Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
Prof. Leandro Franco de Souza
Professores:
Antônio Castelo FilhoFernando Marques FedersonLeandro Franco de SouzaLuis Gustavo NonatoMichael George Maunsell
Métodos Numéricos paraMecânica dos Fluidos
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Bibliografia: J. H. Ferziger and M. Peric, 'Computational Methods for Fluid Dynamics',
SpringerVerlag Berlin Heidelberg New York, 1997.
R. W. Fox e A. T. McDonald, 'Introdução a mecânica dos Fluidos', Guanabara, 1985.
H. Schlichting, 'Boundary Layer Theory', McGrawHill, 1979.
F. M. White, 'Fluid Mechanics', McGrawHill, 2001.
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O que é fluido?
“ Substância que se deforma continuamente sob a ação de um esforço tangencial, não importando quão diminuto seja este esforço.” (Fox & McDonald)
O que estuda a mecânica dos Fluidos?
“ Estuda o comportamento dos fluidos em repouso ou em movimento.” (Fox & McDonald)
Mecânica dos Fluidos
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Exemplos de fluidos:
Ar; Água; Sangue; Óleo; Petróleo;Gasolina; Álcool; Querosene; Gases de combustão;Pasta de dente; Mel; Soluções; bolhas; gotas;Gelatina; Glicerina; etc.
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Hipótese do CONTÍNUO:
O fluido é tratado como uma substância que pode ser dividida ao infinito, um contínuo, sem nos preocuparmos com o comportamento individual de suas moléculas.
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VISCOSIDADE:Se a tensão tangencial for diretamente proporcional às
respectivas taxas de deformação, o fluido é chamado de Newtoniano; caso contrário de não Newtoniano. Este coeficiente de proporcionalidade é chamado viscosidade.
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Fluid
U
Steady state
dz
duzx µτ =
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Escoamentos VISCOSOS: sabemos que todos os fluidos possuem viscosidade;
Escoamentos NÃOVISCOSOS: a hipótese de viscosidade nula pode ser adotada no estudo de vários problemas, pois simplifica a análise e ao mesmo tempo conduz a resultados satisfatórios.
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Escoamentos LAMINARES são caracterizados pelo suave movimento em laminas ou camadas;
Escoamentos TURBULENTOS são caracterizados pelo escoamento tridimensional das partículas cujos movimentos caóticos superpôemse ao movimento médio.
Escoamentos TRANSICIONAIS caracterizamse pela mudança no regime do escoamento.
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Escoamentos ESTACIONÁRIOS são caracterizados pelo movimento contante no tempo, ex.: escoamento numa turbina de uma hidroelétrica.
Escoamentos NÃO ESTACIONÁRIOS são caracterizados por escoamentos que variam no tempo, ex.: escoamento de gases de combustão de um motor ciclo otto ou diesel.
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Escoamentos de fluidos COMPRESSÍVEIS são aqueles que as variações da densidade do fluido não são desprezíveis, caso contrário eles são denominados de escoamentos de fluidos INCOMPRESSÍVEIS.
Mach=V/CV > velocidade do escoamentoC > velocidade local do somM<0.3 > escoamentos incompressíveis0.3<M<1.0 > escoamentos subsônicosM>1.0 > escoamentos supersônicosM>5.0 > escoamentos hipersônicos
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Princípios de Conservação:
Podem ser derivados levando em consideração uma dada quantidade de matéria ou volume de controle e suas propriedades extensivas como massa, momentum e energia.
Conservação da massa (continuidade);Equações de momentum (2a lei de Newton);Conservação da energia (1a lei da termodinâmica).
Conceitos básicos de escoamentos
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Volume de controle e Superfície de controle
Conceitos básicos de escoamentos
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Conservação de Massa (Continuidade):
A massa não pode ser criada nem destruída nos escoamentos de interesse da engenharia.
Conceitos básicos de escoamentos
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Equações de Momentum:
A soma da quantidade de momentum em um VC e o fluxo de momentum que passa através das SC é igual a soma das forças que agem num VC.
Forças de massa e de superfície.
Conceitos básicos de escoamentos
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Equações de Momentum:
Forças de massa: gravidade, centrífuga, força de Coriollis, etc...
Conceitos básicos de escoamentos
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Equações de Momentum:Forças de superfície: pressão, tensões normal e de
cisalhamento.
