GABARITO
1Matemática A
Matemática A – Extensivo – V. 8
Exercícios
01) B
f(x) = ax
I. x = 2 y = 16 16 = a2 ⇒ fatorando 16 = 42 ⇒ 42 = a2
II. x = –2 y = 1
16
a–2 = 1
16
a–2 = 142
⇒ pela propriedade a–N = 1
aN
a–2 = 4–2
De (I) e (II) podemos afirmar que a = 4, então:
a) log4
116
= x ⇔ 4x =
116
⇒ fatorando 16 = 42 ⇒
4x = 142
⇒ pela propriedade a–N = 1
aN
4x = 4−2 ⇒ x = –2
b) log4 16 = x ⇔ 4x = 16 4x = 42 ⇒ x = 2
Multiplicando (a) . (b) = –2 . 2 = –4
02) B
2 52
77 5 3
log log log
( )( ) ⇒ trocando a base log5 7 = loglog
2
2
75
22
2
27
75
5 3loglog
log log
( )
⇒ pela propriedade a aN M N M( ) = .
22
2
277
55 3log
log.
log log
( ) ⇒ simplificando a fração
log . loglog
log .2 2
22
7 55
7 1=
2 277 3log log( ) ⇒ da propriedade a ba blog =
7 37 3log =
03) B
Do gráfico temosI. y = 0 x = 1 logb 1 = 0 ⇔ b0 = 1
II. y = 1 x = 2 logb 2 = 1 ⇒ b1 = 2
De (I) e (II) podemos afirmar que b = 2.
04) B
f(x) = g(x)2log x = log 2x ⇒ da propriedade loga b
N = N . loga blog x2 = log 2xx2 = 2xx2 – 2x = 0x . (x − 2) = 0x = 0 ou x – 2 = 0 x = 2
Pela condição de existência: logb N ⇒ N > 0 b > 0 e b ≠ 1
Então eles se interceptam quando x = 2.
05) C
g(x) = log2 2x ⇒ pela propriedade logb ac = logb a + logb cg(x) = log2 2 + log2 x ⇒ log2 2 = y ⇔ 2y = 2 ⇒ y = 1g(x) = 1 + log2 x ⇒ g(x) = 1 + f(x)
06) C
x = 16 y = 2logn 16 = 2 ⇔ n2 = 16 ⇒ fatorando 16 = 42
n2 = 42 ⇒ n = 4
Então, f(x) = log4 x, logo f(128) = log4 128 = y ⇔ 4y = 128 ⇒ fatorando 128 = 27 e 4 = 22
22y = 27
2y = 7 ⇒ y = 72
07) B
h(t) = 1,5 + log3 (t + 1)3,5 = 1,5 + log3 (t + 1)3,5 – 1,5 = log3 (t + 1)2 = log3 (t + 1) ⇔ 32 = t + 1 9 = t + 1 9 –1 = t ⇒ 8 = t
08) B
Do gráfico temos x = 4 y = 2logn 4 = 2 ⇔ n2 = 4 ⇒ 4 = 22
n2 = 22 ⇒ n = 2
Então: log2 (2
3 + 8) = log2 (8 + 8) = log2 16 ⇒ fatorando 16 = 24
2x = 24 ⇒ x = 4
GABARITO
2 Matemática A
09) 03
01. Verdadeira. Sabemos que a função logarítmica admite inversa, logo podemos afirmar que ela é bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
02. Verdadeira. y = 3 + log3 (x – 9) x = 3 + log3 (y – 9) x – 3 = log3 (y – 9) ⇔ 3(x – 3) = y – 9 3(x – 3) + 9 = y–1
04. Falso. Por definição, domínio de logb x é R+* .08. Falso. Para uma função ser par f(x) = f(–x), então: f(–x) = 3 + log3 (–x – 9) ≠ 3 + log3 (x – 9) = f(x).16. Falso. x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
Seja x1 = 10, então: f(10) = 3 + log3 (10 – 9) f(10) = 3 + log3 1 ⇒ log3 1 = x ⇔ 3x = 1 f(10) = 3 + 0 3x = 30
f(10) = 3 x = 0
Seja x2 = 36, então: f(36) = 3 + log3 (36 – 9) f(36) = 3 + log3 27 ⇒ log3 27 = x ⇔ 3x = 27 f(36) = 3 + 3 3x = 33
f(36) = 9 x = 3
10) B
I. Falso. log (x2 – x) = 0 ⇔ 100 = x2 – x 1 = x2 – x 0 = x2 – x – 1
xx
x
=−− ± +
⇒±
=+
=−
( )’
"
1 1 42
1 52
1 52
1 52
↗
↘
II. Verdadeiro. f(x) = log (x2 – x) e g(x) = 2 log 2 + log 3. f(x) = g(x) log (x2 – x) = 2 log 2 + log 3 ⇒ pela propriedade
N . logb a = logb aN
log (x2 – x) = log 4 . 3 log (x2 – x) = log 12 (I) x2 – x = 12 x2 – x – 12 = 0
x =−− ± +
⇒±( )1 1 48
21 49
2
x
x
x=± =
=− →1 7
2
4
3↗↘
’
" esse valor não pertence a D.
