Mecânica dos Sólidos II
Prof. Romel Dias Vanderlei
Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil
Curso de Engenharia CivilP
rof.
Rom
el D
ias
Van
derle
i
Bibliografia:
� Beer, F. P.; Johnston, Jr. E. R.; DEWolf, J. T. Resist ência dos Materiais. Trad. Mario Moro Fecchio. 4ª ed. São Paulo : McGraw-Hill, 2006. 758p.
� Beer, F. P.; Johnston, Jr. E. R.. Resistência dos Materiais. Trad. Celso Pinto Morais Pereira. 3ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1995. 1255p.
� Gere, J. M. Mecânica dos Materiais. Trad. Luiz Fernando de Castro Paiva, Rev. Tec. Marco Lucio Bittencourt. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 698p.
� Hibbeler, R. C. Resistência dos Materiais. 5ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 2004. 688p.
� Timonshenko, S. P.; Gere, J. E. Mecânica dos Sólidos. Trad. JoséRodrigues de Carvalho. Vol. 1 e 2. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos, 1984.
CAPÍTULO 1:ANÁLISE DE TENSÕES E
DEFORMAÇÕES
Prof. Romel Dias Vanderlei
Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil
Curso de Engenharia CivilP
rof.
Rom
el D
ias
Van
derle
i
1.1 Introdução
A
N=σ
σσσσ(N)
N
M
zI
yM ⋅−=σσσσσ(M)
V
z
s
Ib
MV
⋅⋅=τ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.1 Introdução
J
T ρτ ⋅=
21 bac
Tmáx ⋅⋅
=τ ( )ba>T
T
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� As formulações para as tensões são para seção transversal.
� A partir destas tensões já conhecidas, é possível determinar as tensões em qualquer plano oblíquo, assim como as deformações correspondentes considerando o material elástico linear.
1.1 - Introdução
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.2 - Estado Simples de Tensão
� As tensões são distribuídas de maneira uniforme na seção “mn”, e a orientação da seção é especificada pelo ângulo α entre o eixo horizontal e a normal (n).
� A resultante da força “P” pode ser decomposta em duas componentes, uma força Normal (F) e uma de Cisalhamento (V) , que é tangente ao plano “mn”.
m
n
αααα αααα
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.2 - Estado Simples de Tensão
αα
τσA
V e n ==
A
Fn
� As tensões normal e de cisalhamento na seção “mn”são obtidas por:
Aα é a área da seção inclinada:
αααα
A
αα α
α coscos
AA
A
A =⇒=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.2 - Estado Simples de Tensão
� Convenção de sinais:
�N:
�V:
ααα
ατ
αα
ασ
α
α
cos
cosAP
cos
cosA
cosP 2
⋅−=⋅−=−=
=⋅==
senA
Psen
A
V
A
P
A
F
n
n
� Logo, as tensões podem ser calculadas da seguinte forma:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.2 - Estado Simples de Tensão
� Fazendo:
( )
ααα
αα
σ
sen22
1cos
cos212
1cos2
=⋅
+=
=
sen
A
Px
� Tensões em uma seção inclinada:
ασααστ
ασσ
22
cos
cos2
sensen xxn
xn
−=⋅−=
=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.2 - Estado Simples de Tensão
2)(x
máxn
στ =
=
=0
0
135
45
αα
para
� Tensão normal máxima:
xmáxn σσ =)(
=
=0180
0
αα
para � planos verticais
� Tensões de cisalhamento máxima:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� É composto por tensões normais e de cisalhamento, porém não pode ter tensão nenhuma na face “z”.
