Marília Brasil Xavier
REITORA
Prof. Rubens Vilhena Fonseca
COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA
MATERIAL DIDÁTICO
EDITORAÇÃO ELETRONICA
Odivaldo Teixeira Lopes
ARTE FINAL DA CAPA
Odivaldo Teixeira Lopes
REALIZAÇÃO
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
F676c Fonseca, Rubens Vilhena
Cálculo / Rubens Vilhena Fonseca – Belém: UEPA / Centro de Ciências Sociais e Educação, 2011.
128 p.; iI. ISBN: 978-85-88375-59-8 1.Cálculo diferencial. 2. Cálculo integral. I. Universidade
Estadual do Pará. II. Título. CDU: 517.23 CDD: 515.33
Índice para catálogo sistemático 1. Cálculo: 517.23
BELÉM – PARÁ – BRASIL - 2011 -
5 |
CCaappííttuulloo 11
LLIIMMIITTEESS
O cálculo diferencial e integral se baseia em um procedimento conhecido como limite. O
objetivo desse procedimento é avaliar o que acontece com uma função quando a variável
independente tende a um certo valor.
O limite de uma função pode ser avaliado das seguintes formas:
Graficamente, analisando o comportamento gráfico da função em um software matemático;
Numericamente, substituindo valores na função;
Analiticamente, a partir das técnicas algébricas de resolução.
REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
A operação matemática chamada limite se representa da seguinte forma:
)x(flimpx
Devemos ler essa expressão da seguinte forma: “limite de f(x) quando x tende a p”.
A expressão do limite encerra a seguinte pergunta:
Qual é o valor da função quando x tende a p ?
EXEMPLO
Leia o limite abaixo:
1xlim 2
1x
SOLUÇÃO
O limite deve ser lido da seguinte forma: “Limite de x2+1 quando x tende a 1”.
CAPÍTULO 1
LIMITES
6 |
ANÁLISE GRÁFICA
Esse tipo de análise permite afirmar o valor de um limite apenas olhando o seu gráfico. Por
exemplo, considere a função dada no exemplo anterior:
1xy 2
O seu gráfico é dado por:
Pelo gráfico podemos perceber que, quando x tende a 1, y tende a 2. Então o limite é igual a:
21xlim 2
1x
ANÁLISE NUMÉRICA
Considerando o limite:
)x(flimpx
A análise numérica consiste em avaliar o valor da função quando x vai se aproximando de p.
Essa aproximação deve ser feita de duas maneiras:
Diminuindo o valor de x até chegar em p;
Aumentando o valor de x até chegar em p.
EXEMPLO
Fazer a análise numérica do limite:
1xlim 2
1x
0.5 1 1.5 2
2
3
4
5
x tende a 1
y tende a 2
1xy 2
CAPÍTULO 1
LIMITES
7 |
SOLUÇÃO
Para facilitar o entendimento, vamos construir a seguinte tabela:
x diminuindo até p=1 x aumentando até p=1
x y = x2+1 x y = x2+1
1,1 2,21 0,9 1,81
1,01 2,0201 0,99 1,9801
1,001 2,002001 0,999 1,998001
... ... ... ...
1 2 1 2
É muito importante saber que não estamos interessados no valor da função no ponto x=1,
mas o que acontece com a função quando x se aproxima cada vez mais de 1.
AVALIAÇÃO ANALÍTICA
A avaliação analítica de um limite é feita basicamente através de teoremas e de um pouco de
álgebra. A escolha de uma dentre as várias técnicas de solução depende de como a função se
comporta num determinado valor de x.
Existem dois comportamentos que podem ser esperados de uma função:
Continuidade;
Descontinuidade. Dizemos que uma função é contínua num ponto se não existe nenhum tipo de interrupção na
sua trajetória nesse local. Por outro lado, uma função descontínua apresenta interrupção na sua
trajetória em um ou mais pontos.
EXEMPLO
Imagine duas pessoas subindo um
pequeno morro. A pessoa que vem pela
esquerda, no ponto P, percebe que chegou a
uma altura de 2 metros. A outra pessoa que vem
pela direita, no mesmo ponto P, percebe que
chegou a uma altura de 5 metros.
Podemos então concluir que existe uma
descontinuidade (interrupção) no ponto P, pois o
morro apresentou um salto nesse ponto (de 2
metros para 5 metros).
CAPÍTULO 1
LIMITES
8 |
CONCEITO INFORMAL DE CONTINUIDADE
Observe os gráficos abaixo:
No primeiro gráfico, à medida que nos aproximamos de p pela direita ou pela esquerda, a
função tende a f(p). Identificamos esse tipo de gráfico como sendo de uma função contínua.
No segundo gráfico, à medida que nos aproximamos de p pela direita e pela esquerda, a
função apresenta valores diferentes. Nesse caso, a função tem uma descontinuidade do tipo salto.
Existe ainda uma terceira situação em que a função tem uma descontinuidade do tipo
buraco, ou seja, a função não pode ser calculada em p embora o limite exista.
EXEMPLO
Encontrar o limite:
2x
4xlim
2
2x
SOLUÇÃO
Ao tentarmos substituir x=2 na função aparecerá zero no denominador. Isso aparentemente
nos levaria a pensar que o limite não tem solução. Analisando numericamente esse limite:
x 2x
4x)x(f
2
x 2x
4x)x(f
2
2,1 4,1 1,9 3,9
2,01 4,01 1,99 3,99
2,001 4,001 1,999 3,999
... ... ... ...
2 4 2 4
CAPÍTULO 1
LIMITES
9 |
Como podemos explicar que o limite quando x tende a 2 é igual a 4 e não seja possível
substituir x=2 na função ? vamos enxergar a situação no gráfico:
Chegamos à conclusão que encontrar um determinado limite não quer dizer simplesmente
calcular o valor da função num ponto. Nesse exemplo, a finalidade do limite é descobrir o
comportamento da função quando x tende a 2 e não quando x é igual a 2.
Fica mais fácil verificar que o limite é igual a 4 fazendo a fatoração do numerador:
2
x 2 x 2 x 2
x 4 (x 2) (x 2)lim lim lim(x 2) 2 2 4
x 2 x 2
Na verdade, o que fizemos foi encontrar uma função equivalente à original que fornecesse os
mesmos valores de y quando x tende a 2. Note que a bola aberta no gráfico significa que a função
original não é definida no ponto x=2.
O resultado desse limite fornece a localização do buraco na função.
Podemos resumir as três situações mostradas no seguinte quadro:
Quando a função é contínua
)p(f)x(flimpx
Quando a função não é contínua
)x(flimpx
não existe quando a função apresenta salto em p.
L)x(flimpx
quando a função não é definida em p.
0.5 1 1.5 2 2.5 3
2.5
3
3.5
4
4.5
5
CAPÍTULO 1
LIMITES
10 |
PROPRIEDADES DO LIMITE
O limite apresenta as propriedades listadas abaixo:
(a) )x(flimk)x(fklimpxpx
(b) x p x p x plim[f (x) g(x)] limf (x) limg(x)
(c) )x(glim)x(flim)x(g)x(flimpxpxpx
(d) )x(glim
)x(flim
)x(g
)x(flim
px
px
px, desde que 0)x(glim
px
EXEMPLO
Calcular os limites:
1) 313xlim3x3lim 2
1x
2
1x
2) 523x2limx3lim)x2x3(lim1x
2
1x
2
1x
3) 8535limx3lim5x3lim x
1x
2
1x
x2
1x
4) 5
3
5lim
x3lim
5
x3lim
x
1x
2
1x
x
2
1x
5) )3x(lim
)9x(lim
3x
9xlim
3x
2
3x2
3x já que 0)3x(lim
3x e não atende à propriedade (d).
Nesse caso, podemos apenas fatorar o numerador para obter:
6)3x(lim)3x(
)3x()3x(lim
3x
9xlim
3x3x
2
3x
Para usar essas propriedades, é necessário que os limites existam::
)x(flimpx
e )x(glimpx
CAPÍTULO 1
LIMITES
11 |
LIMITES LATERAIS
A noção de limite lateral surge da necessidade de definirmos qual é o limite de uma função
quando a variável independente tende pela direita e pela esquerda do ponto considerado. Essa
noção é muito importante na caracterização de uma função que possui salto num ponto.
O limite da função f(x) quando x tende a p pela direita é representado da seguinte maneira:
)x(flimpx
Da mesma forma, o limite da função quando x tende a p pela esquerda é representado por:
)x(flimpx
Quando os limites laterais forem diferentes:
)x(flim)x(flim)x(flimpxpxpx
não existe
Nesse caso, a função f(x) apresenta uma descontinuidade do tipo salto em x=p.
EXEMPLO
Calcule os limites laterais em x=1 da seguinte função:
1 xse ,2x
1 xse ,x)x(f
2
SOLUÇÃO
212x2lim)x(flim1x1x
11xlim)x(flim 22
1x1x
Como os limites à esquerda e à direita são diferentes, a função apresenta um salto em x=1 e
é considerada descontínua.
Podemos usar um artifício bem simples para calcular os limites laterais:
)x(flimpx
Nesse caso, substituímos x por p+h e fazemos h tender a zero.
CAPÍTULO 1
LIMITES
12 |
EXEMPLO
Calcular o limite:
3x2lim2x
SOLUÇÃO
Fazendo as devidas substituições:
73)h2(2lim3)hp(2lim3x2lim0h0h2x
)x(flimpx
Nesse caso, substituímos x por p-h e fazemos h tender a zero.
EXEMPLO
Calcular o limite:
3x2lim2x
SOLUÇÃO
Fazendo as devidas substituições:
73)h2(2lim3)hp(2lim3x2lim0h0h2x
O SÍMBOLO
Até uma certa fase dos nossos estudos em matemática, não tínhamos idéia do resultado da
seguinte divisão: 0
1
Vamos agora mostrar o que isso significa. Para isso, chamaremos o denominador dessa
fração de x e diminuiremos o seu valor até zero.
x x
1)x(f
1 1
0,1 10
0,01 100
0,001 1000
... ...
0
CAPÍTULO 1
LIMITES
13 |
Podemos perceber pela tabela que, diminuindo o valor de x cada vez mais, o valor da divisão
aumenta cada vez mais. Quando x é exatamente zero, então a divisão é exatamente o que definimos
como infinito.
Representaremos o infinito pelo símbolo:
Infinito =
A idéia de infinito é de um número tão grande quanto você possa imaginar. Na verdade, se
você imaginar qualquer número nesse momento, então o infinito ainda é maior do que você
imaginou.
O equivalente negativo do infinito é representado pelo símbolo e significa o menor
número negativo que você pode imaginar.
LIMITES NO INFINITO
Existem algumas situações em que necessitamos encontrar o limite de uma função quando a
variável independente tende ao infinito. Esses tipos de limite são expressos por:
)x(flimx
e )x(flimx
EXEMPLO
Calcular o limite:
x
1lim
x
SOLUÇÃO
Vamos fazer uma tabela para avaliar numericamente esse limite:
X x
1)x(f
1 1
10 0,1
1000 0,001
... ...
+ 0
Então:
0x
1lim
x
CAPÍTULO 1
LIMITES
14 |
Graficamente, podemos ver melhor o resultado desse limite:
À medida que x caminha na direção positiva, f(x) tende a zero. Por outro lado, o limite:
0x
1lim
x
À medida que x caminha na direção negativa, f(x) também tende a zero.
Os limites abaixo também resultam no mesmo valor:
0x
1lim...
x
1lim
x
1lim
x
1lim
x
1lim
nx4x3x2xx, para qualquer n>0.
Esses resultados são utilizados quando precisarmos calcular um limite do tipo:
)x(Q
)x(Plim
x, sendo P(x) e Q(x) dois polinômios.
A técnica se resume a dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x
existente nos polinômios P(x) e Q(x), aplicando em seguida o limite.
EXEMPLO
Calcular o limite:
2x2x4
1xx3x5lim
25
35
x
SOLUÇÃO
Dividindo o numerador e o denominador por x5:
CAPÍTULO 1
LIMITES
15 |
53
542
x25
35
x
x
2
x
24
x
1
x
1
x
35
lim2x2x4
1xx3x5lim
Aplicando as propriedades dos limites, teremos como resultado:
4
5
2x2x4
1xx3x5lim
25
35
x
LIMITES INFINITOS
Ao calcularmos os limites laterais de uma função, às vezes nos deparamos com um
crescimento (ou decrescimento) ilimitado. Um exemplo disso são os limites:
x
1lim
0x
e x
1lim
0x
O gráfico da função pode nos fornecer essa informação valiosa:
Aproximação pela direita Aproximação pela esquerda
À medida que x vai se aproximando pela direita de zero, a função tende a crescer
ilimitadamente. Já quando z se aproxima de zero pela esquerda, a função tende a decrescer
ilimitadamente. Isso faz com que os limites respectivamente sejam iguais a:
x
1lim
0x
e x
1lim
0x
Chegamos assim à conclusão que os limites não existem.
CAPÍTULO 1
LIMITES
16 |
APLICAÇÃO DE LIMITES INFINITOS
O conceito de limites infinitos tem aplicações interessantes dentro da Física. Por exemplo,
considere a famosa lei de Ohm:
IRV
Onde:
V é a tensão aplicada em Volts;
R é a resistência elétrica em (Ohms);
I é a corrente elétrica em Ampéres.
Rearranjando a lei de Ohm:
R
VI
Vamos agora analisar o significado do seguinte limite:
R
Vlim
0R
Sabemos que o resultado desse limite é + . Isso significa que, quando a resistência tende a
zero, a corrente elétrica tende ao infinito.
Se dois fios desencapados de um eletrodoméstico se tocarem, a resistência elétrica entre
esses dois fios será igual a zero e, portanto, a corrente tenderá ao infinito. Esse altíssimo valor de
corrente é muito perigoso, pois pode provocar incêndios de grandes proporções.
ASSÍNTOTAS VERTICAIS
Quando os limites são iguais a:
)x(flimpx
ou )x(flimpx
Estamos diante de uma informação importante: a assíntota vertical. A assíntota vertical é
uma reta imaginária que passa exatamente na descontinuidade da função.
CAPÍTULO 1
LIMITES
17 |
A equação da reta imaginária é então dada por:
px
EXEMPLO
Encontrar a assíntota vertical da função:
1x
1)x(f
SOLUÇÃO
A assíntota está localizada em x=1, já que os
limites são iguais a:
1x
1lim
1x
e 1x
1lim
1x
Portanto, a equação da reta vertical imaginária
é igual a:
1x
O gráfico da função pode ser conferido ao
lado.
ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS
Quando os limites no infinito forem iguais a:
L)x(flimx
ou L)x(flimx
A função f(x) se aproxima de uma reta imaginária – a assíntota horizontal. A equação da reta
imaginária é dada então por:
Ly
EXEMPLO
Encontrar a assíntota horizontal da função:
x
1x2)x(f
CAPÍTULO 1
LIMITES
18 |
SOLUÇÃO
Tomando o limite:
2x
12lim
x
1x2lim
xx
Dessa forma, a equação da reta horizontal
imaginária é igual a:
2y
O gráfico da função pode ser conferido ao lado.
APLICAÇÃO DAS ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS
Um exemplo de aplicação da assíntota horizontal é o carregamento da bateria do seu
aparelho celular.
Podemos expressar o percentual de carga P, em função do tempo, pela seguinte função:
)e1(100)t(P kt
Onde k é uma constante que depende da bateria usada no aparelho.
Ao calcularmos o limite:
)t(Plimt
Encontraremos a sua assíntota horizontal:
%100)e1(100)e1(100lim)t(Plim kt
tt
%100y
CAPÍTULO 1
LIMITES
19 |
Isso quer dizer que a carga completa (100% da
capacidade da bateria) ocorrerá teoricamente apenas
num tempo infinito após iniciar o carregamento. Por isso,
o fabricante recomenda no manual do aparelho uma
carga de 1 hora (em média) que corresponde a
aproximadamente 90% da sua capacidade máxima.
LIMITE DE FUNÇÃO COMPOSTA
Algumas funções são compostas de duas ou mais funções elementares, como por exemplo:
)1xln(y 2
Podemos enxergar essa função da seguinte maneira:
ulny , sendo 1xu 2
Desejamos conhecer os limites de tais tipos de funções.
Considere o limite:
x plimf [g(x)]
Se fizermos:
)x(gu
Então:
au quando px
x p u alimf [g(x)] limf (u)
Isso só será válido se )u(flimau
existir.
