UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CÂMPUS CORNÉLIO PROCÓPIO
DIRETORIA DE GRADUAÇÃO E EDUCAÇÃO PROFISSIONAL
GLEYSON DO NASCIMENTO OLIVEIRA
MARCOS VINICIUS TAVARES DA SILVA
VINÍCIUS SUTERIO
MATEMÁTICA MAIS DO QUE BÁSICA
CORNÉLIO PROCÓPIO
ABRIL/2015
1 Matemática Mais Do Que Básica
GLEYSON DO NASCIMENTO OLIVEIRA
MARCOS VINICIUS TAVARES DA SILVA
VINÍCIUS SUTERIO
MATEMÁTICA MAIS DO QUE BÁSICA
Trabalho de participação do curso
apresentado à Universidade
Tecnológica Federal do Paraná, como
parte dos pré-requisitos dos cursos de
graduação, sob a orientação do
professor Evandro Estevão
Marquesone.
04/2015
2 Matemática Mais Do Que Básica
Sumário
APRESENTAÇÃO .............................................................................................. 3
1. CONJUNTOS NÚMERICOS ........................................................................ 4
2. PROPORÇÃO ................................................................................................ 7
3. REGRA DE TRÊS SIMPLES .......................................................................... 9
4. PORCENTAGEM ......................................................................................... 11
5. POTÊNCIA OU EXPONENCIAÇÃO ............................................................ 13
6. NOTAÇÃO CIENTÍFICA ............................................................................... 14
7. FATORAÇÃO ............................................................................................... 15
8. RADICIAÇÃO ............................................................................................... 18
9. RACIONALIZAÇÃO ...................................................................................... 20
10. EQUAÇÕES ............................................................................................... 22
11. TRIGONOMETRIA ..................................................................................... 29
12. EXERCÍCIOS ............................................................................................. 36
13. GABARITO ................................................................................................. 63
REFERÊNCIAS ................................................................................................ 64
3 Matemática Mais Do Que Básica
APRESENTAÇÃO
O presente texto é resultado do Projeto Matemática Mais do Que Básica,
relacionado ao edital de produção de mídias digitais, e trata de alguns assuntos em
matemática básica e necessários para um bom desempenho das disciplinas
oferecidas que tenham estes conteúdos como pré-requisitos exigidos. Isso porque
observa-se que uma grande parcela da dificuldade nas disciplinas dos primeiros
semestres, está não somente nos conteúdos respectivos, mas na matemática
necessária para um bom desenvolvimento no assunto, o que na maioria das vezes
não inclui os pré-requisitos destas disciplinas.
Além de alguns tópicos em matemática básica, também há alguns temas
básicos para estas mesmas disciplinas. Cada capítulo é composto por um assunto,
ou um grupo de assuntos relacionados, com alguns exemplos resolvidos, e ao final
um grupo de questões sobre este tema. Há também uma vídeo-aula sobre cada
capítulo, e um banco maior de questões ao final do material didático, com a
classificação sobre o nível de dificuldade de cada questão e um gabarito com as
respostas de cada problema. O aluno que acessar a página do grupo poderá
acessar o material completo, composto por cada capítulo, ou ainda escolher qual
capítulo deseja acessar, sendo possível nas duas ocasiões salvar o arquivo no
próprio computador.
O texto didático, bem como a dinâmica do material teve como primeira
influência uma apostila que o Prof. Evandro utilizou na ocasião em que era
vestibulando em Maringá. Este material sobre matemática básica, foi preparado pelo
Cursinho Pré-Vestibular Alternativo, e era utilizado periodicamente quando oferecido
o curso intitulado “Matemática Básica”.
Espera-se que este material auxilie os alunos que tem tais dificuldades, e que
possam passar por elas e ir muito além do que possam imaginar, afinal o papel da
educação é contribuir para o “voo” de cada um.
A Equipe.
4 Matemática Mais Do Que Básica
1. CONJUNTOS NÚMERICOS
1.1. Conjunto dos números naturais: Chama-se conjunto dos numéricos
naturais (N) o conjunto formado pelos números 0,1,2,3,..., assim temos:
N = {0,1,2,3,4,5,...}
1.2. Conjunto dos números inteiros: Chama-se conjunto dos números inteiros
(Z) os números que variam de -∞ até +∞, assim temos:
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
1.3. Conjunto dos números racionais : Chama-se conjunto dos números
racionais (Q) o conjunto dos números 𝑎
𝑏 , onde a ∈ Z e b ≠ 0.
Exemplos:
i. Os números naturais e inteiros: 13; -4; 0; 9.
ii. OS decimas exatos: 0.75; -3/2; 2/5.
iii. As dizimas periódicas: 0,77777...; 1,233333....
1.4. Conjunto dos números irracionais: Chama-se o conjunto dos números
irracionais (I) o conjunto dos números que não podem ser escritos pela razão de
dois números, bem como todo número não-periódica.
Exemplos:
i. √2 = 1.41421...
ii. √3 = 1.73205...
iii. 𝑒 = 2.71828...
1.5. Conjunto dos números reais: Chama-se o conjunto dos números reais (R)
o conjunto formado pela união dos conjuntos Q e I.
5 Matemática Mais Do Que Básica
1.6. Subconjunto: Dentro de cada conjunto podemos representar subconjuntos
contendo certos valores ou não, assim quando um subconjunto vem com um
indicador, quer dizer que dentro do subconjunto são excluídos alguns valores.
i. O símbolo * exclui o zero do conjunto;
ii. O Sinal de + exclui os negativos do conjunto;
iii. O sinal de – exclui os positivos do conjunto;
1.7. Números primos: É todo número divisível por 1 e por ele mesmo. Assim
temos:
NP = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}
Para se determinar se um número é primo ou não, devemos verificar se ele
não é divisível por todos os números primos antecessores.
1.8. Decomposição de um número: Podemos decompor um número qualquer
e reescreve-lo como um produto de fatores de números primos.
Exemplo:
i. 60 = 22 × 3 × 5
ii. 75 = 3 × 52
1.9. Mínimo múltiplo comum: Dados dois ou mais números naturais não nulos,
o MMC consiste em ser o menor inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente
destes números, com exceção do zero.
6 Matemática Mais Do Que Básica
1.10. Exemplos:
1 – Calcule o MMC da expressão abaixo:
2
3 +
5
6 = 𝑥
Solução:
𝑚.𝑚. 𝑐 (3,6) = 6 3,6|3 1,2|2
1,1| = 6
4
6+ 5
6= 9
6
2 – Calcule o MMC da expressão abaixo:
11
5− 2
3 = 𝑦
Solução:
𝑚.𝑚. 𝑐 (5,3) = 15 5,3|5 1,3|3
1,1| = 15
33
15+ 10
15= 23
15
1.11. Observações:
Exercício 1: como o 6 é divisível por 3 e por ele mesmo, adotamos ele como
sendo o MMC.
Exercício 2: nem o 5 nem o 3 podem ser o múltiplos comum, pois ao
dividirmos um pelo outro não obteremos um numero inteiro. Com isso podemos
obter o MMC de dois valores, por exemplo, multiplicando-os. Assim como foi feito
neste exercício (3x5) = 15, sendo ele o MMC.
7 Matemática Mais Do Que Básica
2. PROPORÇÃO
Pode-se dizer que temos uma proporção quando temos uma igualdade entre
duas razões, como por exemplo, tomando A, B, C e D, temos:
𝑎
𝑏=𝑐
𝑑= 𝑘
Diante da expressão obtida para proporção, temos que:
i. a e d são chamados de extremos
ii. b e c são chamados de meios
iii. k é a constante de proporcionalidade.
2.1. Propriedades:
Para proporções temos as seguintes propriedades validas
i. Os produtos dos meios são iguais aos produtos dos extremos.
𝑎. 𝑑 = 𝑏. 𝑐
ii. Para a soma ou subtração dos numeradores e denominadores de uma
proporção, temos que k se conserva.
𝑎
𝑏=𝑐
𝑑=𝑎 ± 𝑐
𝑏 ± 𝑑
iii. Assim como a soma ou subtração dos elementos do primeiro termo da
proporção sobre o extremo do primeiro termo, mantém a
proporcionalidade e igualdade com a soma ou subtração dos elementos
do segundo termo sobre o extremos do mesmo.
𝑎 ± 𝑐
𝑏=𝑐 ± 𝑑
𝑑
8 Matemática Mais Do Que Básica
Figura 1 – Exemplo visual de proporção.