1.3 - Estado Plano de Tensões
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.3 - Estado Plano de Tensões
∑ =0nF
( ) ( )( ) ( ) 0 cos
cos cos cos
=⋅⋅−⋅⋅−
⋅⋅−⋅⋅−⋅
ααταασααταασσ
senAsensenA
senAAA
xyy
xyxn
αατασασσ cos 2 cos 22 ⋅⋅⋅+⋅+⋅= sensen xyyxn
Esboço no quadro
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.3 - Estado Plano de Tensões
∑ =0'nF
( ) ( )ααταασστ cos cos 22 sensen xyyxn −⋅+⋅⋅−−=
( ) ( )( ) ( ) 0 cos
cos cos cos
=⋅⋅+⋅⋅−
⋅⋅−⋅⋅+⋅
ααταασαατααστ
sensenAsenA
AsenAA
xyy
xyxn
( )ααταασααστ cos cos cos 22 sensensen xyyxn −⋅+⋅⋅+⋅⋅−=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Usando as relações trigonométricas:
1.3 - Estado Plano de Tensões
2
2 cos1
2
2 cos1 cos
cos2 cos
cos 22
2
2
22
αα
αα
αααααα
−=
+=
−=
⋅⋅=
sen
sen
sensen
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.3 - Estado Plano de Tensões
ατασασσ 2 2
2 cos1
2
2 cos1senxyyxn ⋅+−⋅++⋅=
ατασσσσ
σ 2 2 cos22
senxyyxyx
n ⋅+⋅−
++
=
ατασσ
τ 2 cos2 2
⋅+⋅−
−= xyyx
n sen
ατασσσσ
σ 2 2 cos22' senxy
yxyxn ⋅−⋅
−−
+=090' para += αα
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� 1.4.1 - Tensões Principais
� Denomina-se tensões principais à tensões normais máximas (σ1) e mínima (σ2) que ocorrem em torno de um ponto. As direções das tensões principais são chamadas direções principais e os planos onde elas atuam são chamados planos principais .
� Seu valor é determinado tomando:
1.4 - Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima
( ) 02 cos22 =⋅⋅+⋅−−= ατασσασ
xyyxn sen
d
d
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
onde ααααp define a orientação dos planos principais .
1.4.1 - Tensões Principais
yx
xysen
σστ
αα
−⋅
=2
2 cos
2
yx
xyptg
σστ
α−⋅
=2
2
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� O ângulo ααααp tem dois valores que diferem 90º.
� Um determina o plano onde atua σσσσ1 e o outro onde atua σσσσ2.
� Os dois valores para ααααp são conhecidos como direções principais , onde para um desses valores a tensão principal é máxima, e para o outro a tensão principal é mínima.
� Os valores das tensões principais são calculados substituindo ααααp na equação de σσσσn.
1.4.1 - Tensões Principais
( ) ( ))90(2 )90(2 cos22
2 2 cos22
2
1
°+⋅⋅+°+⋅⋅−
++
=
⋅+⋅−
++
=
pxypyxyx
pxypyxyx
sen
sen
ατασσσσ
σ
ατασσσσ
σ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� As tensões principais também podem ser obtidas da seguinte maneira:
1.4.1 - Tensões Principais
2
2 yx
xyptg σσ
τα −=
2
2
2 xyyxR τ
σσ+
−= R
yxp ⋅
−=
22 cos
σσα
Rsen xy
p
τα =2
2yx σσ −
ττττxyR
2α2α2α2αp
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Substituindo em σσσσn , obtemos a tensão principal máxima, σσσσ1 :
1.4.1 - Tensões Principais
⋅+
⋅−
⋅−
++
=RRxy
xyyxyxyx τ
τσσσσσσ
σ2221
pα2 cos psen α2
2
2
1 22 xyyxyx τ
σσσσσ +
−+
+=
22
2
1
1
22
1
2R
RRyx
xyyxyx ⋅+
+=
+
−⋅+
+=
σστ
σσσσσ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� A tensão principal mínima, σσσσ2 , pode ser encontrada a partir da condição:
1.4.1 - Tensões Principais
yx σσσσ +=+ 21
12 σσσσ −+= yx
2
2
2 22xy
yxyx τσσσσ
σ +
−−
+=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Logo as Tensões Principais podem ser calculadas por:
1.4.1 - Tensões Principais
2
2
2,1 22xy
yxyx τσσσσ
σ +
−±
+=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� A tensão de cisalhamento nos planos principais são nulas. Esta é uma importante observação em relação aos planos principais.
1.4.1 - Tensões Principais
02 cos2 2
=⋅+⋅−
−= ατασσ
τ xyyx
n sen
yx
xysen
σστ
αα
−⋅
=2
2 cos
2 p
yx
xy tgtg ασσ
τα 2
22 =
−⋅
=
� Logo, o plano onde a tensão de cisalhamento é nula éigual aos planos principais.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Fazendo:
1.4.2 - Tensões de Cisalhamento Máximas
ατασσ
τ 2 cos2 2
⋅+⋅−
−= xyyx
n sen
( ) 02 22 cos =⋅⋅−⋅−−= ατασσατ
send
dxyyx
n
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
ααααS define a orientação dos planos de tensões de cisalhamento máximas positiva e negativa.
