MA311 - Calculo III
Primeiro semestre de 2020
Turma B – Curso 51
Ricardo M. Martins
http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
Aula 30: Curso rapido de algebra linear
Um pouco de algebra linear
Na aula passada vimos o seguinte teorema:
TeoremaSejam A,B matrizes n × n e suponha que exista uma matriz in-
vertıvel M tal que A = MBM−1. Entao
exp(At) = exp((MBM−1)t) = M exp(Bt)M−1.
Como vamos usar este teorema: teremos um sistema x = Ax para
resolver, so que com exp(At) difıcil de calcular.
Iremos procurar matrizes B,M tais que exp(Bt) seja mais facil de
calcular e satisfazendo A = MBM−1; daı conseguiremos obter
exp(At) pela formula
exp(At) = exp((MBM−1)t) = M exp(Bt)M−1.
Um pouco de algebra linear
Como encontrar B e M? Pelos autovalores e autovetores! Vamos
fazer em detalhes o caso 2× 2.
Seja A uma matriz real n × n. Seja
pA(λ) = det(A− λI )
o polinomio caracterıstico de A. Chamaremos de autovalores de A
as raızes λ1, . . . , λn deste polinomio.
No caso de matrizes 2× 2 o polinomio caracterıstico tem a forma
pA(λ) = λ2 − tr(A)λ+ det(A).
Os autovalores podem ser reais ou complexos.
Um pouco de algebra linear
Seja λ um autovalor de uma matriz A. Entao
det(A− λI ) = 0
e isto significa que o sistema linear homogeneo
(A− λI )x = 0
tem uma solucao nao-nula, digamos x = u. Esta solucao nao nula
e chamada de autovetor associado a λ.
Note que se (A− λI )u = 0 entao Au = λu.
Um pouco de algebra linear
# Quando λ ∈ C \ R, pode acontecer do autovetor u tambem
ter coordenadas complexas. Iremos contornar isto mais para
frente. No caso em que λ ∈ R, entao o autovetor u tambem
so tera coordenadas reais.
# No caso em que os autovalores sao iguais, λ = µ, pode
acontecer de nao existirem dois autovetores linearmente
independentes.
Seja entao A uma matriz 2× 2, λ, µ seus autovalores. Vamos
encontrar as matrizes B e M.
Um pouco de algebra linear
Suponha primeiro que λ 6= µ. Assim teremos dois autovetores u, v ,
com Au = λu e Av = µv . Acabamos de descobrir a matriz B:
B =
(λ 0
0 µ
).
Para construir M, se u = (u1, u2) e v = (v1, v2), defina
M =
(u1 v1
u2 v2
).
Assim,
A = MBM−1
e
exp(At) = M exp(Bt)M−1.
Um pouco de algebra linear
O que e a matriz M?
A matriz M e uma matriz de mudanca de base. Estamos trocando
a base, da base canonica de R2 para a base {u, v}.
Ou seja, estamos trocando a base na qual a matriz da
transformacao linear TA : R2 → R2, TA(x) = Ax esta escrita.
Se C denota a base canonica e B = {u, v}, entao
A = MBM−1 ⇔ [A]CC = [I ]BC [B]BB[I ]CB,
onde M = [I ]BC e a matriz mudanca de base, da base B para a base
canonica.
Um pouco de algebra linear
O que acontece se λ, µ forem complexos?
Neste caso vamos usar a Forma de Jordan Real, ou Forma de
Jordan-Schur da matriz.
Sejam λ = a + bi e µ = λ = a− bi os autovalores de A.
Tambem poderemos separar os autovetores associados em suas
partes reais e imaginarias: u = z + wi , v = u = z −wi . Agora vem
uma conta muito boa. Como Au = λu, temos que
A(z + wi) = (a + bi)(z + wi)
= (a + bi)z + (−b + ai)w
= az − bw + i(bz + aw)
Um pouco de algebra linear
Comparando partes reais e partes imaginarias, obtemos que
Az = az − bw , Aw = bz + aw .
Seja C′ = {z ,w}. Entao C′ e base de R2 (exercıcio!) e iremos usar
esta base, ao inves de base C.
Fazendo isto, a matriz B ficara
B =
(a −bb a
)
e a matriz M sera
B =
(z1 w1
z2 w2
),
onde z = (z1, z2) e w = (w1,w2).
Um pouco de algebra linear
O que acontece se so existir 1 autovalor?
Suponha que os autovalores sejam iguais, λ = µ e que so exista
um autovalor, denotado por u.
Nao tera como obtermos a matriz na forma diagonal (pois para
isto precisarıamos de uma base com dois autovetores). O que
acontece neste caso e que (A− λI )x = 0 so tem uma solucao (so
um autovetor).
Noutras palavras, a imagem da transformacao linear
A− λI : R2 → R2 tem dimensao 1. Uma vez escolhido o autovetor
u, seja v tal que Av − λv = u (u existe!).
Um pouco de algebra linear
Considere agora a base B′′ = {u, v}, temos:
Au = λu, Av = u + λv .
Para quem ja estudou algebra linear, isto significa que
[A]CB′′ =
(λ 1
0 λ
).
Portanto, se considerarmos agora M como sendo a matriz
mudanca de base, de B′′ para C, teremos a igualdade
A = MBM−1.
Resumindo
TeoremaSeja A uma matriz 2 × 2. Entao existe uma matriz invertıvel M
tal que A = MBM−1, onde B e de uma das formas abaixo:(λ 0
0 µ
),
(λ 0
0 λ
),
(λ 1
0 λ
),
(a −bb a
).
Nos slides anteriores, vimos como calcular M em cada um dos
casos.