Podemos notar na figura acima a proporção do barco azul – comprimento =
4u, altura = 3u – com o barco vermelho – comprimento 8u, altura 6u. A proporção é
valida para os componentes isolados do barco.
9 Matemática Mais Do Que Básica
3. REGRA DE TRÊS SIMPLES
As grandezas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais:
i. Diretamente Proporcionais: Quando o quociente entre elas é constante.
ii. Inversamente Proporcionais: Quando o produto entre elas é constante.
REGRA DE 3
DIRETAMENTE PROPORCIONAL
𝑥
𝑦= 𝑤
𝑧
REGRA DE 3 INVERSAMENTE PROPORCIONAL
𝑥
𝑦= 𝑧
𝑤
A resolução de regras de três que envolvam apenas duas grandezas é
composta por três passos:
i. Reunir em cada coluna as grandezas de mesma espécie e unidade de
medida.
ii. Classificar as grandezas como diretamente ou inversamente
proporcionais.
iii. Obter a proporção correspondente e solucionar o problema.
3.1. Exemplo:
1 – Em uma obra quatro (4) operários concluem a construção em quinze (15) dias.
Quantos dias serão necessários para que vinte (20) operários concluam a mesma
obra?
Solução:
Observação: quanto maior a quantidade de operários, menor a quantidade
de dias, as grandezas são inversamente proporcionais.
10 Matemática Mais Do Que Básica
Operários Dias
4 15
20 x
Primeiramente vamos organizar as setas. Para isso devemos inverter uma
das informações:
Operários Dias
20 15
4 x
Multiplicando em cruz temos:
20 15
4 x
20 . 𝑥 = 4 . 15
20 . 𝑥 = 60
𝑥 = 60
20
𝑥 = 3
11 Matemática Mais Do Que Básica
4. PORCENTAGEM
A porcentagem consiste basicamente na razão em que o denominador é 100.
Os problemas de porcentagem podem ser resolvidos por regra de três.
𝑥% =𝑥
100
4.1. Exemplos:
1) A soma das idades do pai e do filho é de 60 anos. Sabendo que suas idades são
proporcionais aos números 5 e 15. Determine as idades.
Solução:
Chamando a idade do pai de P e a do filho de F, temos:
𝑃 + 𝐹 = 60
A partir das razões de proporcionalidade dadas, temos a seguinte relação:
𝑃
15=𝐹
5 ; 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒: 𝑃 = 3𝐹
Onde pode-se obter o valor de F da seguinte forma:
3𝐹 + 𝐹 = 60
Assim obtemos:
𝐹 = 15 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑒 𝑃 = 45 𝑎𝑛𝑜𝑠
Analisando as respostas acima podemos afirmar que o filho possui 1/3 da
idade do pai ou 33,33%.
12 Matemática Mais Do Que Básica
2) Os comprimentos de duas peças de linho estão na razão de 11/18. Mas o
quíntuplo do comprimento de primeiro menos o triplo do segundo é igual a 2 m.
Quantos metros tem cada peça?
Solução:
A relação é dada por
11
18=𝑎
𝑏
Onde a diferença entre o quíntuplo de a e triplo de b é:
5𝑎 − 3𝑏 = 2
Isolando o valor de a na primeira relação temos que:
𝑎 =11
18𝑏
A partir disso, pode-se substituir na segunda equação da seguinte forma:
55
18𝑏 −
54
18𝑏 = 2
Assim, obtemos:
𝑏 = 36 𝑚 𝑒 𝑎 = 22 𝑚
Analisando as respostas acima podemos afirmar que a é 22/36 de b, isto é
aproximadamente 61%.
13 Matemática Mais Do Que Básica
5. POTÊNCIA OU EXPONENCIAÇÃO
A operação de potenciação de um número pode ser definida como uma
operação usada para indicar a multiplicação deste número por ele mesmo n vezes.
Esta operação é dada da seguinte forma:
𝑎𝑛 = 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎 … . 𝑎⏟ 𝑛 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
Onde:
a é chamado de base.
n é chamado de expoente.
5.1. Propriedades:
Dentro da operação de potenciação, temos algumas propriedades:
i. 1𝑛 = 1 ii. 𝑎1 = 𝑎 iii. 𝑎0 = 1, 𝑠𝑒 𝑎 ≠ 0 iv. 0𝑛 = 0, 𝑠𝑒 𝑛 > 0
v. 𝑎−𝑛 =1
𝑎𝑛
vi. (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛.𝑚
vii. 𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
viii. 𝑎𝑛
𝑎𝑚= 𝑎𝑛−𝑚, 𝑎 ≠ 0
ix. 𝑎𝑛. 𝑏𝑛 = (𝑎. 𝑏)𝑛
x. 𝑎𝑛
𝑏𝑛= (
𝑎
𝑏)𝑛
xi. 10𝑛 = 10.10.10.10.… .10⏟ 𝑛 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= 1000…0⏟ 𝑛 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑛 ∈ 𝑁∗
xii. 10−𝑛 =1
10𝑛=
1
1000…0⏟ 𝑛 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= 0,000… .1⏟ 𝑛 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑛 ∈ 𝑍∗
5.2. Exemplo:
24 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑚 2 . 2 . 2 . 2 = 16
23 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑚 2 . 2 . 2 = 8
22 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑚 2 . 2 = 4
21 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑚 2 = 2
20 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑚 = 1
14 Matemática Mais Do Que Básica
6. NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Quando precisamos expressar um número com muitos algarismos, pode-
se utilizar a notação cientifica que consiste basicamente em uma multiplicação por
uma potência de base 10.
Um número escrito em notação cientifica é dado da seguinte forma:
𝐴 = 𝑎 𝑥 10𝑛
Onde a é denominado mantissa e n a ordem de grandeza.
6.1. Notação cientifica padronizada:
Uma das formas mais usuais de representação para notação cientifica é a
forma padronizada, onde restringe a mantissa em ser maior ou igual a 1 e menor
que 10. Para que haja a transformação, deve-se apenas deslocar a vírgula.
Resumindo:
Deslocamento da vírgula para a Esquerda Eleva o expoente.
Deslocamento da vírgula para a Direita Diminui o expoente.
6.2. Exemplo:
1.230.000 = 1,23 𝑥 106 123.000 = 1,23 𝑥 105 12.300 = 1,23 𝑥 104 1.230 = 1,23 𝑥 103 123 = 1,23 𝑥 102 12,3 = 1,23 𝑥 101 1,23 = 1,23 𝑥 100 0,123 = 1,23 𝑥 10−1 0,0123 = 1,23 𝑥 10−2 0,00123 = 1,23 𝑥 10−3 0,000123 = 1,23 𝑥 10−4 0,0000123 = 1,23 𝑥 10−5 0,00000123 = 1,23 𝑥 10−6
15 Matemática Mais Do Que Básica
7. FATORAÇÃO
A fatoração consiste basicamente em encontrar um fator comum em todas
as parcelas da equação e coloca-los em evidencia da seguinte forma:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑥(𝑎 + 𝑏)
7.1. Agrupamento
Pode-se realizar ainda o agrupamento de termos semelhantes nas
parcelas, onde estes podem ser:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏) = (𝑥 + 𝑦)(𝑎 + 𝑏)
7.2. Quadrado da soma
O quadrado da soma de dois termos é dado por:
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
7.3. Quadrado da diferença
O quadrado da diferença é dado por:
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
7.4. Diferença de Quadrados
Temos que a diferença de quadrados é dada por:
𝑎² − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏)
16 Matemática Mais Do Que Básica
7.5. Exemplos:
1) (USP) Se x = 10-3, então (0,1)(0,001)10−1
10(0,0001) é igual a:
Solução:
Resolvendo a multiplicação dada temos:
(0,1)(0,001)10−1
10(0,0001)= 0,00001
0,001= 0,01
Onde temos que
𝑥 = 10−3 = 0,001
Sendo assim,
(0,1)(0,001)10−1
10(0,0001)= 10𝑥
2) (MACK) A expressão (1/2)𝑥+4−2−1.(1/2)𝑥
2−𝑥−4 quando simplificada é igual a:
Solução:
Colocando (1/2)x em evidencia no numerador temos:
(12)
𝑥
[(12)
4
− 2−1]
2−𝑥(2−4)
17 Matemática Mais Do Que Básica
Na expressão obtida, temos que (1/2)x pode ser dado como 2-x, sendo assim é
possível fazer a simplificação da expressão
(12)
4
− 2−1
2−4
Onde realizando os cálculos temos:
−716116
= −7
18 Matemática Mais Do Que Básica
8. RADICIAÇÃO
A radiciação pode ser definida como a operação inversa da potenciação.
