Fundações sob acções dinâmicas no topo - 1
Fundações sob acções “dinâmicas” no topo
Jaime A. Santos
Mestrado em Geotecnia para Engenharia Civil
Fundações
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Dinâmica de Fundações
O estudo do desempenho de uma fundação sob acções dinâmicas* envolve três (3+1) tarefas fundamentais:
1. Caracterização das acções.
2. Avaliação do comportamento cíclico dos materiais envolvidos.
3. Desenvolvimento e aplicação de métodos que consideram o efeito das forças de inércia induzidas nas massas.
4. Observação (se possível) do comportamento real do sistema solo-fundação-superestrutura.
Obs: *Em rigor deveria utilizar o termo acções cíclicas
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Fundações sob acções “dinâmicas” no topo
Fo=moroω2
Focos(ωt)
Fosen(ωt)
ωt
ω ro
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Fundações sob acções “dinâmicas” no topo
Na verificação do desempenho há que ter em atenção os seguintes pontos:
1) As amplitudes de vibração da fundação e da estrutura não podem ser excessivos.
2) As tensões e as deformações induzidas em estruturas vizinhas e infra-estruturas devem ser reduzidas.
3) Evitar a acumulação de deformações permanentes devido ao fenómeno da “vibro-compactação” em camadas de solos arenosos soltos.
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Fundações sob acções “dinâmicas” no topo
O dimensionamento envolve as etapas seguintes:
1. Estimar as cargas “dinâmicas” (geralmente essa informação é obtida a partir do fabricante do equipamento a instalar).
2. Estabelecer o perfil geotécnico através de uma caracterização adequada envolvendo ensaios de campo e ensaios laboratoriais.
3. Concepção da solução (tipo e dimensões numa 1ª aproximação).
4. Determinar a amplitude de vibração do sistema solo-fundação devido às cargas obtidas em 1).
5. Comparar a frequência versus amplitude do ponto 4) com os valores limites geralmente aceites na prática (ou impostos pelo fabricante).
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Valores limites para os movimentos verticais
Valores limites da ordemda centésima do centímetro
ou inferior
e portanto,
bem inferiores aos valores admissíveishabitualmente considerados
para as acções estáticas
Richart (1962)
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6) Repetir os pontos 3, 4 e 5 até se obter um desempenho (teórico) satisfatório.
7) Efectuar estudos de sensibilidade variando os parâmetros do modelo.
8) Observar o comportamento real do sistema solo-fundação-estrutura e comparar com o comportamento estimado em 4).
9) Prever, mesmo em fase de projecto, medidas correctivas caso o desempenho real não for satisfatório (alteração da localização, das massas, do tipo de fundação, da área de contacto solo-fundação; reforço do solo, etc.
Fundações sob acções “dinâmicas” no topo
Em estruturas importantes o dimensionamento terá que envolver ainda mais duas etapas durante/pós-construção:
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q
bolb
o de
tens
ões:
z % B
y % B
B
Deformações induzidas
By5.2
=ε
yBmáx 5.2
1)1( νενγ +=+=
Para B=1m ; y=10-4m
!105 5−×≈máxγ
Modelo visco-elástico linearParâmetro fundamental: G0 ou VS
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a) Modos desacoplados - 3 e 6b) Modos acoplados - 1 e 5c) Modos acoplados - 2 e 4
Análises elásticas expeditas:
Fundação rígida - graus de liberdade
3 x Translação + 3 x Rotação
Movimento lateral de “deslizamento” 1) e 2)Movimento lateral de “derrubamento” 4) e 5)Movimento vertical 3)Movimento de Torção 6)
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Equilíbrio dinâmico
)()()( tFtumtP zzz =+ &&
)()( tuKtP zzz =
)()()( tFtumtuK zzzz =+ &&
Excitação harmónica:
tizz ePtP ω=)(
tizz eutu ω=)(
desfasados
Excitação vertical
complexasamplitudessãouP zz ,
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Números complexos (revisões)
Re
Im
X
θ
X1
X2 21 XiXX +=
θθ coscos XiXX += θieXX =
22
21 XXX +=
1
2
XXarctg=θ
Amplitude
Ângulo de fase
Forma trigonométrica ou polar Forma exponencial complexa
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Operações com números complexos (revisões)
θθθ seniei += cos
θθθ senie i −=− cos
2cos
θθθ
ii ee −+=
ieesen
ii
2
θθθ
−−=
)db(i)ca()idc()iba( +++=+++
)db(i)ca()idc()iba( −+−=+−+)(
21212121 θθθθ += iii eAAeAeA
)(
2
1
2
1 21
2
1θθ
θ
θ−= i
i
ie
AA
eAeA
( ) pippi eAAe θθ =
Transformações Operações
dxduee
dxd uu =
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Equilíbrio dinâmico
zdz
z
zz CiK
uPK ω+==
Função de impedância dinâmica:
)()()( tFtumtuK zzzz =+ && )()( tuitu zz ω=&
)()( tutu z2
z ω−=&&( ) )()()( tFtumtuCiK zzzzdz =++ &&ω
)()()()( tFtuKtuCtum zzdzzzz =++ &&&
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)()()()( tFtuKtuCtum zzdzzzz =++ &&&
Kzd
uz(t)
Fz(t)
m
Cz
Impedância dinâmica
( ){ } zzzdz FuCimK =+− ωω 2
zdz
zz
CimKFu
ωω +−=
)( 2
2222 )( zdz
zz
CmK
Fuωω +−
=
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)()()( ωωωω CiKK d +=
{ } "")(Re)( 2a
d mKKK ωωω ±==)(ωK
ω
{ })(Re ωK
{ })(Im ωKestáticarigidezaéK
acopladafictíciamassaaéma
!negativosvaloresexibirpodeK d )(ω
)()( ωω kKKou d ×=
Impedância dinâmica
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)()()( ωωωω CiKK d +=
{ }ω
ωω )(Im)( KC =
)(ωK
ω
{ })(Re ωK { })(Im ωK
Impedância dinâmica
O amortecimento deve-se à contribuição de dois factores:- efeito da radiação;- amortecimento interno.
