Matemtica
POTNCIAS E RAZES1. INTRODUOPitgoras foi um filsofo e matemtico grego. Pitgoras fundou uma sociedade secreta, cientfico-religiosa, cuja finalidade era descobrir a harmonia que preside o Universo e traar, de acordo com ela, a vida individual e do governo das cidades, da seu grande interesse pela matemtica. Os membros dessa sociedade secreta, que sobreviveu at cerca de 400 anos aps a morte de Pitgoras, eram chamados pitagpitagricos. Muitos foram os estudos dos pitagricos sobre matemtica. Entre outros esto: nmeros, medias, propores e seqncias. Na geometria destaca-se a demonstrao do chamado teorema de Pitgoras
(a ) n =Exemplos:
1 an
,
a 0.
1.1) Teorema de PitgorasEm todo triangulo retngulo, o quadrado da medida da hipotenusa igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.B b A c a
1 1 = ; 2 5 25 1 1 1 3 = = 3; 3 1 ( 2,3) 2 = 1 2 = 1 . (2,3) 5,29 5 2 =2.2) Potncia com expoente fracionrioDadosm n
aR
com
a>0
e
m,n Z
temos que
am = a n .2 3
Exemplos:22 = 23 ;3 2
C
a =b +c
2
2
2
3 = 2 33 = 2 32 3 = 3 33. OPERAES COM RADICAIS DE MESMO NDICE 3.1) Adio e SubtraoPara somar ou subtrair radicais do mesmo ndice, basta somar ou subtrair os termos semelhantes.
2. POTENCIAODefinimos a potncia de um nmero real
a
expoente
nN
como:
a = a 4 a a. 4a , n 2 2 1 a 4 4..3n fatores
n
.
Exemplos:
Exemplos:
3 5 2 13 + 4 13 5 = 3 5 5 2 13 + 4 13 = 2 5 + 2 132 3x + 4 2 y 5 3x 3 2 y = 2 3x 5 3x + 4 2 y 3 2 y = 3 3x + 2 y3.2) Multiplicao e divisoPara multiplicar ou dividir radicais de mesmo ndice, basta conservamos o ndice e multiplicamos, ou dividimos, os radicandos.
( 2)3 = ( 2) ( 2) ( 2 ) = 8 1 1 1 1 = = 2 2 2 4Observao:Todo nmero elevado a zero igual a um.2
(a )0 = 1Todo nmero elevado a um igual a prpria base.
Exemplos:
5 20 = 5 20 = 100 = 10 ;
(a )1 = a2.1) Potncia com expoente negativoPara se calcular uma potencia com expoente negativo, basta inverter a base, que o expoente se torna positivo.
4
2 4 8 = 4 2 8 = 4 16 = 4 24 = 2 ; 100 5 = 100 = 20 = 2 5 ; 5
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1
Matemtica
12 12 = = 4 = 2. 3 33.3) PotnciaDados mos que:n
d) e)
aR , a > 0m n m
e
m , n N n 0
te2
a 3 2 x x 1 (2 31 x ) 2
5
( a ) = ( a ). ( 2) = ( 2 )= 2 2 = 2 ( 9 ) = 9 = 81 = 3 =3 3 2 3 2 3 2 3 3 4
Exemplo:
Os resultados de cada operao
(
2+ 8
)
e
2;3
(a) b) c)
2 8
) respectivamente :d) e)
10 e 16 6 e 4. 3 2 e 4.
3 2 e 16 . 2 3 e 4.