III. Verdadeiro.
g(x) = 2
103
103 2log log+ ⇒ por mudança de base
logloglog log3 10
103
13
= =
logloglog log2 10
102
12
= =
g x( )log log
= +2
13
31
2g(x) = 2 . log3 + 3 log 2f(x) = g(x)
log(x2 – x) = 2 . log 3 + 3 log 2log(x2 – x) = log 32 + log 23
log(x2 – x) = log 9 . 8log(x2 – x) = log 72x2 – x − 72 = 0
x =± +
⇒±1 1 288
21 289
2
xx
x
x D
=± =
=−∉
1 172
9
8↗↘
↘
’
"
"
11) C
Como as funções 3x e log3 x são inversas, então os gráficos são simétricos em relação a y = x.
12) D
y = log3 x ⇔ 3x = y–1.
13) A
y = 9 . et−
3 + 1
x = 9 . et−
3 + 1
x – 1 = 9 . et−
3
x−19
= et−
3
n x−
19
= n et−
3
n x−
19
= −t3
. n e
−3 .n x−
19
= t
n x−
−1
9
3
= t
n 91
3
x−
= t
GABARITO
3Matemática A
14) A
f(x) = loglog
2
3
xx ⇒ trocando a base do denominador para 2
f(x) =
logloglog
2
2
2 3
xx ⇒ f(x) = log .
log
log22
2
3x
x⇒ simplificando
f(x) = 1 . log2 3 f(x) = 1 .log2 3
Note que f(x) é constante.
15) D
f(x) = logn x A (9, 2)2 = logn 9 ⇔ n2 = 9 ⇒ fatorando 9 = 32
n2 = 32 ⇒ n = 3
* Para B(x, 1) 1 = log3 x ⇔ 31 = x 3 = x
16) D
log2 a + 1
2logb
= 6 ⇒ por mudança de base
logb 2 = loglog
2
2
2b
= 1
2log b
log2 a + 11
2log b
= 6 ⇒ por operação de fração
1 . log2
1b = log2 b
log2 a + log2 b = 6 ⇒ pela propriedade logc a + logc b = logc ablogc ab = 6 ⇒ 26 = ab 64 = ab
17) B
log9 160 = loglog
1609
⇒ fatorando 160 = 10 . 24 e 9 = 32
log9 160 = log .log
10 23
4
2 ⇒ pelas propriedades
log9 160 = log loglog
10 4 22 3+ = 1 4
2+ a
b
18) B
De P.A sabemos que
a2 = a a1 3
2+ ⇒ 2 . a2 = a1 + a3
2 . log4 4x = log2 x + log8 8x ⇒ mudando para a base 2
2 . loglog
2
2
44x = log2 x + log
log2
2
88x
24
2
8
32
22.
loglog
logxx
x= +
log2 4x = log2 x + 13
log2 8x
log2 4x = log2 x + log283 x
log2 4x = log2 x . 83 x
4x = x . 83 x . x3
4x = x . 2 . x3
42
xx
= x3
2 = x13 ⇒ x = 8
Então, a1 + a2 + a3 = log2 8 + log4 4 . 8 + log8 8 . 8 log2 8 + log4 32 + log8 64
3 + 52
+ 2 = 6 5 42+ + = 15
2
log2 8 = x ⇔ 2x = 8, log4 32 = y ⇔ 4y = 322x = 23 22y = 25
x = 3 2y = 5 ⇒ y = 52
log8 64 = z ⇔ 8z = 64 23z = 26
3z = 6 ⇒ z = 63
= 2
19) D
log x2
1
22 1
= 0
DP – DS = 022 – log2 x = 04 = log2 x ⇔ 24 = x 16 = x
20) E
log2 (10x + 21) = 2 log2 (x + 2)log2 (10x + 21) = log2 (x + 2)2
10x + 21 = x2 + 4x + 4x2 + 4x – 10x + 4 – 21 = 0x2 – 6x – 17 = 0
xx
x
=± +
⇒±
=+
=−
6 36 682
6 1042
6 1042
6 1042
↗↘
’
"
Condição de existência:I. 10x + 21 > 0 10x > – 21 x > −21
10 ⇒ x > –2,1
GABARITO
4 Matemática A
II. (x + 2)2 > 0 x2 + 4x + 4 > 0
xx
x x=− ± − =
−
=− ⇒ >−
4 16 162
422 2
↗↘
Note que o único valor que satisfaz a condição de existência é:
6 1042
+ .