Sendo assim a radiciação é dada por
√𝑎𝑛
= 𝑏 𝑠𝑒, 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒, 𝑏𝑛 = 𝑎
Onde:
n é chamado de índice.
a é o radicando.
b é a raiz.
8.1. Índice do radical (n):
A partir de uma análise do índice da raiz, é possível verificar sua existência,
como por exemplo:
Se n for par temos que a (o radicando) se restringe a números reais positivos.
Se n for ímpar temos que a (o radicando) pode assumir valores positivos e
negativos.
8.2. Propriedades:
Temos que as seguintes propriedades são validas na radiciação quando o
radicando é maior igual a 0 (a ≥ 0).
i. √𝑎𝑚𝑛
= √𝑎𝑚(𝑥 /)𝑝𝑛(𝑥 /)𝑝
, p ∈ N*
ii. √𝑎. 𝑏𝑛
= √𝑎𝑛. √𝑏𝑛
iii. √𝑎
𝑏
𝑛=
√𝑎𝑛
√𝑏𝑛 , 𝑏 ≠ 0
iv. (√𝑎𝑛)𝑚= √𝑎𝑚
𝑛
v. √ √𝑎𝑚𝑛
= √𝑎𝑛.𝑚
vi. √𝑎𝑚𝑛
= 𝑎𝑛
𝑚, (𝑎 ≥ 0,𝑚 ∈ 𝑍 𝑒 𝑛 ∈ 𝑁∗)
20 Matemática Mais Do Que Básica
9. RACIONALIZAÇÃO
A operação de racionalização consiste basicamente em multiplicar o
numerador e o denominador pelo fator de racionalização, onde o numerador pode
ser:
i. Monômio, sendo este da seguinte forma:
𝑎
√𝑏=𝑎
√𝑏.√𝑏
√𝑏=𝑎√𝑏
𝑏
ii. Binômio:
𝑎
√𝑏𝑚𝑛 =
𝑎
√𝑏𝑚𝑛 .
√𝑏𝑛−𝑚𝑛
√𝑏𝑛−𝑚𝑛 =
𝑎√𝑏𝑛−𝑚𝑛
𝑏
9.1. Exemplos:
1 – Racionalize a expressão abaixo:
1
√2
Solução:
1
√2=
1
√2 .√2
√2 = √2
2
2 – Racionalize a expressão abaixo:
3
√7 + √3
21 Matemática Mais Do Que Básica
Solução:
Observação: Vale ressaltar quando possuímos uma operação no denominador.
Quando acontece, há a necessidade de multiplicar pelo conjugado:
3
√7 + √3=
3
√7 + √3 .√7 − √3
√7 − √3= 3. (√7 − √3)
4
3 – Racionalize a expressão abaixo:
√3 + √2
√6 + √2
Solução:
Neste caso, possuímos um exercício mais complexo onde podemos notar as
raízes exatas:
√3 + √2
√6 + √2 .√6 − √2
√6 − √2= (√3 . √6) − (√3 . √2) + (√2 . √6) − (√2 . √2)
(√6 . √6) − (√6 . √2) + (√2 . √6) − (√2 . √2)
√18 − √6 + √12 − √4
√36 − √12 + √12 − √4
√9 . 2 − √6 + √4 . 3 − √4
6 − 2
3√2 − √6 + 2√3 − 2
4
22 Matemática Mais Do Que Básica
10. EQUAÇÕES
10.1. Equação do 1º grau: Qualquer equação que possa ser escrita na seguinte
forma:
𝑎. 𝑥 + 𝑏 = 0
Onde:
x é a incógnita
a e b são números reais com a ≠ 0.
Para efetuar a resolução desta equação, basta isolar a incógnita, e determinar
o valor da raiz da equação, desta forma:
𝑥 = −𝑏
𝑎
10.2. Exemplo:
1 – Calcule o valor de x na expressão:
4 . 𝑥 + 2
6= 3 . 𝑥 − 1
4
Solução:
16 . 𝑥 + 8 = 18 . 𝑥 − 6
16 . 𝑥 + 8 − 18 . 𝑥 + 6 = 0
2 . 𝑥 = 14
𝑥 = 14
2
𝑥 = 7
10.3. Sistema de equação do 1º grau: Para resolver sistemas com equação
do primeiro grau podemos usar:
23 Matemática Mais Do Que Básica
Exemplo:
2 – Resolva o sistema de equações abaixo:
{2. 𝑥 + 𝑦 = 5 . (−1) +
𝑥 + 𝑦 = −2
Solução I:
Adição ou escalonamento: consiste em multiplicar ou dividir uma das
equações por um valor qualquer de modo que ao somarmos as duas equações,
desapareça uma das incógnitas.
Onde: {−2. 𝑥 − 𝑦 = −5 𝑥 + 𝑦 = −2
+
Com isso obtemos: 𝑥 = 7 𝑒 𝑦 = −9
Solução II:
Substituição: consiste em isolar uma das incógnitas em uma das expressões
e substituir o valor encontrado na outra expressão.
{2. 𝑥 + 𝑦 = 5𝑥 + 𝑦 = −2
𝑦 = −2 − 𝑥
Onde: 2. 𝑥 + (−2 − 𝑥) = 5
Com isso obtemos: 𝑥 = 7 𝑒 𝑦 = 9
24 Matemática Mais Do Que Básica
Solução III:
Comparação: consiste em isolar a mesma incógnita em ambas as expressões
e igualar as equações.
{2. 𝑥 + 𝑦 = 5𝑥 + 𝑦 = −2
Onde: 𝑦 = 5 − 2. 𝑥 𝑒 𝑦 = −2 − 𝑥
Como: 𝑦 = 𝑦
Temos: 5 − 2𝑥 = −2 − 𝑥
Com isso obtemos: 𝑥 = 7 𝑒 𝑦 = −9
De um modo mais geral, podemos falar que a equação (𝑎. 𝑥 + 𝑏 = 0) é a
equação da reta, sendo que a é seu coeficiente angular, delimitando se a reta é
crescente ou decrescente e b é seu coeficiente linear, isto é, onde corta o eixo y
(ordenadas).
10.4. Equação do 2º grau: Qualquer equação que possa ser escrita na seguinte
forma:
𝑎. 𝑥2 + 𝑏. 𝑥 + 𝑐 = 0
Onde:
x é a incógnita
a, b e c são números reais com a ≠ 0.
10.5. Resolução da equação de 2º grau:
Método de BHÁSKARA:
𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
25 Matemática Mais Do Que Básica
Método de GIRAD:
𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏
𝑎
𝑥1. 𝑥2 = 𝑐
𝑎
Vale ressaltar que para a equação de 2º grau temos:
- Duas raízes repetidas: x1 = x2 b2 – 4.a.c = 0
- Duas raízes simétricas: x1 = -x2 b = 0
10.6. Exemplo:
3 – Resolva a seguinte equação:
2. 𝑥2 − 3. 𝑥 + 1 = 0
Solução:
Por BHÁSKARA temos:
𝑥 = −(−3) ± √(−3)2 − 4.2.1
2.2
Com isso obtemos: 𝑥′ = 1
2 𝑜𝑢 𝑥′′ = 1
Por GIRAD temos:
𝑠𝑜𝑚𝑎 = −(−3)
2
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 = 1
2
Com isso temos que encontrar dois valores que somados deem 3
2 e
multiplicados deem 1
2.
Nesse caso os valores são: 𝑥′ = 1
2 𝑜𝑢 𝑥′′ = 1
26 Matemática Mais Do Que Básica
10.7. Dispositivo de BRIOT-RUFFINI:
Consiste em um algoritmo para que possa ser efetuada a divisão de
polinômios com o intuito de reduzir o seu grau.
𝑃(𝑥)
𝐻(𝑥)= 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)
Sendo:
P(x) = dividendo;
H(x) = divisor;
Q(x) = quociente;
R(x) = resto.
10.8. Exemplo:
4 – Efetue a divisão do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥² + 4𝑥 + 3 por 𝐻(𝑥) = 𝑥 + 1
Solução:
Sabemos que para o divisor, a raiz de x + 1 = -1
-1 | 1 4 3 ------------------------
| 1 3 = RESTO
1o passo: desce o primeiro coeficiente;
2o passo: (1 x(-1)) + 4 = 3;
3o passo: (3 x (-1)) +3 = 0.