1.4.2 - Tensões de Cisalhamento Máximas
xy
yxsen
τσσ
αα
⋅−
−=22 cos
2
xy
yxstg
τσσ
α⋅−
−=2
2
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� O ângulo ααααS tem dois valores que diferem 90º.� Comparando com os planos principais, temos:
1.4.2 - Tensões de Cisalhamento Máximas
pp
s tgtg α
αα 2 cotg
2
12 −=−=
°+= 45ps αα
� Estudando a relação entre ααααS e ααααP , vemos que:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Isto mostra que os planos de tensão de cisalhamento máxima ocorrem a 45º em relação aos planos principais.
� A tensão de cisalhamento máxima pode ser obtida substituindo ααααS na equação de ττττn, ou da seguinte forma:
1.4.2 - Tensões de Cisalhamento Máximas
2
2
2 xyyxR τ
σσ+
−=
Rsen
Ryx
sxy
s ⋅−
−==2
2 ; 2 cosσσ
ατ
α2
yx σσ −−
ττττxy
R
2α2α2α2αs
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.4.2 - Tensões de Cisalhamento Máximas
⋅+
⋅−
−⋅−
−=RRxy
xyyxyx
n
ττ
σσσστ
22
RR xy
yxn =
+
−⋅= 2
2
2
1 τσσ
τ
2
2
2 xyyx
máx τσσ
τ +
−=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� ττττmáx também pode ser obtida em função das tensões principais, σ1 e σ2.
1.4.2 - Tensões de Cisalhamento Máximas
RRR yxyx ⋅=
−
+−
+
+=− 2
2221
σσσσσσ
221 σσ −=R , como Rmáx=τ
221 σστ −=máx
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� No plano de ττττmáx também contém tensões normais.� Basta resolver a equação para σn com α = αs :
1.4.2 - Tensões de Cisalhamento Máximas
2yx
médn
σσσσ
+==
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Para o estado plano de tensão indicado, determine as tensões agindo em um plano que está inclinado de um ângulo de 15º no sentido horário.
Exemplo 1
MPax 46−=σ015−=αMPaxy 19−=τ
MPay 12=σ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� a) Tensão Normal:
Exemplo 1
ατασσσσ
σ 2 2 cos22
senxyyxyx
n ⋅+⋅−
++
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )°−⋅−+°−⋅−−++−= 30 1930 cos2
1246
2
1246sennσ
MPan 6,32−=σ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� b) Tensão de Cisalhamento
Exemplo 1
MPan 31−=τ
ατασσ
τ 2 cos2 2
⋅+⋅−
−= xyyx
n sen
( ) ( ) ( ) ( )°−⋅−+°−⋅−−−= 30 cos1930 2
1246sennτ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� c) Tensão normal no plano α + 90º:
Exemplo 1
ατασσσσ
σ 2 2 cos22
' senxyyxyx
n ⋅−⋅−
−+
=
MPan 4,1' −=σ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� d) Esboço:
Exemplo 1
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Para o estado plano de tensões indicado, determine:� a) os planos principais;� b) as tensões principais;� c) a máxima tensão de cisalhamento e a
correspondente tensão normal.
Exemplo 2
50MPa
10MPa
40MPa
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� a) Planos Principais:
Exemplo 2
MPax 50+=σ MPay 10−=σ MPaxy 40+=τ
( ) 333,11050
40222 =
−−⋅=
−⋅
=yx
xyptg
σστ
α
°°= 13,233 13,532 epα
°°= 116,56 56,26 epα
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Exemplo 2
2
2
2,1 22xy
yxyx τσσσσ
σ +
−±
+=
( ) ( )502040
2
1050
2
1050 22
2,1 ±=+
−−±−+=σ
( ) ( ) MPaeMPa mínmáx 30 70 21 −== σσ
� b) Tensões Principais:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Exemplo 2
70MPa
30MPa
x
y
ααααp = 26,6º
� b) Esboço:
MPa
sen
sen
n
n
xyyxyx
n
70
6,262 406,262 cos2
)10(50
2
)10(50
6,26
2 2 cos22
=
×⋅+°×⋅−−+−+=
°=
⋅+⋅−
++
=
σ
σ
α
ατασσσσ
σ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� c) Tensão de Cisalhamento Máxima:
Exemplo 2
2
2
2 xyyx
máx τσσ
τ +
−=
( )MPamáx 5040
2
1050 22
=+
−−=τ
( )MPa
ou
máx 502
3070
221 =−−=−= σστ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� c) Tensão normal correspondente:
Exemplo 2
MPayxmédn 20
2
1050
2=−=
+==
σσσσ
75,0402
)10(50
22 −=
⋅−−−=
⋅−
−=xy
yxstg
τσσ
α
°°−= 13,431 87,362 esα
°°−= 71,6 43,18 esα
� c) Esboço:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� c) Esboço:
Exemplo 2
20MPa
20MPa
50MPa
x
y
ααααs = 71,6º
MPa
sen
sen
n
n
xyyx
n
50
6,712 cos406,712 2
)10(50
6,71
2 cos2 2
−=
°×⋅+°×⋅−−−=
°=
⋅+⋅−
−=
τ
τ
α
ατασσ
τ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Fazendo:
1.5 - Círculo de Mohr para Tensão Plana
( )I 2 2 cos22
ατασσσσ
σ senxyyxyx
n ⋅+⋅−
=+
−
( )II 2 cos2 2
ατασσ
τ ⋅+⋅−
−= xyyx
n sen
2
2
2
2 xyyxyx
méd Re τσσσσ
σ +
−=
+=
( ) ( )22 III +e
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.5 - Círculo de Mohr para Tensão Plana
( ) 2
2
22
2 xyyx
nmédn τσσ
τσσ +
−=+−
( ) 222 Rnmédn =+− τσσ � Equação de um círculo de coordenadas σn e τn, raio igual a “R” e centro (σméd , 0).
