PEA 5731
So Paulo
Setembro 2003
Anlise de Redes Eltricas: Conceituao e Mtodos
Computacionais
Reviso dos Modelos de Geradores
Trabalho apresentado Disciplina PEA
5731
Aluno: Cassiano Lobo Pires n 336 33 24
SUMRIO
1. INTRODUO ....................................................................................................................... 1
2. A MQUINA SNCRONA IDEAL ....................................................................................... 1
3. CLCULO DAS INDUTNCIAS ......................................................................................... 6
4. TRANSFORMAES DE PARK ......................................................................................... 9
4.1 Transformaes para correntes .................................................................................................. 9
4.2 Transformao para tenso ...................................................................................................... 11
5. EQUAES DA MQUINA SNCRONA ......................................................................... 13
6. VALORES EM PU ................................................................................................................ 16
7. MQUINA SNCRONA EM REGIME TRANSITRIO ................................................. 18
8. EFEITO DO ENROLAMENTO AMORTECEDOR ......................................................... 20
9. REATNCIAS DA MQUINA SNCRONA ..................................................................... 24
10. EQUAES MECNICA E ELETROMECNICA ........................................................ 26
11. MODELOS DE GERADORES PARA ESTUDOS DINMICOS .................................... 29
12. BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................... 35
1
1. INTRODUO
A mquina sncrona aquela onde as correntes alternadas so impostas ou obtidas de
um conjunto de enrolamentos (armadura) e a corrente contnua imposta em um
outro conjunto de enrolamentos (o campo). O enrolamento de armadura,
normalmente localizado no estator, produz um campo magntico girante. O campo
do estator gira velocidade sncrona. O torque produzido atravs da interao dos
campos do estator e do rotor quando o rotor tambm gira velocidade sncrona.
2. A MQUINA SNCRONA IDEAL
A
A
BC
B C
d
q
Figura 1 - Esquema da mquina sncrona
Hipteses adotadas:
a) Mquina sem enrolamento amortecedor;
b) Observador no enrolamento de campo (indutor);
c) Mquina girando em sentido anti-horrio;
d) Conveno adotada para o equacionamento do indutor e induzido: receptor.
As caractersticas essenciais de uma mquina trifsica so mostradas na Figura 1. No
estator esto os trs enrolamentos A, B e C distribudos um em cada fase e so
simbolizados pelo enrolamento correspondente. Os eixos magnticos dos
enrolamentos de cada fase coincidem com os eixos de cada bobina. No rotor est o
enrolamento de campo (corrente contnua) F. A possibilidade de outros circuitos
2
eltricos formados pelas barras amortecedoras na mquina prtica ser ignorada por
enquanto para permitir uma maior concentrao nos eventos mais importantes.
O rotor tem dois eixos de simetria, o polar, ou direto (d) e o interpolar, ou em
quadratura (q). Para uma mquina sncrona de plos salientes, o fluxo magntico
encontra permencias diferentes nos dois eixos. Mesmo em um rotor cilndrico h
diferenas nos dois eixos criadas na maior parte por ranhuras relativamente grandes
para o enrolamento de campo. Os eixos d e q giram com o rotor, enquanto que os
eixos magnticos das trs fases do estator continuam fixas.
No instante mostrado na Figura 1, o ngulo do eixo da fase A ao eixo d. O ngulo
correspondente do eixo da fase B para o eixo d +240 (ou -120) e o ngulo da
fase C para o eixo d +120.
Conforme o rotor gira, varia com o tempo. Com uma velocidade angular constante,
t (1)
Para expandir a anlise, a mquina idealizada ignorando a saturao, histerese e
correntes induzidas. Assim, os circuitos acoplados so lineares e as superposies so
aplicveis. Assume-se que a fora magneto motriz no espao e as ondas de fluxo so
senoidalmente distribudas.
Todos os circuitos A, B, C e F possuem suas prprias resistncias e suas indutncias
prprias e mtuas em relao a todos os outros circuitos. Alm disto, as indutncias
mtuas e prprias associadas aos circuitos do estator so funes da posio do rotor,
variando periodicamente conforme o rotor gira.
Para a anlise da mquina idealizada, as relaes entre tenso e corrente so escritas
da seguinte maneira:
3
FFFF
CCCC
BBBB
AAAA
pirv
pirv
pirv
pirv
(2)
onde:
vA,B,C so as tenses nos enrolamentos A,B e C.
iA,B,C so as correntes nos enrolamentos A,B e C.
A,B,C so os fluxos concatenados nos enrolamentos A,B e C.
rA,B,C so as resistncias por fase.
Analogamente para o enrolamento F.
v+ -
i
Figura 2 Conveno de corrente e tenso na bobina
Os fluxos concatenados podem ser expressos em funo das correntes em todos os
enrolamentos:
F
C
B
A
FFFCFBFA
CFCCCBCA
BFBCBBBA
AFACABAA
F
C
B
A
i
i
i
i
LLLL
LLLL
LLLL
LLLL
(3)
onde:
Lij so as indutncias prprias das fases e enrolamento de campo, e indutncias
mtuas entre as fases e o campo.
