Lista – Razões e Equações Trigonométricas - Prof. Gaspar
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1. (Fgv 2010) No intervalo [0, π], a equação 2
1senx
sen x 88 4
admite o seguinte número de raízes: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 2. (Unemat 2010) Quanto ao arco 4555°, é correto afirmar. a) Pertence ao segundo quadrante e tem como côngruo o ângulo de 55° b) Pertence ao primeiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 75° c) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 195° d) Pertence ao quarto quadrante e tem como côngruo o ângulo de 3115° e) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 4195
°
3. (Ufpb 2010) Em parques infantis, é comum encontrar um brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma
superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à rampa.
No parque de certa praça, há um escorrego, apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada tem 2m de
comprimento e forma um ângulo de 45º com o piso; e a rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme
ilustrado na figura a seguir.
De acordo com essas informações, é correto afirmar que o comprimento (L) da rampa é de:
a) 2 m
b) 2 2 m
c) 3 2 m
d) 4 2 m
e) 5 2 m
4. (Pucrj 2010) O valor decos45 sen30
é :cos60
a)
2 1 b) 2 c)
2
4
d)
2 1
2
e) 0
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5. (Uemg 2010) Na figura, a seguir, um fazendeiro (F) dista 600 m da base da montanha (ponto B). A medida do
ângulo A F̂ B é igual a 30º.
Ao calcular a altura da montanha, em metros, o fazendeiro encontrou a medida correspondente a
a) 200 3.
b) 100 2.
c) 150 3.
d) 250 2. 6. (G1 - cftmg 2011) Na circunferência abaixo, o ponto M representa a imagem de um arco de medida, em radianos, igual a
a) 56
3
π
b) 7
4
π
c) 5
6
π
d) 21
5
π
7. (G1 - cftmg 2011) Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo sob um ângulo de 60º , conforme a figura.
Dados: 3
sen 60º2
; 1
cos 60º2
; tg 60º 3 .
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A altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido 12km , é a) 600 dam b) 12.000 m
c) 6.000 3 dm
d) 600.000 3 cm
8. (Fgv 2012) No intervalo 0,4 ,π a equação 3 2sen x 2sen x 5senx 6 0 tem raízes cuja soma é:
a) 2 b) -2 c) 6
d) 2
π
e) 3π 9. (G1 - cftmg 2012) A figura abaixo representa uma circunferência trigonométrica em que MN é diâmetro e o ângulo
α mede 5
6
π radianos.
A razão entre as medidas dos segmentos AB e AC é
a) 26 3.
b) 3.
c) 3
.2
d) 3
.3
10. (G1 - ifce 2012) O valor de cos (2 280°) é
a) 1
.2
b) 1
.2
c) 2
.2
d) 3
.2
e) 3
.2
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11. (G1 - ifal 2012) Considerando-se o arco trigonométrico 23
rad,3
πα assinale a alternativa falsa.
a) 1380 .α b) α dá três voltas e para no 4° quadrante. c) sen sen 60 .α
d) cos cos 60 .α
e) α dá três voltas e para no 1° quadrante. 12. (G1 - epcar (Cpcar) 2012) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no chão. Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme mostra figura abaixo.
O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma
distância BR de medida 6 2 metros.
Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-
se afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato, em metros, é um número entre a) 3 e 4 b) 4 e 5 c) 5 e 6 d) 6 e 7 13. (Pucsp 2012) Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma mesma praia e, num dado instante, veem sob respectivos ângulos de 30° e 45°, um pássaro (P) voando, conforme é representado na planificação abaixo.
Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele instante, a distância entre A e G era de 240 m, então a quantos metros de altura o pássaro distava da superfície da praia?
a) 60 ( 3 + 1)
b) 120 ( 3 – 1)
c) 120 ( 3 + 1)
d) 180 ( 3 – 1)
e) 180 ( 3 + 1)
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14. (Ufsj 2012) O teodolito é um instrumento de medida de ângulos bastante útil na topografia. Com ele, é possível determinar distâncias que não poderiam ser medidas diretamente. Para calcular a altura de um morro em relação a uma região plana no seu entorno, o topógrafo pode utilizar esse instrumento adotando o seguinte procedimento: situa o teodolito no ponto A e, mirando o ponto T no topo do morro, mede o ângulo de 30° com a horizontal; desloca o teodolito 160 metros em direção ao morro, colocando-o agora no ponto B, do qual, novamente mirando o ponto T, mede o ângulo de 60° com a horizontal.
Se a altura do teodolito é de 1,5 metros, é CORRETO afirmar que a altura do morro com relação à região plana à qual pertencem A e B é, em metros:
a) 80 3 1,5
b) 80 3 1,5
c) 160 3
1,53
d) 160 3
1,53
15. (Ifsp 2013) Considere uma circunferência de centro O e raio 6 cm. Sendo A e B pontos distintos dessa
circunferência, sabe-se que o comprimento de um arco AB é 5 cm.π A medida do ângulo central ˆAOB,
correspondente ao arco AB considerado, é a) 120°. b) 150°. c) 180°. d) 210°. e) 240°. 16. (Ucs 2014) Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média diária T, em °C, possa ser expressa, em
função do tempo t , em dias decorridos desde o início do ano, por 2 (t 105)
T(t) 14 12sen .364
π
Segundo esse modelo matemático, a temperatura média máxima nesse lugar, ocorre, no mês de a) julho. b) setembro. c) junho. d) dezembro. e) março.
