é local no tempo.• No entanto, há muitas situações em que a taxa de crescimento não depende da
população instantaneamente.Por que?• Parte da população pode ainda não estar madura para a reprodução.• Assim, podemos muito bem considerar modelos em que:
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• São ditos modelos não-locais no tempo.• São complicados.
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é tal que a taxa de variação de N no tempo t depende de N apenas no tempo t.• Dizemos que o modelo é local no tempo.• No entanto, há muitas situações em que a taxa de crescimento não depende da
população instantaneamente.Por que?• Parte da população pode ainda não estar madura para a reprodução.• Assim, podemos muito bem considerar modelos em que:
dNdt
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• São ditos modelos não-locais no tempo.• São complicados.
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é tal que a taxa de variação de N no tempo t depende de N apenas no tempo t.• Dizemos que o modelo é local no tempo.• No entanto, há muitas situações em que a taxa de crescimento não depende da
população instantaneamente.Por que?• Parte da população pode ainda não estar madura para a reprodução.• Assim, podemos muito bem considerar modelos em que:
dNdt
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• São ditos modelos não-locais no tempo.
• São complicados.
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é tal que a taxa de variação de N no tempo t depende de N apenas no tempo t.• Dizemos que o modelo é local no tempo.• No entanto, há muitas situações em que a taxa de crescimento não depende da
população instantaneamente.Por que?• Parte da população pode ainda não estar madura para a reprodução.• Assim, podemos muito bem considerar modelos em que:
dNdt
= F(N(t− τ))
• São ditos modelos não-locais no tempo.• São complicados.
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• Nosso modelo básicodNdt
= F(N(t))
é tal que a taxa de variação de N no tempo t depende de N apenas no tempo t.• Dizemos que o modelo é local no tempo.• No entanto, há muitas situações em que a taxa de crescimento não depende da
população instantaneamente.Por que?• Parte da população pode ainda não estar madura para a reprodução.• Assim, podemos muito bem considerar modelos em que:
dNdt
= F(N(t− τ))
• São ditos modelos não-locais no tempo.• São complicados.
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Desafio
• Tente resolver esta equação das mais simples:
dNdt
= −π
2TN(t− T)
• Boa sorte.
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• Tente resolver esta equação das mais simples:
dNdt
= −π
2TN(t− T)
• Boa sorte.
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• Tente resolver esta equação das mais simples:
dNdt
= −π
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• Boa sorte.
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O que ficou de fora III
Muitas outras coisas....
• Entre elas.....
• Espécies interagentes• A distribuição espacial das populações.• Vamos estudá-las nas próximas aulas.
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• A distribuição espacial das populações.• Vamos estudá-las nas próximas aulas.
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• Entre elas.....• Espécies interagentes• A distribuição espacial das populações.
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Bibliografia para este capítulo
• Mathematical Biology I, por J.D. Murray ( Springer,Berlin, 2002).
• Essential Mathematical Biology, por N.F. Britton(Springer, Berlin, 2003).
• Mathematical Models in Population Biology andEpidemiology, por F. Brauer e C. Castillo-Chavez (Springer, Berlin, 2001).
• An Illustrated Guide to Theoretical Ecology, pot T.J. Case (Oxford, 2001).
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