O conjunto de equaes diferenciais (2) e (3) permite resolver qualquer problema de
transitrio eltrico na mquina, conhecidos os parmetros Lij. A determinao das
4
expresses das indutncias facilitada considerando os eixos direto (d) e em
quadratura (q) nos quais as relutncias (e permencias) so bem conhecidas.
Assim, considerando a definio de indutncia por exemplo, a indutncia prpria da
fase A pode ser dada por:
A
AAA
iL
(4)
onde:
A o fluxo total concatenado com o enrolamento A (fluxo mtuo, com circuito
magntico comum ao estator a ao rotor, mais fluxo de disperso, ou seja, aquele
produzido em A e que no atravessa o entreferro).
Excitada apenas a fase A com iA (senoidal) aplica-se ao circuito magntico uma fora
magneto motriz A cujo eixo coincide com o da fase A e de amplitude varivel no
tempo:
sensen AmxAmxAA iN (5)
onde NA o nmero de espiras do enrolamento da fase A.
Pode-se decompor A nos eixo d e q do seguinte modo:
q
d
A
d
q
d
Acos
d
As
en
Figura 3 Decomposio da fora magneto motriz nos eixos d e q
Sendo Pd e Pq as permencias do circuito magntico (atravs do entreferro) segundo
os eixos d e q, d e q produzem os seguintes fluxos por plo:
5
sen
cos
AqqqqA
AddddA
PP
PP
(6)
A parte destes fluxos no entreferro dA e qA, concatenada com a bobina A
representada pelas respectivas projees no eixo desta bobina. Deste modo,
q
d
A
dAcos
qAsen
Figura 4 Projeo dos fluxos na bobina A
2cos22
2cos222
cos
cos1cos
sencos
sencos
2
22
22
qdqd
AAA
qdqdqAAA
qddAAA
qdAAA
qdAAA
qAdAAA
PPPP
PPPPP
PPP
PP
PP
(7)
Da mesma forma, o fluxo produzido por iA concatenado com a fase B igual a:
)1202cos(
22qdqdABA
PPPP
(8)
E o fluxo produzido por iA concatenado com a fase C igual a:
)1202cos(
22
qdqd
ACA
PPPP
(9)
Analogamente,
6
cos dAFA P (10)
3. CLCULO DAS INDUTNCIAS
A indutncia prpria da fase A LAA, considerando NA = NB = NC, dada por:
A
AtotalA
A
AtotalA
A
AAA
N
i
N
iL
(11)
Mas,
dispAAAtotal (12)
onde disp o fluxo produzido pela fase A que no atravessa o entreferro.
Aplicando (7) e (12) em (11),
2cos22
2cos22
22
2
qdAqdA
AAA
qdqd
A
A
dispA
AA
PPNPPNlL
PPPPN
i
NL
(13)
onde lA a indutncia de disperso da bobina A.
Separando os termos constantes do termo que varia de acordo com a segunda
harmnica tem-se:
LMLS
LAA
Figura 5 Separao dos termos da indutncia LAA
7
2cos MSAA LLL (14)
Analogamente, a indutncia mtua entre as fases do estator pode ser expressa do
seguinte modo:
1202cos24
22
qdAqdA
A
dispABA
AB
dispABBABAtotal
A
BAtotalA
A
BAtotalA
A
BAAB
PPNPPN
i
NL
N
i
N
iL
(15)
Fazendo,
A
dispABAASS
i
NlLM
2 (16)
Tem-se:
)1202cos( MSAB LML (17)
Para a fase C,
)1202cos( MSAC LML (18)
A indutncia mtua entre o estator e o rotor dada desenvolvendo (10):
cos FAF ML (19)
onde:
dFAF PNNM (20)
Os valores das indutncias pode ser assim definidos:
Indutor (prpria):
8
dFFF PNL 2
Induzido (prprias):
)1202cos(
)1202cos(
2cos
MSCC
MSBB
MSAA
LLL
LLL
LLL
Indutor e induzido:
)120cos(
)120cos(
cos
FFCCF
FFBBF
FFAAF
MLL
MLL
MLL
Induzido (mtuas)
2cos
)1202cos(
)1202cos(
MSCBBC
MSCAAC
MSBAAB
LMLL
LMLL
LMLL
A caracterstica mais importante deste conjunto de equaes que as indutncias
apresentam variaes em funo de resultando, de acordo com (2), em equaes
diferenciais a parmetros variveis. Deseja-se expressar estas equaes diferenciais
em equaes diferenciais a parmetros constantes.
A idia dividir a fora magneto motriz total do estator em componentes ao longo do
eixo direto e do eixo em quadratura atravs das transformaes de R. H. Park.
A substituio proposta facilmente percebida quando se trabalha com a mquina
sncrona com induzido girante.
9
q
d
F
A
B
C
q
d
F
d
q
Figura 6 Transformao do sistema ABC para o sistema dq
Nota-se atravs da Figura 6 que o enrolamento de campo estacionrio em ambos os
casos e portanto, no precisa ser modificado.
4. TRANSFORMAES DE PARK
4.1 Transformaes para correntes
As correntes axiais id e iq so definidas como as correntes que circulado nas bobinas
fictcias, situadas sobre os eixos e tendo um mesmo nmero de bobinas por fase,
produzem a mesma distribuio de f.m.m. que as correntes reais iA, iB e iC.