Dimensoes maiores: MA327, MA719.. mas na pratica, tudo
continua quase igual. A base sera formada pelos autovetores
quando eles existirem, ou entao pelo artifıcio que leva a 3a forma
acima.
Voltando para as equacoes diferenciais
O que sabemos fazer ate agora:
# Resolver sistemas x = Ax para qualquer matriz 2× 2, usando
diagonalizacao/forma de Jordan: ok.
# No caso n × n: tambem sabemos resolver qualquer sistema,
mas podemos ter algum trabalho na hora de calcular exp(At).
# Vamos fazer varios exemplos para ver se sabemos mesmo
fazer tudo isto.
Proximos passos (proximas aulas)
# Parar tudo e comecar a pensar nos sistemas mais gerais, da
forma x = A(t)x + b(t).
# Continuar fazendo uma introducao aos sistemas dinamicos.
Calculando exponenciais
Pelo que vimos antes, na pratica iremos reduzir o problema do
calculo de exp(At) ao calculo de exp(Aj t), onde
A1 =
(λ 0
0 µ
), A2 =
(λ 0
0 λ
), A3 =
(λ 1
0 λ
), A4 =
(a −bb a
).
Fica como exercıcio mostrar que:
# exp(A1t) =
(eλt 0
0 eµt
), exp(A2t) =
(eλt 0
0 eλt
)
# exp(A3t) =
(eλt teλt
0 eλt
)
# exp(A4t) =
(eat cos(bt) −eat sen(bt)
eat sen(bt) eat cos(bt)
)
Exemplos
Exemplo
Encontre a solucao geral do sistema{x = 2x − y ,
y = x + 2y
e esboce o retrato de fase.
Seja
A =
(2 −1
1 2
).
Desta vez e facil: a matriz e do tipo A4 do slide anterior, portanto
exp(At) =
(e2t cos(t) e2t sen(t)
−e2t sen(t) e2t cos(t)
)
Exemplos
Exemplo
Encontre a solucao geral do sistema{x = 2x − y ,
y = x + 2y
e esboce o retrato de fase.
Se x(0) = (a, b) e a condicao inicial, entao a solucao e dada por
x(t) =
(e2t cos(t) e2t sen(t)
−e2t sen(t) e2t cos(t)
)(a
b
)
O retrato de fase sera mostrado no proximo slide.
Exemplos
Exemplo
Encontre a solucao geral do sistema{x = 2x − y ,
y = x + 2y
e esboce o retrato de fase.
6 4 2 0 2 4 6x
6
4
2
0
2
4
6
y
Exemplos
Exemplo
Encontre a solucao geral do sistema{x = x − 2y ,
y = −3x + 2y
e esboce o retrato de fase.
Seja
A =
(1 −2
−3 2
).
Neste caso precisaremos de nossa amiga algebra linear, pois
exp(At) nao e tao simples de calcular diretamente. Entao vamos
calcular autovalores, autovetores, matriz B e matriz M.
Exemplos
Exemplo
Encontre a solucao geral do sistema{x = x − 2y ,
y = −3x + 2y
e esboce o retrato de fase.
A =
(1 −2
−3 2
)autovalores: λ = −1 e µ = 4
autovetores: u = (1, 1), v = (−2, 3)
B =
(−1 0
0 4
), M =
(1 −2
1 3
)
Exemplos
Exemplo
Encontre a solucao geral do sistema{x = x − 2y ,
y = −3x + 2y
e esboce o retrato de fase.
Note que (confira!)
MBM−1 = A
e que
exp(Bt) =
(e−t 0
0 e4t
).
Exemplos
Exemplo
Encontre a solucao geral do sistema{x = x − 2y ,
y = −3x + 2y
e esboce o retrato de fase.
Como exp(At) = M exp(Bt)M−1, segue que
exp(At) = M exp(Bt)M−1 =
(1 −2
1 3
)(e−t 0
0 e4t
)(35
25
−15
15
)
=
(3e−t
5 + 2e4t
52e−t
5 −2e4t
53e−t
5 −3e4t
52e−t
5 + 3e4t
5
)
Exemplos
Exemplo
Encontre a solucao geral do sistema{x = x − 2y ,
y = −3x + 2y
e esboce o retrato de fase.
Portanto, se a condicao inicial for x(0) = (a, b), a solucao sera
dada por
x(t) =
(3e−t
5 + 2e4t
52e−t
5 −2e4t
53e−t
5 −3e4t
52e−t
5 + 3e4t
5
)(a
b
).
Exemplos
Exemplo
Encontre a solucao geral do sistema{x = x − 2y ,
y = −3x + 2y
e esboce o retrato de fase.
Por exemplo, se a condicao inicial for x(0) = (1/2, 3/4), a solucao
sera dada por
x(t) =
(− 1
10e−t
(e5t − 6
),
3
20e−t
(e5t + 4
))No proximo grafico, fazemos varias condicoes iniciais em azul e
esta em particular em vermelho.
Exemplos
Exemplo
Encontre a solucao geral do sistema{x = x − 2y ,
y = −3x + 2y
e esboce o retrato de fase.
6 4 2 0 2 4 6x
6
4
2
0
2
4
6
y
Exercıcios
ExercıcioEncontre o retrato de fase dos sistemas abaixo:
1. x = x − 2y , y = x − y
2. x = 3x − 2y , y = x − y
3. x = 4x − 2y , y = 3x − y
Passos:
1. voce vai precisar calcular exp(At)
2. para isto tera que calcular autovalores e autovetores de A
3. construir matrizes B e M
4. finalmente x(t) =(M exp(Bt)M−1
)x(0), onde x(0) e a
condicao inicial.
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