EXEMPLO
Calcular o limite:
)1xln(lim 2
0x
SOLUÇÃO
CAPÍTULO 1
LIMITES
20 |
Fazendo:
1xu 2
Pela equação anterior, podemos concluir que:
1u quando 0x
Então:
01lnulnlim)1xln(lim1u
2
0x
TEOREMA DO CONFRONTO
O teorema do confronto é um dos teoremas mais úteis no cálculo de limites porque permite
encontrar um resultado baseado em comparações com outros limites conhecidos.
Vamos supor que num determinado intervalo:
)x(h)x(f)x(g
Se:
)x(hlimL)x(glimpxpx
Então:
L)x(flimpx
O teorema do confronto nos diz que se f(x) for maior ou igual a g(x) e menor ou igual a h(x)
num determinado intervalo e se as funções g(x) e h(x) tenderem a um mesmo limite, então f(x)
tenderá a esse limite também.
Graficamente, é mais fácil mostrar o significado desse importante teorema:
CAPÍTULO 1
LIMITES
21 |
LIMITES IMPORTANTES
Vamos discutir dois limites importantes, pois precisaremos dos seus resultados mais adiante
no capítulo de derivadas. Os dois limites são:
x
x x
11lim
x
)x(senlim
0x
Primeiramente, vamos mostrar numericamente que:
e...7182,2x
11lim
x
x
Para avaliar esse limite, vamos montar a seguinte tabela:
x
x
x
11
1 2
100 2,704813...
1.000 2,716923...
1.000.000 2,718280...
1.000.000.000 2,718281...
... ...
+ e
CAPÍTULO 1
LIMITES
22 |
Podemos notar que, à medida que x aumenta, a função dada tende a um valor constante que
chamaremos de e (número de Euler). Já vimos anteriormente que um limite desse tipo define uma
assíntota horizontal dada pela equação: ey
O gráfico da função e da sua assíntota é mostrado abaixo:
Observando atentamente o gráfico, também podemos afirmar que:
ex
11lim
x
x
Queremos agora mostrar que:
1x
)x(senlim
0x
Para avaliar esse limite, vamos montar a seguinte tabela:
x x
)x(sen
0,1 0,99833
0,01 0,99998
0,001 0,99999
... ...
0 1
O gráfico dessa função é dado por:
x + - x
CAPÍTULO 1
LIMITES
23 |
Poderíamos ter calculado o limite através do teorema do confronto. Para isso, devemos
saber que é verdadeira a desigualdade (veja a demonstração no apêndice 2):
)x(tgx)x(sen , para qualquer 0|x| .
Vamos dividir os três membros por sen(x):
)x(sen
)x(tg
)x(sen
x1
A tangente do ângulo x é dada pela seguinte relação trigonométrica:
)xcos(
)x(sen)x(tg
Substituindo na desigualdade, obteremos:
)xcos(
1
)x(sen
x1
Para qualquer 0x , podemos fazer:
)xcos(x
)x(sen1
Vamos calcular os limites das seguintes funções quando x tende a zero:
)xcos(lim11lim0x0x
Então, conforme o teorema do confronto:
1x
)x(senlim
0x
LIMITES IMPORTANTES E FUNÇÃO COMPOSTA
CAPÍTULO 1
LIMITES
24 |
Às vezes, os dois limites importantes mostrados anteriormente não estão na sua forma
padrão. Quando isso acontece, devemos usar o conceito de limite de função composta.
EXEMPLO
Calcular o limite:
x
)x5(senlim
0x
SOLUÇÃO
Primeiro, multiplicamos e dividimos a função por 5:
x5
)x5(sen5
x
)x5(sen
5
5)x(f
Agora, fazemos:
x5u
Pela equação anterior, podemos concluir que:
0u quando 0x
Portanto, o limite é igual a:
515u
)u(senlim5
u
)u(sen5lim
x
)x5(senlim
0u0u0x
EXEMPLO
Calcular o limite:
x
x x
21lim
SOLUÇÃO
Para transformar esse limite na forma padrão, devemos fazer:
u
1
x
2 u2x
Pela equação anterior, podemos concluir que:
u quando x
Isso faz com que o limite seja igual a:
CAPÍTULO 1
LIMITES
25 |
2
2u
u
u2
u
x
xe
u
11lim
u
11lim
x
21lim
CONCEITO RIGOROSO DE LIMITE
Os conceitos de limite mostrados até agora são informais. Matematicamente, precisamos de
uma definição mais precisa.
O limite:
)x(flimpx
É igual a L se, dado um número >0, existe um número >0 (dependendo de ) tal que:
L)x(f quando px
A definição afirma que, escolhendo qualquer positivo de forma que o limite L esteja entre
L+ e L- , existirá um valor positivo tal que p estará entre p+ e p- .
Em poucas palavras queremos dizer que, para pontos vizinhos de p, a função se aproxima do
seu limite L.
Essa definição de limite pode ser verificada através do seguinte gráfico:
EXEMPLO
Demonstre o limite abaixo:
CAPÍTULO 1
LIMITES
26 |
42x
4xlim
2
2x
SOLUÇÃO
Pela definição de limite:
4)x(f quando 2x
Substituindo a expressão de f(x):
42x
4x 2
Fatorando o numerador:
42x
)2x()2x(
O resultado é igual a:
4)2x(
2x
Se escolhermos então a função f(x) se aproximará de 4 quando x tender a 2.
Podemos explicar essa situação de uma maneira bem mas simples. Se escolhermos 1,0
então para valores de x entre 2,1 (=p+ ) e 1,9 (=p- ), o limite da função estará entre 4,1 (=L+ ) e 3,9
(=L- ) já que 1,0 .
LIMITES NO MATHEMATICA
O software Mathematica permite o cálculo de limites através de um comando muito simples:
Limit[expressão, x->a]
Note que o símbolo -> é um sinal de subtração seguido de um sinal de maior.
EXEMPLO
Calcular o limite abaixo no Mathematica:
CAPÍTULO 1
LIMITES
27 |
2x2x4
1xx3x5lim
25
35
x
O seguinte comando deve ser digitado e executado:
Limit[(5*x^5+3*x^3+x+1)/(4*x^5+2*x^2+2), x->Infinity]
O Mathematica fornece 5/4 como resultado.
Podemos também calcular os limites laterais da função através dos seguintes comandos:
Limit[expressão, x->a, Direction->1]
Limit[expressão, x->a, Direction->-1]
No primeiro caso, o comando calcula o limite lateral à esquerda de a na expressão. Já o
segundo caso, o comando calcula o limite lateral à direita de a na expressão.
EXERCÍCIOS
1 – Encontre os seguintes limites:
a) 3x
9xlim
2
3x
b) 1x2
1x4lim
2
2
1x
c) x
xxlim
2
0x
d) 1x
1xlim
1x
f) 1x
2x3xlim
2
1x
g) x
)x(tglim
0x
h) )x2(sen
xlim
0x
i) 1x
2x3x5lim
4
4
x
l)
x
x x
51lim
m)
x
x x5
11lim
n)
1x
x x
21lim
o) x
1
0xx21lim
CAPÍTULO 1
LIMITES
28 |
e) 2x
4x4xlim
2
2x j)
1xx3
3x2x5lim
2
2
x
2 – Calcule o limite:
h
)x(f)hx(flim
0h
Para cada um dos casos abaixo:
a) 2)x(f
b) x3)x(f
c) 2x3)x(f
d) 2x5)x(f
e) 2x3x5)x(f 2
29 |
CCaappííttuulloo 22
DDEERRIIVVAADDAASS
A derivada de uma função é considerada a ferramenta mais importante do cálculo
diferencial. Essa popularidade é resultado das inúmeras aplicações dessa poderosa ferramenta.
Por exemplo, o desenvolvimento de novos aparelhos e o aperfeiçoamento dos já existentes,
de alguma forma, depende do conhecimento da derivada de uma função.
É interessante saber que a derivada nasceu de uma idéia bem simples: o cálculo do
coeficiente angular de uma reta usando limites.
CONCEITO DE DERIVADA
Antes de formalizar a definição de derivada, vamos começar com um exemplo numérico.
EXEMPLO
Considere a seguinte função:
2x)x(f
Primeiramente, vamos escolher dois valores de x:
1x0 e 2x1
Os valores de y correspondentes a esses pontos são:
11)1(fy 20 e 42)2(fy 2
1
Então, a curva da função passa pelos pontos:
)1,1()y,x(P 00
)4,2()y,x(Q 11
Podemos traçar uma reta que passa por P e Q cujo coeficiente angular é dado por:
31
3
12
14
xx
yy
x
ym
01
01
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
30 |
O denominador do coeficiente angular é igual a:
1xxx 01
Graficamente, podemos enxergar melhor essa situação:
Agora vamos fazer:
1,1x1
Então:
21,11,1)1,1(fy 21
Portanto, o ponto Q tem as seguintes coordenadas:
)21,1 , 1,1()y,x(Q 11
O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por:
1,21,0
21,0
11,1
121,1
xx
yy
x
ym
01
01
Sendo que:
1,011,1xxx 01
Novamente, vamos fazer:
01,1x1
Então:
0201,101,1)01,1(fy 21
As coordenadas do ponto Q são iguais a:
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
31 |
)0201,1 , 1,1()y,x(Q 11
O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por:
01,201,0
0201,0
101,1
10201,1
xx
yy
x
ym
01
01
Sendo que:
01,0101,1xxx 01
Vamos colocar todos os resultados obtidos na seguinte tabela:
x m
1 3
0,1 2,1
0,01 2,01
... ...
0 2
À medida que x se aproxima de zero, o ponto Q se aproximará cada vez mais de P e a reta
que corta a função passará a tangenciá-la. O coeficiente angular da reta tangente a f(x) é igual a 2.
A situação, quando x tende a zero, pode ser vista no gráfico abaixo:
Note que esse é um processo limite dado por:
x
ylimm
0x
Onde m é o coeficiente angular da reta tangente a f(x).
Vamos formalizar o conceito de derivada comparando com o exemplo numérico mostrado.
Definimos a derivada de uma função f(x) pelo seguinte limite:
x
)x(f)xx(flim
0x
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
32 |
Vamos mostrar, de uma forma genérica, o significado dessa expressão.
Começamos colocando no gráfico os pontos P e Q:
Note que podemos traçar uma reta que passa por P e Q. O coeficiente angular dessa reta é
dado por:
x
)x(f)xx(f
x)xx(
)x(f)xx(f
xx
yy
x
ym
01
01
À medida que x tende a zero, o ponto Q se aproxima cada vez mais de P:
No limite, quando x tende a zero, a reta tangenciará a função no ponto P. O coeficiente
angular dessa reta é então conhecido como derivada da função:
Derivada = x
)x(f)xx(flim
0x
Alguns autores costumam calcular a derivada através da fórmula equivalente:
Derivada = h
)x(f)hx(flim
0h
A representação de derivada é feita colocando-se um apóstrofo após o símbolo f em f(x):
x 0
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
33 |
)x(f
Então:
x
)x(f)xx(flim)x(f
0x
Pela definição, notamos que a derivada depende do valor de x. Isso significa que podemos
calcular o coeficiente angular da reta tangente à função f(x) para qualquer valor de x escolhido.
No capítulo 1, vimos que o coeficiente angular de uma reta fornece a taxa de variação da
variável y em relação à variável x (por exemplo, graus Celsius por hora ou milhões por ano).
Portanto, a derivada mede a taxa de variação da função f(x) num determinado ponto x, ou
seja, quanto maior o valor da derivada em x então mais inclinada será a função f(x) nesse ponto.
Vamos verificar essa afirmação através do seguinte gráfico:
Podemos perceber que a reta r tem inclinação menor que a reta s. Nesse caso, a derivada em
x1 é menor que a derivada em x2. O resultado é que a função f(x) em x2 é mais inclinada que em x1.
ENCONTRANDO A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
Vamos aplicar o limite que define a derivada para estabelecermos as regras de derivação de
algumas funções.
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
34 |
5)x(f
5)xx(f (para qualquer valor de x, a função será sempre igual a 5)
x
)x(f)xx(flim)x(f
0x
0x
55lim)x(f
0x
Resumo: A derivada de uma função constante é igual a zero.
x5)x(f
x5x5)xx(5)xx(f
x
)x(f)xx(flim)x(f
0x
x
x5x5x5lim)x(f
0x
55limx
x5lim)x(f
0x0x
Resumo: A derivada de uma função linear é igual ao seu coeficiente angular.
2x5)x(f
22222 x5xx10x5)xxx2x(5)xx(5)xx(f
x
)x(f)xx(flim)x(f
0x
x
x5x5xx10x5lim)x(f
222
0x
x
)x5x10(xlim
x
x5xx10lim)x(f
0x
2
0x
x10)x5x10(lim)x(f0x
)x2(5)x(f
Resumo: A derivada de uma função quadrática é igual à sua constante (5) multiplicada pelo
valor do expoente (2) e pela variável x com o expoente reduzido de 1 unidade.
3x5)x(f
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
35 |
)xxx3xx3x(5)xx(5)xx(f 32233
3223 x5xx15xx15x5)xx(f
x
)x(f)xx(flim)x(f
0x
x
x5x5xx15xx15x5lim)x(f
33223
0x
x
)x5xx15x15(xlim
x
x5xx15xx15lim)x(f
22
0x
322
0x
222
0xx15)x5xx15x15(lim)x(f
)x3(5)x(f 2
Resumo: A derivada de uma função cúbica é igual à sua constante (5) multiplicada pelo
valor do expoente (3) e pela variável x com o expoente reduzido de 1 unidade.
A regra geral para o caso de funções com potências de x é dada por:
nxk)x(f
1nxnk)x(f
EXEMPLO
Calcular a derivada da função:
5x10)x(f
SOLUÇÃO
Pela regra geral:
415 x50x510)x(f
Outras funções podem ser enquadradas na forma geral mostrada anteriormente. Por
exemplo:
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
36 |
2 x)x(f
Primeiramente, vamos modificar essa função:
2
1
2 1 xx)x(f
Aplicando a regra da derivada vista anteriormente:
1nxnk)x(f
2
2
12
11
2
1
x2
1
x
1
2
1x
2
1x
2
11)x(f
Resumo: A derivada da função raiz quadrada é formada colocando 1 no numerador, 2
(índice da raiz) no denominador, seguido da raiz quadrada de x.
3 x)x(f
Primeiramente, vamos modificar essa função:
3
1
3 1 xx)x(f
Aplicando a regra da derivada:
1nxnk)x(f
3 2
3
23
21
3
1
x3
1
x
1
3
1x
3
1x
3
11)x(f
Resumo: A derivada da função raiz cúbica é formada colocando 1 no numerador, 3 (índice
da raiz) no denominador, seguido da raiz cúbica de x elevado à potência 2.
4 3x)x(f
Primeiramente, vamos modificar essa função:
4
3
4 3 xx)x(f
Aplicando a regra da derivada:
1nxnk)x(f
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
37 |
4 1
4
14
11
4
3
x4
3
x
1
4
3x
4
3x
4
31)x(f
Resumo: A derivada da função é formada colocando 3 no numerador (potência de x dentro
da raiz), 4 (índice da raiz) no denominador seguido da raiz quarta de x elevado à potência 1.
A regra geral para o caso de funções raiz é dada
por:
q pxk)x(f , com q>p
q pqxq
pk)x(f
EXEMPLO
Encontrar a derivada da função:
5 2x5)x(f
SOLUÇÃO
Aplicando a regra para funções raiz:
5 35 25 x5
10
x5
25)x(f
x
1)x(f
Primeiramente, vamos modificar essa função:
1
1x
x
1)x(f
Aplicando a regra da derivada:
1nxnk)x(f
2
211
x
1x1x)1(1)x(f
Resumo: A derivada da função é formada colocando -1 no numerador, seguido de x
elevado à potência 2 no denominador.
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
38 |
2x
1)x(f
Primeiramente, vamos modificar essa função:
2
2x
x
1)x(f
Aplicando a regra da derivada:
1nxnk)x(f
3
312
x
2x2x)2(1)x(f
Resumo: A derivada da função é formada colocando -2 no numerador, seguido de x
elevado à potência 3 no denominador.
3x
1)x(f
Primeiramente, vamos modificar essa função:
3
3x
x
1)x(f
Aplicando a regra da derivada:
1nxnk)x(f
4
413
x
3x3x)3(1)x(f
Resumo: A derivada da função é formada colocando -3 no numerador, seguido de x
elevado à potência 4 no denominador.
A regra geral esse tipo de função é dada por:
nx
1k)x(f
1nx
)n(k)x(f
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
39 |
EXEMPLO
Encontrar a derivada da função:
4x
3)x(f
SOLUÇÃO
Aplicando a regra estabelecida:
514 x
12
x
)4(3)x(f
EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE
Sabemos calcular o coeficiente angular da reta tangente a f(x). Nesse ponto, vamos encontrar
a equação que define a reta tangente a f(x).