Assim, projetando-se as foras magneto motrizes no eixo dq tem-se:
)120sen()120sen(sen
)120cos()120cos(cos
CBAq
CBAd
(21)
com,
CCC
BBB
AAA
iN
iN
iN
(22)
E para o sistema dq :
qqq
ddd
iN
iN
(23)
Adotando,
10
2
3
Tqd
TCBA
NNN
NNNN
(24)
Igualando (21) e (23), levando em considerao (22) e (24),
qT
CBAT
dT
CBAT
iN
iiiN
iN
iiiN
2)120sen()120sen(sen
3
2)120cos()120cos(cos
3
(25)
Trs variveis esto presentes no sistema ABC. Em um caso geral, trs variveis
devem aparecer no sistema dq. Como as duas correntes id e iq produzem o campo
magntico exato, a terceira corrente no deve produzir campo no entreferro. Esta
condio pode ser satisfeita atravs de:
30
CBA iiii
(26)
A corrente i0 corresponde corrente de seqncia zero no mtodo das componentes
simtricas. Quando as correntes de fase esto balanceadas e sua soma for nula, i0
tambm deve ser nula.
Assim, na forma matricial tem-se:
][][][
212121
)120sen()120sen(sen
)120cos()120cos(cos
3
2
0
0
ABCdq
C
B
A
q
d
iTi
i
i
i
i
i
i
(27)
][][][
1)120sen()120cos(
1)120sen()120cos(
1sencos
0
1
0
dqABC
q
d
C
B
A
iTi
i
i
i
i
i
i
(28)
11
4.2 Transformao para tenso
Para definir completamente a onda de fluxo que em um instante determinado existe
no entreferro deve-se conhecer uma magnitude e um ngulo. Uma alternativa
expressar a onda de fluxo em termos dos seus componentes de eixo direto de eixo em
quadratura Md e Mq. Na prtica, este processo o melhor para se representar o
valor instantneo do fluxo.
Segundo a terminologia de R. H. Park, cada um dos componentes Md e Mq que so
utilizados para representar o fluxo no entreferro se subentende ser o fluxo
concatenado com uma bobina sobre o eixo correspondente.
Supondo conhecidos os componentes de fluxo concatenado Md e Mq pode-se
determinar a tenso induzida em uma bobina e deduzir a equao da tenso do
circuito do induzido. A tenso induzida na bobina A depende do valor dos
componentes do fluxo concatenado e da sua posio angular , uma vez que a tenso
diminui quando o eixo da bobina est defasado em relao ao eixo do fluxo. A tenso
induzida por Md p(Mdcos) e a tenso induzida por Mq p(Mqsen). A
tenso interna que se ope tenso induzida pelo fluxo fundamental do entreferro :
sencos MdMdp (29)
O fluxo no entreferro produzido pela ao combinada das correntes nos
enrolamentos do estator e do rotor. As correntes do induzido produzem fluxos locais
que no cruzam o entreferro mas esto concatenados com a fase A. A corrente iA
produz uma queda de tenso pelas reatncias de disperso lApiA, onde lA a
indutncia de disperso da fase A. As correntes iB e iC produzem nesta bobina,
respectivamente, uma queda de tenso -lMpiB e -lMpiC, onde lM representa a parte da
indutncia mtua entre as bobinas do induzido correspondente ao fluxo que no
cruza o entreferro. Estas duas ltimas quedas de tenso possuem um sinal negativo
porque as bobinas esto defasadas de 120 entre si. Pode-se considerar com
aproximao suficiente que as indutncias lA e lM no dependem da posio do rotor.
12
A tenso terminal na fase A igual soma da tenso interna produzida pelo fluxo
fundamental do entreferro, das quedas produzidas pelos fluxos locais do induzido e
pela resistncia rAiA. Deste modo, a equao ser a seguinte:
CMBMAAAMqMdA pilpiliplrpv sencos (30)
Utilizando a relao (26) e o valor de iA dado por (28), tem-se:
000
001
11
00
0
0
00
0
00
0
sencos
3
sencos
sencos3
sencossencos
sen
cossencos3
sencossencos
sencos3
sencossencos
irpilirpirpv
irpill
irilpirilpv
iririrpil
iiipllpv
irir
iriiiplpil
iiiplpv
iiiriipl
iiiplpv
AqAqdAdA
AM
qAqMqdAdMdA
AqAdAM
qdMAMqMdA
AqA
dAqdMM
qdAMqMdA
qdAAM
qdAMqMdA
(31)
De onde as seguintes grandezas foram introduzidas:
qMqq
dMdd
M
MA
il
il
lll
lll
1
1
10
1
3
(32)
As magnitudes d e q so os fluxos totais concatenados com uma bobina de
induzido situada sobre o eixo direto ou sobre o eixo em quadratura, e produzidos
pelo fluxo fundamental de entreferro e pelas disperses no induzido; l1 a indutncia
efetiva de disperso de qualquer uma das bobinas axiais e produz um fluxo
13
concatenado devido disperso. l0 o que se chama, como foi dito, de indutncia de
seqncia zero e produz um fluxo de disperso.
