ME-203
ME 203 - Estatıstica Elementar
Nancy Lopes Garcia, Sala 209 - IMECC
[email protected], www.ime.unicamp.br/˜nancy
1 2o. semestre 2008
ME-203
Um pouco de historia
• Inıcio da Probabilidade: 1654 com a troca de cartas entre
Pascal e Fermat sobre o Problema dos Pontos colocado para
Pascal por Chevalier de Mere.
• A e B jogam dados, vamos supor que A ganha 1 ponto quando
o resultado pertence ao conjunto 1, 2 enquanto B ganha 1
ponto quando o resultado pertence ao conjunto 3, 4, 5, 6. Se
A precisa de n pontos para ganhar e B necessita m pontos para
ganhar. Qual a probabilidade que A ganhe o jogo?
2 2o. semestre 2008
ME-203
• O primeiro estudo sistematico de como calcular probabilidades
apareceu no livro Liber de Ludo Aleae, publicado em 1663,
pelo medico italiano ( e tambem matematico, fısico e astrologo)
Girolamo Cardano ( 1501 - 1576).
• Devido a sua fama na epoca, Cardano foi convidado para fazer
o horoscopo de Eduardo VI. Prognosticou-lhe longa vida. O rei
morreu no ano seguinte. Por outro lado Cardano previu o dia
exato de sua morte e acertou. Muitos dizem que cometeu
suicıdio para tornar realidade esta previsao.
3 2o. semestre 2008
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• O conhecimento de como calcular probabilidades circulou entre
matematicos tais como Galileu ( 1564 - 1642 ) e depois passou
da Italia para a Franca com Fermat e Pascal.
• Em 1654 Fermat e Pascal trocam correspondencias sobre o
problema dos pontos: Dois jogadores, aos quais faltam a e b
pontos, respectivamente, decidem interromper o jogo. Como as
apostas devem ser divididas?
• Suponha que o primeiro jogador a obter 3 pontos vence a
aposta em que cada um colocou 32 moedas de ouro.
• Suponhamos que o primeiro ja tenha vencido duas partidas e o
segundo apenas uma. Portanto parando agora, Jogador A: 48
moedas e Jogador B: 16 moedas
• O primeiro tenha ganho duas partidas e o outro nenhuma.
Jogador A fica com 56 moedas
4 2o. semestre 2008
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Axiomas de Probabilidade
Espaco amostral e eventos
E : um experimento aleatorio
Ω = conjunto de todos os resultados possıveis de E .
5 2o. semestre 2008
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Exemplos
1. E lancamento de uma moeda
Ω = c, c2. E retirada de uma peca de um lote com pecas defeituosas e nao
defeituosas
Ω = D, N3. E colocacao de 4 antenas em serie sendo 2 defeituosas
Ω =
(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)4. E retirada de duas pecas de um lote com pecas defeituosas e
nao defeituosas
Ω = (D, D), (D, N), (N, D), (N, N)5. E final do campeonato paulista entre 4 times: Corinthians, Sao
Paulo, Palmeiras e Santos
6 2o. semestre 2008
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Ω = (x1, x2, x3, x4); xi ∈Corinthians, Sao Paulo, Palmeiras e Santos , xi 6= xj , i 6= j
6. E observacao do tempo de vida de um circuito integrado
Ω = [0,∞)
7. E observacao do tempo de vida de um paciente submetido a
transplante de coracao
Ω = [0,∞)
8. E erro cometido quando medimos a distancia percorrida por
um carro de F1 em 10 seg
Ω = (−∞,∞)
7 2o. semestre 2008
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Eventos Subconjunto do espaco amostral aos quais queremos
atribuir probabilidade
Exemplos
1. A1 = c, B1 = c
2. A2 = D, B2 = ∅
3. A3 = “o sistema e funcional”
B3 = “a primeira antena e nao defeituosa”
4. A4 = “ambas as pecas retiradas sao nao defeituosas”
B4 = “exatamente uma peca retirada e defeituosa”
5. A5 = [0, 100), B5 = (50,∞)
8 2o. semestre 2008
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Propriedades:
E1 Se A e evento entao Ac tambem e evento.
