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Lista 2 – Álgebra Linear (Matrizes inversas)
ÁLGEBRA LINEAR
MATRIZ INVERSA
Seja A é uma matriz quadrada n n. Chamamos de matriz inversa de A à
uma matriz B, também n n, que satisfaz a seguinte propriedade: IABBA ,
em que nII é a matriz identidade n n. Se esta matriz B existir, A será
chamada de matriz invertível.
Normalmente a matriz inversa de A é indicada por 1A , logo:
IAAAA 11
Exemplo
1. Ache a inversa da matriz
41
32A
10
01
41
32
dc
ba
10
01
44
3232
dbca
dbca
04
132
ca
ca
5
4a e
5
1c e
14
032
db
db
5
3b e
5
2d
Logo
5
2
5
15
3
5
4
1A
Obs: O mesmo resultado seria obtido fazendo:
10
01
41
32
dc
ba
Teorema
Se A é uma matriz invertível, então a sua inversa é única.
Observações
i) Se A e B são matrizes quadradas invertíveis, então BA é também invertível e
111 ABBA .
ii) Uma matriz quadrada A admite inversa se e somente se 0det A .
iii) Se A é uma matriz quadrada e 0det A , então A
Adet
1det 1 .
Teorema
Seja A uma matriz quadrada. Se uma seqüência de operações elementares
nas suas linhas reduz A a I, então a mesma seqüência de operações elementares
transforma I em 1A .
Exemplo
2. Ache a inversa da matriz
321
121
121
A
100321
010121
001121
21 LL
100321
001121
010121
133
122
LLL
LLL
110440
011240
010121
224
1LL
110440
04
1
4
1
2
110
010121
233
211
4
2
LLL
LLL
101200
04
1
4
1
2
110
02
1
2
1001
332
1LL
2
10
2
1100
04
1
4
1
2
110
02
1
2
1001
3222
1LLL
2
10
2
1100
4
1
4
1
2
1010
02
1
2
1001
. Assim,
2
10
2
14
1
4
1
2
1
02
1
2
1
1A .
1) Determina (caso exista) a inversa de cada matriz abaixo:
a)
31
52 b)
11
22 c)
110
101
011
d)
100
110
011
e)
011
101
337
f)
832
110
421
g)
524
012
321
h)
325
120
112
2) Determina (caso exista) a inversa de cada matriz abaixo:
a)
32
53 b)
54
65 c)
11
11 d)
113
202
541
3) Se P-1 é a matriz inversa de P =
31
52, determina o valor do determinante da
matriz P + P-1.
4) Determina o valor de x para que as matrizes sejam inversíveis :
a)
23
2x b)
42
13x c)
x
x
29
4 d)
x
x
231
112
01
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