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� Correção de Exercício� Quantificadores – Rosen (pg 33)� Tradução Português – Lógica – Rosen (pg 42)
Exercícios Rosen – pg 46
1) Considere P(x) como o predicado “x� 4”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?
a) P(0)b) P(4)c) P(6)
Exercícios Rosen – pg 46
1) Considere P(x) como o predicado “x� 4”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?
a) P(0) é Verdadeb) P(4) é Verdadec) P(6) é Falso
Exercícios Rosen – pg 46
2) Considere P(x) como o predicado “a palavra x contém a letra a”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?
a) P(orange)b) P(lemon)c) P(true)d) P(false)
Exercícios Rosen – pg 46
2) Considere P(x) como o predicado “a palavra x contém a letra a”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?
a) P(orange) é Verdadeb) P(lemon) é Falsoc) P(true) é Falsod) P(false) é Verdade
Exercícios Rosen – pg 46
3) Considere Q(x,y) como o predicado “x é a capital de y”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?
a) Q(Denver, Colorado)
Exercícios Rosen – pg 46
3) Considere Q(x,y) como o predicado “x é a capital de y”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?
a) Q(Denver, Colorado) é Verdadeb) Q(Detroit, Michigan)
Exercícios Rosen – pg 46
3) Considere Q(x,y) como o predicado “x é a capital de y”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?
a) Q(Denver, Colorado) é Verdadeb) Q(Detroit, Michigan) é Falso capital é Lansingc) Q(Massachusetts, Boston)
Exercícios Rosen – pg 46
3) Considere Q(x,y) como o predicado “x é a capital de y”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?
a) Q(Denver, Colorado) é Verdadeb) Q(Detroit, Michigan) é Falso capital é Lansingc) Q(Massachusetts, Boston) é Verdaded) Q(Nova York, Nova York)
Exercícios Rosen – pg 46
3) Considere Q(x,y) como o predicado “x é a capital de y”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?
a) Q(Denver, Colorado) é Verdadeb) Q(Detroit, Michigan) é Falso capital é Lansingc) Q(Massachusetts, Boston) é Verdaded) Q(Nova York, Nova York) é F capital é Albany
Quantificadores
� São frases do tipo:� “para todo”� “para cada”� “para algum”
� Ou seja, frases que dizem quantos objetos, em algum sentido, têm uma determinada propriedade.
Quantificadores - Tipos
� Universal: � considera todos os elementos de um conjunto
� Existencial:� Existe um ou mais elementos de um conjunto.
Quantificador Universal
� Propriedade é verdadeira para todos os valores de uma variável em um determinado domínio, ou seja, todos os elementos do domínio tornam o predicado verdadeiro.
� Domínio = Conjunto Verdade
� Símbolo Usado: ∀
Quantificador Universal
� Notação:� (∀ x ∈ A) (P(x)) � ∀ x ∈ A, P(x)� ∀ x ∈ A: P(x) � (∀ x ) P(x)� ∀ x, P(x)� ∀ x: P(x)� ∀ x P(x)
Quantificador Universal
� Seja A = {a1,a2, ... , an} o domínio considerado para o predicado P(x).
� Então ∀x P(x) equivale à conjunção das proposições.
∀ x P(x) � P(a1)^ P(a2) ^ ... P(an)
Quantificador Universal
� Seja A = {a1,a2, ... , an} o domínio considerado para o predicado P(x).
� Então ∀ x P(x) equivale à conjunção das proposições.
∀ x P(x) � P(a1)^ P(a2) ^ ... ^P(an)
� Sendo assim ao usarmos o quantificador universal no predicado este torna se uma proposição pois tem um valor verdade.
Quantificador Universal
� Exemplo:A= {3,5,7}P(x) = “x é primo”∀ x P(x) é Verdade
� Um elemento para o qual P(x) é falsa é chamado de contra exemplo para ∀ x P(x) e torna ∀ x P(x) falso também.
Quantificador Universal
� Exemplo:
P(x) = “x +1 > x”Domínio: o conjunto dos números reais.
∀ x P(x) é ?
Quantificador Universal
� Exemplo:
P(x) = “x +1 > x”Domínio: o conjunto dos números reais.