Com isso obtemos o novo polinômio é x + 3 = 0. Podemos tirar prova: H(x) .
Q(x) + R(x) = P(x).
0
27 Matemática Mais Do Que Básica
(x+1) . (x+3) + 0 = x² + 4x + 3 5 – Efetue a divisão do polinômio 𝑃(𝑥) = 5𝑥4 − 3𝑥³ + 2𝑥² − 7𝑥 + 3 por
𝐻(𝑥) = 𝑥 − 1
Solução: Sabemos que para o divisor, a raiz de x - 1 = 1
1 | 5 -3 2 -7 3 --------------------------------------
| 5 2 4 -3 0 = RESTO
1o passo: desce o primeiro coeficiente;
2o passo: (5 x 1) + (-3) = 2;
3o passo: (2 x 1) + 2 = 4;
4o passo: (4 x 1) + (-7) = -3;
5o passo: (1 x (-3)) + 3 = 0;
Com isso obtemos o novo polinômio é 5x³ + 2x² + 4x -3 = 0 Podemos tirar
prova: H(x) . Q(x) + R(x) = P(x).
(x-1) . (5x³ + 2x² + 4x -3) + 0 = 5x4 - 3x³ + 2x² - 7x + 3
6 – Efetue a divisão do polinômio 𝑃(𝑥) = 2𝑥³ − 7𝑥2 + 2𝑥 + 1 por 𝐻(𝑥) = 𝑥 − 4
Solução:
Sabemos que para o divisor, a raiz de 𝑥 − 4 = 4
4 | 2 -7 2 1
---------------------- | 2 1 6 25 = RESTO
1o passo: desce o primeiro coeficiente;
2o passo: (2 x (4)) – 7 = 1;
3o passo: (1 x (4)) + 2 = 6;
0
25
28 Matemática Mais Do Que Básica
4º passo: (6 x (4)) + 1 = 25.
Com isso obtemos o novo polinômio 2𝑥² + 𝑥 + 6 com resto igual a 25. Podemos tirar a prova: H(x) . Q(x) + R(x) = P(x).
(𝑥 − 4). (2𝑥2 + 𝑥 + 6) + 25 = 2𝑥³ − 7𝑥2 + 2𝑥 + 1
29 Matemática Mais Do Que Básica
11. TRIGONOMETRIA
Pode-se dividir a trigonometria em dois sub tópicos:
i. Trigonometria em um triângulo retângulo;
ii. Trigonometria em um triângulo qualquer.
Para o primeiro temos:
Figura 2 – Triângulo retângulo
11.1. Observações:
A hipotenusa é o lado do triângulo que é oposto ao ângulo de 90º;
Os catetos são os outros lados do triângulo.
Ao falarmos sobre triangulo retângulo, o tópico mais importante que deve ser
relevado é a aplicação do teorema de PÍTAGORAS, onde:
ℎ² = 𝑎² + 𝑏²
A hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos catetos ao quadrado.
Pode-se aplicar também as funções trigonométricas:
𝑠𝑒𝑛𝑜 = 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 = 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
30 Matemática Mais Do Que Básica
Cateto Oposto: cateto que esta “sendo visto” pelo ângulo analisado
Cateto Adjacente: cateto que esta junto ao ângulo analisado.
Como um dos ângulos internos possui o valor de 90º a soma dos outros
ângulos também possui o valor de 90º - (ângulos complementares) - pois a soma
dos ângulos internos de um triangulo é 180º, com isso apresentamos os ângulos
notáveis.
Tabela – Ângulos notáveis
30° 45° 60°
Seno 1
2 √2
2
√3
2
Cosseno √3
2
√2
2
1
2
Tangente √3
3
1 √3
11.2. Exemplo:
1 – Encontre o valor de h no triangulo abaixo:
Figura 3 – Triângulo retângulo exercício
31 Matemática Mais Do Que Básica
Solução:
Temos duas opções para encontrarmos h:
i.
𝑙2 = (𝑙
2) ² + ℎ²
ℎ² = 𝑙² − 𝑙²
4
ℎ² = 3. 𝑙²
4
ℎ =𝑙√3
2
ii.
tg 60𝑜 = ℎ
𝑙2
ℎ = 𝑙√3
2
Observação.: podemos encontrar qualquer valor do triangulo a partir das
relações explicitadas acima, desde ângulos até lados – Se tivermos um lado e um
ângulo ou se tivermos dois lados.
11.3. Lei dos senos:
Figura 4 – Lei dos senos
32 Matemática Mais Do Que Básica
𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝑎=
𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝑏=
𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝑐= 2𝑅
11.4. Exemplo:
2 – Encontre o valor de dab no triangulo abaixo utilizando a lei dos senos:
Figura 5 – Exercício Lei dos senos
Solução:
100
𝑠𝑒𝑛 45=
𝑑𝑎𝑏
𝑠𝑒𝑛 120→ 100
√22
= 𝑑𝑎𝑏
√32
√2
2 . 𝑑𝑎𝑏 = 100 .
√3
2→ √2 . 𝑑𝑎𝑏 = 100 . √3
𝑑𝑎𝑏 = 100 . √3
√2→ 𝑑𝑎𝑏 =
100 . √3 . √2
√2 . √2
𝑑𝑎𝑏 = 100 .√6
2→ 𝑑𝑎𝑏 = 50√6 ~ 122,5 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
33 Matemática Mais Do Que Básica
11.5. Lei dos cossenos:
Figura 6 – Lei dos cossenos
𝐴² = 𝐵² + 𝐶² − 2. 𝐵. 𝐶. 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝐵² = 𝐴² + 𝐶² − 2. 𝐴. 𝐶. 𝑐𝑜𝑠𝐵
𝐶² = 𝐴² + 𝐵² − 2. 𝐴. 𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝐶
Observação: A aplicação da lei dos cossenos no triangulo retângulo
𝑐𝑜𝑠(90°) = 0 portanto resume-se em A² = B² + C²
11.6. Exemplo:
3 – Encontre o valor de γ no triângulo dado:
Figura 7 – Exercício Lei dos cossenos
34 Matemática Mais Do Que Básica
Solução:
𝑦2 = 72 + 52 − 2 . 7 . 5 . 𝑐𝑜𝑠120
𝑦2 = 49 + 25 − 70 . (−𝑐𝑜𝑠60)
𝑦2 = 49 + 25 + 70 .1
2
𝑦2 = 74 + 35
𝑦2 = 109
𝑦 = √109
11.7. Observações ciclo trigonométrico:
Vale ressaltar os ângulos comuns para que possamos trocar o sinal ao
usarmos as funções trigonométricas exemplo, o ângulo de 120o (segundo quadrante)
corresponde ao de 60o (primeiro quadrante), portanto, seus valores em módulo são
iguais. O seno de 60o vale √3
2 e o de 120o vale também
√3
2, já o cosseno de 60o vale 1
e o de 120o vale -1.
Figura 8 – Ciclo trigonométrico seno
Figura 9 – Ciclo trigonométrico cosseno
35 Matemática Mais Do Que Básica
Figura 10 – Ciclo trigonométrico tangente
Exemplo
4 – Calcule:
a) cos(750°)
Solução:
Pela definição dada, tem-se:
cos(750°) = cos(750° − 2 . 360°) = cos(750° − 720°)
cos(750° − 720°) = cos(30°)
Logo,
cos(750°) = cos(30°) =√3
2
b) cos9𝜋
4
Solução:
Pela definição dada, tem-se:
cos (9𝜋
4) = cos (
9𝜋
4− 2𝜋) = cos (
𝜋
4)
cos (9𝜋
4) = cos (
𝜋
4) =
√2
2
36 Matemática Mais Do Que Básica
12. EXERCÍCIOS
Os exercícios abaixo foram classificados de acordo com os níveis de
dificuldade apresentado. A classificação é dada por:
● Fácil ●● Médio ●●●Difícil
● 1) (PUC) Sejam Q e I os conjuntos dos números racionais e irracionais,
respectivamente. Então, sempre é verdadeira a afirmação:
a) x ∈ I; y ∈ I ⇒ x + y ∈ I
b) x ∈ I; y ∈ I ⇒ x.y ∈ I
c) x ∈ Q; y ∈ I ⇒ x – y ∈ I
d) x ∈ Q; y ∈ Q ⇒ x/y ∈ Q
e) n.d.a
● 2) (EPCAR) Qual das proposições abaixo é falsa?