21) D
2 . log x + log x = 13 log x = 1
log x = 13
1013 = x
22) A
log (3x + 23) – log (2x – 3) = log 4
log 3 232 3xx+( )−( )
= log 4
3 232 3xx+−
= 4
3x + 23 = 4(2x – 3)3x + 23 = 8x – 1223 + 12 = 8x – 3x35 = 5x355
= x
x = 7
23) B
log2 (x2 – 2x + 1) = 2 ⇔
x2 – 2x + 1 = 22
x2 – 2x + 1 = 4x2 – 2x + 1 – 4 = 0x2 – 2x – 3 = 0
x =−− ± +
⇒±( )2 4 12
22 16
2
xx
x=± =
=−2 4
2
3
1↗↘
’
"
Logo, somando as raízes x' + x" = 3 +(–1) = 3 – 1 = 2.
24) 05
log2 (x + 4) + log2 (x – 3) = log2 18log2 (x + 4) . (x – 3) = log2 18(x + 4) . (x – 3) = 18x2 – 3x + 4x – 12 = 18x2 + x – 12 – 18 = 0x2 + x – 30 = 0
x =− ± +
⇒− ±1 1 120
21 121
2
xx
x=− ± =
=−1 11
2
5
6↗↘
’
"
Condição de existência:I. x + 4 > 0 II. x – 3 > 0 x > –4 x > 3
Da intersecção de (I) e (II), então x > 3.Logo, S = {5}.
25) A
log3 (2x – 1) – log3 (5x + 3) = –1
log3 2 15 3
xx−+
= –1 ⇒ 2 15 3
xx−+
= 3–1
2 15 3
xx−+
= 13
3(2x – 1) = 5x + 3 6x – 3 = 5x + 3 6x – 5x = 3 + 3 x = 6
26) D
Resolução:log2 . x
2 – 3 log2 x = 0 trocando log2 x = y (I)y2 – 3y = 0y(y – 3) = 0y' = 0 ou y" = 3 = 0 y" = 3
* Substituindo os valores de y em (I) temos: a log2 x = y' b log2 x = y" a log2 x = 0 ⇔ 20 = x log2 x = 3 ⇔ 23 = x 1 = x 8 = x
Somando as raízes: a + b = 1 + 8 = 9
27) B
log2 (x2 – 7x + 10) – log2 (x – 5) = log2 10 ⇒ pela
propriedade logb a – logb c = logb ac
log2 x x
x
2 7 105
− +−
= log2 10 ⇒ reescrevendo a
equação de 2º grau da forma fatorada
log2 x x
x
−( ) −( )
−( )
5 2
5 = log2 10 ⇒ simplificando
(x – 5) do numerador com o denominador
GABARITO
5Matemática A
log2 (x – 2) = log2 10 x – 2 = 10 ⇒ x = 10 +2 x = 12
28) E
3 log82 x = log2 x ⇒ mudando para base 2
3 . loglog
2
2
2
8x
= log2 x ⇒ log2 8 = y ⇔ 2y = 8
* Encontrando as raízes:
x =± −
⇒±8 64 16
28 48
2
x
x x
x x
=±
=+
⇒ = +
=−
⇒ = −
8 4 32
8 4 3
24 2 3
8 4 3
24 2 3
↗↘
’ ’
" "
Sabemos que x > 2, então analisando as raízes temos:
x' = 4 + 2 3 ⇒ x' ≅ 7,5 > 2
x'' = 4 – 2 3 ⇒ x" ≅ 0,6 < 2
30) B
log (x2 – 1) + colog (x – 1) = 2 ⇒ cologb a = – logb a log (x2 – 1) − log (x – 1) = 2 ⇒ pela propriedade logb a
– logb c = logb ac
log xx
2 11−−
= 2 ⇔ 102 = xx
2 11−−
⇒ por produto notá-
vel a2 − b2 = (a + b)(a – b)
100 = x x
x
+( ) −( )
−( )1 1
1 ⇒ 100 = x + 1
100 – 1 = x ⇒ x = 99
31) C
Sabemos que a razão da P.G é aa
aa
2
1
3
2
= , então:
loglog
loglog
84 8=
x
log x = log . loglog8 8
4 ⇒ fatorando 8 = 23 e 4 = 22
log x = log . loglog2 2
2
3 3
2 ⇒ da propriedade
n . logb a = logb an
log x = 3 2 3 2
2 2
log . log
log⇒ simplificando log 2 do nume-
rador com o denominador
log x = 92
log 2 ⇒ pelas propriedades
n . logb a = logb an e a a
NM NM=
log x = 29
x = 512
x = 16 2
2y = 23
y = 3
3 .log
2
2
23
x
= log2 x
39
32
3
2(: )
(: ).log x = log2 x ⇒ simplificando o numerador e
denominador
1 . log2
2
3
x = log2 x ⇒ multiplicando toda equação por 3
log22 x = 3log2 x ⇒ trocando log2 x = y (I)
y2 = 3y ⇒ y2 – 3y = 0y(y – 3) = 0y' = 0 ou y" – 3 = 0 ⇒ y" = 3
Substituindo y em (I) temos:a log2 x = y' b log2 x = y"log2 x = 0 ⇔ 20 = x log2 x = 3 ⇔ 23 = x 1 = x 8 = x
Somando os valores de x ⇒ 1 + 8 = 9.