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Construção do Círculo de Mohr:� Sistema de eixos (esboço no quadro);
� O centro “C” tem as coordenadas (σméd , 0);
� Ponto A:
� Ponto B:
� AB � diâmetro do círculo de Mohr e passa por “C”;
1.5 - Círculo de Mohr para Tensão Plana
==
=xyn
xn σσ
ττα 00
−=
==
xyn
yn σσ
ττα 900
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Determinar as tensões em um plano cuja normal faz um ângulo α com o eixo “x”:� Marca-se a partir de “A” o ângulo “ 2α ” no sentido anti-
horário.
1.5 - Círculo de Mohr para Tensão Plana
βσσ
βσ cos2
cos ⋅++
=⋅+== RCMOCOF yxn
ββτ senRsenCMMFn ⋅=⋅==
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Acha-se:
1.5 - Círculo de Mohr para Tensão Plana
2 2 cos22
ατασσσσ
σ senxyyxyx
n ⋅+⋅−
++
=
2 cos2 2
ατασσ
τ ⋅+⋅−
−= xyyx
n sen
� Fazendo:
( ) ( )R
seneR
xyyx τβα
σσβα =+
⋅−
=+ 2 2
2 cos
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� No círculo de Mohr, o maior valor para σn ocorre no ponto P1, onde a τn = 0.
� O ponto P1 representa a tensão principal (σ1), e o plano principal (2αp1).
� O menor valor para σn ocorre em P2 , que édiametralmente oposto a P1 .
� Logo, o ponto P2 representa tensão principal (σ2), e o plano principal (2αp2).
1.5.1 - Tensões Principais
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.5.1 - Tensões Principais
Rsene
Rxy
pyx
p
τα
σσα =⋅
⋅−
=⋅ )2( 2
)2cos( 11
yx
xyptg
σστ
α−⋅
=⋅2
2 1
012 90+= pp αα
� Logo:RCPOC yx +
+=+=
211
σσσ
RCPOC yx −+
=−=222
σσσ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� No círculo de Mohr, as τmáx positivas e negativas ocorrem nos pontos S1 e S2, respectivamente.
� Estes pontos estão a ângulos 2α = 90º dos pontos P1e P2, confirmando que .
� Geometricamente
1.5.2 - Tensões de Cisalhamento Máximas
045±= ps αα
==
médn
máx R
σστ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Em um ponto na superfície de um cilindro pressurizado, o material está submetido ao estado de tensões mostrado na figura. Usando o círculo de Mohr, determine:a) as tensões agindo em um elemento inclinado a um ângulo
α = 30º.b) Mostre o resultado em um esboço de um elemento.
Exemplo 3
90MPa
20MPaMPax 90=σMPay 20=σ
0=xyτ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� 1) Construção do Círculo de Mohr.
Esboço do Círculo de Mohr no quadro.