a) Todo número real é irracional
b) Todo número natural é inteiro
c) Todo número irracional é real
d) Todo numero inteiro é racional
e) Todo número natural é raciona
● 3) (UFMG) Seja N o conjunto dos números naturais
k = {3x/x ∈ N}, L = {5x/x ∈ N} e M = {15x/x ∈ N}. Qual a afirmativa correta?
a) k ∪ L = M
b) N – L = M
c) k ∩ L = M
d) k ⊂ L
e) k – L = M
37 Matemática Mais Do Que Básica
● 4) (CESGRANRIO) A intersecção do conjunto de todos os inteiros múltiplos de 6
com o conjunto de todos os inteiros múltiplos de 15 é o conjunto de todos os inteiros
é o conjunto de todos os inteiros múltiplos de:
a) 3
b) 6
c) 10
d) 15
e) 30
● 5) (PUC-SP) Um conjunto de M possui dez números primos, dez números pares e
dez números ímpares. Qual é o menor número de elementos que M pode ter?
a) 31
b) 30
c) 28
d) 20
e) n.d.a
●● 6) (PUC-PR) O número de divisores positivos de 54.63 é:
a) 12
b) 20
c) 40
d) 60
e) 80
●● 7) (UEL) Se o número natural n = 8,27m admite 52 divisores positivos, o valor de
m é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) n.d.a
38 Matemática Mais Do Que Básica
● 8) (Santa Casa) De um aeroporto partem aviões de 10 em 10 minutos para a
cidade A, de 15 em 15 minutos para a cidade B e de 40 em 40 minutos para C. Se
às 12 horas partem aviões para as três cidades, a que horas haverá nova
coincidência dos três horários?
a) 14 horas
b) 16 horas
c) 18 horas
d) 20 horas
e) 22 horas
● 9) (ENEM) Considere dois grupos de agentes censitários, um deles com 66
agentes e o outro, com 72. Os dois grupos serão divididos em equipes de trabalho.
Essas equipes deverão ter o mesmo número de agentes, sendo que todos os
agentes de cada equipe devem ser originários do mesmo grupo. Desse modo, o
número máximo de agentes por equipe será:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
● 10) (PUC–SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na
máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6
dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após
quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia.
● 11) Obter o mínimo múltiplo comum entre os números 250 e 450
a) 2000
b) 2150
c) 2250
d) 2500
e) 4500
39 Matemática Mais Do Que Básica
● 12) (UNIPAR) Supondo que dois pilotos de formula 1 largam juntos num
determinado circuito e completam, respectivamente, cada volta em 72 e 75
segundos, responda depois de quantas voltas do mais rápido, contadas a partir da
largada , ele estará uma volta na frente do outro?
a) 6
b) 9
c) 15
d) 24
e) 25
● 13) Um trabalhador gasta 3 horas para limpar um terreno circular de 5 m de raio.
Quantas horas gastará para limpar um terreno de 10 m de raio?
●● 14) (UNIPAR) Duas jarras iguais contém misturas de álcool e água nas
proporções 3:7 na primeira jarra e 3:5 na segunda jarra. Juntando-se os conteúdos
das jarras, obteremos uma mistura de álcool e água na proporção de:
a) 9:35
b) 3:5
c) 7:13
d) 21:35
e) 27:53
●● 15) (UNIPAR) A torneira x enche um tanque em 3 horas, enquanto que a torneira
y enche o mesmo tanque em 5 horas. Estando as duas torneiras ligadas juntas,
quanto tempo elas levarão para encher o tanque?
a) 1 h 22 min 30 seg
b) 1 h 36 min 30 seg
c) 1 h 46 min 30 seg
d) 1 h 52 min 30 seg
e) 1 h 56 min 30 seg
40 Matemática Mais Do Que Básica
● 16) (FUVEST) São dados três números reais, a < b < c. Sabe-se que o maior deles
é a soma dos outros dois e o menor é um quarto do maio. Então a, b e c são,
respectivamente, proporcionais a:
a) 1, 2 e 3
b) 1, 2 e 5
c) 1, 3 e 4
d) 1, 3 e 6
e) 1, 5 e 12
● 17) (UFLA) Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica,
respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da
firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em
partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio receberá,
respectivamente:
a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00
b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00
c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00
d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00
e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00
● 18) (UNIPAR) A pressão P e o volume V de um gás perfeito mantido a uma
temperatura constante satisfazem a lei de Boyle PV = K(cte). Se aumentarmos a
pressão em 25%, em quantos por cento diminuirá o volume do gás.
a) 15%
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) 40%
● 19) (VUNESP) Em um concurso participaram 3000 pessoas e foram aprovadas
1800. A razão do número de candidatos aprovados para o total de candidatos
participantes do concurso é:
a) 2 3⁄
b) 3 5⁄
c) 5 10⁄
d) 2 7⁄
e) 6 7⁄
41 Matemática Mais Do Que Básica
● 20) (UNIPAR) Uma loja de eletrodomésticos em Umuarama vende seus produtos
nas seguintes condições: (I) à vista com desconto de 20% sobre o preço de tabela
ou no cheque, para 30 dias, com acréscimo de 10% sobre o preço de tabela. Um
artigo que à vista sai por R$ 128,00 no cheque sairá por:
a) R$ 140,80
b) R$ 152,00
c) R$ 160,00
d) R$ 176,00
e) R$ 182,00
● 21) (ENEM) Em um curso de inglês, as turmas são montadas por meio da
distribuição das idades dos alunos. O gráfico abaixo representa a quantidade de
alunos por suas idades. A porcentagem de alunos com que será formada uma turma
com idade maior ou igual a 18 anos é:
a) 11%
b) 20%
c) 45%
d) 55%
e) 65%
● 22) (UEM) Quando um lado de quadrado aumenta 20%, de quantos por cento
aumenta sua área?
42 Matemática Mais Do Que Básica
● 23) (PUC-Rio) Em uma turma de Ciências da Computação formada de 40 rapazes
e 40 moças, tem-se a seguinte estatística:
20% dos rapazes são fumantes
30% das moças são fumantes
Logo, a porcentagem dos que não fumam na turma é de:
a) 25%
b) 50%
c) 60%
d) 65%
e) 75%
●● 24) (PUC-Rio) Maria comprou duas bicicletas por um total de R$ 670,00. Vendeu
uma das bicicletas com lucro de 10% e a outra com prejuízo de 5%. No total, ela
ganhou R$ 7,00. Quais foram os preços de compra?
a) R$ 370,00 e R$ 300,00
b) R$ 270,00 e R$ 400,00
c) R$ 277,00 e R$ 400,00
d) R$ 200,00 e R$ 470,00
e) R$ 377,00 e R$ 293,00
●● 25) (UEM) Um investidor aplicou no mercado de ações 5 milhões de reais, sendo
1/5 da aplicação nas ações A e o restante nas ações B. Em uma semana, as ações
A subiram 50% enquanto as ações B caíram 30%. Qual a porcentagem
correspondente à perda do investidor nessa semana?
● 26) (UFMG) O preço de venda de determinado produto tem a seguinte composição: 60% referentes ao custo, 10% referentes ao lucro e 30% referentes a impostos. Em decorrência da crise econômica, houve um aumento de 10% no custo desse produto, porém, ao mesmo tempo, ocorreu uma redução de 20% no valor dos impostos. Para aumentar as vendas do produto, o fabricante decidiu, então, reduzir seu lucro à metade.
É CORRETO afirmar, portanto, que, depois de todas essas alterações, o preço do produto sofreu redução de:
a) 5% b) 10% c) 11% d) 19%
43 Matemática Mais Do Que Básica
● 27) (UFRN) Uma gravura de forma retangular, medindo 20 cm de largura por 35 cm de comprimento, deve ser ampliada por 1,2 m de largura. O comprimento será:
a. 0,685 m b. 6,85 m c. 2,1 m d. 1,35 m e. n.d.a
● 28) (FEI-SP) O valor da expressão B = 5.108.4.10-3 é:
a) 206
b) 2.106
c) 2.109
d) 20.10-4
● 29) Há aproximadamente 6,01x1023 átomos de Hidrogênio em um grama, Calcule
a massa aproximada, em grama de um átomo de Hidrogênio.
