MÉTODO MEAN SHIFT PARA DETECÇÃO DE OUTLIERS EMMODELOS NORMAIS ASSIMÉTRICOS
Thalita do Bem Mattos
Clécio da Silva Ferreira
Relatório Técnico – RTP-01/2013
Relatório TécnicoSérie Pesquisa
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORAINSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATASDEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
ii
THALITA DO BEM MATTOS
CLÉCIO DA SILVA FERREIRA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
MÉTODO MEAN SHIFT PARA DETECÇÃO DE OUTLIERS EM MODELOS
NORMAIS ASSIMÉTRICOS
Relatório Técnico de Pesquisa apresentado para o Departamento de Estatística da Universidade Federal de Juiz de Fora, sob orientação do Prof. Clécio da Silva Ferreira.
JUIZ DE FORA
iii
RESUMO
O presente trabalho apresenta um estudo sobre o método de detecção
de pontos candidatos a outliers em modelos de regressão normais
assimétricos, baseado na metodologia proposta por Cook & Weisberg (1982).
Modelos assimétricos têm sido amplamente estudados nos últimos anos, nas
situações onde a suposição de normalidade não é satisfeita devido a falta de
simetria dos dados. Técnicas para avaliação da qualidade de ajuste e análise
de diagnósticos são importantes para a validação do modelo proposto. Para o
modelo, um algoritmo EM é desenvolvido de forma a fornecer uma solução
analítica para os parâmetros do modelo de regressão. Estudos de simulação
foram realizados em um modelo de regressão linear simples, mostrando a
eficiência do método em detectar pontos candidatos a outliers.
iv
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ............................................................................................... v
LISTA DE TABELAS .............................................................................................. vi
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 1
2 METODOLOGIA ..................................................................................................
2.1 Distribuição Normal Assimétrica Padrão ...........................................................
2.2 Distribuição Normal Assimétrica de Locação – Escala ......................................
2.3 Modelo de Regressão Normal Assimétrico ........................................................
2.4 Detecção de Outliers em Modelos de Regressão .............................................
2.4.1 Algoritmo EM para a estimação de .............................
2.4.2 Testes Assintóticos ..................................................................................
3
3
5
6
8
8
11
3 RESULTADOS .....................................................................................................
3.1 Estudos de Simulação 1 ....................................................................................
3.2 Estudos de Simulação 2 ....................................................................................
3.3 Aplicação a Dados Reais ...................................................................................
13
13
17 18
4 CONCLUSÃO ....................................................................................................... 20
APÊNDICE .............................................................................................................. 21
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 33
v
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Funções de densidade da normal assimétrica para diferentes valores
de λ ............................................................................................................................
4
Figura 2. Histograma dos dados simulados ............................................................ 14
Figura 3. Técnicas de Diagnóstico .......................................................................... 15
Figura 4. Técnicas de Diagnóstico, observação perturbada .................................... 16
Figura 5. Qualidade do ajuste .................................................................................. 19
vi
LISTA DE TABELAS
Tabela 1. Estatísticas descritivas para os dados simulados ..................................... 13
Tabela 2. Estimativas dos parâmetros do modelo NA ............................................. 13
Tabela 3. Estimativas de γ e testes assintóticos para as observações 92, 93 e 95 . 14
Tabela 4. Estimativas de γ e testes assintóticos, para diversas intensidades de
perturbações ..............................................................................................................
16
Tabela 5. EMVS do modelo normal assimétrico (NA) para o conjunto de dados
sobre qualidade de vida ............................................................................................
18
Tabela 6. Estimativas de e testes assintóticos para as observações 20,42 e 73 .. 19
1
1. INTRODUÇÃO
A distribuição normal é a distribuição teórica mais utilizada na prática,
pois é matematicamente conveniente trabalhar com ela, uma vez que suas
propriedades são bastante conhecidas. Entretanto, existem muitos fenômenos
que não podem ser descritos pela distribuição normal e nem por distribuições
simétricas, por exemplo, quando há falta de simetria dos dados. Desta forma
propõe-se como alternativa a utilização de uma distribuição, de forma que se
consiga modelar a assimetria dos dados e, além disso, incluir a distribuição
normal como um caso particular. Esta família de distribuições é denominada
normal assimétrica.
A distribuição normal assimétrica foi formalmente introduzida por Azzalini
(1985), que estudou suas propriedades e mostrou que a distribuição tem
problemas na estimação do parâmetro que controla a assimetria, pelos
métodos de estimação usuais (método dos momentos e de máxima
verossimilhança).