E2 Ω e um evento
E3 Se A1, A2, . . . sao eventos entao ∪∞
i=1Ai tambem e evento.
Consequencias: ∅, ∪Ai e A1 ∪ A2 sao eventos.
9 2o. semestre 2008
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• Teoria de conjuntos
E ∪ F = F ∪ E E ∩ F = F ∩ E
(E ∪ F ) ∪ G = E ∪ (F ∪ G) (E ∩ F ) ∩ G = E ∩ (F ∩ G)
(E ∪ F ) ∩ G = (E ∩ G) ∪ (F ∩ G) (E ∩ F ) ∪ G = (E ∪ G) ∩ (F ∪ G)
• Diagramas de Venn
• Leis de Morgan
(∪ni=1Ei)
c = ∩ni=1E
ci
(∩ni=1Ei)
c = ∪ni=1E
ci
10 2o. semestre 2008
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AXIOMAS DE PROBABILIDADE
Axioma 1 0 ≤ P(E) ≤ 1, ∀E ∈ A
Axioma 2 P(Ω) = 1
Axioma 3 Se E1, E2, . . . ∈ A e Ei ∩ Ej = ∅, i 6= j
P (∪∞
i=1Ei) =∞∑
i=1
P(Ei).
11 2o. semestre 2008
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Propriedades:
1. P(∅) = 0 Prova: Ω = Ω ∪ ∅ ∪ ∅ . . .
2. Se E1, E2, . . . En ∈ A sao disjuntos
P (∪ni=1Ei) =
n∑
i=1
P(Ei).
3. P(Ec) = 1 − P(E)
4. Se E ⊂ F entao P(E) ≤ P(F )
5. P(E ∪ F ) = P(E) + P(F ) − P(E ∩ F )
12 2o. semestre 2008
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Exemplos:
1. E lancamento de uma moeda
Ω = c, cA = P(Ω) = ∅, c, c, c, cP(∅) = 0, P(c) = p, P(c) = 1 − p, P(c, c) = 1
2. E colocacao de 4 antenas em serie sendo 2 defeituosas
Ω =
(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)A = P(Ω)
P(ω) = 1/6, ∀ω ∈ Ω e P(A) =∑
ω∈A P(ω) = #(A)/6
3. E observacao do tempo de vida de um circuito integrado
Ω = [0,∞)
A = todos os subconjuntos de [0,∞) que podem ser obtidos
atraves de operacoes com intervalos
P([0, x]) = 1 − e−x/100
13 2o. semestre 2008
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4. E erro cometido quando medimos a distancia percorrida por
um carro de F1 em 10 seg
Ω = (−∞,∞)
A = todos os subconjuntos de [0,∞) que podem ser obtidos
atraves de operacoes com intervalos
P((a, b]) =
∫ b
a
1√2π
e−x2/2dx
14 2o. semestre 2008
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Espacos amostrais equiprovaveis
Ω = 1, 2, . . . , N
P(1) = P(2) = . . . , P(N) =1
N.
P(E) =#(E)
N
Exemplos:
1. Se dois dados (um vermelho e o outro verde) sao lancados, qual
a probabilidade da soma ser 7?
2. Se dois dados (identicos) sao lancados, qual a probabilidade da
soma ser 7?
3. Se 3 bolas sao retiradas ao acaso de uma urna contendo 6 bolas
brancas e 5 bolas pretas, qual a probabilidade de que uma bola
seja branca e as outras duas sejam pretas?
15 2o. semestre 2008
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Analise Combinatoria
Exemplo Sistema de comunicacao
n antenas alinhadas
Funcional: a menos que duas antenas consecutivas estejam com
defeito
Se m antenas sao defeituosas e as antenas sao arrumadas ao acaso,
qual a probabilidade do sistema ser funcional?
E.g.: n = 4, m = 2 temos 6 arranjos dos quais 3 sao funcionais.
p = 1/2.