Mas, segundo R. H. Park,
0sencos vvvv qdA (33)
Assim, desenvolvendo (31) e aplicando a relao apresentada em (1) tem-se:
00
00
)sen()cos(
sencossen
cossencos
iplr
tirptirpv
iplrtirttp
tirttpv
A
qAdqdAqdA
AqAqq
dAddA
(34)
O que vale analogamente para as fases B e C.
Assim,
000 iplrv
irpv
irpv
A
qAdqq
dAqdd
(35)
As tenses pd e pq so conhecidas como tenses variacionais e d e q so
conhecidas como tenses mocionais. Em muitos problemas as tenses variacionais
so pequenas se comparadas s tenses mocionais.
5. EQUAES DA MQUINA SNCRONA
Retomando (2) porm em sua forma matricial tem-se:
][][][ ABCABCABC pirv (36)
E,
FFF pirv (37)
Retomando tambm (28),
14
][][][ 01
dqABC iTi
(28)
Aplicando as transformaes de Park tambm para as tenses terminais e fluxos
concatenados obtm-se:
][][][ 01
dqABC vTv
(38)
][][][ 01
dqABC T
(39)
Substituindo (28), (38) e (39) em (36), obtm-se:
][][][][][][ 010101 dqdqdq TpiTrvT (40)
Multiplicando todos os membros de (40) por [T],
0
][][][
000
0023
0230
3
2][][][
][][][][][][][][
000
0
000
0
1
0
1
00
d
q
dqdqdq
q
d
dqdqdq
dqdqdqdq
pirv
pirv
TpTpTTirv
(41)
Deste modo, incluindo (37) tem-se o seguinte conjunto de equaes:
FFFF
dqqq
qddd
pirv
pirv
pirv
pirv
000
(42)
Comparando (42) com (35) pode-se notar a semelhana entre estas equaes.
Retomando (3), mas separando os fluxos concatenados das fases A, B e C do fluxo
concatenado do indutor tem-se:
15
][][][][][ 33 FFABCABC
F
C
B
A
CF
BF
AF
CCCBCA
BCBBBA
ACABAA
C
B
A
iLiL
i
i
i
i
L
L
L
LLL
LLL
LLL
(43)
][][][][][ 3 FFFABCt
FF
F
C
B
A
FFFCFBFAF
iLiL
i
i
i
i
LLLL
(44)
Substituindo (28) e (39) em (43) e (44) obtm-se:
][][][][][][
][][][][][][][
0
1
3
30
1
30
1
FFFdq
t
FF
FFdqFdq
iLiTL
iLiTLT
(45)
Aps alguns clculos e substituies trigonomtricas chega-se em:
dFFFFF
qqq
FFddd
iMiL
iL
iL
iMiL
2
3
000
(46)
onde:
SS
MSSq
MSSd
MLL
LMLL
LMLL
2
2
3
2
3
0
Relembrando que as indutncias LS, LM e MS so as mesmas encontradas em (14) e
(16).
16
Nota-se que as equaes (42) e (46) so vlidas para o modelo de Park e substituem
as equaes clssicas (36), (37), (43) e (44) com a vantagem de serem equaes
diferenciais a parmetros constantes (Ld, Lq, L0, MF e LFF). Nota-se tambm que para
o enrolamento indutor (campo, F) nada muda.
importante observar tambm que todo o equacionamento feito at agora no leva
em considerao o enrolamento amortecedor.
6. VALORES EM PU
Vantagens do sistema pu:
a) Torna a comparao entre as vrias mquinas muito mais fcil.
b) Acaba com o nmero de espiras.
c) Reduz o nmero de parmetros na matriz de indutncias.
total
1 2
iB1 iB2
Figura 7 Duas bobinas
A indutncia prpria de base da bobina 1 LB1 dada, considerando o tempo de base
igual a 1 segundo, por:
1
1
11
111
111
1
B
B
BB
BBB
Zi
vL
iLv
dt
diLv
(47)
Analogamente, a indutncia mtua de base entre as bobinas 1 e 2 MB12 dada por:
17
1
212
1122
1122
1
B
BB
BBB
i
vM
iMv
dt
diMv
(48)
A indutncia prpria L1 pode equacionada atravs do fluxo total concatenado com a
bobina 1 1 do seguinte modo:
111
2
1
1
2
11
1
2
11
111
1
11
1
1
1
11
lLL
R
N
R
NL
NL
RiN
i
N
i
N
iL
M
disp
disp
totaltotal
distotal
(49)
onde Rtotal a relutncia total.
Trabalhando com valores em pu,
pupuM
pu
puM
B
pu
B
puM
B
pu
B
M
B
pu
ML
M
L
M
RNNM
L
RNL
M
MM
L
lL
L
LL
121
12
1
12
12112
1
1
2
11
12
1212
1
11
1
11
1
(50)
Nota-se atravs de (50) que N1 = N2 e que a relutncia a mesma tanto para LM1pu e
M12pu.
