MAE229 – Introdução à Probabilidade e Estatística II Ciências Atuariais - 1o sem de 2015
Lista de exercícios 3 – CLASSE
http://www.ime.usp.br/~fmachado/MAE229
1. Com base em amostras de tamanho n=3, provenientes de uma população normal,
considere os seguintes estimadores para a média 𝜇:
𝜇! =15𝑋! +
35𝑋! +
15𝑋! 𝜇! =
12𝑋! +
12𝑋!
𝜇! =12𝑋! +
14𝑋! +
14𝑋!
𝜇!" =13𝑋! +
13𝑋! +
13𝑋!
(a) Compare os estimadores propostos quanto ao viesamento e eficiência. (b) Calcule a estimativa fornecida por cada um deles, com base na amostra: (7,8; 8,8; 6,7).
2. Considere uma população normal e a estatística T definida, para amostras de dimensão
n=2, da seguinte forma:
𝑇 =𝑋! + 2𝑋!
2
(a) Determine a distribuição amostral de T e os respetivos parâmetros. (b) T é um estimador não viesado para 𝜇 ? Calcule o vício e EQM do estimador T. (c) Proponha um novo estimador para 𝜇 que seja não viesado.
3. Para o parâmetro 𝜃 de certa população, foram indicados dois estimadores: 𝜃! e 𝜃!. Diga
qual preferiria, sabendo que
𝐸 𝜃! =𝑛 + 1𝑛 𝜃 𝑉𝑎𝑟 𝜃! =
𝑘𝑛
𝐸 𝜃! =𝑛 + 1𝑛 𝜃 𝑉𝑎𝑟 𝜃! =
𝑘𝑛 + 3
onde k é uma constante. 4. Encontre o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro 𝛽 de uma população
com distribuição exponencial, i.e., cuja f.d.p. é a seguinte:
𝑓 𝑥;𝛽 =!!𝑒!! ! , 𝑥 ≥ 00, 𝑥 < 0
, 𝑐𝑜𝑚 𝛽 > 0.
5. O número de falhas por mês de um certo tipo de componentes segue distribuição de Pois-‐
son. Ensaiaram-‐se 8 desses componentes, tendo-‐se obtido o respectivo número de falhas durante um mês: (3; 1; 6; 4; 1; 3; 9; 2). Obtenha o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro 𝜆 da população, e apresen-‐te uma estimativa para 𝜆.
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