EXEMPLO
Encontrar a equação da reta tangente a 2x)x(f no ponto 3x 0 .
SOLUÇÃO
O coeficiente angular da reta tangente à função 2x)x(f é dada por:
x2)x(f
No ponto 3x 0 , o valor do coeficiente angular é igual a:
632)3(f)x(f 0
Se quisermos saber a equação dessa reta basta saber em que ponto ela passa. No caso,
quando 3x 0 :
93)3(f)x(fy 200
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
40 |
Então, a reta tangente passa pelo ponto P:
)9,3()y,x(P 00
Logo, a equação procurada é dada por:
)xx(m)yy( 00
)xx()x(f)yy( 000
)3x(6)9y(
9x6y
O resultado é mostrado no gráfico ao lado.
É importante notar que o sinal do coeficiente angular indica se a função é crescente ou
decrescente em determinados intervalos. No exemplo anterior, quando x>0, a derivada será sempre
positiva o que quer dizer que a função será sempre crescente nesse intervalo. Por outro lado,
quando x<0, a derivada será sempre negativa o que quer dizer que a função será sempre decrescente
nesse intervalo.
O gráfico abaixo expressa bem o que afirmamos anteriormente:
DERIVADAS DE OUTRAS FUNÇÕES
Derivadas de outras funções podem ser demonstradas através de limites. A tabela a seguir
mostra o resultado desse cálculo.
Função Derivada
)x(sen)x(f )xcos()x(f
)xcos()x(f )x(sen)x(f
)x(tg)x(f )x(sec)x(f 2
f(x)=x2
y=6x-9
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
41 |
xe)x(f xe)x(f
xa)x(f alna)x(f x
xln)x(f x
1)x(f
EXEMPLO
Provar que, se xe)x(f então xe)x(f .
SOLUÇÃO
Primeiramente, devemos calcular:
xxxx eee)xx(f
A derivada da função é dada pelo seguinte limite:
x
1elime
x
)1e(elim
x
)x(f)xx(flim)x(f
x
0x
xxx
0x0x
Para resolver esse limite, vamos fazer:
1eu x )u1ln(x
Pela equação anterior, podemos concluir que:
0u quando 0x
Substituindo no limite:
u
1
0u
u
10u0u
x
0x
)u1ln(lim
1
)u1ln(
1lim
)u1ln(
ulim
x
1elim
1eln
1
)u1(limln
1
x
1elim
u
1
0u
x
0x
Então:
xe)x(f
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
42 |
PROPRIEDADES DA DERIVADA
A derivada de uma função apresenta as seguintes propriedades:
(e) [k f (x)] k f (x)
(f) [f (x) g(x)] f (x) g (x)
(g) [f (x) g(x)] f (x) g(x) f (x) g (x)
(h) 2
f (x) f (x) g(x) f (x) g (x)
g(x) [g(x)], desde que g(x) 0
EXEMPLO
Calcular as derivadas:
1) 2x3)x(f , então x6)x2(3)x(3)x(f 2
2) )xcos(3)x(f , então )x(sen3])x(sen[3])x[cos(3)x(f
3) 23 x2x)x(f , então x4x3)x(2)x()x(f 223
4) )xcos(x)x(f 3 , então ])x[cos(x)xcos()x()x(f 33
)x(senx)xcos(x3)]x(sen[x)xcos(x3)x(f 3232
5) )xcos(
x)x(f
3
, então 2
33
)]x[cos(
])x[cos(x)xcos()x()x(f
)x(cos
)x(senx)xcos(x3
)x(cos
)]x(sen[x)xcos(x3)x(f
2
32
2
32
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Até o momento, aprendemos apenas a calcular a primeira derivada (também chamada de
derivada de primeira ordem). Vamos definir agora as derivadas de ordem superior a um.
A segunda derivada é expressa por:
])x(f[)x(f
Para obtermos a segunda derivada da função, basta derivarmos a primeira derivada.
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
43 |
EXEMPLO
Encontrar a segunda derivada da função:
3x)x(f
SOLUÇÃO
A primeira derivada é dada por:
2x3)x(f
Então, a segunda derivada é igual a:
x6)x2(3)x(f
Definimos as derivadas de ordem três, quatro, cinco e a derivada de ordem n da seguinte
forma:
])x(f[)x(f
])x(f[)x(f )iv(
])x(f[)x(f )iv()v(
])x(f[)x(f )1n()n(
Conforme a última fórmula, se quisermos obter a décima derivada de uma função, então,
precisamos encontrar todas as derivadas de ordem inferior a dez.
EXEMPLO
Encontrar a quinta derivada da função:
10x)x(f
SOLUÇÃO
A primeira derivada é dada por:
9x10])x(f[)x(f
A segunda derivada é igual a:
88 x90)x9(10])x(f[)x(f
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
44 |
A terceira derivada é igual a:
77 x720)x8(90])x(f[)x(f
A quarta derivada é igual a:
66)iv( x5040)x7(720])x(f[)x(f
Finalmente, a quinta derivada é igual a:
55)iv()v( x30240)x6(5040])x(f[)x(f
NOTAÇÃO PARA DERIVADAS
Chamamos de notação à maneira que representamos uma idéia matemática. Por exemplo, a
notação de uma função é feita de uma das seguintes formas:
f(x) ou y
EXEMPLO
A notação de primeira derivada é dada por uma das formas abaixo:
)x(f , y , y ou dx
dy
A última forma é a mais importante e significa a primeira derivada de y em relação a x.
A segunda derivada pode ser representada por uma das formas abaixo:
)x(f , y , y ou 2
2
dx
yd
A notação da terceira derivada é dada por uma das seguintes formas:
)x(f , y , y ou 3
3
dx
yd
E assim sucessivamente, até a n-ésima derivada:
)x(f )n( , )n(y ou n
n
dx
yd
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
45 |
REGRA DA CADEIA
A derivada de uma função composta é conhecida como regra da cadeia, ou seja, desejamos
conhecer a derivada de funções do tipo:
))x(g(fy
Nesse caso, vamos fazer:
)x(gu
Então a função inicial se torna:
)u(fy
A derivada de y em relação a x é dada por:
dx
du
du
dy
du
du
dx
dy
dx
dy
Essa expressão é conhecida como regra da cadeia.
Podemos escrever a regra da cadeia de uma forma mais simples:
)x(u)u(ydx
dy
EXEMPLO
Encontrar a derivada de y em relação a x da função:
)xsen(y 2
SOLUÇÃO
Podemos notar que a função 2x)x(g está dentro da função seno. Devemos fazer então:
2xu
A função y se torna:
)usen(y
A derivada de y em relação a u é igual a:
)ucos()u(y
A derivada de u em relação a x é igual a:
x2)x(u
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
46 |
Então a derivada de y em relação a x é dada por:
)x(u)u(ydx
dy
x2)ucos(dx
dy
Substituindo u por x2 na equação anterior:
x2)xcos(dx
dy 2
EXEMPLO
Encontrar a derivada de y em relação a x da função abaixo:
223 )x2xx(y
SOLUÇÃO
Note que a função x2xx)x(g 23 está dentro da função quadrática. Devemos fazer:
x2xxu 23
A função y se torna então:
2uy
A derivada de y em relação a u é igual a:
u2)u(y
A derivada de u em relação a x é igual a:
2x2x3)x(u 2
Então a derivada de y em relação a x é dada por:
)x(u)u(ydx
dy
)2x2x3(u2dx
dy 2
Substituindo a expressão de u na equação anterior:
)2x2x3()x2xx(2dx
dy 223
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
47 |
Podemos generalizar a regra da cadeia através da seguinte fórmula:
dx
df
df
df...
df
df
df
df
df
dy
dx
dy n
n
1n
3
2
2
1
1
Ou na forma mais simples:
)x(f)f(f...)f(f)f(f)f(ydx
dynn1n32211
EXEMPLO
Encontrar a derivada de y em relação a x da função abaixo:
))x(ln(seny 3
SOLUÇÃO
Para resolver o problema, devemos fazer:
32 xf
A função y se tornará então:
))f(ln(seny 2
Agora fazemos:
)fln(f 21
Isso torna a função y igual a:
)f(seny 1
Começaremos calculando a derivada de f2 em relação a x:
22 x3)x(f
Em seguida, vamos calcular a derivada de f1 em relação a f2:
3
221
x
1
f
1)f(f
O cálculo da derivada de y em função de f1 fornece:
))xcos(ln())fcos(ln()fcos()f(y 3211
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
48 |
A derivada de y em relação a x é dada pela regra da cadeia:
)x(f)f(f)f(ydx
dy2211
2
3
3 x3x
1))xcos(ln(
dx
dy
Finalmente, a derivada de y em relação a x é dada por:
x
))xcos(ln(3
dx
dy 3
APLICAÇÕES DA REGRA DA CADEIA
No capítulo 1, mostramos que a curva de Gauss é dada pela seguinte função:
2x
2
1
e2
1)x(f
Observando f(x) atentamente, podemos identificar uma composição de três funções.
Portanto, para calcularmos a primeira derivada devemos fazer uso da regra da cadeia:
)x(g)g(u)u(fdx
dg
dg
du
du
df
dx
df
Primeiramente, devemos fazer:
x
g
A função f se tornará então:
2g2
1
e2
1f
Agora fazemos:
2g2
1u
Isso torna a função f igual a:
ue
2
1f
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
49 |
Começaremos calculando a derivada de g em relação a x:
1
)x(g
Lembre-se que o parâmetro que aparece em g é constante e a sua derivada é nula. Em
seguida, vamos calcular a derivada de u em relação a g:
g)g(u
O cálculo da derivada de f em função de u fornece:
uuu e2
1)e(
du
d
2
1e
2
1
du
d)u(f
Note que o parâmetro 2
1 é constante, portanto, devemos derivar apenas a função
exponencial.
A derivada de f em relação a x é dada pela regra da cadeia:
)x(g)g(u)u(fdx
df
1
)g(e2
1
dx
df u
Substituindo os valores de u e g:
1x
e2
1
dx
df2
x
2
1
A derivada de f(x) será usada posteriormente para mostrar onde se localiza o ponto de máximo dessa função. Esse resultado é importante, pois nos informa qual é a ocorrência que tem a maior probabilidade de acontecer. Por exemplo, em uma distribuição de alturas dos alunos de uma escola, qual será a altura mais provável de ser encontrada ?
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
50 |
DERIVADA DE FUNÇÃO INVERSA
Vamos dividir por dy o numerador e o denominador da derivada dx
dy:
dydx
dydy
dx
dy
Para encontrar a derivada de uma função inversa, basta aplicar a seguinte regra:
dy
dx
1
dx
dy
EXEMPLO
Encontrar a derivada da função abaixo:
)x(arcseny
SOLUÇÃO
A função inversa de y é dada por:
x)y(sen
Derivando a expressão anterior:
)ycos(dy
dx
Então, a derivada de y em relação a x é igual a:
ycos
1
dx
dy
O segundo membro não pode ficar em função de y. Podemos eliminar a dependência de y
através da relação trigonométrica fundamental:
1ycosysen 22
ysen1ycos 22
22 x1ysen1ycos
Substituindo na expressão da derivada:
2x1
1
dx
dy
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
51 |
Resumo: a derivada da função arco-seno é igual a 2x1
1.
EXEMPLO
Encontrar a derivada da função abaixo:
xlny
SOLUÇÃO
A função inversa de y é dada por:
xe y
Derivando a expressão anterior:
yedy
dx
Então, a derivada de y em relação a x é igual a:
ye
1
dx
dy
O segundo membro não pode ficar em função de y. Podemos eliminar a dependência de y
sabendo que:
xe y
Então:
x
1
dx
dy
Resumo: a derivada da função logaritmo neperiano de x é igual a x
1.
Através desse método, podemos encontrar as seguintes derivadas:
Função Derivada
)xcos(ar)x(f 2x1
1)x(f
)x(arctg)x(f 2x1
1)x(f
x)x(f x2
1)x(f
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
52 |
DERIVADA DE FUNÇÃO IMPLÍCITA
Quando existirem somente ocorrências da variável x no segundo membro da equação de
uma função, então dizemos que a função é explícita. Esse tipo de função possui a seguinte
representação:
)x(fy
EXEMPLO
São funções explícitas:
2x5y 2
)xcos(y
Note que a variável x aparece apenas no segundo membro em todas as funções dadas.
Por outro lado, dizemos que uma função é implícita quando estiver na forma:
0)y,x(f
A derivada desse tipo de função é feita usando as regras e as propriedades das derivadas de
funções explícitas.
EXEMPLO
Encontre a derivada da seguinte função implícita:
02xy 22
SOLUÇÃO
Tomando a derivada em relação a x nos dois membros:
)0(dx
d)2xy(
dx
d 22
Podemos aplicar a propriedade da derivada da soma para encontrar:
)0(dx
d)2(
dx
d)x(
dx
d)y(
dx
d 22
Fazendo 2yu , podemos calcular a derivada do primeiro termo através da regra da cadeia:
dx
dy
dy
du
dx
du
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
53 |
dx
dyy2)y(
dx
d 2
Chamando 2xu , podemos calcular a derivada do segundo termo:
x2dx
du
x2)x(dx
d 2
As derivadas do terceiro termo do primeiro membro e do segundo membro são iguais a zero
já que a derivada de uma constante é igual a zero.
Vamos substituir as derivadas em cada um dos termos da equação de origem:
0x2dx
dyy2
Isolando dx
dy no primeiro membro teremos:
y
x
y2
x2
dx
dy
EXEMPLO
Encontre a derivada da seguinte função implícita:
01xxy 2
SOLUÇÃO
Podemos aplicar a propriedade da derivada da soma para encontrar:
)0(dx
d)1(
dx
d)x(
dx
d)xy(
dx
d 2
O primeiro termo é a derivada do produto de duas funções:
ydx
dyx
dx
dxy
dx
dyx)xy(
dx
d
Chamando 2xu , podemos calcular a derivada do segundo termo:
x2dx
du
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
54 |
As derivadas do terceiro termo do primeiro membro e do segundo membro são iguais a zero
já que a derivada de uma constante é igual a zero.
Vamos substituir as derivadas em cada um dos termos da equação de origem:
0x2ydx
dyx
x
x2y
dx
dy
DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE
Em alguns casos, uma função pode ser contínua mas não ser derivável num ponto. Isso
significa que a continuidade não garante que a função é derivável. Por outro lado, se uma função é
derivável num ponto podemos ter certeza que a função é contínua.
Funções que apresentam pontas ou cantos nos seus gráficos são contínuas mas não são
deriváveis.
EXEMPLO
As funções abaixo são contínuas mas não são deriváveis nas pontas ou cantos:
Gráfico com ponta Gráfico com canto
Quando uma função é contínua mas não é derivável, torna-se impossível traçar uma única
reta tangente nos pontos em que ocorrem os cantos e as pontas. Veja o gráfico:
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
55 |
Note que podemos traçar as retas r e s tangentes à função f(x) no ponto p. Na verdade,
existem infinitas retas que tangenciam a função no ponto p.
Provamos que uma função pode ser contínua mas não derivável através dos limites que
definem a continuidade e a derivada.
INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO
Analisando o sinal da primeira derivada, podemos ter uma idéia do comportamento de uma
determinada função. Observe o gráfico abaixo:
Para cada um dos pontos analisados, podemos observar que o coeficiente angular da reta
tangente à função tem um sinal diferente.
Na primeira reta à esquerda o coeficiente angular é negativo, logo, a reta tangente é
decrescente e a função também está decrescendo. Já na segunda reta à esquerda o coeficiente
angular é positivo, portanto, a reta tangente é crescente e a função está crescendo.
Lembramos que o coeficiente angular da reta tangente à função f(x) é dado pela primeira
derivada de f(x), portanto, o seu sinal mostra onde a função cresce ou decresce.
EXEMPLO
Caracterizar a função abaixo em crescente ou decrescente em x=2.
x27xy 3
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
56 |
SOLUÇÃO
A primeira derivada é dada por:
27x3y 2
No ponto x=2, a primeira derivada é igual a:
152723)2(y 2
Como a primeira derivada é negativa, então a função x27xy 3 é decrescente em x=2.
EXEMPLO
Partindo do exemplo anterior, caracterizar a função em crescente ou decrescente em x=4.
SOLUÇÃO
No ponto x=4, a primeira derivada é igual a:
212743)4(y 2
Como a primeira derivada é positiva, então a função x27xy 3 é crescente em x=4.
CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO
Assim como a primeira derivada, a segunda derivada também tem um significado especial. É
possível demonstrar que a segunda derivada indica a concavidade da função no ponto.
Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade está para cima;
Quando a segunda derivada é negativa, a concavidade está para baixo.