29) D
log2 (x – 2) – log4 x = 1 ⇒ trocando por base 2
log2 (x – 2) – loglog
2
2 4x
= 1 ⇒ log2 4 = y ⇔ 2y = 4
2y = 22 y = 2
log2 (x – 2) – 12
. log2 x = 1 ⇒ pelas propriedades
n logb a = logb aN e a
nm = logb anm
log2 (x – 2) . log2 x = 1 ⇒ pela propriedade
logb a – logb c = logb ac
log2
x
x
−
2 =1 ⇒ 21 =
x
x
−2
2 x = x – 2 ⇒ elevando a equação ao quadrado4x = x2 – 4x + 4 x2 – 4x – 4x + 4 = 0x2 – 8x + 4 = 0
GABARITO
6 Matemática A
32) D
* Se N = N1, então: N1 = 120 + 10 log I1 ⇒ pela propriedade N . logb a = logb a
N
N1 = 120 + log I110
* Se N = N2, então: N2 = 120 + 10 log I2 ⇒ pela propriedade N . logb a = logb a
N
N2 = 120 + log I210
* Sabemos que N1 – N2 = 20 dB, então:120 + log I1
10 – (120 + log I210) = 20
120 + log I110 – 120 – log I2
10 = 20
log I210 – log I2
10 = 20 ⇒ pelas propriedades
logb a – logb c = logb ac
e a
bab
N
N
N
=
log II1
2
10
= 20 ⇒ 1020 = II1
2
10
⇒ elevando os dois lados
da equação a 110
10201
10 1
2
101
10
( ) =
II
⇒ pela propriedade a aN MNM( ) =
102 = II1
2
33) E
log3 (1 – cos x) + log3 (1 + cos x) = –2 ⇒ pela propriedade: logb a – logb c = logb ac
log3 [(1 – cos x) . (1 + cos x)] = –2 ⇒ por produto notável: (a + b)(a – b) = a2 – b2
log3 (1 – cos2 x) = –2 ⇒ sen² x + cos² x = 1 ⇒ sen² x = 1 − cos² x
log3 sen2 x = –2 ⇔ sen2 x = 3–2 ⇒ a–N = 1
aN
sen2 x = 132
sen2 x = 19
⇒ sen x ± 13
Como 0 < x < π, então sen x = 13
.
cos (2x) + sen x = cos 2x = cos2 x – sen2 xcos2 x – sen2 x + sen x ⇒ cos2 x + sen2 x = 1 ⇒cos² x = 1 – sen2 x1 – sen2 x – sen² x + sen x1 – 2 sen2 x + sen x
1 – 2 . ( 19
) + 13
= 1 − 29 +
13
= 9 2 3
9− +
= 109
34) 24
* Primeiro vamos encontrar o valor de p:log2 x – log x – 6 = 0 ⇒ log x = y (I)y2 – y – 6 = 0
y=± +
⇒±1 1 24
21 25
2
yy
y=± =
=−1 5
2
3
2↗↘
’
"
Substituindo y em I temos:ay' = log x b log x = y"3 = log x ⇔ x = 103 log x = –2 ⇔ x = 10–2
Então, p = ab ⇒ p = 103 . 10–2 ⇒ p = 10
* Agora vamos calcular o valor de m:
m = 2 4
8
3 7− −
−
( )p p
p
. ⇒
2 48
3 10 10 7
10
− −
−
( ) . ⇒ fatorando 8 = 23
m = 2 4
2
3 10 3
3 10
− −
− −
( )
( )
. ⇒ note que temos 2
2
30
30
−
− . 43 = 1 . 43
* Com isso podemos afirmar que: 60 < m < 70 e que m > p
35) C
log4 0,5 < log4 0,2 ⇒ 0,5 < 0,2
36) E
log4 (x + 3) ≥ 2
(I) Condição de existência: x + 3 > 0 x > –3
(II) Solução da inequação: log4 (x + 3) ≥ 2 log4 4 ⇒ n logb a = logb a
n
log4 (x + 3) ≥ log4 42 (base > 1)
x + 3 ≥ 42
x + 3 ≥ 16 x ≥ 16 – 3 x ≥ 13
Fazendo a intersecção de (I) e (II) temos x ≥ 13.
