Matemática Recreativa

Trabalhando e aprendendo

• Prof. Hector Salazar

• ECT/UFRN

As façanhas do grande matemático Beremiz Samir

• Contada pelo amigo de viagem

O problema da divisão dos 35 camelos da herança nos três irmãos na proporção a seguir:

Três irmãos : A metade do total B terceira parte do total C novena parte do total

Quantos camelos deve corresponder a cada irmão ?

Do livro : “O homem que calculava”, Malba Tahan

A solução de Beremiz

Beremiz pede ao amigo para doar o único camelo para completar 36 camelos e resolver o problema anterior, ele diz não se preocupar porque irá recuperar seu camelo. Logo A Irmão mais velho : recebe a metade de 36 = 36/2 = 18 B Irmão menor : recebe a terça parte de 36 = 36/3= 12, C O caçula : recebe a nona parte de 36 = 36/9= 4, total = 18+12+4 =34. Sobram dois camelos : 1 camelo vai para o amigo de Beremiz e o outro vai para o Beremiz, como pagamento por resolver o Problema.

Divisão em partes proporcionais

Exercício 1 João e André decidem trabalhar juntos vendendo mercadorias durante uma semana. João trabalhou em total 5 dias na semana, e André trabalhou em total 7 dias. O lucro pela venda das mercadorias é de R$ 480,00 no total. Esta quantia deve ser dividida entre eles em partes diretamente proporcionais aos dias trabalhados. Quanto irá receber cada um?

Quem ? Dias trabalhados Lucro R$ 480,00

João 5 dias x

André 7 dias y

Primeiro Método

Andre recebe João recebe .200)

12

5(480

,280)12

7(480

Lucro total = 480 r = 280 r + 200 r, ok

Solução

Solução

Lucro de João 5 K

Lucro de André 7K

Total 12 K

Lucro total 480 Reais = 12 K K = 480/12 = 40 Reais

João recebe = 5 K = 5 (40) = 200 Reais André recebe = 7 K = 7 (40) = 280 Reais

Segundo Método

Quantidade diretamente proporcionais

• Em uma gráfica, certa impressora imprime 100 folhas em 5 minutos. Quantos minutos ela gastará para imprimir 1000 folhas?

folhas tempo (minutos)

100 5

200 10

300 15

. .

1000 Y ?

Estamos considerando que a impressora trabalha ao mesmo ritmo sempre.

Quantidades diretamente proporcionais

• Duas quantidades X e Y são diretamente proporcionais se o quociente delas é uma constante.

KX

YSendo K uma constate.

No exemplo anterior : Y -> Tempo X -> Número de folhas impressas

KY

1000...

300

15

200

10

100

5 Y = ???

Tarefa : 3 pessoas forma uma cooperativa, a idade de cada um deles é 20 anos, 30 anos e 50 anos, respectivamente. O capital da cooperativa deve ser 4000 reais. Quanto deve aportar cada membro da cooperativa em reais, considerando que o valor a aportar seja proporcional a idade de cada um?. a) 1000, 2000, 1000, b) 1000, 1500, 2500, c) 800, 1200, 2000,

Resposta para o exemplo anterior : Y= 50 min.

solução

Idade e o capital aportado são quantidades proporcionais, segundo dados do problema, logo:

Em (*) : 20k+30k+50k = 4000, logo 100k=4000, k=40;

x = 20 (40)=800; y= 30 (40)=1200; z= 50 (40)= 2000,

resp: c

Idade (anos)

capital aportado (reais)

20 x

30 y

50 z

Sabemos : x+y+z = 4000.... (*)

kzyx

503020

X= 20 k Y= 30 k Z= 50 k

Quantidades diretamente proporcionais

• Dias trabalhos/ lucro (trabalho no mesmo ritmo).

• Folhas impressas/ tempo (impressão no mesmo ritmo).

• Espaço percorrido/ tempo (velocidade constante).

• Peso (saco da farinha) na balança / quantidade em kg.

(mesmo).

• Número de operários /tempo necessário para eles construírem uma casa (trabalho no mesmo ritmo).

estas quantidades são na verdade inversamente

proporcionais.

Teorema de Pitágoras

Exercício 3.- O cone circular reto do lado tem diâmetro 80 cm e a generatris g = 50cm , quanto mede a altura h do cone ?

Cone reto de base circular

Podemos calcular a altura deste cone?

Exercício 4.- Dois navios A e B partem simultaneamente em direções diferentes do mesmo porto: o primeiro para o norte e o segundo para o leste, o navio A com velocidade constante de 40 Km/h e o navio B com velocidade constante de 30 Km/h. Qual será a distância entre eles após 5 horas?

A

B porto

Teorema de Pitágoras

D=?

Y

X

O teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras estabelece que para qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa c é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos, a e b. Enunciando-se da seguinte forma : a2+b2=c2

c b

a

c hipotenusa a cateto b cateto

Triângulo retângulo

Teorema de Pitágoras

• Se acredita que o matemático hindu Baudhayana (800 a. c.) desenvolveu o teorema antes do Grego Pitagoras.

• Pitágoras de Samos (580 a. c.- 500 a. c.).

• Existem mais de 400 formas diferentes de

demonstrar tal teorema, aqui vamos mostrá-los de duas formas diferentes.

http://www.youtube.com/watch?v=qjvy2jcbv8w

Teorema de Pitágoras: primeira demonstração

Alguns triângulos Pitagóricos

,..24725

,12513

,435

222

222

222

c c

a b

a

b b

c

c

b a

a

a

b

a

c

As áreas dos dois quadrados são iguais (lados iguais).

Como as áreas das partes coloridas são iguais, percebe-se que as áreas das partes em branco devem ser iguais, logo : a2+b2 = c2

c a2

b2

c2

Teorema de Pitágoras: Segunda demonstração

Voltando ao exercício inicial

h

g

r

g = 50 cm r= D/2 = 40cm h = ???

Aplicando o teorema de Pitágoras h2+r2 = g2

h2 + 402 = 502 h 2+ 1600 = 2500 h2 =900, h= 30.30 h = 30, h=30cm

Exercício 4.- Dois navios A e B partem simultaneamente em direções diferentes do mesmo porto: o primeiro para o norte e o segundo para o leste, o navio A com velocidade constante de 40 Km/h e o navio B com velocidade constante de 30 Km/h. Qual será a distância entre eles após 5 horas?

A

B porto

D=?

Solução? Navio A 1h 40 km 5h ??

Navio B 1h 30 km 5h ??

Y

X

Tarefa 4

O cone da figura tem as seguintes medidas : - O comprimento lateral (generatriz) é de 100cm - O diâmetro da base inferior é 140cm e - O diâmetro da base superior é de 20cm - Determine a altura do cone

r

R

h

Vista lateral Do “cone” ao lado