33 3 = 33 3
4. RACIONALIZAO DE DENOMINADORESObserve a expresso expresso em outra
1 . 3
Vamos transformar essa equivalente, assim:
3
Simplifique as expresses abaixo:
expresso
1 3
3 3
=
3 9
=
3 3
multiplicamos o numerador e
5 + 4 5 3 5 + 2 5 5 b) 1 3 + 3 2 1 + 2 c) 4 5 10 2 + 80a) 4 (OSEC(OSEC-SP) O produto 0,000015 x 0,000000002 igual a: a)
o denominador por 3 e efetuamos a multiplicao das fraes obtidas. Diremos com isso que racionalizamos o denominador da expresso dada, onde 3 chamado de fator racionalizante. Em geral temos: Para racionalizar uma expresso cujo denominador tem uma raiz quadrada, devemos multiplicar o numerador e o denominador dessa expresso pelo fator racionalizante. A tabela abaixo fornece o fator racionalizante de alguns casos: Tipo de denominador Fator racionalizante
3 10 40 14 b) 3 10 14 c) 30 10
d) e)
30 10 13 3 10 4
a ,a 0 a
a+ b, a, b > 0 a b
a b,a, b > 0
5
(VUNESP) Se x = 10 igual a: a) b)
3
, ento
(0,1).(0,0001).101 10.(0,0001)X 10 X e) 100
a+ b
100 10
d)
Exemplo:Racionalizar
2+ 3 2 32 2 2
c)
(2 + 3 ) (2 + 3 ) = (2 + 3 ) Temos que: (2 3 ) (2 + 3 ) 2 ( 3 )2+4 3 +3 = 43 5+4 3 = = 5+4 3 1
6
CHAGAS(F.C CHAGAS-SP) A expresso te a:
0,000036 80000d) e)
equivalen-
0,45 1012 12 b) 4,5 10 11 c) 4,5 10 .a) 7 Simplifique as equaes: a)
45 10 11 . 45 10 10 .
EXERCCIOS1 Simplifique cada uma das expresses abaixo:
(2.5.3) 2 2 2 3 b) (3 .5 ) 4 5 3 c) (3 2 )a)
6 8+ 2 2 1 1 2
.
b)
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2
Matemticac)
1 2+ 5
.
d) e)
9 . 5
6 10
.
8
(VUNESP)4
O1 2
valor :
numrico
da
expresso 12 (UNIFOR-CE) A expresso (UNIFORa) 2 17 . b) 34 2 . c) 8 2 . d) 5 3 . e) 2 2 .3 2+ 518 + 50 equivalente a:
1 1 4. + 2 4 3 a) . 4 4 . b) 3 1 c) . 3 1 d) . 4 e) 59 (U.CATLICA
13 (UFSE) Racionalizando-se o denominador de obtm-se: a) 2 5 . b)3.
,
DE
SALVADORSALVADOR-BA)
Simplificando-se
3 7 c) 7
1 64 1 a) . 16 1 b) . 64 c) 16 . d) 64 . e) 256 .
4 3
d)
5 2
, obtm-se:
e) 6 5 14 Julgue os itens abaixo, assinalando (V) e (F): 1 a2 + b2 = a + b
2 3 4
7 4 = 3 2300 = 10 3
13 + 5 + 14 + 4 = 1
15 (Fuvest) 10 (U.F.SANTA MARIA-RS) O valor da expresso MARIAigual a: a) 21 . b) 20.1
3
16 81 3
3 4
2 28 + 2 30 10
igual a :
24 82
c) 2 2 . d) 24. e) 26. 11 (FGV-SP) Quando x = 8 e y = 2 , a expresso algbrica (FGVx y x+ y1 . 3 1 b) . 3 1 c) . 5
28 5 29 b) 5 8 c) 2 9 d) 2a)1
2 58 3 e) 10
igual a:
a)
16 (Uni-Rio-RJ) o valor de (Uni-Rioa) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3
15 32 + 25 81
:
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Matemtica17 O resultado de 1- 4 a) 0 e 1. b) 2 e 0. c) 1 e 2. d) 3 e 42
fica entre:
GABARITO1 a) 900 c)312 215 22x 2 e) 2 2x 3
b)
729 15625 a15 d) 10 X
2 3
C a) 3 5 b) 0 c) 6 5
4
B C D a) 2 b) 1 c) 5 2
5 6 7
8 9
A E
10 D 11 A 12 C 13 D 14 V, F, F, F 15 D 16 3 17 A
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