Exemplo 3
MPaOC yx 552
2090
2=+=
+=
σσ
22
2
2
02
2090
2+
−=+
+= xy
yxR τσσ
MPaR 35=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Ponto A:
� Ponto B:
Exemplo 3
===
=0
90 00
τσσ
αMPaxn
=
===
0
20 900
τσσ
αMPayn
� Para α = 30º, 2α = 60º � Ponto “M”
� Escala: 10MPa = 1cm
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
060cos35552 cos ⋅+=⋅+= ασ ROCn
MPan 5,72=σ
060 352 senαsenRn ⋅−=⋅−=τ
MPa n 3,30−=τ - sentido horário
� Tensões no plano inclinado α = 30º
Exemplo 3
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Na outra face perpendicular, ponto M’:
060cos35552 cos' ⋅−=⋅−= ασ ROCn
MPan 5,37'=σ
MPaαsenRn 3,302 =⋅=′τ
Exemplo 3
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� b) Esboço
72,5MPa
37,5MPa
30,3MPa
x
y
αααα = 30º
Exemplo 3
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Em um ponto na superfície de um eixo gerador, as tensões são mostradas na figura. Usando o círculo de Mohr, determine:
a) as tensões agindo em um elemento inclinado a um ângulo α = 45º;
b) as tensões principais;
c) as tensões de cisalhamento máxima e as tensões normais correspondentes;
d) esboço do elemento orientado corretamente.
Exemplo 4
50MPa
10MPa
40MPa MPax 50−=σMPay 10+=σ
MPaxy 40−=τ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Construção do círculo de Mohr:� Escala: 10 MPa = 1 cm
Exemplo 4
MPaσσ
OC yx 202
1050
2−=+−=
+=
( ) MPaR 50402
1050 22
=−+
−−=
Ponto A �
Ponto B �
40
50 0
−=−=
°=MPa
MPa
n
n
τσ
α
40
10 90
==
°=MPa
MPa
n
n
τσ
α
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� a)
Exemplo 4
00 90245 =⇒= αα
60MPacos36,87502036,87 cos −=°⋅−−=°⋅−= ROCnσ
MPasensenRn 3087,36 5087,36 =°⋅=°⋅=τ anti-horário
MPaOCRn 202036,87 cos5036,87 cos 00 =−⋅=+⋅=′σ
MPann 30−=−=′ ττ � horário60M
Pa
20MPa
30MPa
x
y
αααα = 45º
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� b) Tensões Principais:
Exemplo 4
2050 111 −=−=∴→ OCRPPonto σσ
MPa 301 =σ
2050 222 −−=−−=∴→ OCRPPonto σσ
MPa 702 −=σ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Planos Principais e Esboço:
Exemplo 4
022 13,53ˆ2 ==⋅ PCApα
02 6,26=pα
00011 13,23318013,53ˆ2 =+==⋅ PCApα
01 6,116=pα
70MPa
30MPa
x
y
αααα = 26,6º
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� c) Tensões de Cisalhamento Máximas:
Exemplo 4
RSeSPonto máxmáx =∴→ ττ 21
MPamáx 50=τ
00011 13,1439013,53ˆ2 =+==⋅ SCAsα
01 6,71=sα
0012 6,16190 =+= ss αα
MPaOCn 20−==σ
20MPa
20MPa
50MPa
x
y
αααα = 71,6º
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Condições: � Material homogêneo;� Material isotrópico : mesmas propriedades em
todas as direções.
� Deformações normais em tensão plana: εx, εy , εz
1.6 - Lei de Hooke para Tensão Plana
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.6 - Lei de Hooke para Tensão Plana
EEEx
zx
yx
xx
σνεσνεσεσ ⋅−=⋅−==→ ; ;
EEEy
zy
yy
xy
σνε
σε
σνεσ ⋅−==⋅−=→ ; ;
;0 ;0 ;0 ===→ zyxxy εεετ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.6 - Lei de Hooke para Tensão Plana
0 +⋅−=EE
yxx
σνσε
( )yxx Eσνσε ⋅−⋅= 1
( )yxz Eσσνε +⋅−=
Gxy
xy
τγ =
( )xyy Eσνσε ⋅−⋅= 1
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� εx e εy podem ser resolvidas para as tensões em termos das deformações:
1.6 - Lei de Hooke para Tensão Plana
( )yxx
E ενεν
σ ⋅+⋅−
=21
( )xyy
E ενεν
σ ⋅+⋅−
=21
xyxy G γτ ⋅=( )ν+⋅
=12
EG
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Conhecendo-se as tensões σx, σy e σz , podem ser determinadas as tensões que atuam em planos inclinados paralelos aos eixos x, y e z .
1.7 - Tensão Triaxial
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� A) Planos perpendiculares ao plano xy e paralelo a z.
1.7 - Tensão Triaxial
ασασσ 22 sen cos ⋅+⋅= yxn
( )α
σστ 2sen
2 ⋅
−= yx
n
ασn
τn
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� B) Planos perpendiculares ao plano xz e paralelo a y.