∀ x P(x) é Verdade
Quantificador Universal
� Exemplo:
Q(x) = “x < 2”Domínio: o conjunto dos números reais
∀ x Q(x) é ???
Quantificador Universal
� Exemplo:
Q(x) = “x < 2”Domínio: o conjunto dos números reais
Q(3) é Falso logo ∀ x Q(x) é Falso
Contra exemplo
Quantificador Existencial
� Propriedade é verdadeira para pelo menos um valor de uma variável em um determinado domínio, ou seja, existe um elemento do domínio que torna o predicado verdadeiro.
� Símbolo Usado: ∃
Quantificador Existencial� Exemplo
P(x) = “x é aluno de fundamentos 1 que tem N1=10.0”
Domínio = {alunos desta sala}
Podemos escrever que: ∃ x P(x)
Quantificador Existencial
� Notação:� (∃ x ∈ A) (P(x)) � ∃ x ∈ A, P(x)� ∃ x ∈ A: P(x) � (∃ x ) P(x)� ∃ x, P(x)� ∃ x: P(x)� ∃ x P(x)
Quantificador Existencial
� Seja A = {a1,a2, ... , an} o domínio considerado para o predicado P(x).
� Então ∃ x P(x) equivale à disjunção das proposições.
∃ x P(x) � P(a1) v P(a2) v ... v P(an)
Quantificador Existencial
� Seja A = {a1,a2, ... , an} o domínio considerado para o predicado P(x).
� Então ∃ x P(x) equivale à disjunção das proposições.
∃ x P(x) � P(a1) v P(a2) v ... v P(an)
� Sendo assim ao usarmos o quantificador existencial no predicado este torna se uma proposição pois tem um valor verdade.
Quantificador Existencial
Exemplo: P(x) = “x > 3”Domínio: conjunto dos números reais.Temos que 4 > 3 logo ∃ x P(x) é V
Quantificador Existencial
� ∃ x P(x) será falso quando o conjunto verdade for vazio.
� Exemplo:(∃ n ∈N) (n+4<8)
O Conjunto Verdade = {0,1,2,3}, logo a proposição é verdadeira
∃ x P(x) é Verdade
Quantificador Existencial
� ∃ x P(x) será falso quando o conjunto verdade for vazio.
� Exemplo:(∃ n ∈N) (n+4 < 4)
O Conjunto Verdade = { }, logo o predicado é falso
∃ x P(x) é Falso
Quantificadores
� Existe um número não limitado de quantificadores que podemos definir tais como:� “existem exatamente dois” � “existem não mais de três”� “existe um único x tal que P(x) é verdadeiro”
Quantificadores
� Existe um número não limitado de quantificadores que podemos definir tais como� “existem exatamente dois” � “existem não mais de três”� “existe um único x tal que P(x) é verdadeiro”
Quantificador de Unicidade
Quantificadores
� Existe um número não limitado de quantificadores que podemos definir tais como� “existem exatamente dois” � “existem não mais de três”� “existe um único x tal que P(x) é verdadeiro”
Quantificador de Unicidade
∃!x P(x) ou ∃1x P(x)
Traduzindo do Português
Todo estudante desta classe estudou lógica.
Como podemosrepresentar isso na lógica?
Traduzindo do Português
� Todo estudante desta classe estudou lógica.
1) Definir o predicadoC(x) = “x estudou lógica”
Traduzindo do Português
� Todo estudante desta classe estudou lógica.
1) Definir o predicadoC(x) = “x estudou lógica”
2) Definir o domínioDomínio = {estudantes desta classe}
Traduzindo do Português
� Todo estudante desta classe estudou lógica.
1) Definir o predicadoC(x) = “x estudou lógica”
2) Definir o domínioDomínio = {estudantes desta classe}
3) Escrever a proposição: ∀x C(x)
Traduzindo do Português
� Todo estudante desta classe estudou lógica.
1) Definir o predicadoC(x) = “x estudou calculo”
2) Definir o domínioDomínio = {estudantes desta classe}
3) Escrever a proposição: ∀x C(x)
Existem várias maneiras de tradução!!!!