Posteriormente, Azzalini e Dalla Vale (1996) trabalham com o caso
multivariado, com ênfase para o caso bivariado e apresentam a construção da
densidade via condicionamento e via transformação de variáveis. Azzalini e
Capitanio (1999) enfatizaram aplicações estatísticas da versão multivariada.
Modelos assimétricos têm sido amplamente estudados nos últimos anos.
Azzalini (2005) apresentou uma discussão em distribuições normais
assimétricas com aplicações em modelos de regressão. Bauwens e Laurent
(2004) consideram um estudo em modelos GARCH. Vilca-Labra e Leiva-
Sánchez (2006) consideram uma extensão da distribuição de Birnbaum-
Saunders sob estruturas assimétricas. No contexto de modelos lineares,
Lachos et al. (2007a) consideram uma aplicação de técnicas de diagnóstico em
modelos mistos lineares.
Desta forma, técnicas para a verificação da qualidade de ajuste em
modelos assimétricos auxiliam a validar um modelo proposto. Análises de
resíduos, de diagnóstico e técnicas gráficas são as metodologias mais
utilizadas, fornecendo evidências sobre possíveis violações das suposições do
modelo. Para reforçar os métodos de análise de diagnóstico, Cook e Weisberg
2
(1982) propõe um método para detecção de outliers em modelos de regressão,
inserindo um parâmetro extra na i-ésima componente sistemática do modelo.
Não existem na literatura artigos sobre a utilização da técnica mean-shift
(Cook &Weisberg,1982) em modelos normais assimétricos, que é o objetivo
central deste trabalho. Para alcançar este objetivo, os estimadores de máxima
verossimilhança dos parâmetros dos modelos são alcançados. Para detectar
se alguma observação é um outlier, testes assintóticos como o teste da razão
de verossimilhança e o teste do escore são utilizados neste contexto. Técnicas
gráficas como o envelope simulado serão utilizadas para a inspeção visual dos
pontos ajustados pelo modelo normal assimétrico. As análises e estudos de
simulação serão feitos no software livre R (R Development Core Team, 2012).
3
2. METODOLOGIA
2.1. DISTRIBUIÇÃO NORMAL ASSIMÉTRICA PADRÃO
Inicialmente estudaremos o caso uniparamétrico, a qual denominaremos
distribuição normal assimétrica padrão. Esta distribuição depende apenas de
um parâmetro, o qual caracteriza a assimetria da sua função de densidade.
Definição 1: Uma variável aleatória Z tem distribuição normal assimétrica
padrão se sua função de densidade de probabilidade é dada por
(1)
onde e são as funções de densidade de probabilidade e de
distribuição de uma normal padrão, respectivamente.
O parâmetro caracteriza a forma da distribuição e também é denominado
parâmetro de assimetria, pois valores negativos de indicam assimetria
negativa e valores positivos de assimetria positiva. Se a densidade
acima coincide com a densidade da distribuição normal padrão e portanto é
simétrica. Utilizaremos a seguinte notação . A Figura 1 ilustra o
comportamento desta densidade para alguns valores de .
Proposição 1: A função de distribuição associada à densidade (1) é denotada
por e dada por
| [
]
√
sendo | a função de distribuição de uma normal bivariada com média
zero e matriz de variância .
Através da Proposição 1 vemos que a função de distribuição da normal
assimétrica pode ser obtida facilmente se tivermos acesso a um programa que
calcule a distribuição acumulada de uma normal bivariada.
4
Figura 1: Funções de densidade da normal assimétrica para diferentes valores de λ
A densidade em (1) possui algumas propriedades interessantes que serão
listadas neste trabalho, cujas provas podem ser obtidas em Azzalini (1985) e
Azzalini (2004).
Denotamos por a distribuição normal truncada à esquerda de zero
(Johnson et al., 1994), com parâmetro de locação e de escala , com
densidade dada por [ ] , onde [ ] denota a função indicadora.
Propriedades
1. Se , então | |
2. Quando , a densidade (1) converge a uma
3. Se , então
4. A densidade (1) é log-côncava
5.
6. { }
5
7. | | | |
8. Se então
9. (Representação estocástica de Henze, 1986) Se ,
independentes, então
√ | |
√ .
Esta última propriedade é útil para gerar amostras da distribuição normal
assimétrica a partir da normal padrão. Será de grande utilidade também, para a
implementação da inferência estatística.
A seguir, apresentaremos a função geradora de momentos (f.g.m) da
distribuição normal assimétrica, apresentada em Azzalini (1985).