1.7 - Tensão Triaxial
βσβσσ 22 sen cos ⋅+⋅= zxn
( ) βσστ 2sen 2
⋅−= zxn
βσn
τn
σz
σy
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� C) Planos perpendiculares ao plano yz e paralelo a x.
1.7 - Tensão Triaxial
θσθσσ 22 sen cos ⋅+⋅= yzn
( )θ
σστ 2sen
2 ⋅
−= yz
n
θσn
τn
σy
σx
σz
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.7.1 - Círculo de Mohr para Tensão Triaxial
0 , , ≠zyx σσσ zyx σσσ >>
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Sendo σx, σy e σz as tensões máximas de cada estado duplo de tensões, elas são tensões principais no elemento. Logo:
1.7.1 - Círculo de Mohr para Tensão Triaxial
zmín σσ = xmáx σσ =
( )2
yx
zmáx
σστ
−±=
( )2
zy
xmáx
σστ
−±=
( )2
zxymáx
σστ −±=
(no plano paralelo a z)
(no plano paralelo a x)
(no plano paralelo a y)
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.7.2 - Lei de Hooke para Tensão Triaxial
E
xxx
σεσ =→
E
yxy
σνεσ ⋅−=→
E
zxz
σνεσ ⋅−=→
( )
( )
( )yxz
z
zxy
y
zyx
x
EE
EE
EE
σσνσε
σσνσε
σσνσε
+⋅−=
+⋅−=
+⋅−=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Estas equações podem ser resolvidas para as tensões em termos das deformações:
1.7.2 - Lei de Hooke para Tensão Triaxial
( ) ( ) ( ) ( )[ ]zyxx
E εενεννν
σ +⋅+⋅−⋅−⋅+
= 1 211
( ) ( ) ( ) ( )[ ]xzyy
E εενεννν
σ +⋅+⋅−⋅−⋅+
= 1 211
( ) ( ) ( ) ( )[ ]yxzz
E εενεννν
σ +⋅+⋅−⋅−⋅+
= 1 211
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Componentes de deformação no plano xy:
1.8 - Estado Plano de Deformação
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Um elemento em deformação plana não possui deformação normal εz e de cisalhamento γxz e γyz.
1.8 - Estado Plano de Deformação
0 e 0 , 0 === yzxzz γγε� As equações para tensão plana também podem ser
usadas para tensões em deformação plana.
θτθσσσσ
σ 2sen 2 cos22
⋅+⋅−
++
= xyyxyx
n
θτθσσ
τ 2 cos2sen 2
⋅+⋅−
−= xyyx
n
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� As equações para deformação plana também podem ser usadas para as deformações em tensão plana.
� O objetivo é determinar a deformação normal εx1 e a deformação de cisalhamento γx1y1 associadas aos eixos x1y1 que são rotacionados no sentido anti-horário através de um ângulo α a partir dos eixos.
1.8.1 - Equações para Deformação Plana
α
α
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� a) Deformação Normal εx1 :
1.8.1 - Equações para Deformação Plana
α
α
α
αα
α
Pro
f. R
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Dia
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ande
rlei
� O aumento total ∆d no comprimento da diagonal é:
1.8.1 - Equações para Deformação Plana
αγαεαε cossencos ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=∆ dydydxd xyyx
ds
dx
∆=1
ε
ds
dy
ds
dy
ds
dxxyyxx ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= αγαεαεε cossencos
1
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Como:
1.8.1 - Equações para Deformação Plana
ααγαεαεε cossensencos 22
1⋅⋅+⋅+⋅= xyyxx
αcos=ds
dx αsen=ds
dy
� A deformação normal εy1 na direção y1 é obtida substituindo α por α + 90º.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� b) Deformação de Cisalhamento γx1y1
� A deformação de cisalhamento em relação aos eixos x1
e y1 é igual à diminuição no ângulo entre as linhas no material que estavam inicialmente em ângulos retos.