Elemento diferencial
Conceitos básicos de escoamentos
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Equações de Momentum:
Equações de NavierStokes para movimento
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Equações de NavierStokesforma diferencial coordenadas cartesianas
onde:
Conceitos básicos de escoamentos
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Equações de NavierStokesforma diferencial coordenadas cartesianas
Conceitos básicos de escoamentos
convecção difusãopressãoDer. Temporal local
T. fonte
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Conservação da energia
1a lei da termodinâmicaAplicando o teorema de transporte de Reynolds, a lei de
Fourier, conceito de entalpia etc... chegamos a equação de conservação de energia na forma diferencial:
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Adimensionalização
Resultados experimentais > maior número de informações com o menor número de ensaios.
MecFlu depende de maneira complexa dos parâmetros geométricos e do escoamento.
UParâmetros do escoamento: diâmetro da esfera, velocidade,densidade e viscosidade.
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Adimensionalização
Eq. NavierStokes p/ escoamento incompressível:
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂−
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
z
u
y
u
x
u
x
pgx
ρ
µρ2
2
2
2
2
2
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Adimensionalização
U
uu
L
zz
L
Utt
L
yy
U
pp
L
xx
DD
DD
DD
==
==
== 2ρ
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Adimensionalização( )
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂
∂−
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)/(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)( 2
2
2
2
2
22
Lz
UuUw
Ly
UuUv
Lx
UuUu
ULt
Uu
Lz
Uu
Ly
Uu
Lx
Uu
Lx
Upg
D
DD
D
DD
D
DD
D
D
D
D
D
D
D
D
D
Dx
ρ
µρ
ρ
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂−
D
DD
D
DD
D
DD
D
D
D
D
D
D
D
D
D
Dx
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
L
U
z
u
y
u
x
u
L
U
x
p
L
Ug
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ρ
µρρ
Simplificando:
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Adimensionalizaçãodividindo por ρU2/L:
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂−
D
DD
D
DD
D
DD
D
D
D
D
D
D
D
D
D
Dx
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
z
u
y
u
x
u
ULx
p
U
Lg2
2
2
2
2
2
2 ρµ
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Adimensionalização
onde:Re é o número de Reynolds > F_inercia/F_viscosaFr é o número de Froude > F_inercia/F_gravitacional
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂−
D
DD
D
DD
D
DD
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
x
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
z
u
y
u
x
u
x
p
Fr 2
2
2
2
2
2
Re
11
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Adimensionalização
Escoamentos com o mesmo número de Reynolds tem comportamento semelhante.
Ex.:ar > v=30 m/s; L= 10 cm; nu=1.5x10^(5)água > v=5 m/s; L= 4 cm; nu=1.x10^(6)
Re = 200 000
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Modelos Matemáticos Simplificados
Equações de momentum e continuidade são complexas > não lineares, acopladas e difíceis de resolver.
Solução analítica > escoamentos desenvolvidos em geometrias simples.
Casos onde a solução das equações é possível vários termos nas equações são nulos; em outros casos a influência de alguns termos pode ser muito pequena.
Podese simplificar as Eqs. de NavierStokes.
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Modelos Matemáticos SimplificadosEscoamento Incompressível e isotérmico
M<0.3Variações da densidade menores do que 5%
Continuidade:
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Modelos Matemáticos SimplificadosEscoamento Incompressível e isotérmico
Eq. NavierStokes
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Modelos Matemáticos SimplificadosEscoamento Invíscido
Em escoamentos longe de superfícies o efeito da viscosidade é muito pequeno.
A equação da continuidade fica inalterada:
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Modelos Matemáticos SimplificadosEscoamento Invíscido
A equação de NavierStokes:
é simplificada para:
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Modelos Matemáticos SimplificadosEscoamento Potencial
É um dos mais simples modelos para simulação de escoamentos;
O escoamento é considerado inviscído;Uma condição a mais é imposta: o campo de velocidades
deve ser irrotacional > rot(u)=0,
desta condição existe uma velocidade potencial tal que u=grad(v), então a equação de continuidade vira uma equação de laplace >div(grad(v))=0.
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Modelos Matemáticos SimplificadosEscoamento Potencial
A equação de NavierStokes se transforma na equação de Bernoulli:
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Modelos Matemáticos SimplificadosEscoamento de baixo Reynolds
Quando a velocidade do escoamento é muito baixa ou as dimensões da geometria são muito pequenas os termos convectivos são muito pequenos se comparados aos termos difusivos e podem ser desprezados.
