UFPR - CESEC 1
Método dos Elementos Finitos Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Aplicado a Peças Esbeltas
Sujeitas à Carregamento AxialSujeitas à Carregamento Axial
Profa Mildred Ballin Hecke, D.Sc
UFPR - CESEC 2
l TRELIÇAS:– Revisão de conceitos da Resistência dos
Materiais, com a obtenção da equação diferencial de equilíbrio;
– Introdução da forma variacional do equilíbrio: Princípio dos Trabalhos Virtuais;
– Solução via FEM;– Resolução de um exemplo prático;
Programa da aula:Programa da aula:
UFPR - CESEC 3
l VIGA PLANA:– Revisão de conceitos da Resistência dos
Materiais, com a obtenção da equação diferencial de equilíbrio;
– Introdução da forma variacional do equilíbrio: Princípio dos Trabalhos Virtuais;
– Solução via FEM
Programa da aula Programa da aula (continuação):(continuação):
UFPR - CESEC 4
Bibliografia recomendada:Bibliografia recomendada:
lBathe,K.J.-Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice Hall,1982.
lCook, R.D. Conceps and Applications of Finite Element Analysis, John Wiley & Sons, 1974.
lZienkiewicz, O.C.; Taylor, R.L. The FiniteElement Method, Mc-Graw-Hill, 1989
4
UFPR - CESEC 5
l TRELIÇAS:– Revisão de conceitos da Resistência dos
Materiais, com a obtenção da equação diferencial de equilíbrio;
– Introdução da forma variacional do equilíbrio: Princípio dos Trabalhos Virtuais;
– Solução via FEM;– Resolução de um exemplo prático;
Programa da aula:Programa da aula:
UFPR - CESEC 6
Treliças Treliças
UFPR - CESEC 7
Introdução Introdução
lTreliças são estruturas “naturalmente” formadas por Elementos Finitos, tornando-se adequadas para introdução de alguns conceitos utilizados pelo Método dos Elementos Finitos, como construção da matriz de rigidez, montagem, solução do sistema de equações, etc
UFPR - CESEC 8
1.Revisão de Conceitos da 1.Revisão de Conceitos da Resistência dos Materiais Resistência dos Materiais
Ensaio de TraçãoEnsaio de Tração
UFPR - CESEC 9
Ensaio de TraçãoEnsaio de Tração
l Barra de comprimento L;l Seção transversal cilíndrica com diâmetro d;l Carregamento: submetida a uma tração axial
(carga P);l Material elástico isotrópico linear: Módulo de
Young E e Coeficiente de Poisson ν; l Sistema de coordenadas de referência: Oxyz cujo
eixo x coincide com o eixo da peça.;
UFPR - CESEC 10
Ensaio de Tração PuraEnsaio de Tração Pura
LA A'
seção trans-versal AA'
d
l Modelo Matemático:uma barra cilíndrica engastada em x=0 e com carga P crescente de tração aplicada na extremidade livre em x=L.
UFPR - CESEC 11
CinemáticaCinemática
lHipóteses simplificadoras:– Fibras longitudinais ou se alongam ou se
encurtam;– Seções planas e normais ao eixo axial da peça
permanecem planas e normais a tal eixo após a deformação;
– Seções paralelas permanecem paralelas após a deformação.
UFPR - CESEC 12
Cinemática Cinemática -- DeslocamentosDeslocamentos
l Deslocamentos:( )x u xx+
( )x u xx+
UFPR - CESEC 13
Cinemática Cinemática -- DeformaçõesDeformações
d - d
x
y
M A
C B
M' A'
C' B'
dxdM
M A
dA
( ) ( )εx
xxL
Ldu x
dx= =
∆l Campo de deformações:alongamento
UFPR - CESEC 14
Equação ConstitutivaEquação Constitutiva
lPara um material isotrópico elástico linear, adota-se a Lei de Hooke:
lEsforço normal interno :
( ) ( )σ εx xx E x=
N dA Ax x A x x= =∫σ σ
UFPR - CESEC 15
Equilíbrio Equilíbrio -- Equação DiferencialEquação Diferencial
l Esforço normal constante ao longo de x
dNdx
x = 0
( )ddx
A Edu x
dxxx
= 0
( )AE
d u xdx
x2
2 0=
UFPR - CESEC 16
Equilíbrio Equilíbrio -- ContornoContorno
l em x=0
l em x=L
( )ux 0 0=
( )N L Px =
UFPR - CESEC 17
SoluçãoSolução
( )AE
d u xdx
x2
2 0=( )ux 0 0=
( )N L Px =
( )u xPxAEx =
UFPR - CESEC 18
Equilíbrio Equilíbrio -- Forma VariacionalForma Variacional