βθγ +=11yx
αααα
θθθθ
1.8.1 - Equações para Deformação Plana
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Rotação da linha :OA
ds
dxxx
αεαε sen1
⋅⋅=→ � sentido horário
ds
dyyy
αεαε
cos2
⋅⋅=→ � sentido anti-horário
ds
dyxyxy
αγαγ
sen3
⋅⋅=→ � sentido horário
1.8.1 - Equações para Deformação Plana
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Sendo:
321 αααθ −+−=
ds
dy
ds
dy
ds
dxxyyx ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−= αγαεαεθ sencossen
αcos=ds
dx αsen=ds
dy
( ) αγααεεθ 2sencossen ⋅−⋅⋅−−= xyyx
1.8.1 - Equações para Deformação Plana
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Rotação da linha :OB 090+=→ αα(sentido horário positivo)
( ) ( ) ( ) ( )°+⋅+°+⋅°+⋅−= 90sen90cos90sen 2 αγααεεβ xyyx
( ) αγααεεβ 2coscossen ⋅+⋅⋅−−= ⋅xyyx
1.8.1 - Equações para Deformação Plana
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
βθγ +=11yx
( ) ( )ααγααεεγ 22 sencoscossen211
−⋅+⋅⋅−⋅−= xyyxyx
( ) ( )ααγ
ααεεγ 22 sencos
2cossen
211 −⋅+⋅⋅−−= xy
yxyx
1.8.1 - Equações para Deformação Plana
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Sabendo que:
( )αα 2 cos12
1cos2 +⋅= ( )αα 2 cos1
2
1sen2 −⋅=
ααα 2sen 2
1cossen ⋅=⋅
1.8.1 - Equações para Deformação Plana
� Podemos escrever:
αγ
αεεεε
ε 2sen 2
2 cos221
⋅+⋅−
++
= xyyxyxx
αγ
αεεγ
2 cos2
2sen 22
11 ⋅+⋅−
−= xyyxyx
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Comparando estas equações com as obtidas através das tensões planas, verifica-se que:
nx σε →1 xx σε → xy
xy τγ
→2
nyx τ
γ→
211
yy σε →
yxyx εεεε +=+11
1.8.1 - Equações para Deformação Plana
� Assim as observações feitas para tensão plana têm suas relações na deformação plana. Por exemplo:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� As deformações de cisalhamento são zero nos planos principais.
1.8.2 - Deformações Principais
yx
xyptg
εεγ
α−
=2
22
2,1 222
+
−±
+= xyyxyx γεεεε
ε
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Estão associadas aos eixos inclinados a 45°em relação às direções das deformações principais.
1.8.3 - Deformações de Cisalhamento Máximas
22
222
+
−= xyyxmáx
γεεγ
xy
yxstg
γεε
α−
−=2
máxmín γγ −=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Nas direções de deformação de cisalhamento máxima, as deformações normais são:
2yx
méd
εεε
+=
1.8.3 - Deformações de Cisalhamento Máximas
� Em um dado ponto de um corpo tensionado, as deformações principais e as tensões principais ocorrem nas mesmas direções.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� É construído da mesma maneira que o círculo para tensão plana.
1.8.4 - Círculo de Mohr para Deformação Plana
2yx
médCεε
ε+
==
22
22
+
−= xyyxR
γεε
ESBOÇO NO QUADRO
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Exemplo 5
� Um elemento em deformação plana está submetido às seguintes deformações: εx = 340x10-6, εy = 110x10-6, γxy = 180x10-6. Determine:a) as deformações para um elemento orientado a um ângulo α = 30º;b) as deformações principais;
c) as deformações de cisalhamento máximas;
d) faça esboços de elementos orientados de forma apropriada.
x
y
εx
εy
γxy
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� a) Orientado a um ângulo :030=α
αγ
αεεεε
ε 2sen 2
2 cos221
⋅+⋅−
++
= xyyxyxx
( ) ( ) ( )
( )06
066
302sen 2
10180
302 cos2
10110340
2
101103401
×⋅⋅+
×⋅⋅−+⋅+=
−
−−
xε
6103601
−⋅=xε
Exemplo 5
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
αγ
αεεγ
2 cos2
2sen 22
11 ⋅+⋅−
−= xyyxyx
( ) ( )
( )06
06
302 cos2
10180
302sen 2
10110340
211
×⋅⋅+
×⋅⋅−−=
−
−yxγ
61011011
−⋅−=yxγ
Exemplo 5
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
yxyx εεεε +=+11 11 xyxy εεεε −+=
610901
−⋅=yε
x 1y 1
360µ
90µ110µ
x
y
30º
ESBOÇO:
Exemplo 5
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� b) Deformações principais:
22
2,1 222
+
−±
+= xyyxyx γεεεε
ε
( ) ( ) 26266
2,1 2
10180
2
10110340
2
10110340
⋅+
⋅−±⋅+=−−−
ε
61 10370 −⋅=ε 6
2 1080 −⋅=ε
Exemplo 5
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
yx
xyptg
εεγ
α−
=2
7826,0110340
1802 =
−=ptg α
°°= 0,218 e 0,382 pα
°°= 109 e 19 pα
Exemplo 5
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
αγ
αεεεε
ε 2sen 2
2 cos221
⋅+⋅−
++
= xyyxyxx
61037019/1
−×=→°= xp εα61080109/
1
−×=→°= xp εα
principais planos 011
→=yxγ
ESBOÇO:x 1
y 1
370µ80µ
x
y
19º
Exemplo 5
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� c) Deformação de Cisalhamento Máxima:
6
22
10146222
−⋅=
+
−= xyyxmáx
γεεγ
610290 −⋅=máxγ
Exemplo 5
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
278,12 −=−
−=xy
yxstg
γεε
α
°°−= 05,128 e 95,512 sα
°°−= 64 e 98,25sα
Exemplo 5
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
αγ
αεεγ
2 cos2
2sen 22
11 ⋅+⋅−
−= xyyxyx
60 1029098,25/11
−⋅=→−= yxp γα60 1029064/
11
−⋅−=→= yxp γα
6, 10225
211
−⋅=+
== yxmédyx
εεεε
x 1y 1
225µ
225µ
290µ
x
y
64º
ESBOÇO:
Exemplo 5
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Uma roseta de 45°é fixada em um ponto da superfície da estrutura antes de ser carregada. Depois de carregada os medidores mediram as seguintes deformações: εa = 40µ, εb = 980µ e εc = 330µ. Usando os eixos indicados, determine:a) as deformações εx, εy e γxy;
b) as deformações principais;c) a deformação de cisalhamento máxima.
