Mecanica Classica I - 2015.1 - Prova 2 1

Mecanica Classica I - Prova 2Prof. Marco Polo

21 de maio de 2015

Inıcio: 14:00 - duracao: 3:00 horas

So serao consideradas as respostas que forem devidamente justificadas.

Questao 01: Sistema massa-mola

ka

x

Uma conta de massa m desliza sem atrito ao longo de uma hastecilındrica ligada a uma mola com constante elastica k e compri-mento natural l, conforme a figura. O outro extremo da molaesta fixo, situado a uma distancia a da haste, com a > l. Supo-nha pequenas oscilacoes, ou seja, x ≪ a.

(a) (2,0 pontos) Determine a frequencia natural ω0 de os-cilacao do sistema.

(b) (1,0 pontos) Em t = 0, x = x0 e v = 0. Mostre que o

caminho de fase descrito pelo sistema e dado pela elipse

(

x

x0

)2

+

(

x

x0ω0

)2

= 1.

Questao 02: Oscilador harmonico amortecido

Considere um bloco de massa m preso a uma mola de constante elastica k em uma superfıciehorizontal sem atrito. A forca de resistencia do ar pode ser assumida como sendo Far = −2mβv,onde β e um parametro positivo e v e a velocidade do bloco. A posicao do bloco vale x = 0quando a mola esta sem deformacao. Considere o caso do movimento subamortecido, isto e,β <

√

k/m.

(a) (1,0 pontos) Escreve a equacao diferencial que governa a posicao x do bloco em funcaodo tempo.

(b) (1,0 pontos) Calcule a solucao geral da equacao acima.

(c) (1,0 pontos) Em t = 0, a posicao do bloco vale x = 0 e sua velocidade vale v = v0.Encontre x(t), isto e, a posicao do bloco em funcao do tempo.

(d) (1,0 pontos) Suponha que, apos quatro ciclos, a amplitude do oscilador cai para 1/e deseu valor inicial. Mostre que a relacao entre a frequencia do oscilador (ω1) e a frequenciado oscilador sem amortecimento (ω0) e dada por

ω1

ω0

=8π

√1 + 64π2

Questao 03: (3,0 pontos) Metodo de Green

Considere um oscilador linear amortecido, de massa m, constante elastica k e parametro deamortecimento β, originalmente em repouso em sua posicao de equilıbrio para t < 0, e sujeitoa uma forca do tipo degrau, conforme a equacao abaixo:

F (t) =

{

F0, se t > 0,

0, se t < 0

Usando o metodo de Green, calcule a posicao x do oscilador em funcao do tempo. Para ascondicoes iniciais deste problema, a funcao de Green do oscilador e dada por

G(t, t′) =

1

mω1

e−β(t−t′) sinω1(t− t′), se t > t′,

0, se t < t′

onde ω1 =√

ω20 − β2 e ω0 =

√

k/m.

Campus Ji-Parana Departamento de Fısica – UNIR