Lista de Exercícios - Espaços vetoriais
Espaços vetoriais
1. Determine o vetor nulo nos seguintes espaços vetoriais:
O espaço das matrizes 2 4 .
O espaço : 0,1 / é contínuaf f
O espaço das funções de uma variável com domínio nos números naturais.
O espaço dos polinômios de grau três com as operações canônicas.
2. Ache o inverso aditivo do vetor dado em seu respectivo espaço vetorial.
Em 2P do vetor 2( ) 3 2p x x x
No espaço das matrizes 2 2 com coeficientes reais com as operações usuais para a soma de matrizes e multiplicação por escalar do vetor
1 1
0 3
.
No espaço das funções de variável real / ,x xae be a b com as operações usuais do vetor ( ) 3 2x xf x e e .
3. Seja C o conjunto dos números complexos. Defina a soma em C por a bi c di a c b d i e defina a multiplicação por um escalar por biabia , . Mostre que C é um espaço vetorial
em relação a essas operações. É o conjunto dos números racionais em , com as operações usuais, um espaço vetorial?
4.Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais.
O conjunto dos polinômios 1( ) / ,P x a bx a b de grau menor ou igual a um, com as operações usuais para a soma e a multiplicação por escalar.
O conjunto das matrizes 2 2 com coeficientes reais com as operações usuais para a soma e a multiplicação por escalar.
O conjunto dos vetores linha com três componentes com as operações usuais para a soma e a multiplicação por escalar.
O conjunto 4{ / 0}
x
yL x y z w
z
w
com as operações usuais em 4 .
5 Mostre que os seguintes conjuntos não são espaços vetoriais, indicando qual ou quais axiomas não são satisfeitos.
com as operações usuais de 2 , o conjunto 3{ / 1}
x
y x y z
z
com as operações usuais de 2 , o conjunto 3 2 2 2{ / 1}
x
y x y z
z
com as operações usuais para matrizes, o conjunto 1
{ / , , }a
a b cb c
com as operações usuais para polinômios, o conjunto 2
0 1 2 0 1 2{ / , , }a a x a x a a a onde é o conjunto dos números reais maiores que zero.
com as operações usuais, o conjunto 2{ / 3 4, 2 - 3 e 6 4 10}
xx y x y x y
y
6. Mostre que o conjunto das combinações lineares das variáveis x e y é um espaço vetorial com as operações usuais.
7. Seja P o conjunto de todos os polinômios. Mostre que P, com as operações usuais de soma e multiplicação por um escalar para funções, forma um espaço vetorial.
8. Determine em ambos os casos se 3 é um espaço vetorial sob as seguintes operaçoes:
1 2
1 2
1 2
0
0 e
0
x x x rx
y y r y ry
z z z rz
1 2
1 2
1 2
0 0
0 e 0
0 0
x x x
y y r y
z z z
9. Determine se os conjuntos das matrizes 2 2 seguintes são espaços vetoriais (com as operações usuais).
As matrizes diagonais 0
{ / , }0
aa b
b
.
As matrices { / , }a a b
a ba b b
10. Sejam x, y e z vetores de um espaço vetorial V. Mostre que, se x + y = x + z então y = z.
11. Seja S o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Defina a multiplicação por um escalar e a soma em S por
2121 ,, xxxx
0,,, 112121 yxyyxx
Usando o símbolo para denotar a soma nesse sistema para evitar confusão com a soma usual de x + y de vetores linhas. Mostre que S, junto com a multiplicação usual por um escalar e a operação , não é um
espaço vetorial. Quais dos oito axiomas não são válidos?
12. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais com a soma definida por 22112121 ,,, yxyxyyxx e a multiplicação por um escalar definida por 2121 ,, xxxx . Como a
multiplicação por um escalar é definida de maneira diferente da usual, usamos um símbolo diferente para evitar confusão com a multiplicação usual de um vetor linha por um escalar. V é um espaço vetorial em relação
a essas operações? Justifique sua resposta.
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