8/14/2019 Matemtica - Resumos Vestibular - Funo Quadrtica
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Funo Quadrtica
Definio
Chama-se funo quadrtica, ou funo polinomial do 2 grau, qualquer funo f de IR em IR
dada por uma lei da forma f(x) = ax2
+ bx + c, onde a, b e c so nmeros reais e a 0.Vejamos alguns exemplos de funo quadrticas:
1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 12. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -13. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 54. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 05. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Grfico
O grfico de uma funo polinomial do 2 grau, y = ax
2
+ bx + c, com a 0, uma curvachamada parbola.
Exemplo:
Vamos construir o grfico da funo y = x2 + x:Primeiro atribumos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em
seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
x y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observao:
Ao construir o grfico de uma funo quadrtica y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
se a > 0, a parbola tem a concavidade voltada para cima;
se a < 0, a parbola tem a concavidade voltada para baixo;
Zero e Equao do 2 Grau
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Chama-se zeros ou razes da funo polinomial do 2 grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, osnmeros reais x tais que f(x) = 0.
Ento as razes da funo f(x) = ax2 + bx + c so as solues da equao do 2 grau ax2 +bx + c = 0, as quais so dadas pela chamada frmula de Bhaskara:
Temos:
Observao
A quantidade de razes reais de uma funo quadrtica depende do valor obtido para oradicando , chamado discriminante, a saber:
quando positivo, h duas razes reais e distintas;
quando zero, h s uma raiz real;
quando negativo, no h raiz real.
Coordenadas do vrtice da parbola
Quando a > 0, a parbola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mnimo V;quando a < 0, a parbola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de mximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V so . Veja os grficos:
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Imagem
O conjunto-imagem Imda funo y = ax2 + bx + c, a 0, o conjunto dos valoresque y pode assumir. H duas possibilidades:
1 - quando a > 0,
a > 0
2 quando a < 0,
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a < 0
Construo da Parbola
possvel construir o grfico de uma funo do 2 grau sem montar a tabela de pares (x, y),mas seguindo apenas o roteiro de observao seguinte:
1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parbola;
2. Os zeros definem os pontos em que a parbola intercepta o eixo dos x;
3. O vrtice V indica o ponto de mnimo (se a > 0), ou mximo (se a< 0);
4. A reta que passa por V e paralela ao eixo dos y o eixo de simetria da parbola;
5. Para x = 0 , temos y = a 02 + b 0 + c = c; ento (0, c) o ponto em que a parbolacorta o eixo dos y.
Sinal
Consideramos uma funo quadrtica y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de xpara os quais y negativo e os valores de x para os quais y positivos.
Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:
1 - > 0Nesse caso a funo quadrtica admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parbola
intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da funo o indicado nos grficos abaixo:
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quando a > 0
y > 0 (x < x1 ou x > x2)y < 0 x1 < x < x2
quando a < 0
y > 0 x1 < x < x2y < 0 (x < x1 ou x > x2)
2 - = 0
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quando a > 0
quando a < 0
2 - < 0
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quando a > 0
quando a < 0
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