EXEMPLO
Considere a função:
cbxaxy 2
SOLUÇÃO
A segunda derivada é dada por:
bax2y
a2y
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
57 |
O que podemos perceber é que, dependendo do sinal de a, a segunda derivada mostra se a
concavidade da função está para cima ou para baixo.
Como a segunda derivada é constante, então a função possui apenas uma concavidade.
EXEMPLO
Qual é a concavidade da função no ponto x=2 ?
1xx3y 3
SOLUÇÃO
A segunda derivada é dada por:
1x9y 2
x18y
O ponto x=2 "enxerga" a função y com concavidade para cima porque:
36218)2(y é positivo.
EXEMPLO
No exemplo anterior, qual é a concavidade da função no ponto x=-1 ?
SOLUÇÃO
O ponto x=-1 "enxerga" a função y com concavidade para baixo já que:
18)1(18)1(y é negativo.
Em algumas funções, existe um valor de x em que a segunda derivada se anula. Esse ponto é
chamado ponto de inflexão. Nesse caso, o valor de x encontrado separa a função em duas
concavidades diferentes.
EXEMPLO
Encontrar, se houver, o ponto de inflexão da função:
1x12x2y 23
SOLUÇÃO
A segunda derivada é dada por:
x24x6y 2
24x12y
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
58 |
Igualando a segunda derivada a zero:
0y
024x12
24x12
2x
O ponto x=2 separa a função em dois tipos de concavidade. Por exemplo, para qualquer x<2
o valor da segunda derivada é negativo, então a função tem concavidade para baixo. Já para x>2, o
valor da segunda derivada é positivo e a função tem concavidade para cima. Observe o gráfico:
Então 2x é ponto de inflexão.
PONTO DE MÁXIMO E MÍNIMO
Numa função do segundo grau, xv é chamado ponto de máximo ou de mínimo, dependendo
da sua concavidade. Vamos agora formalizar um método para encontrar esse ponto para qualquer
tipo de função.
Sabemos que a primeira derivada fornece o coeficiente angular da reta tangente a qualquer
função. Pois bem, em algumas funções, existe um valor de x em que a primeira derivada se anula.
Nesse ponto x estamos sobre o ponto de máximo ou de mínimo.
EXEMPLO
Imagine uma estrada com altos e baixos. Um automóvel está no ponto mais alto (máximo) ou
mais baixo (mínimo) quando o automóvel se encontra alinhado na horizontal.
Concavidade para cima
Concavidade para baixo
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
59 |
Quando o automóvel está alinhado na horizontal, o coeficiente angular da reta tangente à
estrada é igual a zero (reta com inclinação nula).
Conhecendo a concavidade da função, saberemos se x é um ponto de máximo ou de mínimo.
Essa informação é dada pelo sinal da segunda derivada.
Graficamente, isso significa:
EXEMPLO
Encontrar, se existir, o ponto de máximo ou mínimo da função:
6x5xy 2
SOLUÇÃO
Primeiro, vamos encontrar as duas derivadas da função acima:
5x2y
2y
Igualando a primeira derivada a zero:
0y
05x2
2
5x
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
60 |
Esse ponto é chamado de mínimo já que a função, analisando o sinal da segunda derivada,
tem concavidade para cima. Compare com os cálculos que você já tinha aprendido no capítulo de
funções!
EXEMPLO
Encontrar, se existir, o ponto de máximo ou mínimo da função:
2x27xy 3
SOLUÇÃO
Primeiro, vamos encontrar as duas derivadas da função acima:
27x3y 2
x6y
Igualando a primeira derivada a zero:
0y
027x3 2
27x3 2
3x
Substituindo x=+3 na segunda derivada:
18)3(6)3(y
A função tem concavidade para cima e +3 é o ponto de mínimo.
Agora, substituindo x=-3 na segunda derivada:
18)3(6)3(y
A função tem concavidade para baixo e -3 é o ponto de máximo.
Através do gráfico da função, podemos localizar esses dois pontos:
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
61 |
Pontos de máximo e mínimo podem ser locais ou globais. Um ponto x=p é
chamado de máximo local se não existir um valor da função maior que f(p) na vizinhança
de p.
Por outro lado, um ponto x=p é chamado de mínimo local se não existir um valor
da função menor que f(p) na vizinhança de p.
Um ponto p é chamado máximo global se não existir um valor da função maior que f(p) para
qualquer valor de x dentro do domínio da função. Um ponto p é chamado mínimo global se não
existir um valor da função menor que f(p) para qualquer valor de x dentro do domínio da função.
APLICAÇÕES DE MÁXIMO E MÍNIMO
Mostramos anteriormente que a curva de Gauss:
2x
2
1
e2
1)x(f
Tem derivada igual a:
1x
e2
1
dx
df2
x
2
1
Vamos encontrar onde se localiza o seu ponto de máximo. Primeiramente, devemos igualar a derivada a zero:
0dx
df
01x
e2
12
x
2
1
Alguns termos presentes na equação acima nunca serão iguais a zero, como por exemplo:
2
1 e
1, já que é sempre maior que zero;
2x
2
1
e , pois a função exponencial nunca se anula.
A única possibilidade da derivada se tornar nula acontecerá quando:
0x
Então:
x
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
62 |
Esse resultado nos conduz à seguinte interpretação: a ocorrência que possui a maior possibilidade de acontecimento é a média das ocorrências. Isso significa que, se pesquisarmos as alturas dos alunos de uma escola, será mais provável encontrarmos alunos com a altura média. Para o ponto de máximo, a função f(x) é igual a:
2
1e
2
1)(f
2
2
1
Note que a dispersão das ocorrências, dada por , faz com que a curva de Gauss fique mais
concentrada em torno da média (mais comprimida) ou mais dispersa (mais achatada).
REGRAS DE L’HÔPITAL
As regras de L’Hôpital são usadas nos cálculos de limites dos tipos:
0
0
)x(g
)x(flim
px ou
)x(g
)x(flim
px
Esses limites podem ser resolvidos fazendo:
)x(g
)x(flim
)x(g
)x(flim
pxpx
EXEMPLO
Encontrar o limite:
2x
6x5xlim
2
2x
SOLUÇÃO
O limite dado é do tipo:
0
0
)x(g
)x(flim
px
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
63 |
Devemos então derivar as funções presentes no numerador e no denominador:
6x5x)x(f 2 5x2)x(f
2x)x(g 1)x(g
Então o limite é dado por:
11
5x2lim
2x
6x5xlim
2x
2
2x
Note que:
13xlim2x
)2x()3x(lim
2x
6x5xlim
2x2x
2
2x
EXEMPLO
Encontrar o limite:
2x
6x5xlim
2
2
x
SOLUÇÃO
O limite dado é do tipo:
)x(g
)x(flim
px
Devemos então derivar as funções presentes no numerador e no denominador:
6x5x)x(f 2 5x2)x(f
2x)x(g 2 x2)x(g
Então o limite é dado por:
x2
51lim
x2
5x2lim
2x
6x5xlim
xx2
2
x
Aplicando a propriedade do limite da soma (ou subtração) de funções:
1x
1lim
2
51
2x
6x5xlim
x2
2
x
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
64 |
Tente aplicar a técnica de dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x
para encontrar o resultado do limite e verifique que o resultado é o mesmo.
APLICAÇÕES DA DERIVADA
Vamos escolher algumas aplicações bem simples. A primeira aplicação consiste em analisar o
Movimento Uniformemente Variado (MUV) do ponto de vista da derivada.
Considere a função horária do espaço no MUV:
2
attvs)t(s
2
00
A primeira derivada dessa função em relação a t é dada por:
atv)t(vdt
ds0
A equação acima nos mostra que a taxa de variação do espaço com o tempo é igual à
velocidade instantânea.
Definição: "Velocidade é a taxa de variação do espaço com o tempo". A velocidade
pode ser encontrada derivando a função horária do espaço em relação ao tempo.
Ao calcularmos a derivada da velocidade encontraremos:
adt
dv
A equação acima nos mostra que a taxa de variação da velocidade com o tempo é igual à
aceleração instantânea que, nesse caso, é constante.
Note que a aceleração pode ser obtida derivando uma vez a velocidade ou derivando duas
vezes o espaço:
2
2
dt
sda
dt
dv
Definição: "Aceleração é a taxa de variação da velocidade com o tempo". A aceleração
pode ser encontrada derivando a função horária da velocidade em relação ao tempo.
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
65 |
EXEMPLO
Partindo da seguinte equação horária do espaço:
2t3t32)t(s , sendo s=[m], t=[s], v=[m/s] e a=[m/s2]
Encontrar a expressão da velocidade em função do tempo.
SOLUÇÃO
A velocidade instantânea é dada pela primeira derivada do espaço em relação ao tempo:
t63dt
ds)t(v
Se quisermos calcular a velocidade do móvel no tempo t=2s, devemos fazer:
15263)2(v m/s
Em Economia, precisamos encontrar o número de quantidades produzidas de um produto
que maximiza o lucro.
EXEMPLO
Considere a seguinte função de produção:
12q10q)q(Lucro 2 , sendo Lucro=[em $10.000] e q=[em 1.000 unidades]
Encontre o número de unidades que devem ser produzidas para obtermos lucro máximo.
SOLUÇÃO
A primeira derivada é dada por:
10q2)q(oLucr
A segunda derivada é dada por:
2)q(oLucr
Para o lucro ser máximo, então a primeira derivada deve ser nula e a segunda ser negativa:
0)q(oLucr
010q2
10q2
5q
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
66 |
Como q deve ser expressa em 1.000 unidades, então 5.000 unidades devem ser produzidas
para que o lucro seja máximo.
O valor do lucro máximo é obtido substituindo q=5 na equação:
12q10q)q(Lucro 2
37125105)5(Lucro 2
Como o lucro deve ser dado em $10.000, então o lucro máximo é igual a $370.000.
A última aplicação está relacionada à área de otimização (utilização ótima de recursos).
EXEMPLO
Um papelão quadrado com 120 cm de lado deve ser transformado em uma caixa sem tampa
que permita o maior volume possível. Determinar a medida x do lado de cada quadrado que será
retirado nos quatro cantos do papelão.
Formato para corte e dobradura do papelão
Como o lado do papelão quadrado mede 120cm, o fundo da caixa será um quadrado de lado
(120-2x) cm e a altura da caixa medirá x cm. O volume será dado por:
x14400x480x4)x2120(x)x(V 232
A sua primeira derivada é igual a:
14400x960x12)x(V 2
Igualando a zero:
014400x960x12 2
01200x80x 2
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
67 |
Essa equação possui as seguintes raízes:
60x e 20x
Se 60x cm, o papelão será cortado ao meio e não conseguiremos montar uma caixa. Se
usarmos 20x cm, a caixa terá um fundo quadrado com o lado medindo 80 cm. O volume máximo
será:
2)x2120(x)x(V
000.128)202120(20)20(V 2 cm3
SÉRIES DE POTÊNCIAS DE X
As séries de potências são polinômios com infinitos termos que servem para descrever uma
função f(x) de forma aproximada. Essa abordagem se revela muito interessante no tratamento
computacional aproximado de funções.
Uma função qualquer, que tenha derivadas contínuas até a ordem n, pode ser colocada sob a
forma de série de potências de x:
nn
1n1n
44
33
2210 xaxa...xaxaxaxaa)x(f
É imediato saber que 0a)0(f .
Ao calcularmos a primeira derivada de f(x), encontramos:
1nn
34
23
121 xan...xa4xa3xa2a)x(f
Com 1a)0(f .
Ao calcularmos a segunda derivada de f(x), encontramos:
2nn
24
132 xa)1n(n...xa34xa23a12)x(f
Com 22 a!2a12)0(f .
Ao calcularmos a terceira derivada de f(x), encontramos:
3nn
143 xa)2n()1n(n...xa234a123)x(f
Com 33 a!3a123)0(f .
Ao fazermos esse processo sucessivamente, encontraremos:
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
68 |
Para a derivada n-1:
1n1n
)1n( xa23...)1n(na123...)2n()1n()x(f
Com 1n1n)1n( a)!1n(a123...)2n()1n()0(f
Para a derivada n:
n)n( a123...)2n()1n(n)x(f
Com nn)n( a!na123...)2n()1n(n)0(f
Substituindo cada uma das constantes a0, a1, a2, a3,..., an-1, an na série de potências:
n
)n(1n
)1n(32 x
!n
)0(fx
)!1n(
)0(f...x
!3
)0(fx
!2
)0(fx)0(f)0(f)x(f
Esta série de potências é conhecida como série de MacLaurin e é válida para valores de x
próximos de zero (ponto de referência da série).
EXEMPLO
Colocar xe)x(f em série de potências de x.
SOLUÇÃO
Sabemos que todas as derivadas de f(x) são iguais:
x)n()1n( e)x(f)x(f...)x(f)x(f)x(f)x(f
Então:
1)0(f)0(f...)0(f)0(f)0(f)0(f )n()1n(
A série de potências de f(x) é dada por:
n
)n(1n
)1n(32 x
!n
)0(fx
)!1n(
)0(f...x
!3
)0(fx
!2
)0(fx)0(f)0(f)x(f
!n
x
)!1n(
x...
!3
x
!2
xx1e
n1n32x
EXEMPLO
Calcular 5,0e através da série de potências de x com dois, três e quatro termos. Comparar o
resultado com o valor fornecido pela calculadora.
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
69 |
SOLUÇÃO
O valor fornecido pela calculadora é igual a:
648721271,1e 5,0
Com dois termos:
x1)x(f
5,15,01)5,0(f
Com três termos:
!2
xx1)x(f
2
625,1!2
)5,0(5,01)5,0(f
2
Com quatro termos:
!3
x
!2
xx1)x(f
32
...64583,1!3
)5,0(
!2
)5,0(5,01)5,0(f
32
Note que o resultado se aproxima cada vez mais do valor de 5,0e fornecido pela calculadora.
APLICAÇÕES DE SÉRIES DE POTÊNCIAS DE X
Uma das aplicações de séries de potência é a simplificação do modelo matemático do
funcionamento do diodo. No capítulo 1, mostramos que o funcionamento do diodo pode ser
modelado pela seguinte equação:
T
d
nV
v
DD eIi
Onde:
iD é a corrente total (contínua mais alternada) sobre o diodo;
ID é a corrente contínua sobre diodo;
vd é a tensão alternada sobre o diodo;
VT é a tensão térmica ( 25mV);
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
70 |
n é uma constante que vale 1 para diodos em circuitos integrados e vale 2 para diodos em circuitos discretos.
A aproximação da função exponencial é feita através da série de potências:
!k
x...
!3
x
!2
xx1e
k32x
Fazendo a transformação de variáveis:
T
d
nV
vx
n
T
d
3
T
d
2
T
d
T
dnV
v
nV
v
!k
1...
nV
v
!3
1
nV
v
!2
1
nV
v1e T
d
Para Td nVv , podemos desprezar os termos com potência maior que 2:
T
dnV
v
nV
v1e T
d
Então, o modelo do diodo é dado por:
T
dDD
nV
v1Ii
d
T
DDD v
nV
IIi
Fazendo:
D
Td
I
nVr
O modelo do diodo se torna:
d
dDD
r
vIi
O elemento rd é chamado resistência dinâmica do diodo.
Note que o modelo do diodo foi consideravelmente simplificado de uma função exponencial
para uma função do 1o grau.
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
71 |
O modelo de pequenos sinais só é válido se a tensão de sinal vd for muito menor que a
tensão térmica VT ( Td nVv ). Na prática, o modelo de pequenos sinais pode ser justificado para
tensões alternadas de até 10mV.
DERIVADAS NO MATHEMATICA
Derivadas podem ser facilmente calculadas no Mathematica através dos comandos:
Aspas simples ( ' ): esse comando calcula a primeira derivada da função.
EXEMPLO
Sin'[x]
Cos'[x]
Log'[x]
ArcTan'[x]
D[função, {variável a ser derivada,ordem da derivada}]
EXEMPLO
D[x^3,{x,2}] - Calcula a terceira derivada da função em relação a x.
D[Cos[x],{x,5}] - Calcula a quinta derivada da função em relação a x.
D[Log[x],x] - Calcula a primeira derivada da função em relação a x.
72 |
CCaappííttuulloo 33
IINNTTEEGGRRAALL
A integral é uma operação baseada em limites cuja aplicação principal é o cálculo de áreas e
volumes. Na Física, por exemplo, o trabalho realizado por uma força F que desloca um corpo de uma
distância x é calculado por uma integral, ou seja, o trabalho realizado pode ser encontrado através de
um cálculo de área.
Ao longo deste capítulo, vamos mostrar que existe uma relação próxima entre a derivada e a
integral de uma função. Portanto, um bom conhecimento de derivadas é pré-requisito para o estudo
de cálculo integral.