18
7. MQUINA SNCRONA EM REGIME TRANSITRIO
Retomando as equaes da mquina sncrona segundo o sistema dq0, tem-se:
FFFF
dqqq
qddd
pirv
pirv
pirv
pirv
000
(42)
dFFFFF
qqq
FFddd
iMiL
iL
iL
iMiL
2
3
000
(46)
Usando os valores em pu, as seguintes relaes so vlidas:
1
1
lLL
LM
lLL
Mqq
MdF
Mdd
(51)
onde:
LMd est associada ao fluxo mtuo no eixo d, LMq est associada ao fluxo mtuo no
eixo q e l1 a indutncia efetiva de disperso de qualquer uma das bobinas axiais.
As magnitudes v0 e i0 esto relacionadas entre si independentemente das outras e em
muitos casos s preciso utilizar as tenses e correntes axiais.
Em muitos problemas, no necessrio calcular a corrente iF que pode ser eliminada
das equaes (42) e (46). Deste modo, o fluxo concatenado d pode ser reescrito, em
funo de id e vF.
Reescrevendo a equao de d, presente em (46) e a equao de vF, presente em (42)
tem-se:
19
dMdFFFMdFF
FMddMdd
piLipLLrv
iLilL 1
(52)
Eliminando iF, tirada da equao de vF em (52) e substituindo na equao para d,
obtm-se:
Fdd
d
F
dF
Mdd
d
d
dd
dMd
FFMdF
dMdFMdd
vpG
ipX
vpTr
xi
x
pT
pT
ilLpLLr
piLvL
)()(
'1'1
'1
00
1
(53)
Onde Xd(p) conhecida como impedncia operacional.
O termo T'd e T'd0 so conhecidos respectivamente pela constante de tempo
transitria com a armadura em curto e constante de tempo transitria com a armadura
em circuito aberto. Seus valores so dados atravs de:
MdFFF
d
Md
dFF
F
d
xxr
T
xx
xxx
rT
1'
1'
0
1
1
(54)
De forma anloga, pode-se escrever para o eixo q uma expresso semelhante:
q
q
qqq ix
iL
(55)
As expresses (53) e (55) dos fluxos nos eixos d e q combinadas com as expresses
das tenses vd e vq (aplicadas armadura conforme a conveno adotada) permitem
qualquer anlise de transitrio na mquina sncrona (admitindo a inexistncia do
enrolamento amortecedor).
20
8. EFEITO DO ENROLAMENTO AMORTECEDOR
Os enrolamentos amortecedores reagem s variaes de fluxo concatenado
interferindo obviamente nos transitrios eltricos e mecnicos da mquina sncrona.
Desta forma, provocam alteraes nas equaes de Park anteriormente apresentadas,
que sob seu efeito devem representar os fenmenos subtransitrios por eles causados.
Genericamente o enrolamento amortecedor pode ser representado por m bobinas
curto-circuitadas no eixo d e n bobinas curto-circuitadas no eixo q. Mantendo as
convenes anteriormente adotadas, as m + n bobinas, fixas em relao aos plos
devem ser representadas por enrolamentos estacionrios, assim como o indutor (F).
Entretanto, as expresses que resultam nas impedncias operacionais para este
sistema so equaes diferenciais e de ordem elevada (m e n), de resoluo
trabalhosa.
Por esta razo, suficientemente preciso trabalhar com uma particularizao,
admitindo dois enrolamentos amortecedores, um para cada eixo, conforme mostra a
Figura 8.
q
d
F
d
q kd
kq
Mkq
Mkd
MF
MFkd
Figura 8 Incluso dos enrolamentos amortecedores
Em pu, as relaes presentes em (51) podem ser expandidas da seguinte maneira:
21
kqMqkq
kdMdkd
FMdFF
Mqqq
Mddd
Mqkq
MdFkdkdF
Mqq
Mdd
lLL
lLL
lLL
lLLM
lLLM
LM
LMMM
lLL
lLL
1
1
1
1
(56)
Novamente com a inteno de eliminar a corrente do indutor iF e tambm a corrente
do enrolamento amortecedor do eixo direto ikd da equao do fluxo concatenado d,
este ser escrito atravs da combinao das seguintes equaes:
kdkdkdFFkddkdkd
kdFkdFFFFdFF
kdkdFFddd
ipLrpiMpiMv
piMipLrpiMv
iMiMiL
0
(57)
Ou em pu,
kdkdMdkdFMddMd
kdMdFFMdFdMdF
kdMdFMddMdd
iplLrpiLpiL
piLiplLrpiLv
iLiLilL
0
1
(58)
Para o clculo da impedncia operacional Xd(p) e da funo G(p), deve-se calcular a
corrente id que dada pelo quociente entre os dois seguintes determinantes:
MdMdd
kdMdkdMd
MdFMdff
LL
plLrpL
pLplLrv
D
01
(59)
1
2
lLLpL
pLplLrpL
pLpLplLr
D
MdMdMd
MdkdMdkdMd
MdMdFMdf
(60)
De onde se pode deduzir o valor de d:
22
FFdkd
ddd
r
vL
pTTpTT
pT
iLpTTpTT
pTTpTT
2
3121
2
3121
2
6454
1
1
1
1
(61)
Os valores das constantes T esto expressas em funo das reatncias:
kd
kdkd
FFMdMd
FMdkd
kd
Md
Mdkd
kd
Md
MdF
F
FMd
FMdkd
kd
kdMd
kd
FMd
F
r
xT
xxxxxx
xxxx
rT
xx
xxx
rT
xx
xxx
rT
xx
xxx
rT
xxr
T
xxr
T
11
16
1
15
1
14
3
2
1
1
1
1
1
1
1
(62)
A impedncia operacional Xd(p) e a funo G(p) podem ser retiradas de (61):
FMdkd
dd
r
x
pTTpTT
pTpG
xpTTpTT
pTTpTTpX
2
3121
2
3121
2
6454
1
1)(
1
1)(
(63)
De onde as novas constantes de tempo so dadas pelas seguintes identidades:
pTpTpTTpTT
pTpTpTTpTT
dd
dd
00
2
3121
2
6454
"1'11
"1'11
(64)
As novas constantes de tempo T'd0, T"d0, T'd e T"d so as quatro constantes de tempo
fundamentais em toda mquina sncrona. T"d0 a constante de tempo subtransitria
23
de eixo direto em circuito aberto e T"d a constante de tempo subtransitria de eixo
direto em curto circuito.