Proposição 2: A função geradora de momentos da normal assimétrica é dada
por
(
)
√
A partir da Proposição 2, obtemos os momentos da normal assimétrica (ver
Ferreira, 2008). Seja Z uma variável aleatória com distribuição , temos
que a média e a variância são dadas por
√
√
2.2. DISTRIBUIÇÃO NORMAL ASSIMÉTRICA DE LOCAÇÃO-ESCALA
O modelo (1) é estendido introduzindo parâmetros de locação ( e
escala ( . Neste caso, utilizaremos a notação .
Definição 2: Uma variável aleatória Y tem distribuição normal assimétrica com
parâmetros de locação e de escala se sua função de densidade de
probabilidade é da forma:
(
) (
) (2)
6
Note que se e , então Ou seja,
qualquer combinação linear de uma variável aleatória normal assimétrica
padrão também terá distribuição normal assimétrica.
Proposição 3: A função de distribuição de (2), é denotada por e
dada por
(
| ) [
]
√
sendo | a função de distribuição de uma normal bivariada com média
zero e matriz de variância .
Proposição 4: A função geradora de momentos da normal assimétrica é dada
por
(
)
√
E sua forma quadrática
(3)
A media e a variância de uma variável aleatória , são
expressas por,
√
√ (
)
Proposição 5: Sejam X e Y duas variáveis aleatórias tais que
e Então
2.3. MODELO DE REGRESSÃO NORMAL ASSIMÉTRICO
Suponha que tenhamos observações de uma variável resposta Y.
Associado à j-ésima observação, tenhamos também um conjunto de p variáveis
explicativas (conhecidas). Formulamos assim o modelo linear
7
(4)
em que é o vetor de observações das variáveis explicativas
, são os erros independentes, cada supostamente
seguindo uma distribuição
Note que √
√ Isto pode ser contornado
subtraindo o vício do intercepto .
O interesse é fazer inferência sobre o vetor de parâmetros .
O logaritmo da função verossimilhança para o modelo (4), denotado por
, pode ser escrito como
∑ [ | (
)]
∑ [ ∫ | |
]
Note que não existem soluções explícitas para o problema de maximização
da função de verossimilhança acima. Esta pode ser maximizada
numericamente usando programas como, por exemplo, Matlab, R e S-plus.
Estes programas contêm rotinas prontas para tratar problemas de maximização
(ou minimização) de qualquer função. No entanto, a menos que valores iniciais
adequados sejam dados, não há garantia de se obter um máximo global, sendo
necessária a implementação de métodos mais confiáveis como, por exemplo, o
algoritmo EM.
Os passos necessários para a implementação do algoritmo EM para
encontrar os estimadores de máxima verossimilhança (EMV) dos parâmetros
do modelo definido em (4) encontra-se em Ferreira (2008).
8
2.4. DETECÇÃO DE OUTLIERS EM MODELOS DE REGRESSÃO
Para detectar se a i-ésima observação é influente, Cook & Weisberg
(1982) sugerem o modelo de diagnóstico inserindo um parâmetro extra na
componente sistemática
(5)
sendo um parâmetro extra que, se diferente de 0, indica que a i-ésima
observação é um candidato a outlier. Este método de detecção de outlier
recebe o nome de “Mean-Shift Outlier Model”.
Considerando o seguinte teste de hipóteses
. (6)
Então, se a hipótese nula é rejeitada, a i-ésima observação é um possível
outlier. Podemos utilizar as estatísticas da razão de Verossimilhança, Escore
ou Wald para realizar o teste.
A função de log-verossimilhança associada ao modelo (5) é dada por
, (7)
onde
( (
)) ( (
)) e
∑ ( (
))
∑ ( (
))
.
2.4.1. ALGORITMO EM PARA A ESTIMAÇÃO DE
Seja o conjunto de dados observados e denotando o conjunto de dados
faltantes. O dado completo é aumentado com . Denota-se por
9
| , , a função log-verossimilhança dos dados completos e por
| [ | | ], o valor esperado desta função. Cada iteração do
algoritmo EM envolve dois passos, um passo E (esperança) e um passo M
(maximização), definidos como:
Passo E: Calcule | como uma função de ;
Passo M: Encontre que maximiza | .
Utilizando a representação estocástica de Henze (1986), o modelo de
regressão (5) acima pode ser escrito como:
| (
√
) ,
| (
√
),
A distribuição conjunta de e é dada por
( ) ( | ) ( | (
) ) ( )
( | ) ( | (
) ) (8)
Seja o conjunto de dados observados, e tratando
como dado faltante, segue que a função de log-verossimilhança
completa associada com é dada por
| ∑ ( )
{ [ (
) ]
[ (
) ( ) ]}
onde
é um vetor de 1’s de tamanho , é a
matriz de regressoras, de dimensão e o termo indica o vetor z sem a i-
ésima observação.
