Lógica Proposicional
Tableaux semânticos
Características do Método de Tableaux Semântico
Baseado em árvores Ramos são decomposições de H em
subfórmulas ou seja, possibilidades de
interpretações da fórmula Cada ramo representa uma ou mais
interpretações Adequado para implementação!
Idéia Básica de Tableaux Semânticos Concebido por E. Beth (1954) e
Jaako Hintikka (1955) Interpretação – caminho da raiz da
árvore a uma folha “Semântica dos Mundos Possíveis” Buscam admissões de
interpretações
Características do Método de Tableaux(cont.)
Sistema de refutação Prova por negação ou absurdo Para provar H supõe-se
inicialmente, por absurdo, H As deduções desta fórmula levam a
um fato contraditório (ou absurdo) Então H é verdade!!
R1=H^G R2=HvG R3=HG H
G H G H G
R4=HG R5=H R6=(H^G)
HH^G H^G H G
R7=(HvG) R8=(HG) R9=(HG)
H HG G H^G
H^G
Tipos de regras - tipo α
Regras do tipo α não bifurcam H^G, ¬(H v G), ¬(HG) Se α=H^G, α1=H e α2=G então α .α1α2
Tipos de regras - tipo β
Regras do tipo β bifurcam HvG, ¬(H ^ G), HG, HG,
¬(HG) Se β=HvG, β1=H e β2=G então
β
Β1 β2
Construção de um Tableaux
Tableaux semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)}
1. AvB 2.A^ B
3. A B R2, 1. 4. A A R1, 2. 5. B B R1, 2.
Construção do mesmo Tableaux mais curto
Tableaux semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)}
1. AvB 2.A^ B 3. A R1, 2. 4. B R1, 2.
5. A B R2, 1.
Heurística para aplicação de regras para tableaux Adiar a bifurcação Aplicar primeiro as regras que não
bifurquem Árvore menor => menos
interpretações a serem analisadas
Construção de um Tableaux Semântico – Definição (recursiva)
Dado o conjunto de fórmulas {A1,A2,...,An}
A seguinte árvore, com um ramo, é um tableaux associado a {A1,A2,...,An} 1. A1 2. A2, ... n. An
Se Tree é um tableaux associado a {A1,A2,...,An}, então Tree* (Tree submetida a alguma das regras R1 a R9) também é
Exemplo de Construção de um Tableaux Semântico
{(AB)(AvB), (CA)} Tree1:
1. AB 2. (AvB) 3. (CA)
Exemplo de Construção de um Tableaux Semântico (cont.)
{(AB)(AvB), (CA)} Tree2 (=R7 aplicada a Tree1):
1. AB 2. (AvB) 3. (CA) 4. A R7, 2. 5. B R7, 2.
Exemplo de Construção de um Tableaux Semântico (cont.) {(AB),(AvB), (CA)} Tree3 (=R3 aplicada a Tree2):
1. AB 2. (AvB) 3. (CA) 4. A R7, 2. 5. B R7, 2.
6. A B R3, 1.
Exemplo de Construção de um Tableaux Semântico (cont.) {(AB),(AvB),
(CA)} Tree4
R8 aplicada a Tree3 O ramo da
esquerda contém B e B Como essa
informação pode ser útil?
1. AB 2. (AvB) 3. (CA) 4. A R7, 2. 5. B R7, 2.
6. A B R3, 1 7. C C R8, 3. 8. A A R8, 3.
Ramo aberto e fechado
Ramo fechado – contém uma fórmula B e sua negação B, ou o símbolo de verdade false
Tableau fechado – não contém ramos abertos
Prova e Teorema em Tableaux Semânticos
Uma prova de H usando tableaux semânticos é ... Um tableau fechado associado a... H! Neste caso, H é um teorema do
sistema de tableaux semânticos
Exemplo de Prova em Tableaux Semânticos
Como provar H=((PQ)^¬(PQ)^(P))??
Gerar um tableau fechado para H: (((PQ)^¬(PQ)^(P)))
1. (((PQ)^¬(PQ)^(P))) 2. (PQ)^¬(PQ)^(P) R5, 1. 3. PQ R1, 2. 4. ¬(PQ) R1, 2. 5. P R1, 2. 6. P R5, 5.
7. PQ R3, 3.fechado 8. P^Q P^Q R9, 4. 9. P P R1, 8. 10. Q Q R1, 8.
fechado fechado
1. ((PQ)vP)) 2. (PQ) 3. P
4. P^Q P^Q 5. P P 6. Q Q
aberto fechado
Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses
={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica em
tableaux semânticos de se existe uma prova, usando tableaux semânticos de (H1^H2^...^Hn) H
Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos
Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses ={H1,H2,...Hn} em tableaux semânticos, diz-se que: ├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H
Exemplo de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos
Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um
perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente
“Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima??
Solução
Provar H H=(D^I^((D^A)P)^(TA)^(IT)) P
Mostrando que H é absurdo H=(D^I^((D^A)P)^(TA)^(IT))
H gera um tableau fechado?
Conjunto insatisfatível
Como provar que um conjunto de fórmulas é insatisfatível?
Por exemplo: ={AvB, (BvC), CD, (AvD)}
Conjunto insatisfatível (cont.)
é insatisfatível sse não existe I tal que I[AvB]=I[(BvC)]=I[CD]=I[(AvD)]=T
I,I[(AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)]=F I,I[((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD))]=T
Portanto para provar que é insatisfatível Provar que ((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)) é
tautologia
Conjunto insatisfatível (cont.) ={AvB, (BvC), CD, (AvD)} é
insatisfatível? Provar que
((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)) é tautologia
Em tableaux semânticos Gerar um tableau fechado para
(((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)))
Tableaux Completamente Abertos
E se eu construir um tableau direto a partir de H (e não de H)? Ex: H=(AvA)^(AB) Construir os tableaux de H e de H
O que um tableau completamente aberto nos diz??
Tableaux Completamente Abertos (cont.)
Nada!! Ex: G=(AvA)^(BB) Construir os tableaux de G e de G Conclusões?
Conclusões
Dada uma fórmula da lógica proposicional H H é tautologia Tableau associado a H é
fechado H é contraditória (insatisfatível) H é
tautologia Tableau associado a H é fechado H é refutável Tableau associado a H é
aberto (não necessariamente aberto completamente)
Exercício
Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.
Exercício Se hoje é Quinta-feira, então
amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta-feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.
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