Lógica de Predicados
Conteúdo
� Correção dos Exercícios (Rosen – 47)� Prioridade dos Quantificadores (Rosen 38)� Ligando Variáveis (Rosen 38) � Predicados com duas variáveis. � Equivalências lógicas (Rosen 39)� Negando expressões com quantificadores
(Rosen 39)
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é “x é um coelho” e H(x) é “x salta” e o domínio são todos os animais.
a) �x(R(x) � H(x))
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é “x é um coelho” e H(x) é “x salta” e o domínio são todos os animais.
a) �x(R(x) � H(x)) Todo coelho salta.
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é “x é um coelho” e H(x) é “x salta” e o domínio são todos os animais.
a) �x(R(x) � H(x)) Todo coelho salta.b) �x(R(x) ^ H(x))
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é “x é um coelho” e H(x) é “x salta” e o domínio são todos os animais.
a) �x(R(x) � H(x)) Todo coelho salta.b) �x(R(x) ^ H(x)) Todos os animais são
coelhos e saltam
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é “x é um coelho” e H(x) é “x salta” e o domínio são todos os animais.
a) �x(R(x) � H(x)) Todo coelho salta.b) �x(R(x) ^ H(x)) Todos os animais são
coelhos e saltamc) �x(R(x) � H(x))
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é “x é um coelho” e H(x) é “x salta” e o domínio são todos os animais.
a) �x(R(x) � H(x)) Todo coelho salta.b) �x(R(x) ^ H(x)) Todos os animais são
coelhos e saltamc) �x(R(x) � H(x)) Existe um animal que se é
coelho então ele salta.
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é “x é um coelho” e H(x) é “x salta” e o domínio são todos os animais.
a) �x(R(x) � H(x)) Todo coelho salta.b) �x(R(x) ^ H(x)) Todos os animais são
coelhos e saltamc) �x(R(x) � H(x)) Existe um animal que se é
coelho então ele salta.d) �x(R(x) ^ H(x))
Exercícios – Rosen 47
8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é “x é um coelho” e H(x) é “x salta” e o domínio são todos os animais.
a) �x(R(x) � H(x)) Todo coelho salta.b) �x(R(x) ^ H(x)) Todos os animais são
coelhos e saltamc) �x(R(x) � H(x)) Existe um animal que se é
coelho então ele salta.d) �x(R(x) ^ H(x)) Existe um coelho que salta
Exercícios – Rosen 47
9) Considere P(x) como a proposição “x fala russo” e considere Q(x) como a proposição “x sabe a linguagem computacional C++”. Expresse cada uma dessas sentenças em termos de P(x), Q(x), quantificadores e conectivos lógicos. O domínio para quantificadores são todos os estudantes de sua escola.
Exercícios – Rosen 47
9) Considere P(x) = “x fala russo” Q(x)=“x sabe a linguagem C++”. Domínio ={todos os estudantes de sua escola}
a) Há um estudante em sua escola que fala russo e sabe C++.
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo” Q(x)=“x sabe a linguagem C++”. Domínio ={todos os estudantes de sua escola}
a) Há um estudante em sua escola que fala russo e sabe C++.
�x (P(x) ^ Q(x))
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo” Q(x)=“x sabe a linguagem C++”. Domínio ={todos os estudantes de sua escola}
b) Há um estudante em sua escola que fala russo mas não sabe C++.
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo” Q(x)=“x sabe a linguagem C++”. Domínio ={todos os estudantes de sua escola}
b) Há um estudante em sua escola que fala russo mas não sabe C++.
�x (P(x) ^ ~Q(x))
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo” Q(x)=“x sabe a linguagem C++”. Domínio ={todos os estudantes de sua escola}
c) Todo estudante em sua escola ou fala russo ou sabe C++.
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo” Q(x)=“x sabe a linguagem C++”. Domínio ={todos os estudantes de sua escola}
c) Todo estudante em sua escola ou fala russo ou sabe C++.
