Matemática Financeira Aplicada Séries Periódicas Uniformes
Séries Uniformes Postecipadas
Séries Uniformes Antecipadas
Séries Uniformes Diferidas (antecipada/postecipada)
0 1 2 3 4 n
R
0 1 nn-1432
R
nc+3c+2c+1c0
Rcarência
Matemática Financeira Aplicada Valor Presente das Séries Periódicas
Uniformes
( ) 1i1R −+( ) 2i1R −+( ) 3i1R −+( ) 4i1R −+( ) ni1R −+
0 1 2 3 4 n
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]n321
n32
i1...i1i1i1RP
i1R...
i1R
i1R
i1RP
−−−− ++++++++=
+++
++
++
+=
Matemática Financeira Aplicada Valor Presente das Séries Periódicas
UniformesNa fórmula anterior, o somatório entre colchetes representa a soma dos termos de uma progressão geométrica finita. Logo, pode ser reescrita como:
Onde: a1 = primeiro termo da série;an = enésimo termo da série;q = razão da série.
−
−=q1
.qaaRP n1
Matemática Financeira Aplicada Valor Presente das Séries Periódicas
UniformesSubstituindo as respectivas expressões, encontra-se:
Obs: Internacionalmente, chama-se de fator de valor presente o símbolo , onde “n” representa o número de termos da série e “i” a sua taxa de capitalização.
( ) ( ) ( )( ) i%n1
-1-n-1
.Ri11
i1.i1i1RP ¬=
+−
++−+= − a
i%n¬a
Matemática Financeira Aplicada
Valor Presente das Séries Periódicas UniformesExemplo
Calcular o valor das prestações anuais postecipadas iguais e consecutivas que liquidam um débito de $ 200,000 no prazo de seis anos, sendo a taxa de juros efetiva de 18% a.m. para os três primeiros anos e de 20% para os demais.
Matemática Financeira Aplicada
Valor Presente das Séries Periódicas UniformesExemplo – Séries Diferidas
Um financiamento de $ 50,000 será pago em 12 prestações mensais aplicando-se juros efetivos de 8% a.m. Considerando que foi estipulado um período de carência de três meses, calcular o valor das prestações antecipadas e postecipadas.
Matemática Financeira Aplicada
Montante de Séries Periódicas Uniformes
Considerando uma série postecipada, capitalizada por n períodos o valor presente da série:
Obs: Internacionalmente, chama-se de fator de valor futuro o símbolo .
( )( ) ( ) ( )
i%n
nn
n
n
R.S
i1i1RSi1.
.ii11i1RS
¬=
−+=⇒+
+
−+=
s
i%n¬s
Matemática Financeira Aplicada Montante de Séries Periódicas
UniformesExemplo
Inicialmente uma pessoa deveria pagar pela compra de um eletrodoméstico quatro prestações de $ 80 cada (a primeira para 30 dias), mais três prestações de $ 60. Entretanto a loja oferece outro esquema de pagamento em que o cliente faria um único pagamento daqui a 5 meses. Considerando uma taxa de juros de 6%a.m., qual será o valor desse pagamento único?
Matemática Financeira Aplicada
( ) ( ) ( ) ( ) 0i1
R...i1
Ri1
Ri1
R-P n321 =+
−−+
−+
−+
Cálculo das Taxas de Juros em Séries Periódicas Uniformes
A taxa de juros ou taxa interna de retorno de um fluxo uniforme de n pagamentos ou recebimentos é a taxa que capitaliza os termos da série:
Matemática Financeira Aplicada
Cálculo das Taxas de Juros em Séries Periódicas Uniformes
O cálculo da taxa interna de retorno em fluxos multiperiódicos é um processo complexo, resolvido por tentativas ou interpolação linear.Os métodos iterativos indicados são:
Newton-Raphson; Gauss-Cantelli; Método de Karpin; Método de Baily-Lenzi.
Matemática Financeira Aplicada
Cálculo das Taxas de Juros em Séries Periódicas UniformesExemplo
Depositando mensalmente $ 4,000 durante 18 meses, acumulou-se um capital de $124,136.67. Calcular a taxa de juros efetiva mensal ganha pelos depósitos.
Matemática Financeira Aplicada
Séries VariáveisSão comuns as situações em que as projeções dos fluxos de caixa das aplicações financeiras ou dos projetos de investimento são crescentes ou decrescentes ao longo do tempo. Serão estudados dois tipos de fluxos:
Séries variáveis em progressão aritmética; Séries variáveis em progressão geométrica.