A equação da continuidade tem a forma:
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Modelos Matemáticos SimplificadosEscoamento de baixo Reynolds
A equação de NavierStokes:
é simplificada para:
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Modelos Matemáticos SimplificadosCamada Limite
Prandtl > 1904Fluido perfeito X Fluido real
Condição de não deslizamento
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Modelos Matemáticos SimplificadosCamada Limite > Simplificações
Difusão na direção do escoamento é pequena e pode ser negligenciado;
O componente de velocidade na direção do escoamento é muito maior do que os componentes nas outras direções;
O gradiente de pressão perpendicular ao escoamento é muito menor do que na direção principal do escoamento.
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Modelos Matemáticos SimplificadosModelos de Escoamentos Complexos
Turbulência;Combustão;Escoamentos multifásicos; outros...
A descrição exata de tais fenômenos é impraticável, portanto é feito o uso de modelos semiempíricos, ex.: modelos de turbulência, modelos de combustão.
O uso de modelos afeta a precisão da solução, devese ter cuidado com as conclusões obtidas.
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Classificação Matemática dos Escoamentos
As Equações Diferenciais Parciais (EDP) de segunda ordem podem ser divididas em três tipos:
Hiperbólicas, Parabólicas e Elípticas.
A distinção é baseada na natureza das características, curvas nas quais a informação sobre a solução é transportada.
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Classificação Matemática dos EscoamentosEquações Diferenciais Parciais Hiperbólicas
As características são reais e distintas.A propagação da informação se dá em duas direções.
Necessitase de duas condições iniciais.
Ex.: escoamento não estacionário invíscido compressível.Um escoamento compressível suporta ondas de choque e as
equações para este fenômeno são essencialmente hiperbólicas.
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Classificação Matemática dos EscoamentosEquações Diferenciais Parciais Parabólicas
As Eq. características degenera para um único real.A informação trafega apenas numa direção
Consequentemente apenas uma condição inicial é necessária.
Ex.: Camada Limite.
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Classificação Matemática dos EscoamentosEquações Diferenciais Parciais Elípticas
As características são imaginárias ou complexas.A informação não tem direção preferencial para propagar, e
trafega bem em todas as direções.Necessitase de condições de contorno apropriadas.
Ex.: Escoamento com região de recirculação; distribuição de temperatura numa placa.
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Classificação Matemática dos EscoamentosEquações Diferenciais Parciais Mistas
Existem diversos fenômenos em que as equações governantes são do tipo misto.
Ex.: Escoamento incompressível não estacionário > combinação de Eq. Elípticas e ParabólicasEscoamento estacionário transônico >
combinação de Eq. Hiperbólicas e Elípticas
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O que é?Resolver as Equações de conservação computacionalmente
É não linear em U;A pressão não tem derivada temporal;A equação acima não tem solução geral;Só é possível resolver usando computadores.
Mecânica dos Fluidos Computacional CFD
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Por que?
Permite o estudo de fenômenos de escoamentos;É mais barato do que experimento;É não intrusivo e repetitivo;É mais rápido para realizar estudos paramétricos;É divertido.
Mecânica dos Fluidos Computacional CFD
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Mecânica dos Fluidos Computacional CFDAPLICAÇÕES:
Cálculos Climáticos; Combustão; Compressores; Máquinas de resfriamento; Ciclones; Secadores; Filtros; Escoamento de Água no meio ambiente; Aquecimento ou Resfriamento de Ambientes; Reações catalíticas; Manobras de navios; Misturadores; Escoamentos Oceânicos; Fornos; Conforto de Passageiros; Aeronaves; Bombas; Separadores; Turbinas; Válvulas; Dispersão de Lixo no Meio Ambiente; Armazenamento de Água; Previsões Meteorológicas; Forças do vento em Prédios; Escoamentos transicionais; Escoamentos em Meio Poroso; etc...
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Computacional possue modelos que podem interferir na física do escoamento;
Computacional não substitui o experimental mas complementa;
Estudos computacionais ainda não estão avançados o bastante para substituir estudos experimentais.
Computacional X Experimental
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Escoamentos são bem modelados pelas eq. de NavierStokes;
Mecânica dos Fluidos computacional = resolver eq. NS computacionalmente;
De acordo com o escoamento a ser estudado podese realizar simplificações para facilitar os cálculos;
Equações parabólicas, hiperbólicas e elípticas possuem características diferentes e portanto métodos de solução diferenciados.
Resumo:
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