MA311 - Calculo III
Primeiro semestre de 2020
Turma B – Curso 51
Ricardo M. Martins
http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
Aula 27: Determinando a soma de series numericas
Determinando a soma de series
A serie1
12+
1
22+
1
32+
1
42+ . . .
1
n2+ . . . ,
e convergente. Qual e sua soma?
O problema de se obter a soma desta serie e conhecido como
problema de Basel.
Ele foi proposto por Pietro Mengoli em 1650 e foi resolvido por
Euler em 1734. Varios matematicos da famılia Bernoulli tentaram
sem sucesso resolver este problema.
O nome ”problema de Basel” e uma homenagem a cidade natal
tanto de Euler como dos Bernoulli, que fica na Suica.
Determinando a soma de series
Curioso sobre a soma?
1
12+
1
22+
1
32+
1
42+ . . .
1
n2+ . . . =
π2
6.
Na prova original, Euler ”fatorou” a serie de Taylor de a serie de
Taylor de sen(x)/x como se fosse um polinomio infinito.
Veja o artigo original aqui: http://eulerarchive.maa.org//pages/E041.html
Determinando a soma de series
Usando uma serie de Taylor: Se f e uma funcao analıtica em
x = a, ou seja, que e representada por sua serie de Taylor em torno
de x = a, entao e possıvel escrever
f (x) = f (a) + f ′(a)x +f ′′(a)
2!x2 +
f ′′′(a)
3!x3 + . . .+
f (n)(a)
n!xn + . . .
Exemplo
Determine se a serie abaixo e convergente. Se for, determine sua
soma:
1− 1
3+
1
5− 1
7+
1
9+ . . .
Determinando a soma de series
Para resolver este problema, seja f (x) = arctan(x). Assim
f ′(x) =1
1 + x2=
1
1− (−x2).
Esta e a expressao da soma de uma PG, desde que |x | < 1.
Portanto,
f ′(x) =1
1 + x2=
1
1− (−x2)= 1− x2 + x4 − x6 + x8 + . . .
e com isto
f (x) = arctan(x) =∞∑n=0
(−1)nx2n+1
2n + 1= x − x3
3+
x5
5+ . . .
Determinando a soma de series
f (x) = arctan(x) =∞∑n=0
(−1)nx2n+1
2n + 1= x − x3
3+
x5
5+ . . .
Note que a serie anterior converge se x = 1 tambem (justifique!).
Fazendo x = 1 obtemos
π
4=∞∑n=1
(−1)n
2n + 1= 1− 1
3+
1
5− 1
7+
1
9+ . . .
ou ainda
π =∞∑n=1
(−1)n4
2n + 1= 4− 4
3+
4
5− 4
7+
4
9+ . . .
Dificuldade: achar a funcao que tenha a serie de Taylor que
queremos.
E a soma dos inversos dos quadrados?
Seja s ∈ C e considere a serie
∞∑n=1
1
ns.
Lembre que se s = a + bi entao
ns = na+bi = na(
cos(b) + i sen(b)),
e com isto |ns | = na. Portanto, a soma acima converge quando
a > 1.
E a soma dos inversos dos quadrados?
Denote
ζ(s) =∞∑n=1
1
ns.
Esta funcao, com domınio {z ∈ C, Re(z) > 1} e conhecida como
funcao zeta de Riemann.
No caso s = 1, a serie nao converge (e a serie harmonica). E
possıvel estender analiticamente o domınio da funcao ζ(s) para
todos os valores z ∈ C com z 6= 1.
O problema de Basel entao e determinar explicitamente ζ(2).
Alem de sabermos que ζ(2) = π2/6, sabemos tambem que ζ(3) e
irracional.
E a soma dos inversos dos quadrados?
Vamos provar que ζ(2) = π2/6 usando a serie de Fourier de
f (x) = x2.
Temos
f (x) =a02
+∞∑
m=1
am cos(mx) +∞∑
m=1
bm sen(mx),
e os coeficientes sao dados por
a0 =2π2
3, am =
4(−1)m
m2, bm = 0.
Portanto,
x2 =π2
3+ 4
∞∑m=1
(−1)m cos(mx)
m2.
E a soma dos inversos dos quadrados?
Colocando x = π na equacao anterior teremos
π2 =π2
3+ 4
∞∑m=1
(−1)m cos(mπ)
m2,
ou seja,
π2 =π2
3+ 4
∞∑m=1
1
m2,
nos dando finalmente que
π2
6=∞∑
m=1
1
m2= ζ(2).
Muitos outros fatos sobre a funcao ζ(s)
No caso em que Re(s) > 1, podemos escrever
ζ(s) =1
Γ(s)
∫ ∞0
x s+1
ex − 1dx ,
onde a funcao Γ(s) e dada por
Γ(s) =
∫ ∞0
x s−1e−x dx .
A funcao Γ(s), quando restrita aos naturais, satisfaz
Γ(n) = (n − 1)!.
Muitos outros fatos sobre a funcao ζ(s)
E possıvel encontrar z ∈ C tal que ζ(z) = 0?
E razoavelmente facil provar que ζ(−2n) = 0, para todo n ≥ 1,
usado serie de Taylor.
Em 1914, Hardy provou que existem infinitos valores de t ∈ R tais
que
ζ
(1
2+ it
)= 0.
E um problema em aberto, conhecido como hipotese de Riemann,
provar que todos os zeros de ζ(s) sao desta forma, ou seja,
numeros pares negativos ou numeros complexos com parte real
1/2.
Em particular, a solucao deste problema vale 1 milhao de dolares,
pagos pelo Clay Institute.
Muitos outros fatos sobre a funcao ζ(s)
Euler provou que se Re(s) > 1 entao
ζ(s) =∞∑n=1
1
ns=
∏p primo
1
1− p−s=
1
1− 2−s· 1
1− 3−s· 1
1− 5−s· . . .
Uma relacao muito importante existe entre a funcao ζ(s) e a
distribuicao dos numeros primos.
Seja π(x) a funcao que da o numero de primos menores ou iguais
a x .
Por exemplo, π(2) = 1, π(3) = 2, π(4) = 2, π(5) = 3,
π(100) = 25, e por aı vai.
Muitos outros fatos sobre a funcao ζ(s)
O Teorema dos Numeros Primos diz que
limx→∞
π(x)(x
ln(x)
) = 1,
ou seja, que a funcaox
ln(x)e uma boa aproximacao para π(x),
para valores grandes de x .
Todas as demonstracoes conhecidas do Teorema dos Numeros
Primos fazem uso da Hipotese de Riemann, ou seja, que ζ(s) = 0
somente quando s = −2n ou s =1
2+ ti para algum t ∈ R.
Que tal usar seu tempo livre para tentar resolver o problema?
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