CONCEITO DE INTEGRAL
Antes de formalizar a definição de integral, vamos começar com um exemplo numérico.
EXEMPLO
Encontrar a área sob a função f(x) no intervalo 0 x 1 sabendo-se que:
x)x(f
SOLUÇÃO
Primeiramente, vamos mostrar graficamente a situação:
Podemos perceber que a figura formada é um
triângulo, portanto, o valor exato dessa área é igual a:
2
1
2
11
2
alturabaseA unidades de área.
Ou melhor:
16
8A unidades de área.
Em seguida, tentaremos encontrar essa área por
aproximações sucessivas usando apenas retângulos.
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
73 |
Vamos dividir o intervalo em duas partes iguais assumindo que a área do triângulo é dada
aproximadamente pela soma das áreas dos dois retângulos. Visualmente fica mais fácil perceber o
nosso objetivo:
A área total da figura é dada por:
2211 alturabasealturabaseA
2
2
2
1
2
11
2
1
2
11
2
1
2
1
2
1A
4
3A unidades de área.
Ou melhor:
16
12A unidades de área.
A nossa aproximação sugere que a área do triângulo é aproximadamente o valor calculado.
Note que, em relação à área exata do triângulo, esse valor ainda é impreciso.
Vamos agora dividir o intervalo em quatro partes iguais assumindo que a área do triângulo é
dada aproximadamente pela soma das áreas dos quatro retângulos formados. O gráfico da situação
ilustra melhor o problema:
A área total da figura é dada por:
14
1
4
3
4
1
2
1
4
1
4
1
4
1A
14
3
2
1
4
1
4
1A
4
4
4
3
4
2
4
1
4
1A
16
10A unidades de área.
Perceba que um número maior de retângulos aumentou a precisão da nossa aproximação do
valor exato da área do triângulo. Usando o mesmo artifício, se dividirmos o intervalo em oito partes
iguais, a área total será igual a 9/16. Isso indica que, se continuarmos a incluir cada vez mais
retângulos a tendência natural é que a área total da figura seja exatamente igual à área do triângulo.
Chamando de x a base de cada retângulo, podemos montar uma tabela com os valores da
base e da área calculada:
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
74 |
x A
5,02
1
16
12
25,04
1
16
10
125,08
1
16
9
... ...
0
16
8
Note que o cálculo da área exata da função é um processo limite dado por:
n
1i
i0x
x)x(flimA
Onde o símbolo n
1i
i x)x(f significa a soma das áreas de todos os n retângulos envolvidos
na aproximação. O limite dado pela equação anterior é chamado integral da função f(x) no intervalo
0 x 1. Representamos a integral estudada através da notação:
1
0
dx)x(fA
O símbolo é lido da seguinte maneira: “Integral de f(x) de 0 até 1”.
A maneira que calculamos a integral é conhecida como método da exaustão e se baseia em
encontrar a área sob uma função aumentando exaustivamente o número de retângulos, somando-se
então as suas áreas. Por ser muito cansativo, o método da exaustão serve apenas para ilustrar a idéia
fundamental da integral.
A INTEGRAL E A DERIVADA
Isaac Newton e Gottfried Leibniz pesquisando independentemente chegaram à conclusão de
que existe uma relação próxima entre a derivada e a integral.
A constatação deles foi marcante: “A derivada e a integral são operações inversas”. Isso quer
dizer que a integral de )x(f é a função )x(f que originou essa derivada. O esquema abaixo ajuda a
esclarecer a relação entre a derivada e a integral:
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
75 |
Vamos mostrar como obter a integral a partir da derivada. Considere a função dada pelo
seguinte gráfico:
Podemos perceber pelas figuras anteriores que a área sob a função depende do ponto
extremo x, logo vamos representá-la por A(x). Se deslocarmos o ponto x para um valor x+ x então a
área agora será dada por A(x+ x).
Partindo desse raciocínio, desejamos descobrir qual é a área entre x e x+ x. Conforme o
gráfico, essa área é dada pela diferença entre as áreas A(x+ x) e A(x):
Matematicamente, a área que nos interessa é aproximadamente igual à área do retângulo:
x)x(f)x(A)xx(A
)x(fx
)x(A)xx(A
Tomando o limite dos dois lados:
)x(flimx
)x(A)xx(Alim
0x0x
A(x)
Área que nos
interessa
A(x+ x)
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
76 |
O que resulta em:
)x(fdx
)x(dA
Sabendo-se que:
dx)x(f)x(A
Ao substituirmos A(x) na expressão anterior teremos:
)x(fdx)x(fdx
d
Essa expressão mostra que se integrarmos a função f(x) e em seguida derivarmos o resultado
da integração obteremos mesma função f(x). Isso significa que a integral e a derivada são operações
que se cancelam quando aplicadas simultaneamente.
Trocando a ordem das operações na última equação:
)x(fdxdx
)x(df
dx)x(f)x(f
Essa expressão mostra que a integral de f´(x) é a função f(x), ou seja, a integral de f´(x) é a
função que originou essa derivada.
PRIMITIVA
A integral de f(x) é freqüentemente chamada de primitiva ou de integral indefinida e é
representada por F(x).
Conforme foi provado, ao derivarmos F(x) obteremos f(x), ou seja:
dx)x(f)x(F
)x(fdx
)x(dF
Nosso objetivo daqui para frente será encontrar a expressão de F(x) cuja derivada é igual à
função f(x) dada no problema – Esse é o fundamento do método conhecido como antidiferenciação.
Para que o processo de antidiferenciação tenha valor é necessário que tenhamos um bom
conhecimento de derivadas.
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
77 |
EXEMPLO
Calcular a integral de:
x2)x(f
SOLUÇÃO
A integral de f(x) é a função cuja derivada é igual a 2x, logo:
Cxdxx2)x(F 2
A princípio, você poderia pensar que 2x é a única função cuja derivada é x2 , mas isso não é
verdade. Por exemplo, as derivadas de 1x 2 , 10x 2 ou 100x 2 também são iguais a x2 .
Portanto, devemos sempre colocar a constante C ao final da integral já que:
)x(fx2)Cx(dx
d
dx
)x(dF 2
O valor de C representa todos os valores possíveis da constante que acompanha 2x e a sua
determinação depende de alguma condição dada no problema.
A primitiva de f(x) é então dada por:
Cx)x(F 2
PRIMITIVAS MAIS COMUNS
O processo de integração pelo método da antidiferenciação depende da capacidade de
imaginarmos a função F(x) cuja derivada é dada por f(x) que é conhecida. Isso nem sempre é tarefa
fácil, portanto, começaremos a exercitar essa capacidade estabelecendo regras gerais para algumas
primitivas mais comuns.
Função nula:
A primitiva da função nula é igual à função C)x(F , já que a derivada de uma constante é
igual a zero.
EXEMPLO
Encontrar a primitiva da função:
0)x(f
SOLUÇÃO
A primitiva F(x) é a função que, derivada uma vez, fornece f(x), então:
C)x(F
Já que:
)x(f0)x(F
Não importa qual seja o valor da constante C, a derivada será sempre igual a zero.
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
78 |
Como você pode perceber, a função nula está presente em qualquer função.
Dessa forma, será obrigatório aparecer a constante C em qualquer primitiva.
Note nos casos a seguir que sempre acrescentaremos a constante C apenas no
resultado final, evitando envolvê-la nos cálculos intermediários.
Função potência de x (para n positivo):
Considere a seguinte função:
nx)x(f
A sua primitiva é dada por:
C1n
x)x(F
1n
Note que:
nx)x(F
Então podemos concluir que:
C1n
xdxx)x(F
1nn
EXEMPLO
Encontrar a primitiva da função:
5x)x(f
SOLUÇÃO
Conforme a regra de integração:
C15
xdxx)x(F
155
O resultado final é igual a:
C6
x)x(F
6
Confirme se a derivada de F(x) é igual a f(x).
Função raiz de x:
Considere a seguinte função:
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
79 |
q px)x(f
A sua primitiva se enquadra na integral de potência de x e é dada por:
qp
1q
p
xqp
q
1q
p
x)x(F
q qp xx
qp
q)x(F
Finalmente, acrescentando a constante C no final:
Cxxqp
q)x(F
q p
Então podemos concluir que:
Cxxqp
qdxxdxx)x(F
q pq
p
q p
EXEMPLO
Encontrar a primitiva da função:
3 2x)x(f
SOLUÇÃO
Conforme a regra de integração:
Cxx5
3dxxdxx)x(F
3 23
2
3 2
Confirme se a derivada de F(x) é igual a f(x).
Função potência negativa de x (para n diferente de 1):
Considere a seguinte função:
n
nx
x
1)x(f
A sua primitiva também se enquadra na integral de potência de x e é dada por:
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
80 |
1n
x)x(F
1n
Colocando o sinal negativo em evidência no denominador e no expoente, teremos:
)1n(x)1n(
1)x(F
Cx
1
)1n(
1)x(F
1n
Note que não é possível aplicar essa fórmula quando n é igual a 1 já que o denominador se
tornaria igual a zero.
EXEMPLO
Encontrar a primitiva da função:
2x
1)x(f
SOLUÇÃO
Conforme a regra de integração:
Cx
1C
x
1
12
1dxxdx
x
1)x(F
12
2
2
PRIMITIVAS DE OUTRAS FUNÇÕES
Usando a técnica de antidiferenciação, podemos encontrar as primitivas de outras funções
que não sejam potências de x. Na tabela abaixo mostramos algumas primitivas:
Função Primitiva
x
1)x(f Cxln)x(F
xe)x(f Ce)x(F x
xa)x(f Caln
a)x(F
x
)x(sen)x(f C)xcos()x(F
)xcos()x(f C)x(sen)x(F
Existem livros que contém as integrais de vários tipos de função tabeladas e organizadas para
consulta rápida. Com a evolução dos softwares matemáticos, os livros com as tabelas de primitivas
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
81 |
tornaram-se obsoletos já que, com o comando apropriado, você poderá obter com facilidade
praticamente qualquer primitiva.
PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA
A integral indefinida de uma função apresenta as seguintes propriedades:
(i) dx)x(fkdx)x(fk
(j) [f (x) g(x)] dx f (x) dx g(x) dx
(k) dx)x(g)x(f)x(g)x(fdx)x(g)x(f (integral por partes)
Vamos provar a propriedade (c), chamada integral por partes. Primeiro, vamos lembrar da
derivada do produto de duas funções f(x) e g(x):
)x(g)x(f)x(g)x(f])x(g)x(f[
Integrando ambos os lados da igualdade:
dx)]x(g)x(f)x(g)x(f[dx])x(g)x(f[
Aplicando a propriedade (b) ao lado direito da igualdade:
dx)x(g)x(fdx)x(g)x(fdx])x(g)x(f[
Lembrando que a integral e a derivada são operações inversas:
)x(g)x(fdx])x(g)x(f[
Logo:
dx)x(g)x(fdx)x(g)x(f)x(g)x(f
dx)x(g)x(f)x(g)x(fdx)x(g)x(f
EXEMPLO
Calcular as integrais:
a) dxx5 2
b) dx]xx[ 32
c) dxex x
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
82 |
SOLUÇÃO
a) Aplicando a propriedade (a):
Cx3
5dxx5dxx5 322
Note que acrescentamos a constante C apenas no resultado final, evitando envolvê-la nos
cálculos intermediários.
b) Aplicando a propriedade (b):
C4
x
3
xdxxdxxdx]xx[
433232
Aqui também acrescentamos a constante C apenas no resultado final, evitando envolvê-la
nos cálculos intermediários.
c) Primeiro, devemos identificar as funções f(x) e g´(x) dentro da integral:
dxex x
Vamos então escolher:
x)x(f , cuja derivada é 1)x(f .
xe)x(g , cuja primitiva é xe)x(g .
O resultado da integral é dado por:
dx)x(g)x(f)x(g)x(fdx)x(g)x(f
C)1x(eeexdxe1exdxex xxxxxx
A escolha das funções f(x) e g´(x) foi proposital. Note que, escolhendo x)x(f , fica mais
fácil calcular a integral presente no segundo termo do lado direito da propriedade (c).
Uma boa prática consiste em escolher para f(x) a função cuja derivada se torna uma
constante ou que torne a integral do primeiro membro igual à integral do segundo membro.
EXEMPLO
Calcular a integral:
dx)xcos(ex
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
83 |
SOLUÇÃO
Vamos identificar as funções f(x) e g´(x) dentro da integral:
xe)x(f , cuja derivada é xe)x(f .
)xcos()x(g , cuja primitiva é )x(sen)x(g .
O resultado da integral é dado por:
dx)x(g)x(f)x(g)x(fdx)x(g)x(f
dx)x(senee)x(sendx)xcos(e xxx
A integral que aparece circulada também deve ser calculada por partes:
dx)]xcos([ee)xcos(dx)x(sene xxx
dx)xcos(ee)xcos(dx)x(sene xxx
Substituindo na integral circulada:
]dx)xcos(ee)xcos([e)x(sendx)xcos(e xxxx
dx)xcos(ee)xcos(e)x(sendx)xcos(e xxxx
Note que existem duas integrais iguais. Nesse caso, passamos a integral do segundo membro
somando à integral existente no primeiro membro:
xxx e)xcos(e)x(sendx)xcos(e2
Finalmente:
2
e)xcos(e)x(sendx)xcos(e
xxx
C)]xcos()x(sen[e2
1dx)xcos(e xx
Nesse exemplo, pudemos constatar que a escolha das funções f(x) e g´(x) depende de um
pouco de visão e da experiência de quem está calculando a integral.
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
84 |
OUTRAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
Existe uma técnica adequada a cada tipo de função a ser integrada. Vamos estudar algumas
dessas técnicas.
Funções trigonométricas: Para esse tipo de função devem ser usadas relações trigonométricas que transformem
produtos ou potências em somas de funções.
EXEMPLO
Calcular a integral:
dx)x(cos2
SOLUÇÃO
Para resolver esse problema, devemos encontrar uma relação trigonométrica que transforme
a função elevada à potência dois em uma soma de funções. Podemos começar usando a fórmula do
cosseno da soma:
)b(sen)a(sen)bcos()acos()bacos(
)x(sen)x(sen)xcos()xcos()xxcos(
)x(sen)x(cos)x2cos( 22
Conforme a relação trigonométrica fundamental:
)x(cos1)x(sen 22
Substituindo na fórmula anterior:
1)x(cos2)x2cos( 2
Portanto:
2
1)x2cos(
2
1)x(cos 2
A partir das relações trigonométricas, podemos substituir a função mais complicada de ser
integrada por duas funções mais simples de operar:
dx2
1)x2cos(
2
1dx)x(cos2
Aplicando as propriedades das integrais:
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
85 |
dx2
1dx)x2cos(
2
1dx)x(cos 2
Sabemos que:
)x2(sen4
1
2
)x2(sen
2
1dx)x2cos(
2
1
x2
1dx
2
1
Finalmente, após acrescentar a constante C:
Cx2
1)x2(sen
4
1dx)x(cos 2
Existem outros tipos de integrais cuja solução também depende do conhecimento das
relações trigonométricas:
dx)bxcos()axcos(
dx)bx(sen)ax(sen
dx)bx(sen)axcos(
Para resolver essas integrais necessitamos das seguintes relações:
)b(sen)a(sen)bcos()acos()bacos(
)b(sen)a(sen)bcos()acos()bacos(
)acos()b(sen)bcos()a(sen)ba(sen
)acos()b(sen)bcos()a(sen)ba(sen
Por exemplo, ao somarmos as fórmulas do cosseno da soma e da diferença teremos:
)]bacos()ba[cos(2
1)bcos()acos(
Então:
)]bxaxcos()bxax[cos(2
1)bxcos()axcos(
Devemos substituir a expressão acima na integral e calcular o resultado.