10
De (8), tem-se que
| ( ( ) ) e
| ( ( ) ).
Seja [ | ] e [ | ] Então,
usando os momentos da distribuição normal truncada (Lachos, 2004), tem-se
que
(
) e
(
) , (9)
com
, (
) ( )
Considere ( )
a estimativa de na -ésima
iteração. Segue que a esperança com respeito a , condicionada em , da
função log-verossimilhança completa (Passo E), tem a forma
| [ | | ]
{( ) [ ( )
( )
( ) ]
[
( )
( )
]}
Portanto, tem-se o seguinte algoritmo EM:
Passo E: Dado calcule
e
, para , como em (9).
Passo M: Atualize maximizando | sob , o que leva às
seguintes soluções analíticas:
{( ) [ ( ) (
) ]
( )
}
( )
11
( )
(10)
onde ( ) ( ) ( ) e
( ) ( ) ( ) .
Claramente, se , as equações do Passo M se reduzem às equações
obtidas em Ferreira (2008) para o modelo normal assimétrico. Note que,
quando e , e
são os
EMV de e , respectivamente, do modelo normal simétrico.
São usados como valores iniciais para no algoritmo os estimadores de
momentos (Rodríguez, 2005).
2.4.2. TESTES ASSINTÓTICOS
No teste de Escore, a estatística de teste é dada por
|
,
onde é o mesmo estimador de máxima verossimilhança
(EMV) de um modelo de regressão normal assimétrico (o EMV obtido via
algoritmo EM em Ferreira (2008)),
(
)
(
( )) (11)
com
A estatística de teste da Razão de Verossimilhanças é definida como
{ ( ) ( )},
definida em (7) e como obtido em (10).
12
Por último, a estatística de teste de Wald é dada por
| ,
dada em (11).
Sob H0 e para grandes amostras, tem-se que , e .
13
3. RESULTADOS
Nesta seção realizamos estudos de simulação para verificar a validade do
algoritmo EM e do método proposto na seção 2.4.
3.1 ESTUDO DE SIMULAÇÃO 1
No primeiro estudo de simulação foram gerados dados de acordo com o
seguinte modelo linear normal assimétrico:
, onde , (12)
sendo os valores da covariável gerados de uma distribuição
uniforme no intervalo [0,1]. Os valores fixados dos parâmetros foram
.
Na Tabela 1 apresentamos as estatísticas descritivas para os dados
simulados, como em (12). Notamos que a média é maior que a mediana
confirmando a assimetria positiva dos dados ( .
Tabela 1: Estatísticas descritivas para os dados simulados
Mínimo 2.754
1º Quantil 4.658
Mediana 5.749
Média 5.874
3º Quantil 7.109
Máximo 9.413
A Tabela 2 apresenta os valores escolhidos e estimados dos parâmetros do
modelo, através do algoritmo EM.
Tabela 2: Estimativas dos parâmetros do modelo NA, (12)
Valores Verdadeiros 3 4 2 3 -
Estimativas 2.673 4.606 2.443 3.819 -135.578
14
(a) (b)
Figura 2: (a) Histograma dos dados simulados e (b) Histograma do resíduo do modelo
Fazendo o teste de detecção de outliers proposto aos maiores resíduos
padronizados (Figura 3(b)), percebemos pela Tabela 3, que os pontos 92 e 93
são apontados como candidatos a outliers. Por outro lado, que o gráfico de
envelope simulado não acusa pontos além da banda de confiança (Figura
3(a)). Como o gráfico de envelope simulado é um método artificial de qualidade
de ajuste, notamos que o método proposto neste trabalho é mais confiável para
o estudo de pontos aberrantes. Pode-se afirmar, portanto, que a metodologia
de detecção de outliers proposta neste trabalho é robusta na identificação de
pontos candidatos a outliers.
Tabela 3: Estimativas de e testes assintóticos para algumas observações.