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17. (Ufjf-pism 2 2015) No processo de calcular o ângulo x formado entre duas avenidas transversais, um engenheiro
obteve a seguinte equação 3sen x sen x. Sabendo que x não excede 180 , é CORRETO afirmar que:
a) x 1 b) x 0 c) x 1
d) x2
π
e) 3
x2
π
18. (Enem 2015) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra.
A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de um certo produto sazonal
pode ser descrito pela função x
P(x) 8 5cos ,6
π π
onde x representa o mês do ano, sendo x 1 associado ao
mês de janeiro, x 2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x 12 associado ao mês de dezembro. Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado). Na safra, o mês de produção máxima desse produto é a) janeiro. b) abril. c) junho. d) julho. e) outubro. 19. (Espcex (Aman) 2015) O valor de cos 165 sen 155 cos 145 sen 25 cos 35 cos 15 é
a) 2.
b) 1.
c) 0. d) 1.
e) 1
.2
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Gabarito: Resposta da questão 1: [B]
8
1
483
senx
xsen
8
12
3 223
senx
xsen
3.sen2x = 2senx –
1
4(.4)
12.sen
2x = 8senx – 1
12.sen
2x - 8senx + 1 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau na incógnita senx, temos:
senx = 1
2 ou senx =
1
6
Observando a circunferência trigonométrica, notamos que a equação possui quatro raízes no intervalo dado.
Resposta da questão 2: [E]
Dividindo 4555° por 360° obtemos quociente 12 e resto 235° Concluímos, então que o arco tem extremidade no terceiro quadrante.
Dividindo 4195° por 360 obtemos quociente 11 e resto 235° Concluímos, então que 4555° é côngruo de 4195° Logo a resposta E é a correta. Resposta da questão 3: [B]
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2 2 2x x 2
sen 30o =
2L 2. 2
L
x 2 Resposta da questão 4: [A]
12
2
1
)12(2
1
2
1
2
1
2
2
Resposta da questão 5: [A]
tg 30o = mxx
x3.200
3
3.600
600
Resposta da questão 6: [A]
56 54 2
3 3 3
π π π
Logo, sua primeira determinação positiva é 2 4
23 3
π π
π (terceiro quadrante).
Resposta da questão 7: [D] h = altura.
o hsen60
12
3 h
2 12
h 6. 3km = 600.000 3cm
Resposta da questão 8: [E] Sabendo que senx = 1 é uma das raízes da equação polinomial na incógnita senx, temos:
23 2 senx 1 sen x – senx – 6 0sen x 2sen x 5senx 6 ,0 logo:
5senx 1 x ou x
2 2
senx 3 (não convém) ou senx 2 (não convém)
π π
Portanto, a soma pedida é 3 .π
Resposta da questão 9: [B]
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AB = 5 3
cos6 2
π
AC = 5 1
sen6 2
π
Portanto:
3AB 2 3.
1AC
2
Resposta da questão 10: [A] 2280° = 360°.6 + 120°
Logo, cos (2 280°) = cos 120° = 1
.2
Resposta da questão 11: [E]
23 53 2
3 3
π πα π
[A] Verdadeira, pois 23 23 180
13803 3
πα
.
[B] Verdadeira, pois 23 5
3 23 3
π πα π .
[C] Verdadeira, pois 3
sen sen 602
α
.
[D] Verdadeira, pois 1
cos cos 602
α .
[E] Falsa, pois dá três voltas e para no 4º quadrante. Resposta da questão 12: [B] O triângulo BPR é retângulo e isósceles, logo BP = PR = h.
Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever que 2 2 2h h (6 2) , logo h = 6.
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No triângulo APR, podemos escrever:
htg30
h AB
3 6
3 AB 6
18 6 3AB
3
18 3 18AB
3
AB 4,2
e 4 < 4,2 < 5. Resposta da questão 13: [B]
Considere a figura, sendo Q o pé da perpendicular baixada de P sobre AG.
Queremos calcular PQ.
Como PGQ 45 , segue que PQ QG. Desse modo, AQ 240 QG 240 PQ.
Portanto, do triângulo APQ, vem
PQ 3 PQtgQAP
3AQ 240 PQ
(3 3)PQ 240 3
240 3PQ
3 3
240 3 3 3PQ 120( 3 1) m.
3 3 3 3
Resposta da questão 14: [A]
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H é a altura do morro em metros. O triângulo ABT é isósceles, logo BT =160m. No triângulo assinalado, temos:
H 1,5 3 H 1,5sen60 H 80 3 1,5 m
160 2 160
Resposta da questão 15: [B]
Medida do arco em rad: 5
rad.6
π
5rad 150°.
6
π
Resposta da questão 16: [A] A temperatura média máxima ocorre quando
2 (t 105) 2 (t 105)sen 1 sen sen
364 364 2
2 (t 105)2k
364 2
t 105 91 364k
t 196 364k, k .
π π π
π ππ
Assim, tomando k 0, concluímos que a temperatura média máxima ocorre 196 dias após o início do ano, ou seja,
no mês de julho. Resposta da questão 17: [D]
Sendo 0 x ,π temos
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3 2
2
2
senx sen x senx (1 sen x) 0
senx cos x 0
senx 0
ou
cos x 0
x .2
π
Resposta da questão 18: [D]
A produção é máxima quando preço é mínimo, ou seja, quando x
cos 1.6
π π
O menor valor positivo de x para
o qual se tem o preço mínimo é tal que
x xcos cos 2k
6 6
x 12k 7, k .
π π π ππ π π
Portanto, para k 0, segue que x 7, e o mês de produção máxima desse produto é julho
Resposta da questão 19: [C]
cos165 sen155 cos145 sen25 cos35 cos15
cos15 sen25 cos35 sen25 cos35 cos15 0
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