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
86 |
EXEMPLO
Calcular a integral:
dx)x3cos()x5cos(
SOLUÇÃO
Primeiro, encontramos a relação trigonométrica que define a multiplicação de dois cossenos:
)]bxaxcos()bxax[cos(2
1)bxcos()axcos(
)]x2cos()x8[cos(2
1)x3cos()x5cos(
Substituindo na integral:
dx)]x2cos()x8[cos(2
1dx)x3cos()x5cos(
Aplicando as propriedades da integral:
dx)x2cos(2
1dx)x8cos(
2
1dx)x3cos()x5cos(
Onde:
8
)x8(sendx)x8cos(
2
)x2(sendx)x2cos(
O resultado final é igual a:
C)x2(sen4
1)x8(sen
16
1dx)x3cos()x5cos(
EXEMPLO
Calcular a integral:
dx)x3(sen)x5(sen
SOLUÇÃO
Ao subtrairmos as fórmulas do cosseno da diferença e da soma teremos:
)]bacos()ba[cos(2
1)b(sen)a(sen
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
87 |
Portanto:
)]x3x5cos()x3x5[cos(2
1)x3(sen)x5(sen
)]x8cos()x2[cos(2
1)x3(sen)x5(sen
Substituindo na integral:
dx)]x8cos()x2[cos(2
1dx)x3(sen)x5(sen
Aplicando as propriedades da integral:
dx)x8cos(2
1dx)x2cos(
2
1dx)x3(sen)x5(sen
Onde:
2
)x2(sendx)x2cos(
8
)x8(sendx)x8cos(
O resultado final é igual a:
C)x8(sen16
1)x2(sen
4
1dx)x3(sen)x5(sen
Mudança de variável:
Essa técnica consiste em transformar um problema aparentemente complicado em um
problema mais simples apenas pela mudança de variável da integral. A mesma abordagem já foi
utilizada quando estudamos a regra da cadeia nos problemas de derivada.
A técnica de mudança de variável consiste em trocar a integral do tipo:
dx)x(g))x(g(f
Por:
du)u(f
Chamando:
)x(gu
dx)x(gdu
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
88 |
EXEMPLO
Calcular a integral:
dxe x2
SOLUÇÃO
Quando olhamos para dentro da integral, percebemos que é possível chamar:
x2u
2
dudxdx2du
Isso tornará a integral igual a:
due2
1
2
due uu
Cujo resultado final é dado por:
Ce2
1dxe ux2
Voltando com o valor de u:
Ce2
1dxe x2x2
EXEMPLO
Calcular a integral:
dx)x5cos(
SOLUÇÃO
Primeiro devemos chamar:
x5u
5
dudxdx5du
Isso tornará a integral igual a:
du)ucos(5
1
5
du)ucos(
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
89 |
Cujo resultado final é dado por:
C)u(sen5
1dx)x5cos(
Voltando com o valor de u:
C)x5(sen5
1dx)x5cos(
EXEMPLO
Calcular a integral:
dx)x(senx2 2
SOLUÇÃO
Primeiro devemos chamar:
2xu
dxx2du
Note que o valor da derivada de u aparece explicitamente dentro da integral. Essa mudança
de variável faz com que:
C)ucos(du)u(sendx)x(senx2 2
Finalmente, voltando com o valor de u no resultado:
C)xcos(dx)x(senx2 22
EXEMPLO
Calcular a integral:
dx2x3
1
SOLUÇÃO
Primeiramente, chamaremos:
2x3u
3
dudxdx3du
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
90 |
Substituindo na integral:
duu
1
3
1
3
du
u
1dx
2x3
1
Cujo resultado é igual a:
Culn3
1dx
2x3
1
Voltando com o valor de u, teremos:
C2x3ln3
1dx
2x3
1
INTEGRAL DEFINIDA (TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO)
A integral indefinida ou primitiva é uma função que fornece a área genérica sob f(x). Isso
significa que precisamos definir dois extremos, o limite inferior “a” e o limite superior “b”, para que
possamos calcular o valor numérico da área entre esses dois pontos. O que acabamos de descrever é
o que se conhece como integral definida.
A área em cinza no gráfico abaixo é a integral definida de f(x) no intervalo de “a” até “b”:
Representamos a integral definida da seguinte forma:
b
a
dx)x(f
Segundo o teorema fundamental do cálculo, essa integral pode ser calculada por:
)a(F)b(Fdx)x(f
b
a
Alguns autores costumam a representar o cálculo da integral definida pela notação:
)a(F)b(F)x(Fdx)x(fb
a
b
a
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
91 |
Nesse momento, é importante perceber que a constante C que aparece na
primitiva deve desaparecer quando subtraímos F(b) de F(a).
EXEMPLO
Calcular a área da função:
2x)x(f
Do ponto x=1 até o ponto x=2.
SOLUÇÃO
O objetivo do problema consiste em encontrar a integral definida:
2
1
2 dxx
Nosso primeiro passo será encontrar a primitiva da função:
C3
x)x(F
3
Logo após, vamos aplicar o limite inferior e o superior na primitiva:
C3
8C
3
2)2(F)b(F
3
C3
1C
3
1)1(F)a(F
3
Por fim, vamos subtrair esses valores:
3
7C
3
1C
3
8)a(F)b(F
Perceba que a constante é desnecessária no cálculo, pois sempre será eliminada na
subtração. A partir de agora vamos desconsiderar a constante que aparece na primitiva quando
estivermos calculando uma integral definida.
A integral definida é então dada por:
3
7dxx
2
1
2
O valor encontrado corresponde à área sob a função 2x)x(f do ponto x=1 até o ponto
x=2.
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
92 |
Algumas vezes a integral definida fornece um valor negativo, isso significa que a área está
abaixo do eixo x. Contudo, o valor da área continua sendo positivo, já que não existe área negativa.
EXEMPLO
Calcular a integral da função:
)x(sen)x(f
Do ponto x= até o ponto x=2 .
SOLUÇÃO
O objetivo do problema consiste em encontrar a integral definida:
2
dx)x(sen
O resultado é a primitiva:
)xcos()x(F
Note que desconsideramos a constante C por simplicidade. Logo após, vamos aplicar o limite
inferior e o superior na primitiva:
1)2cos()2(F)b(F
1)1()cos()(F)a(F
Finalmente, vamos subtrair esses dois valores:
211)a(F)b(F
2dx)x(sen
2
O valor negativo significa que a área está abaixo do eixo x. Nesse caso, o valor da área é igual
a 2. A área cinza no gráfico abaixo corresponde à integral da função seno do ponto x= até o ponto
x=2 :
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
93 |
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA
A integral definida de uma função apresenta as seguintes propriedades:
a) b
a
b
a
dx)x(fkdx)x(fk
b) b b b
a a a
[f (x) g(x)] dx f (x) dx g(x) dx
c) b
c
c
a
b
a
dx)x(fdx)x(fdx)x(f para c entre a e b.
d) a
b
b
a
dx)x(fdx)x(f
Vamos demonstrar a propriedade (d). Sabendo-se que:
a b
b a
f (x) dx F(a) F(b) [F(b) F(a)] f (x) dx
Portanto:
a
b
b
a
dx)x(fdx)x(f
EXEMPLO
Calcular a integral da função:
2x)x(f
Do ponto x=0 até o ponto x=2.
SOLUÇÃO
O objetivo do problema consiste em encontrar a integral definida:
2
0
2 dxx
Conforme a propriedade (c), fazendo c=1, podemos separar essa integral em duas outras:
2
1
21
0
22
0
2 dxxdxxdxx
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
94 |
Onde:
3
1
3
0
3
1
3
xdxx
331
0
31
0
2
3
7
3
1
3
2
3
xdxx
332
1
32
1
2
O resultado é então dado por:
3
8
3
7
3
1dxx
2
0
2
MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL DEFINIDA
Quando mudamos a variável dentro da integral, o limite inferior e superior também devem
mudar conforme a mudança de variável realizada.
EXEMPLO
Calcular a integral definida:
0
2 dx)x(senx2
SOLUÇÃO
Primeiro devemos chamar:
2xu
dxx2du
Conforme a variável u, os limites devem mudar para:
Quando 0x , 0u .
Quando x , u .
Essa mudança de variável faz com que a integral se torne:
211)]0cos([)]cos([)ucos(du)u(sendx)x(senx20
00
2
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
95 |
EXEMPLO
Calcular a integral definida:
2
1
2 dx)1x(
SOLUÇÃO
Primeiro devemos chamar:
1xu
dx1du
Usando a expressão da variável u, os limites devem mudar para:
Quando 1x , 0u .
Quando 2x , 1u .
A mudança de variável faz com que a integral se torne:
3
1
3
uduudx)1x(
1
0
31
0
22
1
2
O CÁLCULO DE ÁREAS USANDO A INTEGRAL
O cálculo de áreas através da integral definida pode nos levar a conclusões erradas se
imaginarmos que o resultado sempre será a área total sob a função entre o limite inferior e o
superior.
EXEMPLO
Calcular a integral da função abaixo no intervalo 0 x 2 :
)x(sen)x(f
SOLUÇÃO
O problema requer o cálculo da seguinte integral definida:
2
0
dx)x(sen
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
96 |
O resultado é a primitiva:
)xcos()x(F
Aplicando o limite inferior e o superior na primitiva:
1)2cos()2(F)b(F
1)0cos()0(F)a(F
Finalmente, vamos subtrair esses dois valores:
0)1(1)a(F)b(F
Então:
0dx)x(sen
2
0
Se interpretarmos que essa é a área da função seno no intervalo de 0 a 2 então estaremos
afirmando que o seu valor é igual a zero. Observando o gráfico da função, podemos constatar que a
área não é realmente igual a zero:
Vamos analisar o problema aplicando a propriedade (c) da integral definida:
2
0
2
0
dx)x(sendx)x(sendx)x(sen
As duas integrais definidas são iguais a:
2dx)x(sen
0
e 2dx)x(sen
2
O resultado positivo na primeira integral significa que a área está acima do eixo x e tem valor
igual a 2. O resultado negativo da segunda integral significa que a área está abaixo do eixo x e
A área entre 0 a 2 é a soma
dessas duas áreas cinza.
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
97 |
também tem valor igual a 2. Matematicamente, o que está acontecendo nesse caso é que as áreas
estão se cancelando por causa do sinal que indica se estão acima ou abaixo do eixo x.
Na realidade, o sinal que aparece no resultado da integral definida deve ser desconsiderado
no cálculo da área. Dessa forma, a área sob a função seno no intervalo de 0 a 2 é igual a 4.
Sob uma forma mais geral, a área da função num intervalo dado pode ser calculada pela
seguinte integral definida:
b
a
dx)x(fA
O módulo da função f(x) faz com que a integral definida tenha sempre valor positivo já que as
áreas sempre estarão acima do eixo x:
Função f(x) Módulo da função f(x)
A INTEGRAL E O CÁLCULO DE VOLUMES
Além de áreas, podemos calcular volumes de sólidos de revolução através da integral. Os
chamados sólidos de revolução são aqueles cuja rotação de uma figura plana em torno de um eixo
produz um sólido tridimensional. O exemplo mais simples de um sólido de revolução é o cilindro:
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
98 |
O cilindro pode ser construído a partir da rotação de um retângulo em relação a um dos seus
lados. O seu volume é dado pela seguinte fórmula:
hrhAV 2base
Onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro.
O cálculo de volumes por integral baseia-se na aproximação do volume de um sólido de
revolução qualquer pela somatória dos volumes de cilindros. Por exemplo, considere a função
ax)x(f cujo gráfico no intervalo 0 x h é mostrado abaixo:
Ao girarmos o retângulo cinza em relação ao eixo x, o volume do cilindro formado será:
x)]x(f[hrV 22cilindro
A somatória de todos os volumes dos n cilindros entre 0 e h é dada por:
n
1i
2i x)]x(f[
Tomando o limite dessa soma quando 0x teremos o volume exato da figura
correspondente à rotação do triângulo cinza em torno do eixo x:
n
1i
2i
0xx)]x(f[limV
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
99 |
Conforme a figura, a revolução do triângulo em relação ao eixo x produz um cone:
O raio da base desse cone é dado por:
ha)h(fr
Dessa relação concluímos que:
h
ra
Sabemos que o volume dado pelo limite anterior representa a seguinte integral definida:
h
0
2 dx)]x(f[V
Fazendo ax)x(f , a integral se torna:
3
ha
3
xadxxadx)ax(V
32
h
0
32
h
0
22h
0
2
Substituindo o valor de a no resultado final da integral, teremos o volume do cone:
hr3
1
3
h
h
rV 2
32
Essa é a famosa equação para o cálculo do volume de um cone que aprendemos no curso
inicial de geometria plana e espacial.
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
100 |
EXEMPLO
A equação de meia circunferência de raio r é dada por:
22 xr)x(f
O gráfico dessa função é mostrado abaixo:
Encontrar o volume do sólido de revolução dessa função em torno do eixo x.
SOLUÇÃO
Conforme o gráfico, a revolução da função f(x) em torno do eixo x produzirá uma esfera. O
volume dessa figura geométrica é calculado pela seguinte integral:
r
r
2 dx)]x(f[V
Substituindo o valor da função na integral:
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
101 |
r
r
222 dxxrV
r
r
22 dx)xr(V
Aplicando as propriedades da integral:
r
r
2r
r
2 dxxdx1rV
r
r
3r
r
2
3
xxrV
3
)r(
3
r)]r(r[rV
332
33
3 r3
4
3
r2r2V
Essa é a equação para o cálculo do volume de uma esfera que aprendemos no curso de
geometria plana e espacial.
APLICAÇÕES DO CONCEITO DE INTEGRAL
No capítulo de derivadas, encontramos as seguintes relações entre a posição s(t), a
velocidade v(t) e a aceleração de um objeto se movimentando em MUV:
dt
ds)t(v
dt
dv)t(a
Essas equações significam que basta conhecermos a expressão da posição do móvel em
função do tempo para calcularmos a sua velocidade e aceleração através da derivada.
Por outro lado, se conhecermos a expressão da aceleração do móvel em função do tempo
então também podemos calcular a sua velocidade e posição através das integrais:
dt)t(a)t(v
dt)t(v)t(s
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
102 |
No MUV, por exemplo, a aceleração do móvel é constante, ou seja:
a)t(a
Dessa forma, a velocidade do móvel é dada por:
Ctadta)t(v
Quando 0t s, o valor de v(0) é chamado velocidade inicial e é representado por v0:
C0av)0(v 0
Cv0
Portanto:
tav)t(v 0
Sendo a velocidade instantânea dada pela expressão acima, então a posição do móvel é dada
pelo seguinte cálculo:
C2
tatvdt)tav(dt)t(v)t(s
2
00
Quando 0t s, o valor de s(0) é chamado posição inicial e é representado por s0:
C2
0a0vs)0(s
2
00
Cs0
Dessa forma, temos que:
2
tatvs)t(s
2
00
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
103 |
INTEGRAIS NO MATHEMATICA
Integrais podem ser facilmente calculadas no Mathematica através dos comandos:
Integrate[função, variável de integração]: esse comando calcula a integral indefinida da função dada dentro dos colchetes em relação à variável de integração.
EXEMPLO
Integrate[Sin[x],x]
Integrate[a^2,a]
Integrate[Exp[z]*Sin[z],z]
Integrate[função, {variável de integração, mín, máx}]: esse comando calcula a integral definida dada por:
máx
mín
dx)x(f , se a variável de integração for x.
EXEMPLO
Integrate[Sin[x],{x,-Pi,Pi}]
Integrate[a^2,{a,0,1}]
Integrate[Exp[z]*Sin[z],{z,0,1}]
Integrate[Abs[função], {variável de integração, mín, máx}]: esse comando calcula a área total sob a função dada pela integral:
máx
mín
dx)x(f , se a variável de integração for x.
EXEMPLO
Integrate[Abs[Sin[x]],{x,0,Pi}]
Integrate[Abs[a^3],{a,-1,1}]
Essa integral torna positivas as partes negativas da função f(x), evitando o
cancelamento das áreas por causa do sinal.
CAPÍTULO 3
INTEGRAL
104 |
Integrate[Pi*função^2, {variável de integração, mín, máx}]: esse comando calcula o volume do sólido de revolução, em torno do eixo x, dado pela integral:
máx
mín
2 dx)]x(f[ , se a variável de integração for x.
EXEMPLO
Integrate[Pi*(a*x)^2,{x,0,h}]
Integrate[Pi*(Sqrt[r^2-x^2])^2,{x,-r,r}]
105 |
CCaappííttuulloo 44
FFUUNNÇÇÕÕEESS DDEE MMAAIISS DDEE UUMMAA VVAARRIIÁÁVVEELL
INTRODUÇÃO
Nesta aula, você irá estudar função de duas variáveis, suas propriedades e representação através de curvas de nível. Antes de iniciarmos nosso estudo é importante que você saiba que várias aplicações de funções de duas e três variáveis estão relacionadas com a computação gráfica e engenharias e dependem do uso de computadores.
UM PROBLEMA
Você sabia que há muitas fórmulas familiares nas quais uma variável depende de duas ou
mais variáveis. Por exemplo, a área A de um retângulo depende do comprimento da base b e da
altura pela fórmula hbA . . O gráfico da função que representa a área de um papel é uma função
de duas variáveis que são as dimensões ( b largura e h altura) do papel. Um exemplo está na Figura 01.
(a) (b)
Figura 01 – (a) Retângulo cuja base mede b e cuja altura mede h . (b) Representação gráfica da área do retângulo em função da base e da altura.