(p-valor) (p-valor) (p-valor)
12 2.3547 3.6789 (0.0551) 3.4760 (0.0623) 2.3566 (0.1248)
16 -0.9665 1.9910 (0.1582) 2.6006 (0.1068) 4.9842 (0.0256)
58 -0.8815 6.2517 (0.0124) 11.3069 (0.0008) 225.6763 (0)
68 -0.9894 2.2634 (0.1325) 2.8455 (0.0916) 5.2507 (0.0219)
92 3.7424 8.0595 (0.0045) 8.2385 (0.0041) 6.5656 (0.0104)
93 3.1548 6.0264 (0.0141) 5.9577 (0.0147) 4.4474 (0.0350)
95 2.6156 4.4170 (0.0356) 4.2331 (0.0396) 2.9602 (0.0853)
y
De
nsid
ad
e
2 4 6 8 10
0.0
00
.10
0.2
00
.30
Resíduo
Fre
qu
ên
cia
-1 0 1 2 3 4 5
05
10
15
20
25
15
(a) (b) Figura 3: Técnicas de Diagnóstico: (a) Gráficos de envelope simulado (bandas de 95% de confiança) para o modelo simulado em (11). (b) Forma quadrática dos resíduos vs ordem
das observações.
Para avaliar a capacidade do método proposto em diagnosticar outliers em
modelos de regressão, faremos um estudo de perturbação gradual de pontos,
de forma a alterar sua posição na massa dos dados. Escolhemos um ponto
dentro da massa de dados e perturbamos seu valor , em 50%, 40%, 30%,
20%, 10%, -10%, -20% e -30% do seu valor (Figura 4(a)). A Tabela 4
apresenta as estimativas do parâmetro e as estatísticas dos testes
assintóticos Razão de Verossimilhança, Wald e Escore, junto com seus
respectivos p-valores, para cada perturbação.
Na Figura 4(a) as linhas vermelhas indicam os quantis teóricos da
distribuição normal assimétrica. Notamos que os pontos 58, 92 e 93 estão
situados fora deste intervalo de quantis e com isso eles foram detectados como
candidatos a outliers, conforme a Tabela 3. Já os pontos 12, 16, 68 e 95 estão
situados na fronteira do intervalo de quantis e não são detectados como
candidatos a outliers.
16
(a) (b) (c)
Figura 4: Técnicas de Diagnóstico, observação perturbada: (a) Gráfico de dispersão
. A seta indica a perturbação para baixo e para cima em . Gráficos de envelope simulado (bandas de 95% de confiança) para o modelo simulado em (11), com as perturbações de 50% (b) e -30% (c).
Percebe-se pela Tabela 4 que, quanto maior a perturbação, maiores são os
valores absolutos de e menores são seus respectivos p-valores, confirmando
a capacidade da metodologia em captar pontos fora da massa dos dados e que
influenciam no ajuste do modelo. A discrepância na porcentagem de
perturbação nos sentidos se deve à assimetria dos modelos, |
, logo pontos extremos na cauda leve da distribuição são mais
suscetíveis a serem candidatos a outliers. Ainda os gráficos de envelopes não
foram capazes de detectar a presença dos pontos influentes, detectados pelo
método mean-shift, como pode ser visto na Figura4 (b e c).
Tabela 4: Estimativas de e testes assintóticos, para diversas intensidades de
perturbações.
Porcentagem (p-valor) (p-valor) (p-valor)
50% 3.1872 5.6350(0.01761) 5.5526(0.01845) 4.1278(0.04218)
40% 2.6282 4.2027(0.04036) 2.4024(0.04486) 2.8068(0.09386)
30% 2.0692 2.9432(0.08624) 2.7076(0.09987) 1.7398(0.18716)
20% 1.5102 1.8824(0.17006) 1.6175(0.20344) 0.9268(0.33570)
10% 0.9512 1.0301(0.31013) 0.7663(0.38137) 0.3704(0.54281)
0% 0.3922 0.2326 (0.62960) 0.1740 (0.67656) 0.0944 (0.75869)
-10% -0.1668 0.0540 (0.81619) 0.0468 (0.82866) 0.0638 (0.80060)
-20% -0.7258 1.0305 (0.31004) 1.3275 (0.24924) 2.4258 (0.11935)
-30% -1.2848 4.0302 (0.04469) 5.0698 (0.02435) 9.5099 (0.00204)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
24
68
10
Variável Explicativa X
Y
12
16
58
9293
95
68
17
3.2 ESTUDO DE SIMULAÇÃO 2
Em um segundo momento foram gerados dados de acordo com o seguinte
modelo linear normal assimétrico:
, onde , sendo os valores da covariável gerados de uma distribuição
uniforme no intervalo [0,1]. Os parâmetros de locação foram mantidos fixos e
iguais a , enquanto os parâmetros de escala e de assimetria
tiveram os seguintes pareamentos: assumindo valores 0,5; 1; 2 e
assumindo valores 1;3;5;7.