�x (P(x) v Q(x))
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo” Q(x)=“x sabe a linguagem C++”. Domínio ={todos os estudantes de sua escola}
d) Nenhum estudante em sua escola fala russo ou sabe C++.
Exercícios – Rosen 47
9)P(x) = “x fala russo” Q(x)=“x sabe a linguagem C++”. Domínio ={todos os estudantes de sua escola}
d) Nenhum estudante em sua escola fala russo ou sabe C++.
�x ~(P(x) v Q(x))
Prioridade dos Quantificadores
� Os quantificadores ��e � têm prioridade maior que todos os operadores lógicos do cálculo proposicional.
�x P(x) v Q(x) �� (�x P(x)) v Q(x) �x P(x) v Q(x) � ��x (P(x) v Q(x))
Prioridade dos Quantificadores
� Os quantificadores ��e � têm prioridade maior que todos os operadores lógicos do cálculo proposicional.
�x P(x) v Q(x) �� (�x P(x)) v Q(x) �x P(x) v Q(x) � ��x (P(x) v Q(x))
Isso nos mostra o conceito de variável ligada
Prioridade dos Quantificadores
� Os quantificadores ��e � têm prioridade maior que todos os operadores lógicos do cálculo proposicional.
�x P(x) v Q(x) �� (�x P(x)) v Q(x) �x P(x) v Q(x) � ��x (P(x) v Q(x))
E o conceito de escopo de uma variável
Variável Ligada
�x (x+y = 1)
x é ligada
� Quando um quantificador é usado na variável x, dizemos que essa ocorrência da variável é ligada.
Variável Livre
�x (x+y = 1)
x é ligada
� Uma ocorrência de uma variável que não é ligada por um quantificador ou não representa um conjunto de valores particulares é chamada de variável livre (y).
Variável Livre
�x (x+y = 1)
x é ligada
� Todas as variáveis que ocorrem em um função proposicional devem ser ligadas ou devem representar um conjunto de valores particulares para ser uma proposição.
Não é uma proposição, pois y é variável livre
Escopo
�x (P(x) ^ Q(x)) v �x R(x)
� É a parte da expressão lógica à qual um quantificador é aplicado.
Escopo Escopo
Escopo não se sobrepõe.
Escopo
�x (P(x) ^ Q(x)) v �y R(y)
� É a parte da expressão lógica à qual um quantificador é aplicado.
� Uma variável é livre se não está sob o escopo de algum quantificador.
Escopo Escopo
Escopo não se sobrepõe. Pode ser y ao invés de x.
Dúvidas!!!
� Dúvidas sobre Variável Livre, Variável Ligada e Escopo????
Refrescar a Mente!!!
�Na aula passada traduzimos as seguintes sentenças:Todo estudante desta classe estudou lógicaeTodo estudante da classe visitou Canadá ou México!!!
Predicados com duas variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou lógica.
C(x) = “x estudou lógica”S(x) = “x é estudante desta classe”
Vamos reformular nossa primeira frase: Todo estudante desta classe estudou lógica
Predicados com duas variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou lógica.
C(x) = “x estudou lógica”S(x) = “x é estudante desta classe”
Domínio 1: {estudantes desta classe}�x C(x)
Predicados com duas variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou lógica.
C(x) = “x estudou lógica”S(x) = “x é estudante desta classe”
Domínio 1: {estudantes desta classe}�x C(x)
Domínio 2: {todas as pessoas}�x (S(x) � C(x))
Predicados com duas variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou lógica.
C(x) = “x estudou lógica”S(x) = “x é estudante desta classe”
Q(x,y) = “estudante x estudou matéria y”
Agora vamos definir uma novo predicado !!!
Predicados com duas variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou lógica.
Q(x,y) = “estudante x estudou matéria y”
Domínio 1: {estudantes desta classe}�x Q(x,lógica)
Predicados com duas variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou lógica.