Os valores destas constantes de tempo podem ser calculados exatamente resolvendo
as equaes quadrticas. Normalmente, estes valores so calculados fazendo uma
nova aproximao, baseada no fato que a resistncia em pu do enrolamento de
amortecedor (kd) muito maior que a do enrolamento de excitao (F). T2 e T3 so
muito menores que T1, e o primeiro membro da segunda equao de (64) difere muito
pouco de (1+T1p)(1+T3p). Deste modo, T'd0 e T"d0 so aproximadamente iguais a T1
e T3 respectivamente. De forma similar, T'd e T"d so aproximadamente iguais a T4 e
T6. Assim, (63) fica:
FMd
dd
kd
d
dd
ddd
r
x
pTpT
pTpG
xpTpT
pTpTpX
00
00
"1'1
1)(
"1'1
"1'1)(
(65)
Deste modo, o fluxo d agora pode ser escrito da seguinte forma:
Fdd
d vpG
ipX
)()(
(66)
Para o eixo q, eliminando a corrente ikq, so vlidas as seguintes relaes:
kqkqkqqkdkd
kqkqqqq
ipLrpiMv
iMiL
0
(67)
Ou em pu,
kqkqMqkqqMq
kqMqqMqq
iplLrpiL
iLilL
0
1
(68)
O valor da impedncia operacional Xq(p) obtido eliminando-se ikq das equaes
presentes em (68):
24
plLr
xplL
lLl
rpX
kqMq
kq
q
Mq
Mq
kq
kq
q
1
1
11
)(1
1
(69)
q
q
q
q xpT
pTpX
0"1
"1)(
(70)
Onde T"q0 a constante de tempo subtransitria do eixo em quadratura em circuito
aberto e T"q a constante de tempo subtransitria do eixo em quadratura em curto
circuito.
E o fluxo q pode ser dado por:
q
q
q ipX
)(
(71)
9. REATNCIAS DA MQUINA SNCRONA
Reescrevendo as equaes da mquina sncrona, considerando os enrolamentos
amortecedores e todos os valores em pu tm-se:
kqMddMdFFMdFF
dqqq
qddd
piLpiLiplLrv
ipLrv
pirv
pirv
000
(72)
onde:
Fdd
d vpG
ipX
)()(
(66)
e,
25
q
q
q ipX
)(
(71)
Atravs destas trs equaes podem-se deduzir dois circuitos equivalentes, um para
cada eixo, que podem ser utilizados como ajuda na anlise da mquina sncrona.
vF
rF
lF
LMdp
l1p
Lkdp
rkd
id
ikd
iF
ikd
iF
id
pd
LMqp
l1p
Lkqp
rkq
iq
ikq
iq
pq
eixo d
eixo q
Figura 9 - Circuito equivalente para os eixos direto e em quadratura
Atravs do circuito equivalente da mquina sncrona pode-se tirar as reatncias da
mquina sncrona.
As reatncias sncronas de eixo direto e do eixo em quadratura so dadas por:
Mqq
Mdd
xxx
xxx
1
1
(73)
A reatncia transitria de eixo direto dada atravs de:
FMd
FMdd
xx
xxxx
1'
(74)
A reatncia subtransitria de eixo direto dada por:
26
FkdFFMd
kdFMdd
xxxxxx
xxxxx
1
1" (75)
A reatncia subtransitria do eixo em quadratura dada atravs de:
kqMq
kqMq
qxx
xxxx
1"
(76)
interessante notar que para os turbogeradores, que possui um rotor cilndrico, x'd e
x'q so aproximadamente iguais, e xd e xq so quase iguais.
10. EQUAES MECNICA E ELETROMECNICA
As equaes mecnica e eletromecnica fazem a interface na mquina sncrona entre
as equaes eltricas e a ao da turbina e/ou alteraes da rede eltrica, sendo por
essa razo igualmente importantes por exemplo, para estudos de estabilidade.
