7/25/2019 Livro de Mecanica
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Capitulo I
Cinemtica de um ponto
I. Movimento relativo a um referencial inercial
Referencial. Um referencial em cinemtica um sistema de coordenadas usado para medir
grandezas cinemticas.
Um corpo se move em relao ao referencial dado se as coordenadas do corpo nesse referencial
mudam no decorrer da evoluo temporal.
A cinemtica se preocupa em descrever o movimento de um corpo em relao a um referencial
quando as coordenadas desse mesmo so dadas em funo do tempo.
O movimento de um corpo depende do referencial escolhido por exemplo, dois carros com a
mesma velocidade na mesma direco vem!se parados enquanto uma pessoa no cho os v em
movimento.
Movimento de um ponto."omearemos a tratar de um movimento de um ponto porque em geral
para descrever o movimento de um corpo reduzimos a descrio do movimento do corpo adescrio dos pontos pertencentes a esse corpo e tam#m em muitos casos na prtica o movimento
de um corpo reduzido ao movimento de um ponto por exemplo se a dimenso de corpo muito
menor que a tra$ect%ria percorrida por ela &'x( tra$ect%ria da terra em redor ao sol) ou tam#m nos
casos em que um ponto determina todo o movimento de um corpo &'x movimento de um caixote).
*adoP
um ponto qualquer movendo so#re um referencial com coordenadasx , y , z
num
referencial dadoS
, como as coordenadas dependem do tempot
vamos exprimi!las como
x=x (t) , y=y (t) , z=z (t) onde x (t) , y ( t) , z (t) so fun+es que vamos assumir como
continuas e derivveis at a segunda ordem no intervalo de tempo t
em que o movimento
est a ser analisado.
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amos caracterizar o movimento deste ponto por um vector funo do tempo r (t) cu$a norma
em cada instante nos d a dist-ncia do ponto em relao a origem do referencial escolhido. Assim
esse vector descreva uma curva que chamado de trajectria.
Velocidade. uponhamos que um pontoP
esta se movendo so#re um tra$ect%ria R=r (t)
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Geometra da massas.
Momento esttico. amos considerar um plano
que divide o espao em duas partes. amos
considerar uma destas partes positivas e a outra parte negativa. e$aP
um ponto qualquer e
r o vector representando a dist-ncia deste ponto ao plano, &sendo positivo ou negativo
dependendo de qual parte do espao o ponto P se encontra) definiremos o momento esttico do
pontoP
em relao ao plano
, comoS=mr
ondem
massa do pontoP
.
e o pontoP
tem coordenadasx , y , z
ento pela conveno adoptada temos que
Sxy=m z,Sxz=m y,Szy=mx , so os momentos estat/sticos em relao aos planos
xy , xz , zy .
Centro de massa. e$a um sistema de pontos qualquerP
1, P
2, ..Pn com coordenadas
(x1, y1 , z1 ) , (x1 , y1, z1 ) .(xn , yn , zn) . amos definir um ponto Rcm com
coordenadas xcm=
i=0
n
mix i
M , ycm=
i=0
n
miy i
M , zcm=
i=0
n
mizi
M onde M=i=0
n
mi a massa
total do sistema. O pontoRcm chamado de centro de massa
Teorema 5.1 O momento esttico de um sistema de pontos em relao a um plano arbitrrio
igual ao momento esttico de um ponto cujo a sua massa igual a massa total do sistema e as suas
coordenadas iguais as do centro de massa do sistema .
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*emonstrao(
e$a
um plano ar#itrrio cu$a equao a x+b y+c z=k
ento seP(xi , yi , zi) um
ponto ar#itrrio no espao ento a distancia desse ponto ao plano dado por
a xi+b y i+c zik
a2+b2+c2
ri=. "onforme a conveno adoptada vamos representar esta
dist-ncia por um vectorri que ser positivo ou negativo dependendo de se o ponto pertencer a
parte positiva ou negativa do espao. Assim, o momento esttico do ponto Pi em relao ao
plano
ser
a x i+b y i+c zik
a2+b2+c2
Si=mi .
0ara um sistema de pontosP
1 (x1 , y1 , z2 ) , P2(x2, y2 , z2) Pn(xn , yn, zn) temos que
& supondo que os pontos pertencem a parte positiva do espao para o caso de onde os pontos
pertencem a parte negativa a demostrao anolaga)
S=i
n
S i=m1r1+m2 r2++mn r n 1
m1
a x1+m
1b y
1+m
1c z
1k
a2+b2+c2+
m2
a x2+m
2b y
2+m
2c z
2+k
a2+b2+c2+
mna xn+mnb y n+mn c z1+k
a2+b2+c2 1
a( m1x1+m2x2+ mnxn )+b (m1y1+m2y2+ mny n )+b (m1z1+m2z2+ zny n)k(m1+m2+ m
a2+b2+c2
fazendo M=i
n
mi o#temos
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S=
M ax cm+M bycm+M czcmmk
a2+b2+c2 1 M
axcm+bycm+czcmk
a2+b2+c2 como
a xcm+byc m+czcmk
a2+b2+c2 igual a distancia do centro de massa em relao ao plano, o teorema
foi provado.
Teorema 5.2O centro de um sistema de pontos no alterado se parte dela for substitudo por
um ponto material cuja a massa igual a esta parte substituda e com coordenadas do centro de
massa dessa parte.
*emonstrao(
e$a S '= 1
M
i
k
mi r i o centro de massa do sistema U e
S = 1
M
j
l
mj rj o centro de massa do sistema U onde M e M so
as massas totais dos su#sistemas U e U respectivamente. A coordenadaxcm do
sistemaU
xcm=m
1x
1+m
2x
2++mkx k+mk+1xk+1+mk+2xk+2++mnxn
M
m
1x
1+m
2x
2++m kx k+m 1x 1+m 2x 2++m lx l
M
M x cm+M x cm
M
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Sistema plano de pontos. Um sistema de pontos dito plano se todos os seus pontos podem ser
encontrados num plano. 0or exemplo se seleccionarmos o planoxy
como esse plano temos
todos os z i 12 e logo o centro de massa vai residir no plano xy .
O momento esttico de um sistema plano em relao a uma rectal
qualquer definido por
i
n
mi r i onderi denota a distancia do ponto de massa mi em relao a recta l .
Assim podemos ver que o momento esttico de um sistema plano em relao a uma recta l
igual a o momento esttico de um plano perpendicular a esse sistema plano cu$a recta de
intercesso a rectal
.'m particular o momento esttico das rectasx
ey
so
Sx=i
n
miy i e Sy=i
n
mix i respectivamente.
Sistema linear de pontos. e um sistema de pontos estiver numa recta l o centro de massa
desse sistema reside nessa recta. 0or exemplo tomamos o eixox
como osy i e os
z i so
iguais a zero da formula de centro de massa conclu/mos que o centro de massa reside no eixox
.
Centro de massa de dois pontos.e$a dois pontos materiais cu$a dist-ncia entre eles se$ad
e
com massasm
1 em
2 .amos por a massam
1 na origem do eixo x de modo que a
massam
2 fica na parte positiva desse mesmo eixo. Os pontos iro ter coordenadasx
1=0
e
x2=d
respectivamente e logo o seu centro de massaxcm=
m2
d
(m1+m
2)
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