Deste modo, foram gerados 12 conjuntos de dados com ,
. E para cada conjunto foi aplicado o método proposto na seção
2.4. As tabelas referentes aos resultados de simulação estão no Apêndice.
Baseados nos estudos destas simulações, concluímos que:
a) Mantendo o parâmetro de escala fixo e variando o parâmetro de assimetria:
a.1) Aumentando , aumenta o número de pontos candidatos a outliers na
cauda pesada e diminui na cauda leve;
a.2) O intervalo entre os quantis superiores e inferiores diminui conforme
aumenta ;
a.3) O valor de aumenta na cauda pesada e diminui na cauda leve;
b) Mantendo o parâmetro de assimetria fixo e variando o parâmetro de escala:
b.1) O intervalo entre os quantis superiores e inferiores aumenta conforme
aumenta a variabilidade.
b.2) O valor de aumenta conforme aumenta a variabilidade.
18
Em cada simulação, verificamos que os possíveis candidatos a outliers se
encontravam fora do intervalo entre os quantis superiores e inferiores,
conforme o esperado.
Nos estudos de simulação, foram estudados valores de positivos. Para
assimetria negativa, as conclusões seriam as mesmas acima, porém em
direção contrária, à exceção de a.2).
3.3 APLICAÇÃO A DADOS REAIS
Para ilustrar a aplicação do método de detecção de outliers em modelos
de regressão normal assimétrico, foi ajustado um modelo a um conjunto de
dados sobre a qualidade de vida de pacientes (mulheres) com câncer de
mama, em um estudo realizado pelo Centro de Atenção Integral à Saúde da
Mulher (CAISM) em conjunto com a Faculdade de Ciências Médicas da
Universidade Estadual de Campinas. Ferreira (2008) estudou o banco de
dados com a aplicação do modelo de regressão normal assimétrico e a realizou
uma análise de diagnóstico.
O modelo de regressão foi construído utilizando como variável
dependente o índice de qualidade de vida (pcs) e como variáveis regressoras a
variável indicadora tontura e o índice de massa corpórea do indivíduo, levando
ao modelo
, . (13)
Ajustando o modelo, os parâmetros estimados estão descritos na Tabela
5.
Tabela 5: EMVS do modelo normal assimétrico (NA) para o conjunto de dados sobre qualidade de vida.
Modelo
NA 68,573 -7,623 -0,351 169,409 -2,377 -346.20
A Figura 5 apresenta o envelope simulado (a) e as formas quadráticas
dos resíduos ajustados (b), como em (3). Pela Figura 5(b) percebemos que os
pontos 20, 42 e 73 são possíveis candidatos a outlier, pelo fato de ter um
19
resíduo padronizado bastante alto. Fazendo o teste de detecção de outliers
proposto para estes pontos percebemos pela Tabela 6, que os pontos 20, 42 e
73 são apontados como candidatos a outliers, sendo que o gráfico de envelope
não detectou pontos fora da banda de confiança.
(a) (b)
Figura 5: Qualidade do ajuste. (a) Gráfico de envelope simulado (bandas de 95% de
confiança) para o modelo simulado em (13). (b) Forma quadrática dos resíduos vs ordem
das observações.
Tabela 6: Estimativas de e testes assintóticos para as observações 20,42 e 73.
(p-valor) (p-valor) (p-valor)
20 -21.7479 4.5079(0.0337) 4.1979(0.0405) 2.8964(0.0888)
42 -27.0443 6.8342(0.0089) 6.7009(0.0096) 5.0434(0.0247)
73 -26.9983 6.7465(0.0094) 6.7123(0.0096) 5.1691(0.0230)
20
4. CONCLUSÕES
Neste trabalho estudamos a metodologia mean-shift para detecção de
outliers em modelos de regressão normais assimétricos. Os estimadores de
máxima verossimilhança para os parâmetros do modelo foram obtidos via
Algoritmo EM, sendo de forma analítica na parte M. As estatísticas dos testes
assintóticos de Wald, Escore e Razão de Verossimilhança foram obtidas,
sendo as três utilizadas na verificação dos possíveis pontos candidatos a
outliers. Os estudos de simulação revelaram padrões nas combinações dos
parâmetros de assimetria e de escala. Ainda, a metodologia foi utilizada no
ajuste de um conjunto de dados reais, revelando pontos mal ajustados não
detectados pelo envelope simulado. Por fim, o método proposto demonstrou
sua utilidade como uma ferramenta complementar no ajuste de modelos de
regressão para dados assimétricos, principalmente quando técnicas gráficas
(envelope simulado) falham na detecção de pontos mal ajustados.
21
APÊNDICE
Tabelas resultantes do estudo de simulação 2:
1.