16 2o. semestre 2008
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Princıpio basico da contagem:
• 2 experimentos:
1. Experimento 1: m resultados
2. Experimento 2: n resultados
• Total: m.n formas de realizar experimento 1 seguido de
experimento 2
Proof. E1 = 1, 2, . . . , m, E2 = 1, 2, . . . , n,E1 × E2 = (1, 1), (1, 2), . . . , (m, n)Exemplo 2
• Depto Estatıstica: 18 docentes
• Depto Mat. Aplicada: 43 docentes
• Depto Matematica: 64 docentes
Comissao com 3 docentes, um de cada departamento:
18 . 43 . 64 = 49536
17 2o. semestre 2008
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Exemplo 3
• Placas antigas: 2 letras e 4 numeros
• Placas atuais: 3 letras e 4 numeros
26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 6.760.000
26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 =
175.760.000
E se a repeticao de letras e numeros nao fosse permitida?
26.25.24.10.9.8.7 = 78.624.000
Exemplo 4 Seja A um conjunto com n pontos. Quantas funcoes
f : A → 0, 1 podem ser definidas?
2 . 2 . 2 . . . . . 2 = 2n
Seja P(A) = conjunto de todos os subconjuntos de A. Daı,
|P(A)| = 2n . Por que?
18 2o. semestre 2008
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Permutacoes
A = 1, 2, . . . , n
π : A → A; tal que π(i) 6= π(j), i 6= j
quantas permutacoes sao possıveis? n!
Exemplo 5: Temos 11 livros
• 4 matematica
• 3 quımica
• 2 historia
• 2 ingles
Todos os livros do mesmo assunto juntos: 4! (4!.3!.2!.2!) = 13824
19 2o. semestre 2008
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Exemplo 6: Anagramas
• PIMENTA: 7! = 5040
• ESTATISTICA:11!
2!3!2!3!= 831.600
20 2o. semestre 2008
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Combinacoes
Conjunto: n objetos Subconjunto: k objetos
n
k
E.g.: n = 5, k = 3
5 . 4 . 3
Mas
1, 2, 3 = 3, 2, 1No. permutacoes = 3!
5.4.3
3!=
5!
2!3!=
5
3
21 2o. semestre 2008
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exemplo 7: Comite com 7 professores MAP
43
7
exemplo 8: Comite com 4 professores MAP e 3 Estatistica
43
7
+
18
3
E se Ronaldo e Nancy nao querem participar juntos?
2
0
16
3
+
2
1
16
2
nem Ronaldo e nem Nancy Ronaldo, mas nao Nancy ou Nancy e nao Ronaldo
22 2o. semestre 2008
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Exemplo Antenas funcionais: n antenas sendo m defeituosas ( =
0) e n − m nao defeituosas (= 1)
∧ 1 ∧ 1 ∧ 1 ∧ . . . ∧ 1 ∧ n − m + 1 locacoes
∧ : possıveis locacoes para as m defeituosas.
n − m + 1
m
Identidade:
n
r
=
n − 1
r − 1
+
n − 1
r
(Fixe um dos objetos, no lado direito da equacao temos o numero
de subconjuntos de tamanho r que contem o objeto fixado mais o
numero de subconjuntos de tamanho r que nao contem o objeto
fixado.
23 2o. semestre 2008
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Coeficientes multinomiais
Conjunto: n objetos Subconjuntos: k1 objetos, k2 objetos, . . ., kr
objetos
n
k1
n − k1
k2
n − k1 − k2
k3
. . .
n − k1 − . . . − kr−1
kr
=n!
k1!k2! . . . kr!
Notacao :
n
k1, . . . , kr
Exemplo: O time de basktball do IMECC tem 10 jogadores,
entretanto precisamos dividi-los em dois times A e B pois time A
vai jogar em SP e time B vai jogar em Limeira. Quantas divisoes
sao possıveis?10!
5!5!
25 2o. semestre 2008
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Exemplo: O time de basktball do IMECC tem 10 jogadores,
entretanto precisamos dividi-los em dois times A e B para jogarem
entre si. Quantas divisoes sao possıveis?
10!
5!5!2!
Teorema multinomial:
(x1+x2+. . .+xr)n =
∑
(k1,...,kr);k1+...+kr=n
n
k1, . . . , kr
xk1
1 xk2
2 . . . xkr
r
26 2o. semestre 2008
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