Negando Expressões Quantificadas
� Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica.
~ ∀∀∀∀x P(x)
Negando Expressões Quantificadas
� Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica.
~ ∀∀∀∀ x P(x)
� Existe um estudante desta classe que não teve aula de lógica.
∃x ~P(x)
Podemos reformular a frase para:
Negando Expressões Quantificadas
� Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica.
~∀x P(x)� Existe um estudante desta classe que não
teve aula de lógica.∃x ~P(x)
~ ∀ x P(x) � ∃ x ~P(x)
Ilustramos que:
Negando Expressões Quantificadas
� Existe um estudante na classe que teve aulas de calculo.
∃ x P(x)� Não é o caso de existir um estudante na
classe que teve aulas de calculo.~ ∃ x P(x)
Negando Expressões Quantificadas
� Não é o caso de existir um estudante na classe que teve aulas de calculo.
~ ∃ x P(x)
� Todo os estudantes nesta classe não tiveram aulas de calculo.
∀x ~P(x)
Podemos reformular a frase para:
Negando Expressões Quantificadas
� Não é o caso de existir um estudante na classe que teve aulas de calculo.
~ ∃ x P(x)Todo os estudantes nesta classe não tiveram
aulas de calculo.∀x ~P(x)
~ ∃ x P(x) � ∀x ~P(x) Ilustramos que:
Negando Expressões Quantificadas
� As regras para negações de quantificadoressão chamadas de Leis de De Morgan para quantificadores.
~ ∀ x P(x) � ∃x ~P(x)~ ∃ x P(x) � ∀ x ~P(x)
Rosen Pg 46 Ex. 5
� Considere P(x) como o predicado “x passa mais do que cinco horas em aula todos os dias”, em que o domínio de x são todos os estudantes. Expresse cada uma dessas quantificações em português.
a) ∃ x P(x) b) ∀ x P(x)c) ∃ x ~P(x) d) ∀ x ~P(x)
Exercícios
1) Quais as negações de:a) “Existe um político honesto”b) “Todos os brasileiros comem churrasco”
2) Negar ∀x (x2 > x)3) Negar ∃x (x2 = x)
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”H(x) = “x é honesto”Domínio = {todos os políticos}
Como fica a proposição???
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”H(x) = “x é honesto”Domínio = {todos os políticos}
∃x H(x)
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”H(x) = “x é honesto”Domínio = {todos os políticos}
∃ x H(x) negando ~ ∃ x H(x)
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”H(x) = “x é honesto”Domínio = {todos os políticos}
∃ x H(x) negando ~ ∃ x H(x) Sabemos que ~ ∃ x H(x) � ∀x ~H(x)Então podemos dizer que: ....
Exercício 1)
1) “Existe um político honesto”H(x) = “x é honesto”Domínio = {todos os políticos}
∃ x H(x) negando ~ ∃ x H(x) Sabemos que ~ ∃ x H(x) � ∀x ~H(x)Então podemos dizer que: Todos os políticos são desonestos.
Exercício 1b
“Todos os brasileiros comem churrasco”
C(x) = “x como churrasco”Domínio = {todos os brasileiros}
Como fica a proposição???
Exercício 1b
“Todos os brasileiros comem churrasco”C(x) = “x como churrasco”Domínio = {os brasileiros}
∀∀∀∀x P(x)
Exercício 1b
“Todos os brasileiros comem churrasco”P(x) = “x como churrasco”Domínio = {todos os brasileiros}
x P(x) ~ ∀∀∀∀x P(x)
Exercício 1b
“Todos os brasileiros comem churrasco”P(x) = “x como churrasco”Domínio = {todos os brasileiros}
∀∀∀∀x P(x) ~ ∀∀∀∀x P(x) � ∃x ~P(x)
Exercício 1b
“Todos os brasileiros comem churrasco”P(x) = “x como churrasco”Domínio = {todos os brasileiros}
∀∀∀∀x P(x) ~ ∀∀∀∀x P(x) � ∃x ~P(x)
Existe pelo menos um brasileiro que não come churrasco.Algum brasileiro não come churrasco.
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