A conveno adotada para a equao mecnica a do "receptor mecnico", isto
potncia mecnica fornecida mquina sncrona pela turbina.
Celetromag
Cinrcia
Catrito
Cturbina
Figura 10 Conjugados na mquina sncrona
Assim, de acordo com a Figura 10,
eletromagatritoinrciaturbina CCCC (77)
onde:
Cturbina o conjugado aplicado pela turbina.
Cinrcia o conjugado de inrcia.
Catrito o conjugado de atrito.
27
Celetromag o conjugado eletromagntico da mquina.
Com,
k
DC
dt
d
k
JC
atrito
inercia
(78)
Onde:
J o momento de inrcia.
D o coeficiente de atrito viscoso.
k o nmero de pares de plos.
Para a determinao do conjugado eletromagntico tem-se:
Ueletromag
PC
(79)
onde:
PU a potncia til fornecida (instantnea no eixo).
a velocidade angular do rotor.
A velocidade angular do rotor tambm pode ser expressa em funo da velocidade
angular do seguinte modo:
k
nkf
nkf
22
(80)
onde n a freqncia de rotao.
A potncia til fornecida dada por:
28
ABCt
ABCCCBBAAU ivivivivP (81)
mas,
][][][
][][][][][
0
1
0
1
0
1
dqABC
t
dq
tt
dq
t
ABC
iTi
vTvTv
(82)
Deste modo,
00
00
0
11
0
32
3
][
300
0230
0023
][
][][][][
ivivivP
ivP
iTTvP
qqddU
dq
t
dqU
dq
tt
dqU
(83)
Substituindo as expresses para vd, vq e v0 j desenvolvidas e presentes em (42) vem:
0022 32
3ivipiiripiirP qdqqqdqdddU
(84)
Desta potncia nos terminais se obtm a potncia total no eixo que foi convertida de
mecnica para eltrica.
Pode-se notar que o termo rid2 + riq
2 equivale s perdas joule, idpd + idpd
corresponde a um termo armazenado no circuito magntico e o termo 3v0i0
corresponde disperso. Assim,
qddqU iiP
2
3
(85)
Aplicando (80) e (85) em (79) tem-se:
dqqdeletromag iikC 2
3
(86)
Desta forma, aplicando (86) e (78) em (77) tem-se:
29
dqqdturbina iik
k
D
dt
d
k
JC
2
3
(87)
A variao do ngulo entre um eixo fixo no rotor e um vetor de referncia que gira
com a velocidade sncrona, s, dada por:
stdt
d
)(
(88)
E (87) torna-se:
dqqdsturbina iik
dt
d
k
D
dt
d
k
JC
2
32
2
(89)
Estas expresses completam o conjunto necessrio para a anlise de problemas
dinmicos ligados estabilidade da mquina sncrona.
11. MODELOS DE GERADORES PARA ESTUDOS DINMICOS
Durante o estudo dos problemas prticos das mquinas sncronas , em geral, mais
conveniente conservar as magnitudes vd e vq em vez de utilizar as equaes presentes
em (72). Deste modo, retomando as expresses de tenso e fluxo para os eixos d e q
sem a presena de enrolamentos amortecedores tem-se:
dqqq
qddd
pirv
pirv
(90)
qqq
FFddd
iL
iMiL
(91)
Aplicando (91) em (90) e considerando regime permanente senoidal (os termos em p
so nulos) tem-se:
qddqFFddqq
qqdqqdd
eixiriMiLirv
ixiriLirv
(92)
30
onde a tenso eq conhecida como a tenso atrs da impedncia sncrona.
Trabalhando com valores eficazes,
qddqq
qqdd
EIxIrV
IxIrV
(93)
Extraindo Id e Iq de (93) tem-se:
qd
ddqq
q
qd
dqqq
d
xxr
xVrVEI
xxr
rVxVEI
2
2
(94)
A potncia ativa por fase pode ser dada por:
qqdd IVIVP (95)
Substituindo (94) em (95) tem-se:
qd
dqqdqdqqdq
xxr
xxVVVVrrVxVEP
2
22
(96)
Fazendo:
2sen21sencos
sen
cos
22
222
VVVV
VVV
VV
VV
qd
qd
d
q
(97)
Aplicando (97) em (96),
qd
dqqq
xxr
xxVVrrxVEP
2
22 2sen21cossen
(98)
31
Se as resistncias em srie so desprazveis se comparadas s reatncias, a equao
(98) torna-se:
2sen
2sen
2
qd
dq
d
q
xx
xxV
x
VEP
(99)
A potncia tambm pode ser expressa em ternos da tenso no eixo de quadratura E'q
atrs da reatncia transitria, da tenso terminal V e do ngulo entre estas duas
tenses. A expresso similar equao (99) exceto que a tenso Eq e a reatncia xd
so substitudas por E'q e xd. O ngulo o mesmo em ambos os casos porque tanto
E'q quanto Eq esto sobre o eixo em quadratura. Deste modo,
2sen
'2
'sen
'
' 2
qd
dq
d
q
xx
xxV
x
VEP
(100)
Uma simplificao pode ser feita se o segundo termo de (100) for desprezado.