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)/( Vxtixx euu ±= ωPropagação 1-D em meio infinito:
x
C=AρV
tuVAuiVAu
ViMA
xuMAAF x
xxx
∂∂===
∂∂== )()( ρωρωσ
Impedância dinâmica
ρMV =
O meio semi-infinito do lado direito pode ser substituído por um amortecedor viscoso, caracterizado pela constante C
Amortecimento por radiação:
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Cenários de estudoTabelas 1 a 6:
Fundação superficial:1. em meio elástico semi-
infinito;2. embebida no terreno;3. em meio limitado inferior-
mente por estrato rígido;4. embebida num meio
limitado inferiormente por estrato rígido;
5. em meio com rigidez variável em profundidade.
6. Fundação profunda.
Gazetas (1991)
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Tabela 1 - Rigidez dinâmica e coeficientes do amortecedor para fundação superficial em meio elástico, homogéneo e semi-infinito
SLa V1
43V)(
.νπ −
=
βω
dtotal K2CC +=
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Gráficos da Tabela 1
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Efeito de acoplamento
CG
Fy(t)
Py(t)
Mx(t)
Tx(t)
CG
O
CGδy
δy- θx zCG
θx
y y
y
x
z
zCG
mδy..
δy CG
)()()( tFtmtP yyy =+ δ&&
)()()()( tMtIztPtT xxxCGyx =+− θ&&
Condições de equilíbrio (CG):
(convenção: sinal + para o sentido anti-horário)
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tiyy ePtP ω=)(
tixx eTtT ω=)(
tiyy eFtF ω=)(
tixx eMtM ω=)(
Acções harmónicas
tiyy et ωδδ =)(
tixx et ωθθ =)(
Resposta
CGxyy zt θδδ −=)(*
tixx et ωθθ =)(
Ao nível da base da fundação:
Efeito de acoplamento
CG
δy
CG//
θx//
zCG
y
z
δy- θx zCG
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=
)()(*
tTtP
KKKK
x
y
x
y
rxyrx
yrxy
θδ
)()()( tFtmtP yyy =+ δ&&
)()()()( tMtIztPtT xxxCGyx =+− θ&&
Combinando com as duas condições de equilíbrio anteriores:
Resulta um sistema (2x2) cujas incógnitas são: xy e θδ
Solução do problema
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Critérios práticos para selecção dos parâmetros:
)(ωK
ω
{ })(Re ωK { })(Im ωK
Os valores de Kd e Cdevem ser escolhidos em função da frequência ω
)()()( ωωωω CiKK d +=
)()( ωω kKK d ×=
Fundações sob acções dinâmicas no topo - 25
Critérios práticos para selecção dos parâmetros
Em rigor, o cálculo completo superestrutura+(fundação+solo) deveria ser feito no domínio da frequência, em que o sistema (fundação+solo) é modelado através de molas com rigidez complexa.
Porém, na prática corrente o cálculo é feito simplificadamente no domínio do tempo considerando rigidez e amortecimento constante (sobreposição modal ou método de integração no tempo).
Os parâmetros devem ser escolhidos tendo em atenção as frequências dominantes da acção e da própria estrutura.
Para o caso dos sismos, as frequências interessadas não ultrapassam em geral 10Hz.
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Exemplos de acelerogramas
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8
1
a (g
)
0 5 10 15 20 t (s)
Kobe-JMA (1995)
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
0,003
0,0035
|A| (
g·s)
0 2 4 6 8 10 f (Hz)
Kobe-JMA (1995)
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
a (g
)
0 5 10 15 20 t (s)
Faial (1998)
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
|A| (
g·s)
0 2 4 6 8 10 f (Hz)
Faial (1998)
Sismos: f ≤ 10Hz Acelerograma Espectro de Fourier
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Critérios práticos para selecção dos parâmetros
Caso se proceda a um cálculo simplificado no domínio do tempo deve-se considerar de uma forma “artificial” o efeito da frequência.
Define-se uma massa fictícia acoplada à fundação cujo valor é dado por:
{ }2a
KKmω
ω −= )(Re
De igual forma define-se um amortecimento equivalente da fundação definido por (efeito da radiação):
{ }ω
ω)(Im KC =
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