Para facilitar, você pode pensar uma função f de duas ou mais variáveis como um programa
de computador que recebe duas ou mais entradas, opera sobre estas entradas e produz uma saída. Pensando desta forma você neste trabalho estudará apenas em funções cujas entradas e saídas sejam números reais.
b
h
CAPÍTULO 4
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL
106 |
ESPAÇO NUMERICO N-DIMENSIONAL
Antes de iniciar o estudo de funções de duas variáveis é importante que você conheça espaço numérico n-dimensional, que é o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de número reais, e
é denotado por nR . Outra coisa importante você saiba, é que cada n-uplas ordenada
),...,,( ,321 nxxxx é denominado um ponto no espaço numérico n-dimensional.
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL
Agora, você conhece o espaço n-dimensional, então vamos definir neste espaço uma função
de mais de uma variável, para isto, sabia que uma função f de n variáveis, é um conjunto de pares
ordenados da forma ),( wP no qual dois pares ordenados diferentes não têm o mesmo primeiro
elemento em comum.
Observe que ),( wP é um par ordenado! Saiba então, que neste par ordenado P [
),...,,( 21 nxxxP ] é um ponto no espaço numérico n-dimensional e w é chamado a imagem da
função. Outra coisa importante que você deve saber, é que o conjunto de todos os valores possíveis de P é chamado de domínio da função e o conjunto de todos os valores possíveis de w é chamado de imagem da função. Logo o valor específico de w , no ponto P , é representado pelo símbolo
)(Pf ou ),...,,( 21 nxxxf .
Observe que em particular se 1n e se )(xP , logo f é uma função de uma variável que
você já conhece em que )()( xfPf . Da mesma forma, se 2n e se ),( yxP , denotamos de
função de duas variáveis representado por )(Pf ou ),( yxf .
Observe que se 3n e ),,( zyxP temos a função de três variáveis dada por )(Pf ou
),,( zyxf . De forma geral a função f de n variáveis pode ser definida pela equação
),...,,( 21 nxxxfw , em que nxxx ,...,, 21 são chamadas de variáveis independentes, e w é
chamado a variável dependente.
FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS
Como já vimos a função de duas variável é um caso particular de função de n-variáveis, Vamos aprofundar nossos conhecimentos entendendo melhor a definição de função de duas
variáveis, para isto, seja D um conjunto de pares ordenados de números reais. Se a cada par ),( yx
em D corresponde um único número real ),( yxf , dizemos que f é uma função de x e y . O
conjunto D é o domínio de f e a coleção dos valores ),( yxf é a imagem de f .
Observe que no caso de ),( yxfz , x e y são chamados de variáveis independente,
enquanto z é a variável dependente (Exemplo Figura 02).
CAPÍTULO 4
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL
107 |
Figura 02 – Gráfico da função 22),( yxyxf . Neste exemplo, o domínio da função é todo o
plano xy . Você observou quanto a computação gráfica facilita a visualização de superfícies.
PROPRIEDADES
Observe que podemos combinar funções de duas variáveis da mesma forma que funções de uma só variável
(i) ),(),(),)(( yxgyxfyxgf
(ii) ),(),(),)(( yxgyxfyxfg
(iii) ),(
),(),)((
yxg
yxfyx
g
f, onde 0),( yxg
(iv) A função composta está definida apenas no caso em que h é uma função de duas variáveis e g
depende apenas de uma variável. )),((),)(( yxhgyxhg , para todo ),( yx no domínio de h , tal
que ),( yxh pertence ao domínio de g .
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS
Como vimos a função de duas variáveis tem propriedades semelhantes as da função de uma variável, estudaremos agora, o gráfico de uma função de duas variáveis que é o conjunto de todos os
pontos ),,( zyx tais que ),( yxfz com ),( yx no domínio de f . Sabia que o gráfico pode ser
interpretado como uma superfície no espaço, e que cada ),( yx em D corresponde um ponto
),,( zyx na superfície.
CAPÍTULO 4
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL
108 |
Figura 03 – Gráfico da função 2216 yxz . Neste exemplo, o domínio da função é todo o
plano xy .
CURVAS DE NÍVEL
Estamos todos familiarizados com os mapas topográficos (ou de contornos) nos quais as paisagens tridimensionais, tal como as extensões de uma montanha, são representadas por linhas de contorno bidimensional ou curvo de elevação constante.
A forma mais comum de visualizar funções de duas variáveis é através de curvas de nível, ao
longo das quais ),( yxf é constante. Como ilustra a Figura 04 as curvas de nível são obtida através
da interseção de um plano paralelo ao plano yx com a superfície ),( yxf e são projetadas sobre o
plano yx .
-2-1.5
-1-0.5
00.5
11.5
2
-2
-1
0
1
22.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
xy
z
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2-1
01
20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
xy
z
Plano 5.1z
Curva de nível
5.1z
Superfície
22 yxz
CAPÍTULO 4
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL
109 |
Figura 04 – Gráfico da função 22 yxz juntamente com o plano 5.1z e sua respectiva curva
de nível. Para que você compreenda melhor a geração do mapa de curvas de nível. ilustramos na Figura
05 a representação geométrica de uma função de duas variáveis por curvas de nível no plano yx .
Estas curvas são obtidas pela projeção das interseções da superfície ),( yxfz com o plano kz
(a)
(b)
-2-1.5
-1-0.5
00.5
11.5
2
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
xy
z
-2-1.5
-1-0.5
00.5
11.5
2
-2
-1
0
1
20.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
xy
z
CAPÍTULO 4
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL
110 |
(c)
(d)
-2-1.5
-1-0.5
00.5
11.5
2
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
xy
z
20 40 60 80 100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
x
y
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
CAPÍTULO 4
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL
111 |
(e)
Figura 05 – (a) Gráfico da função 22 yxz . (b) Curvas de nível obtidas com a interseção com o
plano paralelo ao plano yx . (c) Gráfico da função 22 yxz juntamente com as curvas
projetadas no plano yx . (d) Mapa de contorno da função 22 yxz . (e) Mapa de contorno da
função 22 yxz .
Para um melhor aprofundamento dos conhecimentos adquiridos resolva os exercícios a seguir
fazendo os gráficos com auxilio de um software gratuito. .
ATIVIDADE
1) Seja 1),( 2yxyxf , determine
a) )1,2(f
b) )0,0(f
c) )3,1(f
2) Seja 3),( xyxyxf
, determine
a) ),( 2ttf
b) )4,2( 2 yyf
20 40 60 80 100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
x
y
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
CAPÍTULO 4
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL
112 |
3) Calcule a função dada para cada ponto indicado
a) y
xyxf ),( em )5,30(
b) yxeyxf ),( em )0,5(
4) Descreva a região R no plano yx que corresponde ao domínio da função.
a) 2216),( yxyxf
b) )1ln(),( 22 yxyxf
c) 2
1),(
yxyxf
d) yxeyxf /),(
113 |
CCaappííttuulloo 55
DDEERRIIVVAADDAASS PPAARRCCIIAAIISS
OBJETIVO: Reconhecer e calcular derivadas parciais;
Interpretar geometricamente as derivadas parciais;
Calcular a diferencial total de funções de duas e três variáveis; INTRODUÇÃO
Nesta unidade veremos que a derivada parcial é uma eficiente ferramenta para avaliação de função de duas e três variáveis. É importante lembrar que, embora muitas das idéias básicas que desenvolvemos para funções de uma variável persistirão de uma maneira natural, as funções de várias variáveis são intrisicamente mais complicadas do que as funções de uma variável, logo precisaremos desenvolver novas ferramentas e novas idéias para tratar essas funções..
DERIVADA PARCIAL DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS
Saiba que nas aplicações das funções de duas variáveis, as vezes é necessário determinar como uma função se comporta diante da variação de uma de suas variáveis independentes, e que o comportamento em questão pode ser estudado considerando-se uma variável de cada vez.
Você deve conhecer o conceito de derivada parcial, para isto, seja ),( yxfz , então, as
derivadas parciais de primeira ordem da função ),( yxf em relação a x e y são as funções xf e
yf , definidas pelas equações abaixo
x
yxfyxxfyxf
xx
),(),(lim),(
0 e
y
yxfyyxfyxf
yy
),(),(lim),(
0
se os limites existirem. As derivadas parciais de primeira ordem são denotados por
x
zyxfyxf
xx ),(),( e
y
zyxfyxf
yy ),(),(
As derivadas parciais calculadas no ponto ),( ba são representadas por
),(
),(
bafx
zx
ba
e ),(
),(
bafy
zy
ba
No exemplo seguinte você perceberá com se utiliza a definição para calcular a derivada parcial de uma função de duas variáveis. Exemplo
(1) Dada 22 23),( yxyxyxf encontre ),( yxfDx e ),( yxfDy.
yxyxfDx 26),( e yxyxfDy 22),(
Você observou que o resultado da derivada parcial também é uma função. Veremos a seguir o calculo de uma derivada parcial no ponto.
CAPÍTULO 5
DERIVADAS PARCIAIS
114 |
DERIVADA PARCIAL NO PONTO ),( 00 yx
Você já conhece a definição de derivada parcial, agora veremos como avaliá-la no ponto. Para
isto, tomemos ),( 00 yx que é um ponto particular no domínio de f , então:
x
yxfyxxfyxfD
xx
),(),(lim),( 0000
000
y
yxfyyxfyxfD
yy
),(),(lim),( 0000
000
se os limites existirem. Elas também podem ser escritas por
0
000
),(),(lim),(
0 xx
yxfyxfyxfD
xxx
e 0
000
),(),(lim),(
0 yy
yxfyxfyxfD
yyy
se os limites existirem. Esta definição pode ser claramente vista no exemplo a seguir. EXEMPLO
1) Dada 22 23),( yxyxyxf encontre )2,3(fDx e )2,3(fDy
.
SOLUÇÃO
yxyxfDx 26),( 144182*23*6)2,3(fDx
yxyxfDy 22),( 2462*23*2)2,3(fDy
Você percebeu no exemplo que a definição apresentada anteriormente, é uma avaliação numérica da derivada no ponto.
DERIVADA PARCIAL DE UMA FUNÇÃO DE TRÊS VARIÁVEIS
Devemos compreender que o conceito de derivadas parcial pode ser estendido naturalmente
à funções de três ou mais variáveis. Se ),,( zyxfw , tem-se três derivadas parciais a considerar,
cada uma delas é obtida mantendo constante duas das variáveis. Isto é, para definir a derivada parcial de w em relação a x , mantém-se y e z constante e escreve-se a expressão abaixo
x
zyxfzyxxfzyxf
x
w
xx
),,(),,(lim),,(
0
Logo, para definir a derivada parcial de w em relação a y , mantém-se x e z constantes
y
zyxfzyyxfzyxf
y
w
yy
),,(),,(lim),,(
0
CAPÍTULO 5
DERIVADAS PARCIAIS
115 |
Da mesma forma para definir a derivada parcial de w em relação a z , mantém-se x e y constante
z
zyxfzzyxfzyxf
z
w
zz
),,(),,(lim),,(
0
Para melhor explicitar a afirmação supracitada, segue o exemplo abaixo. EXEMPLO
a) Dada xzyzxyzyxf 2),,( , calcule x
f,
y
f e
z
f.
zyx
f 2f
x zy
xyzz
f2
Para alicerçar os conceitos apresentados neste tópico é de suma importância que você faça os
exercícios a seguir.
EXERCÍCIO
1) Calcule as derivadas parciais com relação a x e a y
a) 532),( yxyxf
b) 73),( 22 yxyxf
c) xyyxf ),(
d) y
xyxf ),(
2) Determine x
f,
y
f e
z
f.
a) zyx
xyzyxf ),,(
b) yzxyyxzyxf 23),,( 22
c) 222 94),,( zyxzyxf
d) zyxzyxf ),,(
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Saiba que a interpretação geométrica de derivadas parciais de uma função de duas variáveis é
análogas aquelas de funções de uma variável. Logo, o gráfico de uma função f de duas variáveis é
uma superfície tendo por equação ),( yxfz . Se y é considerado constante, então ),( 0yxfz
é a equação do traço desta superfície no plano 0yy . Então, ),( 00 yxfDx é a declividade da reta
CAPÍTULO 5
DERIVADAS PARCIAIS
116 |
tangente à curva pelas equações 0yy e ),( yxfz no ponto )),(,,( 00000 yxfyxP no plano
0yy . De modo análogo ),( 00 yxfDx é a declividade da reta tangente à curva pelas equações
tendo equações 0xx e ),( yxfz no ponto )),(,,( 00000 yxfyxP no plano 0xx .
Figura 17 – Ilustração gráfica da interpretação geométrica da derivada parcial. (Stewart, 2003 página 899)
DERIVADAS DE ORDEM MAIS ALTAS
Você observou que, as derivadas parciais x
f e
y
f são funções de x e y , logo essas
funções podem elas mesmas ter derivadas parciais. Isto origina quatro possíveis derivadas parciais de
segunda ordem de f que são denotadas de acordo com a seqüência em que as derivadas são
calculadas.
1) Para a derivada segunda em relação ao x xxf
x
f
x
f
x 2
2
2) Da mesma forma a derivada segunda em relação ao y yyf
y
f
y
f
y 2
2
3) E a derivada segunda primeiro em relação a x e, depois, em relação a y
xyf
xy
f
x
f
y
2
4) E a derivada segunda primeiro em relação a y e, depois, em relação a x
yxf
yx
f
y
f
x
2
Assim as derivadas de ordem mais altas são derivadas parciais de derivadas parciais, que serão melhor explicitadas no exemplo a seguir. EXEMPLO
Determine xyf , xxf e yxf onde 222 94),,( xyzxyyxzyxf
CAPÍTULO 5
DERIVADAS PARCIAIS
117 |
22 942 yzyyxx
f 22 98 xzxyxy
f
22
982 zyxfyx
fxy 2
2
982 zyxfxy
fxy
yfxx
fxx 2
2
3.7 TEOREMA
Observe bem o exemplo acima, ele representa bem o seguinte teorema. Seja ),( yxf uma
função tal que f , xf , yf , xyf e yxf são contínuas em uma região aberta R . Então
yx
f
xy
f 22
para todo ),( yx em R .
Para um melhor aprofundamento dos conhecimentos adquiridos resolva os exercícios a seguir.
EXERCÍCIO
1) Encontre as derivadas parciais de segunda ordem 2
2
x
z,
2
2
y
z,
xy
z2
e yx
z2
a) 22 32 yxyxz b) 4224 3 yyxxz
c) 2
2 yxez d) 532 yxz
e) 73 22 yxz f) zyxzyxf ),,(
DIFERENCIAL TOTAL
Nossa tarefa agora, é compreender a diferencial total de )(xf , para isto, definimos de
diferencial de )(xfy como sendo dxxfdy )(' . Para funções de duas variáveis ),( yxfz
usaremos terminologia semelhante. Chamaremos de x e y de incrementos de x e y e o
incremento em z é dado por
),(),( yxfyyxxfz
Observe q ue se ),( yxfz e x e y são incrementos de x e y então, as
diferenciais das variáveis independentes x e y são:
xdx e ydy
e a diferencial total da variável independente z é
CAPÍTULO 5
DERIVADAS PARCIAIS
118 |
dyyxfdxyxfdyy
zdx
x
zdz yx ),(),(
Saiba que a definição acima pode ser estendida para funções de três ou mais variáveis. Por exemplo,
se ),,( zyxfw , então xdx , ydy e zdz são as diferenciais das variáveis
independentes x e y e a diferencial total de w é
dzzyxfdyzyxfdxzyxfdzz
wdy
y
wdx
x
wdw zyx ),,(),,(),,(
Para melhor entendimento, analise os exemplos seguintes. Primeiramente calcularemos a
diferencial total de uma função de duas variáveis. EXEMPLO
(1) Calcule a diferencial total dz para yxexz y 35 .
SOLUÇÃO
dyyxfdxyxfdz yx ),(),(
como yxeyxf yx
215),( e 35),( xxeyxf yy então
dyxxedxyxedz yy )5()15( 32
No exemplo 2 você observará o calculo da diferencial total de uma função de duas variáveis.
(2) Calcule a diferencial total dw para 222 zyxw .
SOLUÇÃO
dzzyxfdyzyxfdxzyxfdw zyx ),,(),,(),,(
Como
xzyxf x 2),,( , yzyxf y 2),,( e zzyxf z 2),,( então dzzdyydxxdw 222
Este exercício facilitará o entendimento do próximo tópico.
DIFERENCIABILIDADE
Lembre-se que uma função de uma variável f é chamada de diferenciável em 0x se houver
uma derivada em 0x isto é, se o limite x
xfxxfxf
x
)()(lim)(' 00
00
existir. A função
diferenciável f em um ponto 0x possui duas propriedades importantes: )(xf é contínua em 0x e
o gráfico de )(xfy tem uma reta tangente não vertical em 0x .