Freqentemente esta simplificao levada um passo adiante se transformando no
modelo clssico da mquina sncrona para estudos de estabilidade como mostra a
Figura 11.
Ed
x'd
V
Figura 11 - Modelo clssico de mquina sncrona
A simplicidade desta representao aproximada da mquina sncrona uma
caracterstica valiosa quando a dinmica e os transitrios so investigados em redes
complexas multimquinas.
O modelo do tipo 2 no leva em conta os enrolamentos amortecedores e algumas
hipteses so estabelecidas:
32
0
0
qd pp
r
(66)
Deste modo, as equaes presentes em (42) so reescritas do seguinte modo, levando
em conta que a corrente de seqncia zero no produz campo resultante no
entreferro; apenas campo disperso:
FFFF
dq
qd
pirv
v
v
(101)
Considerando tambm as equaes de fluxo em pu tem-se:
dMdFFMdF
qMqq
FMddMdd
iLilL
ilL
iLilL
1
1
(102)
Retomando a equao da tenso de campo vF da presente em (101) e multiplicando-a
por xMd / rF tem-se:
FFMdMd
dFMd
F
FMd
F
FMd
Md
F
FMdFMd
F
FMd
F
F
Md
F
MdFF
F
FMd
pxx
xTix
r
vx
pxx
x
r
xxix
r
vx
pr
x
r
xir
r
vx
0'
(103)
A tenso e'q, utilizada para calcular os valores iniciais das correntes transitrias, pode
ser expressa atravs de:
F
FMd
MdF
FF
Fq
lL
L
L
Me
'
(104)
Aplicando (104) em (103) tem-se:
33
peTixr
vx
pe
Tixr
vx
qdFMd
F
FMd
q
dFMd
F
FMd
''
''
0
0
(105)
Isolando a corrente iF da equao de F presente em (102) tem-se:
FMddMdF
FMd
dMdFF
xx
ix
lL
iLi
(106)
Aplicando (106) em (105) tem-se:
peTixxer
vx
peTixxe
r
vx
peTixxxx
x
r
vx
peTxx
ixx
r
vx
qddddq
F
FMd
qdddd
q
F
FMd
qdddd
FMd
FMd
F
FMd
qd
FMd
dMdFMd
F
FMd
''''
''''
'''
''
0
0
0
0
(107)
Isolando e'q de (107),
F
FMdqddd
d
qr
vxeixx
Tpe ''
'
1'
0 (108)
Considerando a tenso vq em (101) e tambm o fluxo d em (102) tem-se:
dMdFMdq
dq
ilLiLv
v
1
(109)
Aplicando (106) em (109) tem-se:
34
ddddqq
Md
FMd
Md
d
q
q
dMd
FMd
dMd
FMd
FMd
q
dMd
FMd
dMdF
Mdq
dq
xxxiev
xxxx
xi
ev
ixxxx
ix
xx
xv
ixxxx
ixxv
v
''
'1
2
1
2
1
(110)
Multiplicando vq de (110) por -1 tem-se:
ddddqq xxxiev '' (111)
Deste modo, combinando (108) e (111) pode-se deduzir um diagrama de blocos cuja
sada vq. Se a relao para vq apresentada em (101) for acrescentada, a sada para o
diagrama de blocos ser d. Tambm utilizando a equao para q presente em (102)
um outro diagrama de blocos pode ser montado, como mostra a Figura 12.
vF
F
Md
r
x
0'
1
dT p
1
-
-vq
1
d
xd
idxd-xd
+
++
+
-
iq
xq
q
Figura 12 - Diagrama de blocos para o modelo do tipo 2
Fazendo um diagrama de blocos para o fluxo d e para o fluxo q utilizando as
reatncias operacionais presentes em (66) e (71) tem-se o modelo de gerador do tipo
3 que leva em considerao o perodo subtransitrio.
35
vF
d
id
+
iq
xq
q
dx pT
pT
d
d
0"1
"1
pT
pT
d
d
0'1
'1
pT
pT
d
kd
0"1pT d 0'1
1
F
Md
r
x
pT
pT
q
q
0"1
"1
+
Figura 13 - Diagrama de blocos do modelo do tipo 3
12. BIBLIOGRAFIA
ANDERSON, P. M.; FOUAD, A. A. Power system control and stability. Ames:
Iowa State University Press, 1977, 464 p.
ADKINS, B. The general theory of electrical machines. London: Chapman & Hall,
1957, 236 p.
DE MELLO, F. P. Dinmica das mquinas eltricas I. Rio de Janeiro:
ELETROBRS, 1979. 223 p. (Curso de engenharia eltrica em sistemas de
potncia srie P.T.I. v.4).
FITZGERALD, A. E.; KINGSLEY Jr., C. Electric machinery: The dynamics and
statics of electromechanical energy conversion. New York: McGraw-Hill, 2 ed.,
1961, 568 p.
JORDO, R. G. Mquinas sncronas. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos
Editora, 1980, 215 p.
KIMBARK, E. W. Power system stability: Synchronous machines. New York:
Dover Publications, 1956, 322 p.
PENTEADO Jr., A. A. Teoria Geral das Mquinas Eltricas PEA 5751. Notas
de aula. So Paulo, 2000.
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