● 30) (MACK) Sendo 2x = b, então 2-2+3x vale:
a) 3b2
b) b/3
c) b3/4
d) 4b
e) 2b2/3
● 31) (E.S.A) A diferença 270,3333... – 160,75, é:
a) 5
b) 6
c) -5
d) -6
e) 2
●● 32) O matemático De Morgan, que viveu no século XIX, propôs o seguinte
enigma à respeito de sua idade: “Eu tinha x anos em x2”. Em que ano ele nasceu?
a) 1764
b) 1806
c) 1843
d) 1849
e) 1936
44 Matemática Mais Do Que Básica
● 33) (UEL) Se x = 2.10-12, y = 50.10-11 e z = 3.10-10, então:
a) x < y < z
b) x < z < y
c) y < x < z
d) z < x < y
e) z < y < x
● 34) (√−83
𝑎)−1
pode ser escrito como:
a) a/2
b) 2/a
c) -2/a
d) –a/2
e) n.d.a
● 35) √90 + √90 + √90 + √100 é igual a:
a) 9
b) 10
c) 90
d) 100
e) n.d.a
●● 36) A expressão 𝑥1/2+𝑦1/2
(𝑥𝑦)1/2 vale:
a) 𝑥+2√𝑥𝑦+𝑦
𝑥𝑦
b) 𝑥+2√𝑥𝑦+𝑦
𝑥𝑦(𝑥+𝑦)
c) 𝑥√𝑦+𝑦√𝑥
𝑥𝑦
d) 𝑥+𝑦
√𝑥+𝑦
e) n.d.a
45 Matemática Mais Do Que Básica
● 37) Racionalizando a expressão √8+√6
√2 obtemos:
a) 3√2
b) 2 + √3
c) 2√3
d) 2√6
e) n.d.a
● 38) (UEL) Racionalizando-se 10
√18+2√2, obtém-se:
a) √2
b) 2√2
c) 3√2
d) 4√2
e) 5√2
● 39) (UNIPAR) Assinale a alternativa correta:
a) (0,99)2 > (0,99)3
b) (0,99)7 < (0,99)8
c) (0,99)4 > (0,99)3
d) (0,99)0,99 > (0,99)0.90
e) (0,99)-2 < 1
● 40) (UFRGS) O valor da expressão (−5)2−42+(
1
5)0
3(−2)+1
a) -4
b) 1/9
c) 1
d) 5/4
e) 9
46 Matemática Mais Do Que Básica
●● 41) (UFRGS) A expressão 5 √6412
−√18
√50− √3244
a) √2+3√3
4√2
b) 5√2
c) √3
d) 8√2
e) 1
●● 42) (UFRGS) Sendo n > 1, a expressão 1
√𝑛−
1
√𝑛+1 é equivalente a:
a) √𝑛−1
𝑛(𝑛−1)
b) √𝑛
𝑛+√𝑛
c) √𝑛
𝑛+√𝑛
d) √𝑛
𝑛
e) √𝑛−𝑛
𝑛+1
●● 43) (FUVEST) Simplifique √228+230
10
3
a) 28
5
b) 29
5
c) 28
d) 29
e) (258
10)
1
3
● 44) (UNIPAR) O valor de 44.94.49.99 é igual a:
a) 1313
b) 133
c) 3613
d) 3636
e) 129626
47 Matemática Mais Do Que Básica
● 45) (UEM) Considerando que x2 = 53, y3 = 54 e z6 = 5, então o valor de n que
satisfaz a igualdade 5n = (xyz)24 é:
●● 46) (FUVEST) Um foguete é equipado com um sistema de propulsão que lhe
confere uma velocidade continuamente crescente, de tal forma que, a partir da
velocidade de 100 km/h, a cada 80 litros de combustível consumido ocorre um
acréscimo de 20% em sua velocidade. Logo após o lançamento, observa-se que no
combustível é de 2000 litros. Determine a velocidade do foguete no instante em que
termina o combustível.
a) 100.0,225
b) 100.1,225
c) 1025
d) 1,225
e) 1225
● 47) Se os números x, y e z são tais que: 𝑥2 = 9, 𝑦 = √9 𝑒 𝑧 = √−273
então:
a) 𝑥 = 3, 𝑦 = 3 𝑒 𝑧 = −3
b) 𝑥 = ±3, 𝑦 = ±3 𝑒 𝑧 = −3
c) 𝑥 = ±3, 𝑦 = ±3 𝑒 𝑧 ∉ 𝑅
d) 𝑥 = ±3, 𝑦 = 3 𝑒 𝑧 ∉ 𝑅
e) n.d.a.
● 48) O número √2√3√534
é igual a:
a) √288024
b) √3024
c) √309
d) 1
e) 4
● 49) Racionalizando a expressão √8+√6
√2 obtemos:
a) 3√2
b) 2 + √3
c) 2√3
d) 2√6
e) n.d.a
48 Matemática Mais Do Que Básica
●● 50) (ITA) Racionalize a fração 1
√23+ √43
a) √23− √43
−2
b) √23
+ √43
c) √23
− √43
d) √43+2 √2
3−2
6
e) n.d.a
●● 51) (UNIPAR) Chama-se cosseno hiperbólico de x e seno hiperbólico de x, e
representam-se respectivamente por cosh(x) e senh(x), os nos cosh(𝑥) =𝑒𝑥+𝑒−𝑥
2
e 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) =𝑒𝑥− 𝑒−𝑥
2. Então (cosh(x))2 –(senh(x))2, é igual a:
a) 0
b) 1
c) e
d) ex
e) ex + e-x
● 52) (UNIPAR) O valor de x que verifica a equação 2𝑥−1
3−𝑥+1
4=3
5 é igual a:
a) 71/25
b) 41/25
c) 48/25
d) 17/60
e) 5/12
● 53) (FUVEST) O dobro de um número mais a sua terça parte, mais a sua quarta
parte somam 31. Determine o número.
49 Matemática Mais Do Que Básica
● 54) (ENEM) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar
acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram
duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos
de um valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por
km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas
apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas
uma delas poderá ser contratada.
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da
rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das
propostas apresentadas?
a) 100n + 350 = 120n + 150
b) 100n + 150 = 120n + 350
c) 100(n + 350) = 120 (n + 150)
d) 100(n + 350 000) = 120(n + 150 000)
e) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000)
● 55) (UFPR) De acordo com a Organização Mundial de Saúde, um Índice de Massa
Corporal inferior a 18,5 pode indicar que uma pessoa está em risco nutricional. Há,
inclusive, um projeto de lei tramitando no Senado Federal, e uma lei já aprovada no
Estado de Santa Catarina, proibindo a participação em eventos de modelos que
apresentem esse índice inferior a 18,5. O Índice de Massa Corporal de uma pessoa,
abreviado por IMC, é calculado através da expressão
𝐼𝑀𝐶 =𝑚
ℎ2
em que m representa a massa da pessoa, em quilogramas, e h sua altura, em
metros. Dessa forma, uma modelo que possua IMC = 18,5 e massa corporal de 55,5
kg, tem aproximadamente que altura?
a) 1,85 m
b) 1,81 m
c) 1,77 m
d) 1,73 m
e) 1,69 m
50 Matemática Mais Do Que Básica
●● 56) (UNEMAT) A professora Ana Maria precisa comprar 80 unidades de material
para a sua aula, entre eles, lápis, canetas e cadernos. Espera comprar os lápis a R$
1,00 cada, as canetas a R$ 2,00 e os cadernos a R$ 4,00. Arrecadou dos alunos
R$ 230,00 para esta compra.
Se o número de cadernos deve ser igual ao número de lápis e canetas juntos, a
solução para esta compra será:
a) 40 lápis, 35 canetas e 5 cadernos
b) 5 lápis, 35 canetas e 40 cadernos
c) 10 lápis, 30 canetas e 40 cadernos
d) 20 lápis, 20 canetas e 40 cadernos
e) 15 lápis, 25 canetas e 40 cadernos.
● 57) Quarenta pessoas em excursão pernoitam em um hotel. Somados, os homens
despendem R$ 2.400,00. O grupo de mulheres gasta a mesma quantia, embora
cada uma tenha pago R$ 64,00 a menos que cada homem. Denotando por x o
número de homens do grupo, uma expressão que modela esse problema e permite
encontrar tal valor é:
a) 2400x = (2400 + 64x)(40 – x)
b) 2400(40 – x) = (2400 – 64x)x
c) 2400x = (2400 - 64x)(40 – x)
d) 2400(40 – x) = (2600 + 64x)x
●● 58) (UNICAMP) Recentemente, um órgão governamental de pesquisa divulgou
que, entre 2006 e 2009, cerca de 5,2 milhões de brasileiros saíram da condição de
indigência. Nesse mesmo período, 8,2 milhões de brasileiros deixaram a condição
de pobreza. Observe os percentuais da população brasileira enquadrados nessas
duas categorias, em 2006 e 2009.