Q(x,y) = “estudante x estudou matéria y”
Domínio 1: {estudantes desta classe}�x Q(x,lógica)
Domínio 2: {todas as pessoas}�x (S(x) � Q(x, lógica))
Predicados com duas variáveis
Algum estudante da classe visitou Canadá ou México.
V(x,y) = “x visitou o país y”
�x (V(x,México) v V(x,Canadá))
Equivalências (S ����T)
� Sentenças que envolvem predicados e quantificadores são logicamente equivalentes se e somente se elas têm o mesmo valor verdade quaisquer que sejam os predicados substituídos nessas sentenças e qualquer que seja o domínio para as variáveis nessas funções proposicionais.
Equivalências
� �x(P(x) ^ Q(x)) ��x P(x) ^ �x Q(x)� �x(P(x) v Q(x)) ���x P(x) v �x Q(x)
Equivalências
� �x(P(x) ^ Q(x)) ��x P(x) ^ �x Q(x)� �x(P(x) v Q(x)) ���x P(x) v �x Q(x)
� �x(P(x) v Q(x)) � �x P(x) v �x Q(x)� �x(P(x) ^ Q(x)) � ��x P(x) ^ �x Q(x)
CUIDADO!!!!
Negando Expressões Quantificadas
� Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica.
~�x P(x)
Negando Expressões Quantificadas
� Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica.
~�x P(x)
� Existe um estudante desta classe que não teve aula de lógica.
�x ~P(x)
Podemos reformular a frase para:
Negando Expressões Quantificadas
� Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica.
~�x P(x)� Existe um estudante desta classe que não
teve aula de lógica.�x ~P(x)
~�x P(x) ���x ~P(x)
Ilustramos que:
Negando Expressões Quantificadas
� Existe um estudante na classe que teve aulas de calculo.
�x P(x)� Não é o caso de existir um estudante na
classe que teve aulas de calculo.~�x P(x)
Negando Expressões Quantificadas
� Não é o caso de existir um estudante na classe que teve aulas de calculo.
~�x P(x)
� Todo os estudantes nesta classe não tiveram aulas de calculo.
�x ~P(x)
Podemos reformular a frase para:
Negando Expressões Quantificadas
� Não é o caso de existir um estudante na classe que teve aulas de calculo.
~�x P(x)Todo os estudantes nesta classe não tiveram
aulas de calculo.�x ~P(x)
~�x P(x) � �x ~P(x) Ilustramos que:
Negando Expressões Quantificadas
� As regras para negações de quantificadoressão chamadas de Leis de De Morgan para quantificadores.
~�x P(x) ���x ~P(x)~�x P(x) � �x ~P(x)
Exercícios
1) Quais as negações de:a) “Existe um político honesto”b) “Todos os brasileiros comem churrasco”
3) Negar �x (x2 > x)4) Negar �x (x2 = x)5) Mostre que:
~�x (P(x)�Q(x)) ���x (P(x) ^ ~Q(x))
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”H(x) = “x é honesto”Domínio = {todos os políticos}
Como fica a proposição???
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”H(x) = “x é honesto”Domínio = {todos os políticos}
�x H(x)
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”H(x) = “x é honesto”Domínio = {todos os políticos}
�x H(x) negando ~�x H(x)
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”H(x) = “x é honesto”Domínio = {todos os políticos}
�x H(x) negando ~�x H(x) Sabemos que ~�x H(x) � �x ~P(x)Então podemos dizer que: ....
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”H(x) = “x é honesto”Domínio = {todos os políticos}
�x H(x) negando ~�x H(x) Sabemos que ~�x H(x) � �x ~P(x)Então podemos dizer que:Todos os políticos são desonestos.
Exercícios
1) Quais as negações de:a) “Existe um político honesto”b) “Todos os brasileiros comem churrasco”
3) Negar �x (x2 > x)4) Negar �x (x2 = x)5) Mostre que:
~�x (P(x)�Q(x)) ���x (P(x) ^ ~Q(x))6) Rosen pg 47 exercícios: 6c, 6d, 6e, 6f7) Rosen pg 48 exercício 34
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