37) B
log12
(x – 3) ≥ log12
4
(I) Condição de existência: x – 3 > 0 x > 3
GABARITO
7Matemática A
(II) Solução da inequação: log1
3
(x – 3) ≥ log13
4 (0 < base < 1)
x – 3 ≤ 4 x ≤ 4 + 3 ⇒ x ≤ 7
Fazendo a intersecção de (I) e (II) temos 3 < x ≤ 7.
38) D
log13
x ≥ log13
(4x – 1)
(I) Condição de existência: a) x > 0 e b) 4x – 1 > 0 4x > 1
x > 14
(II) Solução da inequação: log1
3
x ≥ log13
4x – 1 (0 < base < 1)
x ≤ 4x – 1 x – 4x ≤ –1 –3x ≤ –1
x ≤ −−
13
⇒ x ≤ 13
Fazendo a intersecção de (I . a), (I . b) e (II) temos 14
< x ≤ 13
.
39) D
log12
(x2 + 4x – 5) ≥ –4
* Primeiro vamos analisar a condição de existência:x2 + 4x – 5 > 0
* Encontrando as raízes:x2 + 4x – 5 = 0
x =− ± +
⇒− ±4 16 20
214 36
2
yx
x=− ± =
=−4 62
1
5↗↘
’
"
1–5
x
Então, temos x < − 5 ou x > 1 (I).
* Agora vamos analisar a inequação:
log12
(x2 + 4x – 5) ≥ –4 . log12
12 ⇒ pela propriedade
N . logb a = logb aN
log12
(x2 + 4x – 5) ≥ log12
412
−
⇒ pela propriedade
a–N = 1
aN
x2 + 4x – 5 ≤ 24 ⇒ x2 + 4x – 5 ≤ 16x2 + 4x – 5 – 16 ≤ 0 ⇒ x2 + 4x – 21 ≤ 0
* Encontrando as raízes:x2 + 4x – 21 = 0
x =− ± +
⇒− ±4 16 84
2 14 100
2.
xx
x=− ± =
=−4 10
2
3
7↗↘
’
"
3–7
x
Então, temos –7 ≤ x ≤ 3 (II).Fazendo a intersecção entre (I) e (II) temosS = {x ∈R/–7 ≤ x < –5 ou 1 < x ≤ 3}.
40) C
I. Falso. log14
19
= log
log
2
2
1914
⇒ pela propriedade a–N = 1
aN
e fatorando 9 = 32 e 4 = 22
– loglog
22
22
32
−
− ⇒ pela propriedade N . logb a = logb a
N
−−
= =2 3
2 2
31
32
2
22
log
log
loglog
II. Verdadeira.
logloglog
loglog
. log log42
2
2
22 2 215
154
152
12
15 15= = = =
Então 2 152 15log =III. Verdadeira. log1
3
9 < log13
5 (base 0 < b < 1) ⇒ 9 >
5
GABARITO
8 Matemática A
41) C
log12
(x – 1) – log12
(x + 1) < log12
(x – 2) + 1
Primeiro vamos analisar a condição de existência:(I) x – 1 > 0 (II) x + 1 > 0 (III) x – 2 > 0 x > 1 x > –1 x > 2
Então, temos x > 2(a).
* Vamos verificar a inequação:
log12
(x – 1) – log12
(x + 1) < log12
(x – 2) + log12
12
⇒ pelas
propriedades de logaritmos.
log12
xx−+
11
< log12
(x – 2) . 12
(base 0 < b < 1)
xx
x−+>−1
12
2 ⇒ 2x – 2 > x2 – x – 2 ⇒ x2 – 3x < 0 ⇒
encontrando as raízes, temos:x2 – 3x = 0x(x – 3) = 0x' = 0 ou x = 30 < x < 3(b)
Fazendo a intersecção entre (a) e (b), temos:S = {x ∈R / 2 < x < 3}
42) E
log12
(x – 3) > –2
* Analisando a condição de existência:(x – 3) > 0x > 3
Então, temos x > 3 (I).
