Mecânica Analítica (Módulo 1) 2
Sumário dos últimos capítulosO que temos até agora:
● A escolha das variáveis é uma parte essencial da resolução de um problema em Física (até ao momento, pelo menos em Mecânica)
● Forças de reacção podem ser substituídas por equações de constrangimento (substituindo a 3ª Lei de Newton)
● Podemos substituir em geral o uso de forças pelo trabalho através do Princípio do Trabalho Virtual
● A Natureza escolhe aparentemente um princípio de extremo para decidir qual o comportamento a seguir por um sistema
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Juntando as peças● Princípio de d'Alembert
– Usar as forças de inércia a nosso favor: substituir F=ma por através da inclusão das forças inerciaisδW=0
V=const!
P−m z̈=0
δW=(P−m z̈ )δ z=0
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Juntando as peças● Se os constrangimentos não produzem trabalho: N partículas
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Juntando as peças● Vamos estar interessados em forças conservativas
● Princípio de d'Alembert:
● Mas
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Juntando as peças
t 1 t 2t t+dt
δ x
t
x
dx
x (t )
x ' (t)
A Bx (t )
δ x
x
f ( x)
dx
x (t+dt) x ' (t )
δ f
df
f
A
B
C'
C
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Juntando as peças● A componente das forças conservativas no trabalho virtual é
redutível à variação de uma função escalar.
● Isso todavia não é verdade em geral para as forças inerciais
● Como ultrapassar isso?
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Juntando as peças● Conclusão:
● Se os pontos inicial e final estiverem fixos:
● Princípio de Hamilton: Extremo da acção!
Lagrangeano
Acção
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Princípio de Hamilton
● Pergunta: o Lagrangeano é único?
● Resposta: Não!
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Constrangimentos● Isto é tudo muito bonito, mas…
● N partículas: N vectores (3d) de posição + N vectores (3d) de velocidade
● Comecemos pela posição: 1 vector 3N dimensional para a posição do sistema todo:
● Mas ainda por cima posso não gostar de coordenadas cartesianas (porque não dão jeito):
● Estas coordenadas designam-se por Coordenadas Generalizadas
P'ra quê? A posição do sistema é representada por um ponto neste espaço de configurações
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Condições holonómas e não-holónomas● Exemplo:
– Esfera livre: 6 graus de liberdade
– Sobre um plano: altura do centro fixa 5 graus de liberdade● Coordenadas do ponto de contacto 2 graus de liberdade x, y● Posição da esfera relativamente ao centro 3 ângulos α, β, γ
– Se pode deslizar no plano: 5 graus de liberdade
– Rolamento puro: ponto de contacto instantaneamente parado e eixo de rotação no plano. Ângulos função de x,y?
– Não: diferenciais dos ângulos função de dx e dy mas a relação não é integrável
– Dois caminhos diferentes
bola rodada no finalx
y
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Condições holonómas e não-holónomas● Condições cinemáticas que só podem ser dadas como
relações entre diferenciais de coordenadas e não como relações finitas dizem-se não-holónomas
● Condições holónomas são dadas na forma
● Isto implica
● Mas a existência de
f (q1,q2, ... , qn)=0∂ f∂q1
dq1+∂ f∂ q2
dq2+...+∂ f∂ qn
dqn=0
A1dq1+A2dq2+...+Andqn=0
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Condições holonómas e não-holónomas● Condições holónomas podem ser atacadas de duas
maneiras:
– m equações envolvendo n variáveis, eliminar m variáveis e tratar o problema com n-m graus de liberdade
– Tratar o problema com todas as variáveis e usar as relações como condições auxiliares
● Condições não-holónomas só podem ser tratadas da segunda maneira
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Constrangimentos● O problema físico é o mesmo: tem de ser possível mudar de
umas para outras coordenadas
● Relação entre as componentes da velocidade nos dois sistemas de coordenadas
Velocidade generalizada
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Força generalizada● O conceito de espaço de configurações obriga a redefinir o
conceito de força: a força passa a ter 3n componentes
Força generalizada
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Dinâmica e geometria
● Coordenadas esféricas:
● Coordenadas cilíndricas:
● Constrangimentos: Geometria!
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As equações de Euler-Lagrange● Relembremos:
● Coordenadas Generalizadas:
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As equações de Euler-Lagrange● Integrando por partes:
● Equações de Euler-Lagrange:
● Nota:
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Forma de Nielsen de E-L● Como tratar o problema quando as forças não são
conservativas?
● Voltemos ao Princípio de d'Alembert:
● k condições de constrangimento
● Mas
Espaço de configurações
e
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