Matemática Financeira Aplicada Séries Variáveis – Gradientes Uniformes
Em uma anuidade vencida cujos termos ou rendas variam de acordo com uma lei predeterminada, denomina-se gradiente a diferença entre duas rendas. Cada termo da anuidade é constituído pela renda-base mais os gradientes acumulados.
0 1 2 3 4 5 6
Renda-base
Gradientes
0G1G
2G3G
4G5G
Matemática Financeira Aplicada Séries Variáveis em Progressão Aritmética
Crescente e postecipada0 1 2 3 4 n
0G1G
2G
3G(n-1)G
Sn-1
S3
S2
S1
( )niG S i%n −¬= s
( ) ( )ni1i
G P i%nn −¬+
= s
Matemática Financeira Aplicada Séries Variáveis em Progressão Aritmética
Crescente e antecipada0 1 2 3 4 n
1G2G
3G
nG
Sn
S4
S3
S1
( )[ ]n.i1iG S i%n −¬+= s ( ) ( )
+
−¬+= ni%n n1n.i1
iG P a
4G S2
Matemática Financeira Aplicada Séries Variáveis em Progressão Aritmética
Decrescentes0 1 2 3 4 n
1G
(n-1)G
Pn
P4
P3
P1
( )[ ]i%nni1n
iG S ¬−+= s ( ) ( )[ ]i%n
nn -i1n
i1iG P ¬++
= snG
P2(n-2)G
(n-3)G
Matemática Financeira Aplicada
Séries Variáveis em Progressão AritméticaExemplo
Uma máquina permite uma economia de custos de $ 10,000 no primeiro ano e gradativamente crescente até o quinto ano de suas vida útil. Considerando uma taxa efetiva de 12% a.ª, calcular o valor atual dessa economia de custos.
Matemática Financeira Aplicada Séries Variáveis em Progressão Geométrica
Valor presente de séries crescentes e decrescentes
( )( )( )
+−+−
+=
i1hi1h
i1A P
nn
n
0 1 2 3 4 n-1 n
AAh
Ah²Ah³
Ahⁿ‾²Ahⁿ‾¹
Matemática Financeira Aplicada
Séries Variáveis em Progressão GeométricaExemplo
Uma pessoa pagará mensalmente durante 18 meses uma série de prestações com reajuste mensal de 5%. Considerando que o primeiro pagamento de $ 48,000 será efetuado no fim do primeiro mês, calcular o valor presente da série de prestações a juros efetivos de 7% a.m.
Matemática Financeira Aplicada
Séries Variáveis – PerpetuidadesÉ um conjunto de rendas cujo número não pode ser determinado exatamente, pois é muito grande e tende ao infinito. Pode ser antecipada, postecipada e diferida. Um exemplo são os dividendos pagos pelas empresas.
0 1 2 3 4 5 ∞ tempo
R R R R R R
Matemática Financeira Aplicada
Séries Variáveis – PerpetuidadesPostecipada
AntecipadaiRPP.iR =⇔=
( )i
i1RPi1
iP.R aa
+=⇔
+=
Matemática Financeira Aplicada Séries Variáveis – Perpetuidades
Custo Capitalizado Existem atividades cujos ativos devem ser mantidos
permanentemente, reformados ou substituídos periodicamente através de desembolsos de capital.
0 1 2 k 4 5 ∞ tempo
R R R R R RR
k
C
S S
( )
−+
+=+=1i1
SCPCF k
Matemática Financeira Aplicada
Séries Variáveis – PerpetuidadesExemplo
Uma jazida de ouro com reservas para exploração estimada em mais de cem anos produz lucros médios de $ 4,000,000/ano. Calcular o valor da mina, considerando que nos próximos dois anos a mina não operará por motivos de renovação de equipamentos. O custo de oportunidade do capital é de 15% a.a.
Matemática Financeira Aplicada Séries Variáveis – Perpetuidades
ExemploUm canal de irrigação teve um custo inicial de $ 500,000. O engenheiro projetista estima que para estar permanentemente em condições operacionais, a cada três anos, deve ser realizada uma reforma do canal a um custo aproximado de $ 150,000. Determinar a quantia que deve ser aplicada hoje a juros de 15% a.a., de modo que assegure a reforma perpétua do canal, bem como o custo capitalizado do canal, admitindo-se um custo de capital de 15% a.a.
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