* Analisando a inequação:
log12
(x – 3) > log12
12
2
−
⇒ (base 0 < b < 1)
x – 3 < 12
2
−
⇒ pela propriedade de potência
x – 3 < 4 ⇒ x < 7 (II)
Fazendo a intersecção entre (I) e (II) 3 < x < 7, então: 6 + 5 + 4 = 15
43) A
12
5 3
+log ( )x
> 1 ⇒ pela propriedade de potência
12
5 3
+log ( )x
> 12
0 ⇒ potência base 0 < b < 1
log5 (x + 3) < 0 ⇒ x + 3 < 50
x + 3 < 1 x < –3 + 1 x < –2 (a)
Pela condição de existência: x + 3 > 0 x > –3 (b)
Fazendo a intersecção entre (a) e (b) temos–3 < x < –2.
44) A
log14
x > log4 7.
* Primeiro vamos mudar a base:
log4 7 = log
log
log14
14
14
7
4
7
1= =
= –log14
7 = log14
7–1 = log14
17
* Voltando para inequação temos:
log14
x > log14
17
⇒ base 0 < b < 1
x < 17
Para comparar a fração, vamos encontrar uma equivalente, então:
x < 17
( )
( )
x
x
2
2
x < 2
14
45) D
log2 (2x + 5) – log2 (3x – 1) > 1
* Primeiro vamos verificar a condição de existência:
(I) 2x + 5 > 0 (II) 3x – 1 > 0 2x > –5 3x > 1
x > – 52
x > 13
Então, temos x > 13
(I).
* Analisando a inequação: log2 (2x + 5) – log2 (3x – 1) > log2 2 ⇒ pela pro-
priedade de logaritmo.
GABARITO
9Matemática A
log2 2 53 1xx+−
> log2 2
2 53 1xx+−
> 2
2x + 5 > 6x – 25 + 2 > 6x – 2x7 > 4x
x < 74
(II)
Fazendo a intersecção entre (I) e (II) temos 13
< x < 74
.
46) C
log3 (3x + 4) – log3 (2x – 1)
Verificando a condição de existência:(I) 3x + 4 > 0 (II) 2x – 1 > 0 3x > –4 2x > 1
x > –43
x > 12
Então, x > 12
(I).
* Analisando a inequação: log3 (3x + 4) – log3 (2x – 1) > log3 3 ⇒ pela propriedade
de logaritmo.
log33 42 1xx+−
> log3 3
3 42 1xx+−
> 3
3x + 4 > 6x – 34 + 3 > 6x – 3x7 > 3x
x < 73
(II)
Fazendo a intersecção entre (I) e (II) temos
12
< x < 73
.
47) A
(log5 x)2 – log5 x – 2 ≤ 0 ⇒ troque log5 x = y (I)y2 – y – 2 ≤ 0
Encontrando as raízes, temos:y2 – y – 2 = 0
y=± +
⇒±1 1 8
21 9
2
yy
y=± =
=−1 3
2
2
1↗↘
’
"
2–1
x
* Substituindo as raízes em (I) temos:a log5 x = y' b log5 x = y"log5 x = 2 log5 x = –1
x = 52 ⇒ x = 25 x = 5–1 ⇒ x = 15
48) E
x2 + 2x + log2 m = 0, para que essa equação tenha raizes Δ ≥ 0, então:
b2 – 4 . a . c ≥ 0 22 – 4 . 1 . log2 m ≥ 0 4 – 4 log2 m ≥ 0 4 ≥ 4 log2 m 4 ≥ log2 m
4
24 ≥ m4 ⇒ m ≤ 2
Pela condição de existência, m > 0. Então, 0 < m ≤ 2
49) E
Analisando o domínio de cada função temos:
I. f(x) = (− − +2 6 82x x
− 2x² − 6x + 8 ≥ 0
Encontrando as raízes:–2x2 – 6x + 8 = 0
x =± +−
⇒±−
6 36 642 2
6 1004.( )
xx
x=− ± =−
=6 10
4
4
1↗↘
’
"
1
–+
–4
x
+
Então, domínio de f(x) = [–4, 1].
GABARITO
10 Matemática A
II. g(x) = log (x + 2) x + 2 > 0 x > –2
–2
+
–
Então, domínio de g(x) = ]–2, +∞).Logo, D(f) ∩ D(g) = ]–2, 1].
50) E
Pela condição de existência: |x – 3| > 0, sabemos que qualquer valor em módulo é maior ou igual a zero, então temos que verificar quando o valor do módulo é diferente de zero, pois o domínio da função logarítmica é estritamente maior que zero.