51 Matemática Mais Do Que Básica
Após determinar a população brasileira em 2006 e em 2009, resolvendo um sistema
linear, verifica-se que:
a) O número de brasileiros indigentes passou de 19,0 milhões, em 2006, para
13,3 milhões, em 2009.
b) 12,9 milhões de brasileiros em indigentes em 2009.
c) 18,5 milhões de brasileiros eram indigentes em 2006.
d) Entre 2006 e 2009, o total de brasileiros incluídos nas faixas de pobreza e de
indigência passou de 36% para 28% da população.
● 59) (UERGS) Sendo S a soma e P o produto das raízes da equação 2x2 – 5x – 7 =
0, pode-se afirmar que:
a) S – P = 6
b) S + P = 2
c) S.P = 4
d) S/P = 1
e) S < P
●● 60) (FUVEST) A soma e o produto das raízes da equação de segundo grau
(4𝑚 + 3𝑛)𝑥2 − 5𝑛𝑥 + (𝑚 − 2) = 0
Valem, respectivamente, 5/8 e 3/32. Então m+n é igual a:
a) 9
b) 8
c) 7
d) 6
e) 5
●● 61) (ENEM) O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da
região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações
deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4
300 vagas no setor, totalizando 880 605 trabalhadores com carteira assinada.
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o
mesmo nos seis primeiros meses do ano.
52 Matemática Mais Do Que Básica
Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de
trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o
segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas
quantidades nesses meses é
a) 𝑦 = 4 300𝑥
b) 𝑦 = 884 905𝑥
c) 𝑦 = 872 005 + 4 300𝑥
d) 𝑦 = 876 305 + 4 300𝑥
e) 𝑦 = 880 605 + 4 300𝑥
● 62) (PUC-Rio) As duas soluções de uma equação do 2º grau são -1 e 1/3. Então a
equação é:
a) 3𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0
b) 3𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0
c) 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0
d) 3𝑥2 − 2𝑥 − 1 = 0
e) 3𝑥2 − 𝑥 + 1 = 0
● 63) (ENEM) O Índice de Massa Corporal (IMC) é largamente utilizado há cerca de
200 anos, mas esse cálculo representa muito mais a corpulência que a adiposidade,
uma vez que indivíduos musculosos e obesos podem apresentar o mesmo IMC.
Uma nova pesquisa aponta o Índice de Adiposidade Corporal (IAC) como uma
alternativa mais fidedigna para quantificar a gordura corporal, utilizando a medida do
quadril e a altura. A figura mostra como calcular essas medidas, sabendo-se que,
em mulheres, a adiposidade normal está entre 19% e 26%.
53 Matemática Mais Do Que Básica
Uma jovem com IMC = 20 kg/m², 100 cm de circunferência dos quadris e 60 kg de
massa corpórea resolveu averiguar seu IAC. Para se enquadrar aos níveis de
normalidade de gordura corporal, a atitude adequada que essa jovem deve ter
diante da nova medida é
(Use √3 = 1,7 𝑒 √1,7 = 1,3)
a) Reduzir seu excesso de gordura em cerca de 1%
b) Reduzir seu excesso de gordura em cerca de 27%
c) Manter seus níveis atuais de gordura
d) Aumentar seu nível de gordura em cerca de 1%
e) Aumentar seu nível de gordura em cerca de 27%
● 64) (UEL) Uma das características da sociedade moderna é a identificação cada
vez mais precisa dos indivíduos. Um exemplo é o CPF (Cadastro de Pessoa Física),
um registro na Receita Federal composto por 11 dígitos, sendo os dois últimos
verificadores, para se evitar erros de digitação. O número do CPF tem a seguinte
configuração:
𝑁1𝑁2𝑁3𝑁4𝑁5𝑁6𝑁7𝑁8𝑁9 − 𝑁10𝑁11
Onde N1 a N8 são números-base e N9 define a região fiscal, por exemplo, N9 = 9
para Paraná e Santa Catarina. N10 e N11 verificam os números anteriores. O
algoritmo para obter o digito verificador N11 é calculado a partir da soma:
𝑆10 = 11𝑁1 + 10𝑁2 + 9𝑁3 + 8𝑁4 + 7𝑁5 + 6𝑁6 + 5𝑁7 + 4𝑁8 + 3𝑁9 + 2𝑁10
Dividindo S10 por 11, obtém-se o resto R desta divisão. Se R = 0 ou R = 1, então N11
= 0; caso contrário N11 = 11 – R.
Considerando o número de CPF 094.610.079 – 9X, assinale a alternativa que
representa corretamente o valor de X.
a) 0
b) 3
c) 6
d) 8
e) 10
54 Matemática Mais Do Que Básica
●● 65) (UNICAMP) As companhias aéreas costumam estabelecer um limite de peso
para a bagagem de cada passageiro, cobrando uma taxa por quilograma de excesso
de peso. Quando dois passageiros compartilham a bagagem, seus limites
são considerados em conjunto.
Em um determinado voo, tanto um casal como um senhor que viajava sozinho
transportaram 60 kg de bagagem e foram obrigados a pagar pelo excesso de peso.
O valor que o senhor pagou correspondeu a 3,5 vezes o valor pago pelo casal.
Para determinar o peso excedente das bagagens do casal (x) e do senhor que
viajava sozinho (y), bem como o limite de peso que um passageiro pode transportar
sem pagar qualquer taxa (z), pode-se resolver o seguinte sistema linear:
a) {
𝑥 + 2𝑧 = 60𝑦 + 𝑧 = 603,5𝑥 − 𝑦 = 0
b) {
𝑥 + 𝑧 = 60𝑦 + 2𝑧 = 603,5𝑥 − 𝑦 = 0
c) {
𝑥 + 2𝑧 = 60𝑦 + 𝑧 = 603,5𝑥 + 𝑦 = 0
d) {
𝑥 + 𝑧 = 60𝑦 + 2𝑧 = 603,5𝑥 + 𝑦 = 0
● 66) (ENEM) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água,
equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que
utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias
sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas
Técnicas (ABNT).
Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia
sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por
uma bacia sanitária ecológica?
a) 24 litros
b) 36 litros
c) 40 litros
d) 42 litros
e) 50 litros
55 Matemática Mais Do Que Básica
●● 67) (UDESC) Se ℎ2 =16
2−√2− 4, então o valor absoluto de h é:
a) 12 + 8√2
b) 4
c) 2
d) 2
√3+2√2
e) 2√3 + 2√2
● 68) (ENEM) Um dos estádios mais bonitos da Copa do Mundo na África do Sul é o
Green Point, situado na cidade do cabo com capacidade para 68 000 pessoas.
CENTAURO. Ano 2, edição 8, mar/abr, 2010.
Em certa partida, o estádio estava com 95% de sua capacidade, sendo que 487
pessoas não pagaram o ingresso que custava 150 dólares cada.
A expressão que representa o valor arrecadado nesse jogo, em dólares, é:
a) 0,95 𝑥 68000 𝑥 150 − 487
b) 0,95 𝑥 (68000 − 487) 𝑥 150
c) (0,95 𝑥 68000 − 487) 𝑥 150
d) 95 𝑥 (68000 − 487) 𝑥 150
e) (95 𝑥 68000 − 487) 𝑥 150
●● 69) (UNEMAT) Um trabalhador ganhou, em um dia, R$ 540,00, incluindo o
pagamento de horas extras. O salário (sem horas extras) excede em R$ 200,00 o
que o trabalhador recebeu pelas horas extras. Qual é o seu salário sem horas
extras?
a) R$ 420,00
b) R$ 270,00
c) R$ 245,00
d) R$ 370,00
e) R$ 400,00
56 Matemática Mais Do Que Básica
●● 70) (UFBA) A razão entre a soma e o produto das raízes da equação
2𝑥2 − 14𝑥 + 9 = 0, é:
a) 14/9
b) 2/9
c) -14
d) 63/2
e) -63/2
● 71) (PUC-MG) Um avião levanta voo sob um ângulo de 30°. Então, depois que
tiver percorrido 500 m, conforme indicado na figura, sua altura h em relação ao solo,
em metros, será igual a:
a) 250 m
b) 300 m
c) 400 m
d) 435 m
●● 72) (UNESP) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens
de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B.
Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha rela 50 m para
a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do
mastro, avalia que BAC e BCD valem 30°, e o ângulo ACB cale 105°, como mostra a
figura.
57 Matemática Mais Do Que Básica
A altura h do mastro da bandeira, em metros, é
a) 12,5
b) 112,5√2
c) 25,0
d) 25,0√2
e) 35,0
●● 73) (ITA) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos
pontos A, B e C. O comandante quando o navio está em A, observa um farol em L, e
calcula o ângulo LÂC=30º. Após navegar 4 milhas até B, verifica o ângulo L^BC=75º.
Quantas milhas separam o farol do ponto B?
a) 4
b) 2√2
c) 8
3
d) 2
3
e) n.d.a
●● 74) (ENEM) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a
outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de
15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na
figura como o seguimento AB). Estas torres são um bom exemplo de prisma obliquo
de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
58 Matemática Mais Do Que Básica
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas
decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na
avenida um espaço
a) Menor que 100 m²
b) Entre 100 m² e 300 m²
c) Entre 300 m² e 500 m²
d) Ente 500 m² e 700 m²
e) Maior que 700 m²
●● 75) (ENEM) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros aa
Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em
Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da
região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil
França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada
de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.
59 Matemática Mais Do Que Básica
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da
posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km
da posição vertical do balão, alinhada com a primeira e no mesmo sentido, conforme
se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
●● 76) (ENEM) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para
melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a
situação real na qual os postes são descritos pelo segmento EF, todos
perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos
AD e o BC representam cabos de aço que serão instalados.
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
a) 1 𝑚
b) 2 𝑚
c) 1,4 𝑚
d) 3 𝑚
e) 2√6 𝑚
● 77) Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini, calcule o coeficiente e o resto das
divisões de:
a) 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 10𝑥2 − 8𝑥 − 3 por ℎ(𝑥) = 𝑥 − 5
b) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥2 + 5 por ℎ(𝑥) = 𝑥 − 3
c) 𝑝(𝑥) = 5𝑥5 − 𝑥 + 1 por ℎ(𝑥) = 𝑥 + 1
60 Matemática Mais Do Que Básica
●● 78) (VUNESP) Assinale a alternativa que indica o polinômio que possui os
números 0 e 1 como raízes, sendo 0 uma raiz de multiplicidade 3:
a) 𝑝(𝑥) = 𝑥(𝑥3 − 1)
b) 𝑝(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 1)3
c) 𝑝(𝑥) = 𝑥3(𝑥 − 1)
d) 𝑝(𝑥) = (𝑥3 − 𝑥)(𝑥 − 1)
e) 𝑝(𝑥) = 𝑥(𝑥3 + 𝑥2 − 2)
●● 79) (UDESC) Sejam q1(x) e r1(x), respectivamente, o quociente e o resto da
divisão de f(x) = 6x4 - 5x3 + 7x2 + 5x - 11 por g(x) = 2x2 + x -1. Dividindo q1(x) por
r1(x), encontram-se um novo quociente q2(x) e um novo resto r2(x). Analise as
proposições e classifique (V) para verdadeira ou (F) para falsa.
( ) Os polinômios g(x) e q2(x) admitem uma raiz em comum.
( ) Os termos independentes de f(x) e r2(x) possuem o mesmo valor absoluto.
( ) A soma das raízes de q1(x) é raiz de r1(x).
Assinale a alternativa correta, de cima para baixo.
a) F- V – V
b) V – F – F
c) V – V – F
d) V – F – V
e) F – V – F
●● 80) (UFRN) A respeito do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 2𝑥 − 1, é correto afirmar:
a) É divisível por (x – 1)
b) Possui uma raiz real.
c) O produto de suas raízes é igual a 2.
d) Quando dividido por (x + 2), deixa resto igual a -5.
61 Matemática Mais Do Que Básica
● 81) (UFG) Considere que no primeiro dia do Rock in Rio 2011, em um certo
momento, o público presente era de cem mil pessoas e que a Cidade do Rock, local
do evento, dispunha de quatro portões por onde podiam sair, no máximo, 1250
pessoas por minuto, em cada portão.
Nestas circunstâncias, o tempo mínimo, em minutos, para esvaziar a Cidade do
Rock será de:
a) 80
b) 60
c) 50
d) 40
e) 20
● 82) (UEMG)
Vendas de veículos sobem 0,61% em julho ante junho
Os emplacamentos de veículos novos no mercado brasileiro somaram 306 202 unidades em
julho, ante 304 332 unidades em junho, o que representou uma ligeira alta de 0,61%,
segundo informou hoje a Federação Nacional da Distribuição de Veículos Automotores
(Fenabrave).
(...)
Fonte: em.com.br. Acesso em qº/8/2011.
Considerando que a alta de 0,61% na venda de veículos seja constante nos
próximos meses, pode-se afirmar CORRETAMENTE que o número y de
emplacamentos de veículos novos, no período de x meses, a partir de julho, é
representado pela função
a) 𝑦 = 0,61𝑥 + 306 202
b) 𝑦 = 1 870𝑥 + 306 202
c) 𝑦 = 304 332 + 1 870𝑥
d) 𝑦 = 306 202 − 1 870𝑥
62 Matemática Mais Do Que Básica
● 83) (FUVEST) A equação 2
𝑥2−1+
1
𝑥+1= −1
a) Tem apenas uma raiz real
b) Tem duas raízes reais cuja soma é 1
c) Não tem nenhuma raiz real
d) Tem três raízes reais cuja soma é -1
e) Admite 4 como raiz
● 84) (UFPR) Se as raízes da equação 𝑥2 + 𝑏𝑥 − 29 = 0 são inteiros, calcular | b |.
●● 85) (PUC) Um professor propôs a seus alunos a resolução de certa equação do
2º grau. Um dos alunos copiou errado apenas o coeficiente do termo do 1º grau e
encontrou as raízes 1 e -3; outro, copiou errado apenas o termo constante,
encontrando as raízes -2 e 4. A solução da equação original proposta pelo professor
é:
a) {1, 3}
b) {-3, -1}
c) {-1, 3}
d) {1, 3}
e) n.d.a
63 Matemática Mais Do Que Básica
13. GABARITO
1 – c
2 – a
3 – c
4 – e
5 – d
6 – e
7 – c
8 – a
9 – d
10 – 12 dias
11 – c
12 – e
13 – 12 horas
14 – e
15 – d
16 – c
17 – c
18 – b
19 – b
20 – d
21 – d
22 – 44 %
23 – e
24 – b
25 – c
26 – a
27 – c
28 – b
29 – 1,66 x 10-24
30 – c
31 – c
32 – b
33 – b
34 – d
35 – b
36 – c
37 – b
38 – a
39 – a
40 – e
41 – e
42 – a
43 – d
44 – c
45 – 76
46 – b
47 – a
48 – a
49 – b
50 – e
51 – b
52 – a
53 – 12
54 – a
55 – d
56 – c
57 – c
58 – c
59 – e
60 – a
61 – c
62 – c
63 – a
64 – a
65 – a
66 – b
67 – e
68 – b
69 – d
70 – a
71 – a
72 – b
73 – b
74 – e
75 – c
76 – c
77 – a) Q(x) = 2x² - 8
R(x) = -43
77 – b) q(x)=x³ + 3x²+ 4x + 12
r(x)= 41
77 – c) q(x)=5x4-5x3+5x2-5x+4
r(x) = -3
78 – c
79 – b
80 – b
81 – a
82 – b
83 – a
84 – 28
85 – c
64 Matemática Mais Do Que Básica
REFERÊNCIAS
GIOVANNI, José R., BONJORNO, José R., Matemática Completa. 2.Ed. São Paulo: Editora FTD, 2005. IEZZI, Gelson, et al. Matemática. São Paulo: Atual Editora, 1997. MEDEIROS, Valéria Z., et al. Pré-Cálculo. 2. Ed. São Paulo: Editora Cengage Learning, 2011.
TROTTA, Fernando., IMENES, Luiz M. P., JAKUBOVIC, José. Matemática Aplicada: 2. São Paulo: Editora Moderna, 1979. TROTTA, Fernando., IMENES, Luiz M. P., JAKUBOVIC, José. Matemática Aplicada: 3. São Paulo: Editora Moderna, 1980.