Departamento de Engenharia Mecânica
Mecânica dos Sólidos II Parte 1 (Revisão)
Prof. Arthur M. B. Braga
2014.2
Mecânica dos Sólidos II
ENG 1704 – Mecânica dos Sólidos II
• Prof. Arthur M. B. Braga – Secretaria do DEM ou Lab de Sensores a Fibra Óptica – E-Mail: [email protected] – Tel: 3527-1181
• Aulas: 2a e 6as – 07:00-09:00 – Sala 210L • Notas de aula:
http://abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/mecsol2.html • Textos
– J. M. Gere, Mecânica dos Materiais, Thomson – S. H. Crandall, N. C. Dahl, and T. J. Lardner, An Introduction to The
Mechanics of Solids, 2nd ed., McGraw-Hill, 1978 – T. J. Lardner and R. R. Archer, Introduction to Solid Mechanics, McGraw-
Hill, 1994
Mecânica dos Sólidos II
Critério de Avaliação Critério 6:
2G2G1NF +=
Se G1 e G2 >= 3,0 e NF >= 5,0 então MÉDIA = NF
Em outros casos o aluno faz G3: Se G1 e G2 >= 3,0 ou G1 ou G2 < 3,0 e G3 >= 3,0, então:
Gm e Gn são as duas maiores notas entre G1, G2 e G3
Se G1 ou G2 < 3,0 e G3 < 3,0, então:
2GnGmMÉDIA +=
4G32G2G1MÉDIA ∗++=
Mecânica dos Sólidos II
Data das Provas
• P1: Segunda-feira, 29 de setembro • P2: Segunda-feira, 17 de novembro • P3: Sexta-feira, 30 de novembro
Mecânica dos Sólidos II
Ementa
ENG1704 - MECÂNICA DOS SÓLIDOS II Deslocamento de vigas retas devido à flexão. Relação momento-curvatura. Flambagem de colunas.Condições de estabilidade.Critérios de falha por flambagem.Métodos de energia.Teorema de Catigliano.Teorema dos trabalhos mínimos.Introdução ao método dos elementos finitos.Vigas curvas.Deslocamentos sob diversas formas de solicitação.Cilindros de paredes grossas.Discos girantes.Flexão oblíqua.Centro de cisalhamento.Vigas sobre funções elásticas.
Mecânica dos Sólidos II
Programa
• Estado de tensão em um ponto (revisão) • Introdução à teoria da elasticidade
– Equações de equilíbrio (revisão) – Relação entre deslocamentos e deformações (revisão) – Relações constitutivas (revisão)
• Deformações em vigas • Cilindros de paredes grossas • Comportamento além do regime elástico (carga limite) • Flambagem (instabilidade elástica) • Vigas curvas • Métodos de energia (Teorema de Castigliano) • Tópicos avançados
Mecânica dos Sólidos II
Mecânica dos Sólidos
Problema Corpo sujeito a ação de esforços externos (forças, momentos, etc.)
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
Determinar • Esforços internos (tensões) • Deformações • Deslocamentos
Mecânica dos Sólidos II
Corpo em equilíbrio sujeito à ação de um conjunto de forças externas
F1
F2
F3
F4
F8
n
∆F
n
∆A ∆F – Força de superfície resultante atuando sobre o elemento de área ∆A
Mecânica dos Sólidos II
∆A
n
∆F
Definição do Vetor Tensão
t
AΔΔ
Δ
Ft0A→
= lim
Vetor tensão s
tn
ts
nt ⋅=nt
( )nntt ⋅−=st
Componente normal (tensão normal)
Componente tangencial (tensão cisalhante)
Mecânica dos Sólidos II
Determinação da Distribuição de Tensão no Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas
F7
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F8
P (x,y,z) ),,( zyxσ
x
z
y
σxy σxx
σxz σzy σzx
σzz
σyy σyx
σyz
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
σσσσσσσσσσ
Mecânica dos Sólidos II
Representação Gráfica do Estado de Tensão no Ponto (Paralelepípedo Fundamental)
x
z
y
σxy σxx
σxz σzy σzx
σzz
σyy σyx
σyz
Mecânica dos Sólidos II
Estado de Tensão em um Ponto
• Tensão é uma grandeza tensorial: [σ], ou σ, é chamado o tensor de tensões
• Pode-se mostrar que o tensor de tensões é simétrico, ou seja, σxy= σyx , σxz= σzx , e σyz= σzy . Logo, [σ] possui apenas seis componentes independentes!
• Pode-se mostrar que a simetria do tensor de tensões é necessária para que o balanço de momentos em torno do ponto (balanço da quantidade de movimento angular) seja satisfeito.
• Uma vez conhecidas as seis componentes independentes do tensor de tensões, pode-se determinar o vetor tensão atuando sobre qualquer plano que passa pelo ponto.
