Lista de Exercícios - Potenciação
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Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo
Matemática Zero 2.0 - Aula 14 - Potenciação ou Exponenciação - (parte 1 de 2)
Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=20lm2lx6r0g
Gabaritos nas últimas páginas!
Atenção: alguns exercícios podem exigir conhecimentos de Radiciação também. Não se esqueça que Potenciação e Radiciação são conceitos muito ligados!
Nota: Para todos os exercícios, considere U = ℝ
E1: Simplifique:
E2: Simplifique:
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E3: Mostre que �2� � ��2��.
E4: Mostre que �2��� � 2�.
E5: O número2�� é par ou ímpar? Justifique.
E6: Veja os itens a) e b) abaixo e responda:
a) O número 3� � é par? Justifique.
b) E o número3���? Justifique.
E7: Um lago possui uma população de algas, em sua superfície, que dobra sua área de ocupação a cada dia. No dia 30 de março, as algas ocuparam exatamente toda a superfície do lago. Calcule em qual dia o lago possuía metade da área ocupada.
E8: Reescreva �
���� livrando-se do expoente negativo.
E9: Reescreva ���� �� livrando-se dos expoentes negativos.
E10: Mostre que ��⋅����⋅����� � ��
�
E11:
Se 5���� � 8, então o valor de 5�� vale:
a) ��� b)
��� c)
��� d)
��� e)
���
E12: Calcule: ��� !��"��
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E13: Qual o último algarismo de 2� ?
E14:
Sendo n natural, qual das respostas abaixo NÃO É o último algarismo de 2# ?
a) 2 b) 4 c) 8 d) 6 e) 0
E15:
Colégio Naval) O valor aproximado de ���$,��! √�,������
��!�,���…
é:
a) 0,045 b)0,125 c)0,315 d)0,085 e)0,25
E16:
Colégio Naval) Sejam
( � )�!√�*" �!)��√�*" �� e + � )�!√�*" ��)��√�*" �
√� . Então o
valor de 4(� � 3+� é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
E17:
OBM) O valor da soma ��$$�⋅-"$$"�"$$"⋅��$$� . ��$$�⋅-"$$"
�"$$"⋅��$$� é:
a) �� b)
�� c) 1 d)
�� e) 2
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Gabarito
E1:
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E2:
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E3: Basta observar que:
a) �2� � �/ ⋅ / � �0b) ��2�� � ��/���/� � 0
No segundo caso, o sinal é afetado pela potência. No primeiro, não.
E4:
Como 2�� � 21�, concluímos que �2��� � 2�
E5: Para ser par, duas condições precisam ser atendidas:
a) O número precisa ser inteiro. b) O número precisa ter na sua decomposição em fatores primos, pelo
menos um fator 2.
Note que 2�� � 2 ⋅ 2 ⋅ 2… ⋅ 2 (567 fatores iguais a 2). Como todos os fatores são inteiros, o número resultante é inteiro. Como há pelo menos um fator 2 (na verdade, 567 fatores iguais a 2) então o
número 2�� é par.
E6: (Veja a resolução anterior para entender melhor).
O número 3� � pode ser reescrito como 3 ⋅ 3 ⋅ 3… ⋅ 3233343335� �6789:;<�
. Note a ausência de
um fator 2. Isso significa que 3� � é um inteiro que, não sendo par, é ímpar. Da mesma forma, o número 3��� é um número ímpar, pois há a ausência de um fator 2 em seu desenvolvimento.
E7: Bem simples. Se a população de algas dobra a cada dia, fica óbvio que, no dia anterior ao preenchimento do lago, as mesmas ocupavam a metade da área disponível. Assim sendo, no dia 29 de março, metade da área do lago estava ocupada.
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E8: Dica: se a base “sobe” (vai para o numerador) ou “desce”(vai para o denominador) o sinal do expoente fica invertido. Conhecer essa transformação é essencial, principalmente para alunos que prestarão ITA e outras escolas militares.
���� � 2� e 2�� � �
�"� Nota: isso não ocorre se houver somas ou subtrações!!!
Se tivermos �"�!�� não podemos escrever
��⋅��"�
Assim sendo, �
���� � 2�
E9: (Veja o comentário do exercício anterior!)
Pela mesma razão que no exercício 8 (E8) podemos escrever:
���� �� � �
���
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E10: E11:
E12:
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E13: Questão Clássica! Vamos observar algumas potências de 2:
2� � 1, 2� � 2, 2� � 4, 2� � 8, 2� � 16, 2� � 32 2� � 64, 2 � 128, 21 � 256, 2- � 512, É fácil notar que os últimos algarismos seguem uma lógica (exceto o 2� � 1, justificável pelo fato de todo número elevado a zero dar 1). O padrão dos algarismos finais é 2 – 4 – 8 – 6 ... repetindo-se NESTA ORDEM. Assim sendo, todo expoente múltiplo de 4 terá final 6. Com isto, basta fazer a divisão do expoente por 4: se a divisão inteira for exata (resto zero) o último algarismo vale 6. Se for 3, então é o terceiro termo da sequência (8) e assim por diante. Vamos fazer a divisão:
Como o resto foi 1, então devemos considerar o primeiro termo
da sequência: 2. Logo, o último algarismo de /?@ será 2.
E14: ALTERNATIVA E
(Veja resolução anterior)
Como vimos, na resolução anterior, o último algarismo possível para o desenvolvimento de /A (para n natural) será: 1, 2, 4, 8 ou 6. Assim sendo, é impossível que este algarismo final assuma (nestas condições) o valor 0.
Observação: numa questão mais genérica – na qual n não seja necessariamente um natural – poderíamos ter qualquer algarismo final. Por exemplo, 2 elevado a 2,321928... (aproximadamente) dará 5. Isso será melhor visto em logaritmos.
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E15: ALTERNATIVA D
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E16: Alternativa D
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E17: Alternativa C
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