l Trabalho Interno:
l Trabalho Externo:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
W x x d x dA x dx
N x x dx
i x x xA x
L
x x
L
= − = − =
= −
∫ ∫∫
∫
σ δε σ δε
δε
BB 0
0
( ) ( ) ( )W q u x dx P u xe x x
L
j x jj
= x δ δ0∫ ∑+
UFPR - CESEC 19
Equilíbrio Equilíbrio -- Forma VariacionalForma Variacional
Princípio dos Trabalhos Virtuais:Princípio dos Trabalhos Virtuais:
W W ui e x+ = 0 para todo δ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
− +
+ =
∫ ∫∑
N x x dx q u x dx
P u x u x
x x
L
x x
L
j x jj
x
δε δ
δ δ
0 0
0
x
para todo
UFPR - CESEC 20
MÉTODOS DE SOLUÇÃO:MÉTODOS DE SOLUÇÃO:FORMULAÇÃO DIRETA DO ELEMENTO DE FORMULAÇÃO DIRETA DO ELEMENTO DE
TRELIÇA:TRELIÇA:
i jUi U
L
xj L
i jPi P
L
xj L
l Usa apenas conceitos de equilíbrio:
l cada nó possui um grau de liberdade ou DOF-degrees of freedom - Ui e Uj;
l forças nodais associadas a estes graus de liberdade, Pi e Pj respectivamente;
l equação de equilíbrio das forças na direção x:
P Pj i= −
UFPR - CESEC 21
MÉTODOS DE SOLUÇÃO:MÉTODOS DE SOLUÇÃO:FORMULAÇÃO DIRETA DO ELEMENTO DE FORMULAÇÃO DIRETA DO ELEMENTO DE
TRELIÇA:TRELIÇA:
i jNi N
L
xj
σ σx xA A
L
l relações de equilíbrio nodal:
l Lei de Hooke:
l cinemática: −>
l forma matricial da relação forças com deslocamentos:
P N Ai i x x= = −σ
P N Aj j x x= = σ
P EAi x x= −εP EAj x x= ε
εxj iL
LU U
L= =
−∆P EA
U U
Li xj i= −−
P EAU U
Lj xj i=−
EAL
UU
PP
x i
j
i
j
1 11 1
−−
=
UFPR - CESEC 22
MÉTODOS DE SOLUÇÃO:MÉTODOS DE SOLUÇÃO:FORMULAÇÃO VIA PRINCÍPIOS FORMULAÇÃO VIA PRINCÍPIOS
VARIACIONAIS DO ELEMENTO DE TRELIÇA:VARIACIONAIS DO ELEMENTO DE TRELIÇA:
l PTV:
l Interpolação proposta:
( ) ( ) ( ) ( )
( )− + +
+ =
∫ ∫∑
EAdu x
dxd u x
dxdx q u x dx
P u x u
xx xL
x x
L
j x jj
x
δδ
δ δ
0 0
0
x
para todo
( ) ( ) ( )u x U x U xx i i j j= +φ φ( ) ( ) ( )δ δ φ δ φu x U x U xx i i j j= +
L
i j
φiφ( ) = 1i φ ( )= 0i j(x)xi x
L
i j
φjφ( ) = 0j φ ( )= 1j i(x)xi x
UFPR - CESEC 23
MÉTODOS DE SOLUÇÃO:MÉTODOS DE SOLUÇÃO:FORMULAÇÃO VIA PRINCÍPIOS FORMULAÇÃO VIA PRINCÍPIOS
VARIACIONAIS DO ELEMENTO DE TRELIÇA:VARIACIONAIS DO ELEMENTO DE TRELIÇA:l funções de interpolação:
l campos interpolados:
l PTV aproximado:
( )φi x
L xL
( ) =−
L
i j
φiφ( ) = 1i φ ( )= 0i j(x)xi x
L
i j
φjφ( ) = 0j φ ( )= 1j i(x)xi x
φ j xxL
( ) =
( ) ( )u x
L xL
UxL
Ux i j=−
+
( )du xdx
U U
Lx j i=
−
( ) ( )EA
du xdx
d u xdx
dxEA
L
UUx
xL x x i
j0
1 11 1∫ =
−−
δ ( )P u xPPi
ix i
i
j∑ =
δ
UFPR - CESEC 24
TRANSFORMAÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADASCOORDENADAS
XG
YG
xL
i
j
θ
U iL
U jL U
U
sen
sen
U
VU
V
Li
Lj
Gi
Gi
Gj
Gj
=
cos
cos
θ θθ θ
0 0
0 0
PP
PP
sensen
P
P
xi
yi
xj
yj
i
i
=
cos
cos
θθ
θθ
0
00
0
kEAL
sen sensen sen sen sen
sen sensen sen sen sen
ijG =
− −− −
− −− −
cos cos cos coscos cos
cos cos cos coscos cos
2 2
2 2
2 2
2 2
θ θ θ θ θ θθ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θθ θ θ θ θ θ
UFPR - CESEC 25
Treliças Treliças -- Exemplo1Exemplo1
E A1 1
E A1 1E = 2 E2 1L
LP
l comprimento L = 1 ml Módulo de Elasticidade
E1 = 100 GPal A = 0,01 m2
l P = 10.000 KN
UFPR - CESEC 26
Exemplo1 Exemplo1 -- Identificação do modeloIdentificação do modelo
l Geometria :l Coordenadas nodais Incidêncial NÓ XG YG Barra Nó inicial Nó finall 1 1 0 1 2 3l 2 0 0 2 3 1l 3 0 1 3 2 1
12
3
1 2
3 XG
YG l Identificação do problema físico;
l b) Escolha do sistema de coordenadas de referência;
l c) Criação do modelo de Elementos Finitos: Geometria
UFPR - CESEC 27
Exemplo1 Exemplo1 -- Identificação do modeloIdentificação do modelo
E A1 1
E A1 1E = 2 E2 1L
LP
l propriedades materiais:l barras 1 e 3 l barra 2l carregamentos:NÓ1
carga concentrada aplicada na direção do eixo no sentido contrário.