Me
an-Sh
ift
Can
did
atos a o
utlie
rs p
hi
RV
p-valo
rEsco
re
p-valo
rW
aldp
-valor
Valo
r de
Yi
qin
fq
sup
Acu
mu
lada
1335
2,10140531711,54487685
0,00067936212,27748665
0,0004584559,253091709
0,0023509826,459759442
3,2723458885,564234608
0,999544205
2450
1,9819692610,3378621
0,00130328911,10324874
0,0008617668,181357008
0,0042323095,377931515
2,3470277354,638916455
0,998977195
3793
1,7057161047,801427492
0,0052204988,594349027
0,0033720775,99816344
0,0143207796,119624344
3,3292146065,621103327
0,996762577
4943
1,6591255967,408545535
0,0064914788,197190906
0,004195535,671507909
0,0172426286,061449709
3,3183544165,610243136
0,995990325
5786
1,6551068977,373537522
0,006619068,160363264
0,0042815795,643425621
0,0175209416,237504255
3,4920867345,783975454
0,996031818
6752
1,5583545356,593855793
0,010233137,364191137
0,0066535525,00530504
0,025269755,282609495
2,6657883954,957677115
0,993046941
7532
1,5386468456,43051929
0,0112175787,184319302
0,0073543454,883088683
0,0271210474,127178773
1,5748254493,866714169
0,990895757
8172
1,5230387876,317017619
0,0119584597,075232377
0,0078156694,784454942
0,0287177354,858792774
2,2923413314,584230051
0,991411237
9863
1,4967197926,107535539
0,0134606696,850679117
0,0088607594,620087085
0,0315996346,615137569
4,0105578766,302446596
0,992677416
10299
1,4501658815,76635896
0,0163358476,498159993
0,0107986194,347093234
0,0370721694,825890406
2,3311416794,623030399
0,988492007
11166
1,4053731445,440159734
0,019678876,152628859
0,0131216914,091165517
0,0431079064,998269665
2,5402208154,832109535
0,986682405
12124
1,4066272835,438038743
0,0197027816,140207574
0,013214184,095361726
0,0430010286,751525736
4,2298220846,521710804
0,989679048
13889
1,3956106285,367498259
0,0205153826,07314855
0,0137252094,035207928
0,0445601845,988892095
3,5040115285,795900249
0,988028145
14725
1,3954678575,357086782
0,0206382226,052743769
0,0138847054,033120727
0,044615346,802689229
4,2901149436,582003664
0,989289767
15567
1,3844645745,282800079
0,0215370855,977232288
0,0144917273,972901249
0,0462380416,501636195
4,0098231886,301711909
0,9883557
16582
1,3796700385,254951958
0,0218844055,953312354
0,0146896593,947672852
0,0469362345,830211108
3,3664104185,658299138
0,986981607
17227
1,3739181485,214575975
0,0223983085,910169642
0,0150537223,916391757
0,0478174075,769784787
3,3137177295,605606449
0,986577922
18843
1,3578636335,099497197
0,023932785,782302195
0,0161883243,831831788
0,0502879464,293443922
1,9086223784,200511098
0,982310425
Me
an-Sh
ift
Can
did
atos a o
utlie
rs p
hi
RV
p-valo
rEsco
re
p-valo
rW
aldp
-valor
Valo
r de
Yi
qin
fq
sup
Acu
mu
lada
1745
-1,62739862510,28857918
0,0013385619,624602369
0,0019198812,19004148
0,0004804533,333917466
3,8596813116,151570031
0,001634133
2986
-1,3935740837,370414913
0,0066305636,910073523
0,0085711478,643998935
0,0032814043,819958245
4,0992644056,391153125
0,006588722
3868
-1,3424385426,809566186
0,0090670796,390228332
0,0114750277,964137509
0,0047713223,77429489
4,0062763086,298165028
0,008410337
4403
-1,3367530626,754126672
0,0093531116,338612405
0,0118137267,901148349
0,0049403421,432137854
1,7462596014,038148321
0,005479256
5471
-1,2991890036,360929332
0,0116660425,979315597
0,0144746187,415486914
0,0064664813,421319463
3,6261322395,91802096
0,009642811
6100
-1,2743642666,112790254
0,0134207095,752793236
0,0164624617,111964601
0,0076571152,866047006
3,0686572975,360546017
0,009749255
7425
-1,2595381035,944763645
0,014761075,575466607
0,0182138116,938849979
0,0084343321,160041065
1,4078764883,699765209
0,007756434
8330
-1,2406566895,776268144
0,0162439955,438170114
0,0197012996,709527969
0,0095899112,547821102
2,7296987095,021587429
0,010802123
9980
-1,2383341935,734963251
0,0166304165,380027252
0,020368566,686721753
0,0097133661,182975053
1,4094928223,701381543
0,008646548
10137
-1,2315479445,669290944
0,0172644335,319427495
0,0210889396,607077752
0,0101574211,213418233
1,4323768083,724265528
0,008982858