Mecânica dos Sólidos II
Estado de Tensão em um Ponto
O vetor tensão associado à direção cuja normal é n, pode então ser calculado a partir do tensor de tensões: em notações mais concisas:
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
nnn
σσσσσσσσσ
ttt
z
y
x
)(
)(
)(
n
n
n
{ } [ ]{ } nσt nn == )()( ounσt
Mecânica dos Sólidos II
Tensões Principais e Planos Principais
Dado o estado de tensão num ponto, os planos principais são definidos como aqueles planos onde a componente tangencial (cisalhante) do vetor tensão é nula
A equação abaixo relaciona o vetor tensão atuando sobre um plano definido pela norman n com o tensor de tensões:
ou, em forma matricial: nσt n =)(
{ } [ ]{ }nσt =)(n
Mecânica dos Sólidos II
Tensões Principais e Planos Principais
Deseja-se determinar os planos definidos pelas suas normais n, tais que os vetores tensão atuando sobre eles têm a forma: Substituindo-se esta expressão na equação da tela anterior, obtém-se: ou em forma matricial:
nt n λ=)(
nnσ λ=
[ ]{ } { }nnσ λ=
Mecânica dos Sólidos II
Tensões Principais e Planos Principais
Portanto, a determinação dos planos principais fica reduzida à solução de um problema de autovalores:
– Os autovetores do tensor de tensão definem os planos (direções) principais.
– Os autovalores do tensor de tensão, l, são as tensões principais.
nnσ λ=
Mecânica dos Sólidos II
σ1
σ3
σ2
Estado 3D de tensão
Tensões Principais
Tensões Principais
Mecânica dos Sólidos II
Barras Carregadas Axialmente
F
F σxx
z
y
x
σxx
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
00000000xx
σσ
AF
xx =σ
EAFLL =Δ
Mecânica dos Sólidos II
Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção
JTrr =)(τ
1φ
x T
T 2φ
GJTL=Δφ
Mecânica dos Sólidos II
Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção
A
x T
T
y
z A
x
y
z )0(>= xzστ
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
00000
00
xz
xz
σσ
σ
JTDDxz 2
)2( ==τσ
Mecânica dos Sólidos II
x T
T
y
z
B
Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção
B
)0(<= xyστ
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
0000000
xy
xy
σ σσ
x
y
z
JTDDxy 2
)2( −=−= τσ
Mecânica dos Sólidos II
Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t)
p
tPD4
=θθσ
tPD4
=ϕϕσϕϕσ
θθσ
Vasos esféricos
Mecânica dos Sólidos II
Vasos de Pressão (pressão interna)
tpD2
=θθσ
Vasos Cilíndricos
p
( )1>>tD
tpD
zz 4=σ
tpD2
=θθσ
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
zz
σσ
σθθ
0000000
Mecânica dos Sólidos II
)(xq
x
y
)(xM
)(xV
Flexão de Vigas
xxσ[ ]
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
00000000),(
),,(yx
zyxxxσ
σ
IxMyyxxx)(),( −=σ
Tensões Normais de Flexão
Mecânica dos Sólidos II
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
Mecânica dos Sólidos II
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
P
Lâminas “Coladas”
Mecânica dos Sólidos II
P
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
Lâminas Independentes
Mecânica dos Sólidos II
P
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
Mecânica dos Sólidos II
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
Lâminas “Coladas” Lâminas Independentes
Tensões de cisalhamento horizontais impedem o deslizamento entre as lâminas
Lâminas deslizam umas sobre as outras
Mecânica dos Sólidos II
xyσ
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
Forças de cisalhamento
horizontal
Tensões Cisalhantes
xyσ
Mecânica dos Sólidos II
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
)(xq
x
y
)(xM
)(xV
Mecânica dos Sólidos II
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
Viga de seção retangular:
y
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−=
2
4123)(
hy
bhVyxyσ
bhVy xyxy 2
3)0(})(max{ ==σσ
Mecânica dos Sólidos II
)(xq
x
y
)(xM
)(xV
Flexão de Vigas
σ (x, y, z)[ ] =σ xx (x, y) σ xy (x, y) 0
σ xy (x, y) 0 0
0 0 0
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
IxMyyxxx)(),( −=σ
Tensões produzidas pela flexão
σ xy (x, y) =32V (x)bh
1− 4 yh
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Seção Retangular
Mecânica dos Sólidos II
)(xq
x
y
)(xM
)(xV
Flexão de Vigas
max{σ xx} >>max{σ xy}
Tensões produzidas pela flexão
Para L >> h :
Mecânica dos Sólidos II
σ1
σ3
σ2 Sy Sy
Início do escoamento no ensaio de tração
Estado 3D de tensão
σeq σeq
Critério de Escoamento
Estado uniaxial equivalente
Critérios de Falha por Escoamento
Tensões Principais
Mecânica dos Sólidos II
Critérios de Falha por Escoamento
Critério de von Mises
Tensão de von Mises
De acordo com o critério de von Mises, o material se comporta elasticamente quando
( ) ( ) ( )[ ]2322
312
2121 σσσσσσσ −+−+−=VM
yVM S<σ
Mecânica dos Sólidos II
Critérios de Falha por Escoamento
Critério de Tresca (Máxima Tensão Cisalhante) Deformações plásticas ocorrem num ponto do material quando a máxima tensão cisalhante atinge o valor da máxima tensão cisalhante que causa o início do escoamento no ensaio de tração
τmax =σ1 −σ 3
2<Sy2
Mecânica dos Sólidos II
Critério de Tresca (Máxima Tensão Cisalhante) Critério de von Mises Onde nS é o Coeficiente de Segurança (maior do que 1)
Critérios de Falha por Escoamento
Mecânica dos Sólidos II
Critérios de Falha por Escoamento
σI
σII
Sy
Sy
−Sy
−Sy
Critério de von Mises
Critério de Tresca
σI
σII
σI
σII
σI
σII
σI
σII
Tensão Plana
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
Problema Corpo sujeito a ação de esforços externos (forças, momentos, etc.)