Exemplo 6
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� a) Deformação , e :xε yε xyγ
µεε 40== ax µεε 330== cye
αγ
αεεεε
ε 2sen 2
2 cos221
⋅+⋅−
++
= xyyxyxx
cabxy εεεγ −−⋅= 2→=→°= 45/1 bxp εεα
Exemplo 6
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
( ) ( )00 452sen 2
452 cos2
33040
2
33040980 ××+××−++= xy
ou
γ
µγ 1590=xy
µγγ
εεεγ
590.1
330409802
2
=
−−×=
−−⋅=
xy
xy
cabxy
Exemplo 6
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� b) Deformações Principais:
22
2,1 222
+
−±
+= xyyxyx γεεεε
ε
22
2,1 2
1590
2
33040
2
33040
+
−±+=ε
12,8081852,1 ±=ε
µε 12,9931 = µε 12,6232 −=e
Exemplo 6
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
483,533040
15902 −=
−=
−=
yx
xyptg
εεγ
α
°°−= 34,100 e 66,792 pα
°°−= 17,50 e 83,39pα
µεα 12,99317,50/1
0 =→= xp
ESBOÇO:
x
x 1y 1
993,12µ
623,12µ
y
50,17º
Exemplo 6
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� c) Deformação de Cisalhamento Máxima:
µγεεγ
12,808222
22
=
+
−= xyyxmáx
µγ 23,1616=máx
182,02 =−
−=xy
yxstg
γεε
α
°°= 34,190 e 34,102 sα
°°= 17,95 e 17,5sα
Exemplo 6
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
µγα 23,161617,5/11
0 =→= yxp
µγα 23,161617,95/11
0 −=→= yxp
µεε
ε 185211 , =+
= yxyx
ESBOÇO:
x 1y 1
185µ185µ 16
16,23
µ
x
y
5,17º
Exemplo 6
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Para o elemento em estado plano mostrado na figura abaixo, foram medidas as deformações: εx = 350x10-6, εy= -300x10-6, εz = -300x10-6 e γmáx = 325x10-6. Pede-se:a) os valores de σx ,σy e τxy ;b) a deformação εy
Adote: E = 20MPa e ν = 0,3
Exemplo 7
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� a)
( ) ( )yxyxx Eσνσσνσε ⋅−⋅=⋅→⋅−⋅= −
20
110350
1 6
( )I 007,03,0 =⋅− yx σσ
( ) ( )yxyxz Eσσσσνε +⋅−=⋅−→+⋅−= −
20
3,010300 6
( )II 020,0=+ yx σσ
==
MPa 01,0
MPa 01,0
y
x
σσ
Exemplo 7
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Gmáx
máx
τγ =
MPa,,máx 00250103256927 6 =××= −τ
( ) ( ) MPa 692,73,012
20
12=
+⋅=
+⋅=
νE
G
2
2
2 xyyx
máx τσσ
τ +
−=
máxxyxymáx ττττ =∴= 22
MPa 0025,0=xyτ0
Exemplo 7
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� b) ( )
( )01,03,001,020
1
1
⋅−⋅=
⋅−⋅=
y
xyy E
ε
σνσε
610350 −⋅=yε
Exemplo 7
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