11212
-1,2168562315,543437721
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0,022329076,431314806
0,0112125552,940553176
3,0846304185,376519139
0,012975384
1227
-1,2173243525,544131391
0,0185427575,215365327
0,0223881436,440073605
0,0111574021,881935388
2,0648973694,35678609
0,010744718
13576
-1,1537938924,942150045
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0,0311133115,726718821
0,0167086733,96740741
4,0097433816,301632102
0,020762633
14173
-1,1437767244,849984887
0,0276463744,558640237
0,0327530685,619212576
0,0177646294,083052987
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0,022133853
15500
-1,1363396374,798470669
0,0284850124,52247346
0,0334524355,544129974
0,0185427722,630902909
2,70863495,000523621
0,017697686
16627
-1,1314052014,743065827
0,0294166044,461272452
0,0346716615,488765188
0,0191390563,947127282
3,9687656066,260654326
0,022752451
17890
-1,1270361584,70301987
0,0301096684,422461553
0,0354688345,442755252
0,019649654,033189528
4,0470759656,338964686
0,023537476
18240
-1,1186048474,631687139
0,0313866854,357888435
0,036837945,355320242
0,020659143,909382932
3,9202556616,212144381
0,023848688
19318
-1,1035155754,510953399
0,0336784634,252525015
0,0391920185,203510596
0,0225413192,49998511
2,5507209994,842609719
0,019997726
20128
-1,0835488154,340260082
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0,0430741385,00063562
0,0253380123,15037921
3,1575135455,449402265
0,024239477
2160
-1,0752425414,259650392
0,0390279534,004947976
0,0453668974,921652007
0,0265221451,418640511
1,4794024533,771291174
0,019115826
2247
-1,0728048364,239312686
0,0394981543,98851068
0,045811544,892070371
0,0269803134,1074352
4,0661389776,358027697
0,029799802
23241
-1,06189924,158441827
0,0414274983,92076383
0,0476932064,786741982
0,0286796253,408536617
3,3847818275,676670548
0,027676003
24841
-1,0531788034,080447599
0,0433821653,839796071
0,0500496084,705722985
0,0300623551,58130308
1,6153076093,907196329
0,021545348
Teste
s Assin
tótico
sQ
uan
tis (2,5% / 97,5%
)
Teste
s Assin
tótico
sQ
uan
tis (2,5% / 97,5%
)
22
2.
Me
an-Sh
ift
Can
did
atos a o
utlie
rs p
hi
RV
p-valo
rEsco
re
p-valo
rW
aldp
-valor
Valo
r de
Yi
qin
fq
sup
Acu
mu
lada
1376
2,16302261712,17293673
0,00048487912,43668977
0,0004209819,527158057
0,0020245344,759545786
2,0167000383,808416433
0,999664883
2203
2,05683025711,12091933
0,00085359511,40937285
0,0007307458,59768753
0,0033659016,67368419
4,0825472355,87426363
0,999253684
3263
1,9024401519,666822625
0,0018762559,978396996
0,0015838757,334294844
0,0067651216,561571189
4,1264322655,918148659
0,998374874
4282
1,7921933668,686288152
0,0032061299,006841176
0,0026897096,496639688
0,0108078576,972328647
4,660860946,452577335
0,997084044
5411
1,7660640088,467422108
0,0036156358,796674061
0,0030178026,305140854
0,0120388355,002577906
2,6714148984,463131293
0,997338203
62
1,6926825787,854613144
0,005069128,190981419
0,0042099145,785606434
0,0161579236,198956501
3,9705325915,762248985
0,995750479
7215
1,639530587,424262662
0,0064350197,765074433
0,005326615,423488524
0,0198676266,214160707
4,0407019915,832418385
0,994585622
8257
1,5900656937,034349096
0,0079960937,379427959
0,0065974155,096989989
0,0239673994,759396205
2,6033100274,395026421
0,994161548
926
1,5469197766,704575053
0,0096165857,054331468
0,0079073814,821225693
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3,1543457714,946062165
0,992607802
10402
1,5365606686,626201741
0,0100489326,976725518
0,0082576564,756176574
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tótico
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uan
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Testes Assintóticos
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/ 97,5%)
24
4.
Me
an-Sh
ift
Can
did
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utlie
rs p
hi
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p-valo
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