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
Determinar • Esforços internos (tensões) • Deformações • Deslocamentos
Mecânica dos Sólidos II
yΔ
xΔ
zΔy
zx
Teoria da Elasticidade
• Equações de Equilíbrio
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
• Equações de Equilíbrio (estado plano de tensões)
),( yxxxσ
),( yxxyσ
),( yxyyσ),( yxxyσ
),( yyxyy Δ+σ),( yyxxy Δ+σ
),( yxxxx Δ+σ
),( yxxxy Δ+σ
y
zx
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
0),(),(
),(),(
=ΔΔΔ++ΔΔΔ++
ΔΔ−ΔΔ−=∑zxyyxzyyxx
zxyxzyyxF
xyxx
xyxxx
σσσσ
),( yxxxσ
),( yxxyσ
),( yxyyσ),( yxxyσ
),( yyxyy Δ+σ),( yyxxy Δ+σ
),( yxxxx Δ+σ
),( yxxxy Δ+σ
y
zx
0),(),(
),(),(
=ΔΔΔ++ΔΔΔ++
ΔΔ−ΔΔ−=∑zxyyxzyyxx
zxyxzyyxF
yyxy
yyxyy
σσσσ
• Balanço de forças
Mecânica dos Sólidos II
• Para e muito pequenos:
Teoria da Elasticidade
xx
yxyxx xxxxxx Δ
∂∂+=Δ+ σσσ ),(),(
yy
yxyyx yyyyyy Δ
∂∂
+=Δ+σ
σσ ),(),(
xx
yxyxx xyxyxy Δ
∂∂
+=Δ+σ
σσ ),(),(
yy
yxyyx xyxyxy Δ
∂∂
+=Δ+σ
σσ ),(),(
xΔ yΔ
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
• Equações de Equilíbrio (Estado plano de tensão)
0=∂∂
+∂∂
yxxyxx σσ
0=∂∂
+∂∂
yxyyxy σσ
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
• Equações de Equilíbrio
0=∂
∂+∂∂
+∂∂
zyxxzxyxx σσσ
0=∂
∂+
∂∂
+∂
∂zyxyzyyxy σσσ
0=∂∂+
∂∂
+∂∂
zyxzzyzxz σσσ
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
• Relações entre deslocamentos e deformações
zuyuxu
zzz
yyy
xxx
∂∂=
∂∂
=
∂∂=
ε
ε
ε
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂
==
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂+
∂∂==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂==
yu
zu
xu
zu
xu
yu
zyyzyz
zxxzxz
yxxyxy
21
21
21
21
21
21
γε
γε
γε
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
• Relações constitutivas (tensão vs. deformação)
TEEE
TEEE
TEEE
zzyyxxzz
zzyyxxyy
zzyyxxxx
Δ++−−=
Δ+−+−=
Δ+−−=
ασσνσνε
ασνσσνε
ασνσ
νσε
G
G
G
yzyz
xzxz
xyxy
2
2
2
σε
σε
σε
=
=
=
( )ν+=12EG
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
• 15 Equações – Equilíbrio (3) – Deformação vs. Deslocamentos (6) – Tensão vs. Deformação (6)
• 15 Variáveis:
• Condições de contorno
yzxzxyzzyyxx
yzxzxyzzyyxx
zyx uuu
εεεεεεσσσσσσ
,,,,,
,,,,,
,,
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
Mecânica dos Sólidos II
x
y
z 3D
Teoria de Vigas
n(x)
q(x)
Teoria de Vigas (aproximação)
q(x)
x
n(x)
1D
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de Paredes Grossas
b
a pi
po
σ0
σ0
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