CAPÍTULO 5
DERIVADAS PARCIAIS
119 |
Seguindo o mesmo princípio para função de duas variáveis temos que se ),( yxfz é
diferenciável em ),( 00 yx se z puder ser expresso na forma:
yxyyxfxyxfz yx 210000 ),(),(
onde 1 e 2 tendem a zero quando )0,0(),( yx .
No exemplo seguinte, você encontrará a diferencial de uma função em todos os pontos do plano. EXEMPLO
(1) Mostre que a função yxyxf 3),( 2 é diferenciável em todos os pontos no plano.
),(),( yxfyyxxfz
)3()(3)2( 222 yxyyxxxxz
yxxyxxz 0)(3)(2
yxyyxfxyxfz yx 21),()(),(
Assim a diferenciabilidade é um conceito importante para verificar se a função tem derivadas nos pontos. Os teoremas a seguir utilizam o conceito de diferenciabilidade para a verificação da derivada parcial no ponto.
TEOREMA 1
Devemos saber que se f tiver derivadas parciais de primeira ordem em cada ponto de
alguma região circular em ),( 00 yx e se estas derivadas parciais forem contínuas em ),( 00 yx
então f é diferenciável em ),( 00 yx .
TEOREMA 2
Devemos saber também que se f é diferenciável em ),( 00 yx , então f é contínua em
),( 00 yx .
3.13 REGRA DA CADEIA Lembremos que a regra da cadeia para uma função de uma variável nos dá uma regra para
diferenciar uma função composta. Se )(xfy e )(tgx , onde f e g são funções diferenciais,
então y é diretamente uma função diferenciável de t e
td
xd
xd
yd
td
yd.
CAPÍTULO 5
DERIVADAS PARCIAIS
120 |
Para funções de mais de uma variável, a Regra da Cadeia tem muitas versões, cada uma delas fornecendo regra de diferenciação de uma função composta. Para isto leia atentamente os casos a seguir: 1º Caso: Regra da Cadeia para uma Variável Independente
Seja ),( yxfw , em que f é uma função diferenciável de x e y . Se )(tgx e )(thy ,
em que g e h são funções diferenciáveis em t e
td
yd
yd
wd
td
xd
xd
wd
td
wd
O exemplo seguinte explicita muito bem a situação do 1º caso.
EXEMPLO
(1) Seja 22 yyxw , onde tx sen e
tey . Encontre td
wd quando 0t .
A solução do exemplo acima pode ser dada da seguinte forma: SOLUÇÃO
td
yd
yd
wd
td
xd
xd
wd
td
wd
teyxtxytd
wd)2(cos)2( 2
quando 0t temos que 0x e 1y , então
220td
wd
No segundo caso, você encontrará a seguinte regra: 2º Caso: Regra da Cadeia para Duas Variáveis Independentes
Seja ),( yxfw , onde f é uma função diferenciável de x e y . Se ),( tsgx e ),( tshy
são tais que as derivadas parciais de primeira ordem
s
y
y
w
s
x
x
w
s
w e
t
y
y
w
t
x
x
w
t
w
Para melhor entendimento do 2º caso, sugerimos o seguinte exemplo e sua solução.
EXEMPLO
(1) Determine s
w e
t
w para xyw 2 , onde 22 tsx e tsy .
CAPÍTULO 5
DERIVADAS PARCIAIS
121 |
SOLUÇÃO
xsyxsys
y
y
w
s
x
x
w
s
w241*22*2
xytxtyt
y
y
w
t
x
x
w
t
w241*22*2
3º Caso: Regra da Cadeia para Diferenciação Implícita
Se a equação 0),( yxf define y implicitamente como uma função diferenciável de x ,
então
),(
),(
yxF
yxF
xd
yd
y
x , 0),( yxFy
Se a equação 0),,( zyxF define z implicitamente como uma função diferenciável de x e
y , então
),,(
),,(
zyxF
zyxF
x
y
z
x e ),,(
),,(
zyxF
zyxF
x
y
z
y, 0),,( zyxFz
EXEMPLO
(1) Encontre xd
yd dado que 045 223 xyyy
SOLUÇÃO
Definindo 45),( 223 xyyyyxF
xyxFx 2),( e 523),( 2 yyyxFy
)523(
)2(
2 yy
x
xd
yd 523
2
2 yy
x
xd
yd
EXERCÍCIO
1) Encontre td
wd usando a regra da cadeia apropriada
CAPÍTULO 5
DERIVADAS PARCIAIS
122 |
a) 22 yxw , tex e tey
b) 22 yxw , tx sen e ty cos
2) Encontre s
w e
t
w usando a regra da cadeia apropriada
a) 22 yxw , tsx e tsy
b) yxw 52 , 22 tsx e 22 tsy
3) Encontre td
wd usando a regra da cadeia apropriada
a) xyw , tx sen2 e ty cos
b) yzxzxyw , 1tx , 12ty e tz
123 |
CCaappííttuulloo 66
IINNTTEEGGRRAAIISS MMÚÚLLTTIIPPLLAASS
1. INTEGRAL DEFINIDA
1.1 - Integral de Riemann
A definição formal da integral definida envolve a soma de muitos termos. A integral de Riemann (ou definida) de uma função f(x) num intervalo [a, b], é equivalente à soma de todos os elementos de área sob a curva f(x), ou seja:
onde:
kc coordenada entre 1kx e kx
f(ck) ordenada de kc (altura do retângulo)
1kkk xxx (base do retângulo)
A área do ésimok retângulo é dada por k k xA f (c ) x Somando todas as áreas dos
retângulos sob a curva f(x), tem-se uma aproximação (devido às quinas dos retângulos) da área sob a
curva. Quanto menor for kx , melhor é a aproximação.
Assim:
n
1k
kk0||x||
x)c(flimk
= área sob a curva f(x) = A
.
Soma das áreas parciais sob a curva que fornece a área total sob a
curva.
............................. ......................
Y
X
k k[c , f (c )]
n n[c , f (c )]
kc
nc
kA
k
1nn xx
1kk xx
CAPÍTULO 6
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
124 |
Definição: Integral definida de Riemann: Seja f(x) uma função contínua num intervalo [a,b], então se o limite
n
1k
kk0||x||
x)c(flimk
existe, a função f(x) é integrável em [a, b] no sentido de Riemann, e é definida por
b
a
n
1k
kk0||x||
dx)x(fx)c(flimk
,
onde a integral definida de f(x), no intervalo [a, b], dará uma nova função g(x) calculada no intervalo
[a,b], o que é escrito na forma b
ag(x) , ou seja, b
ag(x) g(b) g(a) , assim:
)a(g)b(gdx)x(f
b
a
Exercício: Determinar a área delimitada pela parábola 01642 yx e o eixo X .
44
44
16
4
160164
2222 xxx
yyx
12
6416
12
6416
124
44
4
4
34
4
2 xxdx
xA
3
64
3
3296
3
3232A
Observação: Seja f(x) uma função integrável em [a, b] no sentido de Riemann, então a integral definida de Riemann é numericamente igual à área "com sinal" sob o gráfico de f(x), entre x = a e x = b.
y A1 x = a
f(x)
A2
x = b
x
(A1 e A2) é a soma algébrica de todas as áreas (positivas e negativas)
Y
X
1
1
0
y f (x)
CAPÍTULO 6
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
125 |
Assim, a integral definida corresponde à soma algébrica das áreas, onde aquelas acima do eixo das abcissas são positivas e aquelas abaixo dos eixo das abcissas serão precedidas de sinal negativo, ou
seja, 21
b
a
AAdx)x(f .
EXEMPLO
Exemplo: Resolver a Integral definida da função 31f (x) x
3 entre [-1, 2].
4 4 4223
1 1
1 1 x 1 2 ( 1) 1 16 1 1 15 5x dx
3 3 4 3 4 4 3 4 4 3 4 4
Definições:
a) Se f(x) é uma função contínua no intervalo fechado [a, b], então f(x) é Riemann - integrável em [a, b].
b) Se f(x) é uma função limitada e seccionalmente contínua no intervalo fechado [a, b], então f(x) é Riemann – integrável em [a, b].
c) Se f(x) é uma função qualquer e a é um valor pertencente ao domínio D de f(x), define-se:
a
a
f (x)dx 0
d) Se ba e f(x) é Riemann - integrável em [a, b], então define-se:
a
b
b
a
dx)x(fdx)x(f
1
f (x)
1 0
2
Y
X
CAPÍTULO 6
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
126 |
2 - INTEGRAIS MÚLTIPLAS
2.1 - Integrais Duplas
Supondo-se que a função de duas ou mais variáveis independentes seja uma função de duas
variáveis, diz-se que "z" é uma função de y,x , e escreve-se )y,x(fz , quando a correspondência
entre "z" e o conjunto é tal que para cada grupo )y,x( ii o valor de "z" i fique univocamente
definido.
1a Observação: Uma função "" z pode ser explícita, isto é, ),( yxfz ; Exemplo: 22 yxz
ou 22 yxz ; ou a função "" z pode ser implícita, isto é, 0),( yxf . Exemplo:
0222 yxz , onde a função implicitamente inclui as duas funções anteriores.
2a Observação: Se os valores "" iz da função puderem ser obtidos por certo número de operações ,
praticadas sobre as variáveis i i(x ,y ) , então i i iz f (x , y ) será a representação analítica da função.
Exemplo: 22 yxz , assim "" z é função do conjunto (x, y) e f(x, y) = x2+y2 é sua representação
analítica.
Definição de domínio para duas variáveis independentes – Seja o domínio "D" um subconjunto do
espaço bidimensional real de "R" 2 e )y,x(f uma lei que associa a cada ponto "P" i um e somente
um valor real "" iz , onde )y,x(P iii iD e )y,x(fz R onde o conjunto de todos os valores que
"z" possa assumir representa a imagem "I" e )y,x(f é expressão analítica de calculo da imagem,
da função "z" , como mostra a Figura 3.
Z
Y
Z
X
Representação gráfica de uma função ),( yxfz
),( yxfz
0x
0y
0z
),,( 000 zyx
D
D
CAPÍTULO 6
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
127 |
A definição de integral dupla f (x, y)dxdy comporta uma interpretação geométrica
análoga à definição de integral definida simples, associando-a ao problema de cálculo de volume (ou cubatura) da mesma forma que a integral definida é associada ao cálculo de área. Assim, definição formal da integral dupla envolve a soma de muitas áreas elementares, isto é, diferenciais de área dA , ou seja, dxdy , com a finalidade de obter-se uma quantidade total após esta operação. Assim,
pode usar-se a integral para resolver problemas concernentes a volumes e a áreas.
Representação gráfica de uma função
),( yxfs
2
0 1 0 1D {(x,y) / (x x x ) (y x y )}1xx
1yy
Z
X
Y
0yy
1zz
0zz
s f (x, y)
0xx
D
Representação gráfica do domínio ""D , da imagem "" I e da
superfície ""S de uma função ),( yxfz
Z
Y
Z
X
S
D
D
I
D
CAPÍTULO 6
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
128 |
Ao tentar resolver-se “o problema do volume” , sabe-se que se trata área da base vezes a
altura é tal que para cada área elementar iii dydxdA o valor de "z" i fica univocamente
definido. Assim, a integral será o volume obtido pela soma de uma infinidade de volumes V das colunas infinitesimais inscritas em forma de paralelepípedos, com mostram as Figuras 2 e 3.
Z
Y
Z
X
Decomposição em paralelepípedos de uma função ),( yxfs
dxdydA
Z
Y
Z
X
Representação gráfica de uma função
),( yxfs
dxdydA
CAPÍTULO 6
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
129 |
Se f(x, y) < 0 os volumes V são negativos e obtém-se V como integral. Assim, uma
definição precisa de Integral Dupla pode ser colocada na forma: Supondo que o domínio D de uma função pode ser colocada no interior de um retângulo definido pela base bxa e pela altura dyc no plano XY , e a base bxa for dividido em
n intervalos, isto é, n
ab, a altura dyc também for dividido em m intervalos, isto é,
m
cd.
Então, esta decomposição do retângulo bxa , dyc em mn sub-retângulos é denominado
de partição regular, e cada sub-retângulo é uma célula desta partição, onde cada uma possui uma
área ijji Ayx , donde,n
1i
m
1j
ijAD . Note-se que quanto maiores forem n e m menor
será cada. Assim, para cada ponto toma-se o valor médio das coordenadas, isto é,
j * *ii j
yx, (x , y )
2 2 e obter-se-á uma área infinitesimal A e
i jV f(x , y ) A . O volume
total aproximado será dado pela soma de todos os V , isto é, i jV f (x , y ). A .
Desta forma a soma de Riemann corresponde à partição estendida, quando n e
0Am é o volume V total dado pela soma,
n m
i j i ji, j
i 1 j 1D
V f (x , y )dA im f (x , y ) A ,
denominada integral dupla de f(x, j) sobre o domínio D, onde
d b
i j i j i jc a
D
f (x , y )dA f (x , y )dx dy .
EXEMPLO
Se 2D {(x,y) / 1 x 1, 2 y 2} calcular o volume correspondente à função
2f (x) 1 x por integral dupla.
SOLUÇÃO
Se 21 xz , então 122 zx e 0z , logo a integral dupla D
dAx21
representará o volume do sólido S que está abaixo do cilindro circular 122 zx e acima do
retângulo definido por D . O volume de S é a área de um semicírculo com raio uma vez o comprimento do cilindro, ou seja,
2 2
D
1V 1 x dA (1) 4 2 u.v.
2
CAPÍTULO 6
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
130 |
pois,
1
1
21
1
22
2
1
1
2
2
22 14111 dxxdxxydydxxdAxVD
1 0
2 2 2
1 0V 4 1 x dx 4 1 cos (u) sen(u) du 4 sen (u) sen(u) du
2
00
u sen(u)cos(u) 4V 4 sen (u) du 4 ( 0) 2 u.v.
2 2 2
EXEMPLO
Calcular as integrais 2
1
3
0
2
1 ydydxxI e 3
0
2
1
2
2 ydxdyxI
SOLUÇÃO
a)
32
2 3 2 2 22 2 2 2 2 2
11 0 1 1 1
0
y 1 9I x ydydx x dx x (3 0 )dx x dx
2 2 2
2
3 3 3
1
1
9 x 9 2 1 9 3 21I (8 1) (7)
2 3 2 3 3 6 2 2
b)
23
3 2 3 3 3 32 3 3
20 1 0 0 0 0
1
x 1 1 7I x ydxdy ydy (2 1 ) ydy (8 1) ydy ydy
3 3 3 3
2
21
2
9
3
7
2
0
2
3
3
7
23
7
3
7 223
0
23
02
yydyI .
Assim, se f (x, y) for contínua no domínio 2D {(x,y) / a x b, c y d} , então
b d d b
a c c aD
f x , y dA f (x , y)dy dx f (x , y)dx dy .
Esse resultado (Teorema de Fubini) é válido ao supor-se que a função f(x, y) seja limitado em
D , podendo ser descontínua num número finito de curvas lisas, e se a integral iterada existir.
EXEMPLO
Se 2D {(x,y) / 0 x 2,1 y 2} calcular a integral dupla 2
D
I (x 3y ) dA e
demonstre o teorema de Fubini para esta integral dupla.
CAPÍTULO 6
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
131 |
SOLUÇÃO
a)
23
2 2 2 22 3 3
0 1 0 0
1
3yI (x 3y )dydx xy dx (x(2) (2) ) (x(1) (1) ) dx
3
2
2 22 2
0 0
0
x 2I [2(x 4) (x 1)]dx (x 7)dx 7x 7(2) 0 (2 14) 12
2 2
2
D
(x 3y )dA 12
b)
22 2
2 2 2 22 2 2
1 0 1 1
0
x 2I (x 3y )dxdy 3y x dx 3y (2) 0 dy
2 2
23
2 22 2 3
1 1
1
3yI [(2 2y )] dy 2 (1 3y )dx 2 y 2[(2 2 ) 0] 2(2 8) 12
3
2
D
(x 3y )dA 12 .
EXEMPLO
Calcule 2 3
Q
12xy z dV , onde Q é a caixa retangular limitada por: -1 x 2, 0 y 3, 0 z 2.
SOLUÇÃO
D = {(x,y) | -1 x 2, 0 y 3}
2
2 3 2 3
Q D 0
22 4 2
0D D
32 3 2 3
2
-1 0 -1 0
22 2
-1 -1
12xy z dV= 12xy z dz dA
= 3xy z dA= 48xy dA
y=48 xy dydx=48 x dx
3
x=16 27xdx=432
2
=216 4-1 =648
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