l condições de contorno:l NÓ 2 engastadol NÓ 3 simplesmente apoiado
E GPa1 100= A m120 01= ,
E GPa2 142= A m220 01= ,
P KNY = 10000
U VG G= = 0
U G = 0
UFPR - CESEC 28
Treliças Treliças -- Exemplo1Exemplo1Cálculo das matrizes de rigidez elementares
XGYL
YG= XL
2
3
θ = 90
VL
U
2
3
3L
U2L
2
VL3
V
G
U
2
3 3
G
U2
G2
V
G
3
l Barra 1 incidência 2-3l matriz de rigidez local:
l ângulo = 90
l matriz de rigidez global:
E AL1 1
1
1 11 1
−−
cosθ = 0 senθ = 1
kE A
LijG1 1 1
1
0 0 0 00 1 0 10 0 0 00 1 0 1
=−
−
UFPR - CESEC 29
Treliças Treliças -- Exemplo1Exemplo1Cálculo das matrizes de rigidez elementares
X
GY
LY
G X
L
1
3
θ = 315VL
U
1
3
3L
U1L
1
VL3
V
G
U
2
3 3
G
U2
G2
V
G
3
l Barra 2 incidência 3-1l matriz de rigidez local:
l ângulo = 315
l matriz de rigidez global:
E AL2 2
2
1 11 1
−−
cosθ = 2 2
senθ = − 2 2
kE A
LijG2 2 2
2
1 1 1 11 1 1 11 1 1 1
1 1 1 1
=
− −− −− −
− −
UFPR - CESEC 30
Treliças Treliças -- Exemplo1Exemplo1Cálculo das matrizes de rigidez elementares
XG
YLY =G
= XL2 1
θ = 0
VLU
2 1
3LU2
L
2 VL3
V
G U3G
U2G2 V
G
3=
=
=
=
l Barra 3 incidência 2-1l matriz de rigidez local:
l ângulo = 90
l matriz de rigidez global:
E AL1 1
1
1 11 1
−−
cosθ = 1
senθ = 0
kE A
LijG3 1 1
1
1 0 1 00 0 0 01 0 1 0
0 0 0 0
=
−
−
UFPR - CESEC 31
Treliças Treliças -- Exemplo1Exemplo1Montagem da matriz de rigidez global
kE A
Lij =
− − −
− −
−−
− −
− − −
1 1
1
32
12 1 0 1
21
21
21
2 0 0 12
12
1 0 1 0 0 00 0 0 1 0 11
21
2 0 0 12
12
12
12 0 1 1
23
2
UFPR - CESEC 32
Treliças Treliças -- Exemplo1Exemplo1Montagem da matriz de rigidez global
l Condições de contorno:l cargas aplicadas:
l reações nos vínculos:
l deslocamentos prescritos:
l VETOR DE CARGAS:
l VETOR DESLOCAMENTO:
Px1 0= P Py
1 = − Py3 0=
P Rx x2 2= P Ry y
2 2= P Rx x3 3=
12
3
1 2
3 XG
YG
UG2 0= VG
2 0= UG3 0=
{ }P P P P PiT
x y x= −0 02 2 3
{ }U U V ViT
G G G= 1 1 30 0 0
UFPR - CESEC 33
Treliças Treliças -- Exemplo1Exemplo1Solução
l Deslocamentos nodais:
12
3
1 2
3 XG
YG
UP LA EG
1 1
1 1
7
2 1 1210
10 1010 0 01= − = − = − = −−
− ,
VPL
A EG1 1
1 1
40 04= − = − , V
PLA EG
3 1
1 1
0 01= − = − ,
UFPR - CESEC 34
UFPR - CESEC 35
Método dos Elementos Finitos Método dos Elementos Finitos Aplicado a Peças Esbeltas Aplicado a Peças Esbeltas
Sujeitas à Carregamento AxialSujeitas à Carregamento Axial
Profa Mildred Ballin Hecke, D.Sc
Top Related