I. x – 3 ≠ 0 I. x + 3 ≠ 0 x ≠ 3 x ≠ –3
* Analisando a inequação temos: log (|x – 3|) + log (|x +3|) + log 5 – log 23 < log 10 log (|x – 3|) + log (|x + 3|) + log 5 – log 8 < log 10 ⇒ pelas propriedades de logaritmo:
log x x− +
3 3 58
. . < log 10 ⇒ base b > 1
x x− +3 3 58
. . < 10 ⇒ pela propriedade de módulo
|(x – 3)| . |(x + 3)| < 10 85. ⇒ por produto notável
|x2 – 9| < 16
Caso I Caso IIx2 – 9 > –16 x2 – 9 < 16x2 > –16 + 9 x² < 9 + 16x2 > –7 x2 < 25 ⇒ –5 < x < 5
xEntão, o conjunto solução é: S = ]–5, 5[ \ {–3, 3}.
51) 31
01. Verdadeiro. log0,25 32 = x ⇒ (0,25)x = 32
25100
x
= 32 ⇒ fatorando 25 = 52,
100 = 22 . 52 e 32 = 25
52 5
2
2 2.
x
= 25 ⇒ pelas propriedades de potência
2 5 52 2 2− −( ). .x = 25
2–2x = 25
–2x = 5
x = – 52
02. Verdadeiro. x = a
b c
3
2
log x = a
b c
3
2
log x = log a3 – (log b2 + log c12)
log x = 3 log a – 2 log b – 12
log c
04. Verdadeiro. Aplicando a mudança de base
temos: loga b = loglog
c
c
ba
08. Verdadeiro. 4x – 2x = 56 (2x)2 – 2x = 56 ⇒ troque 2x = y (I) y2 – y – 56 = 0
* Encontrando as raízes
y=± +
⇒±1 1 224
21 225
2
yy
y=± =
=−1 15
2
8
7↗↘
’
"
* Substituindo as raízes em (I) temos: a) 2x = y' b) 2x = y" 2x = 8 2x = –7 2x = 23 x x = 3
16. Verdadeiro. 23
23
2 3 17 >
− −, ,
⇒ proprieda-
de de potência
32
32
2 3 17 >
, ,
⇒ base b > 1
2,3 > 1,7
52) 18
01. Falso. log (x2 – 9) ≥ log (3 – x)
* Condição de existência: (I) x2 – 9 > 0 (II) 3 – x > 0 x < –3 ou x > 3 (a) 3 > x (b)
3–3
GABARITO
11Matemática A
* Analisando a inequação: log (x2 – 9) ≥ log (3 –x) x2 – 9 ≥ 3 – x x2 + x – 9 – 3 ≥ 0 x2 + x – 12 ≥ 0
Encontrando as raízes:
x =− ± +
⇒±1 1 48
21 49
2
x
x
x=− ± =
=−1 72
3
4↗↘
’
"
3–4(c)
* Fazendo a intersecção entre (a), (b) e (c) temos:
–3
–4
3
3
3
Então, S = (–∞,–4[.
02. Falso. Seja x = –e, tal que x ∈ R*, então n |x| < ex
n |–e| < e–e
n e < 1ee
1 < 1ee
⇒ 0 < 1e
< 1
04. Falso. ex = ex2
x = x2
x2 – x = 0 x (x – 1) = 0 x = 0 ou x – 1 = 0 x = 1 Note que as duas soluções são inteiras. 08. Falso. Para a > 1, as duas funções são crescentes.
16. Verdadeiro. log 360 = log 23 . 32 . 5 log 360 = log 23 + log 32 + log 5 log 360 = 3 log 2 + 2 log 3 + log 5
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
3
3
5
32. Falso. log N12 =
12
log N = 12
(–3,412) = –1,706.
53) 14
01. Falso. log a5 = log a15 = 1
5log a
02. Verdadeiro. log .loglog
log .loga
a
aa
a
a8
33
1
31= = .
04. Verdadeiro. loga 4 + loga 9 = loga 4 . 9 = loga 22 . 32
= loga (2 . 3)2 = 2 loga 2 . 3 = 2 loga 6.
08. Verdadeiro. 10log3 ⇒ pela propriedade de logarit-mo ⇒ = 3
16. Falso. 2A = loga 5 = loga 52 ≠ loga 2
5 = B
54) F – F – F – V – F
Falso. pHA = 2 pHB
log 1HA+
= 2 log 1HB+
log 1HA+
= log 1HB+
1HA+
= 12
HB+
1HA+
= 12
HB+( )
H HA B+ += ( )2
Falso. Sabemos que o pH da água é 7, também sabe-mos que pH abaixo de 7 é ácido. Para deixar a água com o pH alcalino, é necessário adicionar OH–,
55) V – V – V – V – V
f(x) = 5x e g(x) = log5 x
Verdadeiro. Podemos afirmar que f(x) é crescente, pois a base é maior que zero.
Verdadeiro. Sabemos que a função logarítmica é bije-tora, logo ela é sobrejetora.
GABARITO
12 Matemática A
Verdadeiro. g(f(x)) = log5 f(x) = log5 5
x = = x log5 5 = x . 1 = x Verdadeiro. log5 x = 1 ⇔ 51 = x 5 = x Verdadeiro. Sabemos que f(x) é crescente, então, para
a < b, temos f(a) < f(b).
56) B
log (x + 2) + log (x – 2) = 1log (x + 2)(x – 2) = 1log (x2 – 4) = 1x2 – 4 = 101
x2 – 4 = 10x2 = 10 + 4
x = ± 14
* Analisando a condição de existência, temos:(I) x + 2 > 0 (II) x – 2 > 0 x > –2 x > 2
Fazendo a intersecção de I e II: x > 2 Então, o único valor que pertence ao domínio da função
é 14 .
57) E
log3 (3x) – log9 x – log2 x = 2 log3 3 + log log log3 9 2x x x− − = 2
1 – log9 x = 2
* log13
3x = log13
3 . 19
= log13
13
= 1
1 – 2 = log9 x–1 = log9 x ⇔ x = 9–1
x = 19
58) C
Seja 0 < b < 1, então:a) Falso. logb 10 > logb 2 ⇒ 10 < 2 b) Falso. logb 12 = logb 2
2 . 3 = log 2² + log 3 = log 4 + log 3c) Verdadeiro. logb 18 = logb 2 . 32 = logb 2 + 2 logb 3d) Falso. Basta tomar b = 10−2, pois logb b = 1
e) Falso. logb 53 = logb 513 = 1
3 . logb 5 =
logb 5
3
59) D
log2 a + log .
log .
log
log .
2
2 2
14
12
b c− = 3
log2 a + log log2 2
2 1b c
−−−
= 3
log2 a – log2
2b + log2 c = 3 ⇒ multiplicando por 2
2 log2 a – log2 b + 2log2 c = 6log2 a
2 – log2 b + log2 c2 = 6
log2 a c
b
2 2.
= 6 ⇒ a c
b
2 2. = 26
a cb
2 2. = 64
b = a c2 2
64
60) C
a1 = x; a2 = x . 10x = y; a3 = x . 102x = zlog (xyz) = log (x) . (x . 10x) . (x . 102x)log (xyz) = log (x3 . 103x) = log x3 + log 103x = log (xyz) = 3 log x + 3x log 10
Então:log (xyz) = 3x + 3 log x
61) A
log4 8x = loglog
2
2
84x = log2 8
2x
log2 |x| = log2 82
x ⇒ multiplicando por 2
2 . log2 |x| = log4 8x
Caso I Caso IIlog2 x
2 = log4 8x log2 x2 = –log2 8x
x2 = 8x log2 x2 = log2 (8x)–1
x² − 8x = 0 x2 = 18x
x (–x – 8) = 0 8x3 = 1
x' = 0 ou x" = 8 x3 = 18
x = 18
3
x = 12
Então, 8 + 12
= 16 1
2+
= 172
.
62) D
M = log AA0
l. Falso. 9 = log AA0
⇔ 109 = A
A0
.
GABARITO
13Matemática A
ll. Falso. 5 = log AA0
⇔ 105 = A
A0
100 000 = AA0
.
Ill. Verdadeiro. 8 = log AA0
⇔ 108 = A
A0
107 . 10 = AA0
lV. Verdadeiro. Dos itens acima, é possível afirmar que
quanto menor a magnitude, menor a razão AA0
.
63) E
MW = –10,7 + 23
log M0
7,3 = –10,7 + 23
log M0
7,3 + 10,7 = 23
log M0
18 . 3 = 2 log M0
542
= log M0
27 = log M0 ⇔ 1027 = M0
64) B
h(t) = 1,5 + log3 (t + 1)3,5 = 1,5 + log3 (t + 1)3,5 – 1,5 = log3 (t + 1)2 = log3 (t + 1) ⇔ 32 = t + 1 9 = t + 1 9 – 1 = t 8 = t
65) D
Er = log EL pH = log 1H+
I. Verdadeiro. Para que as dimensões possam ser bem entendidas observando os expoentes das potências na base 10, por isso o uso do logaritmo é justificado.
II. Verdadeiro. 4 = log 1H+
⇔ 104 = 1H+
H+ = 10–4
8 = log 1H+
⇔ 108 = 1H+
H+ = 10–8
Já que 1010
4
8
−
− = 104, a concentração de H+ para pH = 4
é 10 mil vezes maior que a da solução com pH = 8.III. Falso. log EL = 6 ⇔ 106 = EL 103 . 103 = EL
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