Lista 3 - parte 2
12. Considere duas partículas A e B cada uma com massa m conectadas por uma mola de constante elástica k e comprimento natural. Cada partícula está ligada a dois suportes C e D por duas molas com as mesmas características da primeira mola.Os dois suportes são separados por uma distância 3b, como mostrado na figura (a). Em um dado instante de tempo t o deslocamento das partículas A e B é x e y a partir da posição de equilíbrio resultando nas forças mostradas na figura.
Calcule as frequências de oscilação do sistema.
0)(
0)(
21222
2
12121
2
xxkkxdt
xdm
xxkkxdt
xdm
c
c
0)(
0)(
1222
2
2121
2
xm
kx
m
kk
dt
xd
xm
kx
m
kk
dt
xd
cc
cc
2 equações acopladas
0)(
0)(
1222
2
2121
2
xm
kx
m
kk
dt
xd
xm
kx
m
kk
dt
xd
cc
cc
0
0
2222
22
1212
12
qdt
qd
qdt
qd
2
221
221
1qq
xqq
x
Desacoplando as 2 equações
0 0 2222
22
1212
12
qdt
qdq
dt
qd
m
kk
m
k c )2( 21
2
2
212
211
qqx
qqx
tCtCtq
tCtCtq
24232
12111
sincos)(
sincos)(
m
k
m
k )3( 21
Modo Simétrico
Modo Anti - Simétrico
11. Duas partículas de mesma massa, igual a 250 g, estão suspensas do teto por barras idênticas, de 0,5 m de comprimento emassa desprezível, e estão ligadas uma à outra por uma mola de constante elástica 25 N/m. No instante t = 0, a partícula 2 (figura abaixo) recebe um impulso que lhe transmite uma velocidade de 10 cm/s.
Determine os deslocamentos x1(t) e x2(t) das posições de equilíbrio das duas partículas (em cm) para t > 0.
R: x1(t) = 1,13 sen(4,43t) − 0,34 sen(14,8t) x2(t) = 1,13 sen(4,43t) + 0,34 sen(14,8t)
k/mK )(
/ )(
212202
22
20211
202
12
xxKxdt
xd
lgxxKxdt
xd
)( 21 xxkFmola x2
0Grav. -m-mgx/mg- F
212212202
22
211211202
12
2
1q )(
2
1q )(
xxxxKxdt
xd
xxxxKxdt
xd
Kqdt
qd
gqdt
qd
2 0
0
022222
22
01202
12
desaco
plando as 2 equaçõ
es
)cos()( 0
)cos()( 0
22222222
22
10111202
12
tAtqqdt
qd
tAtqqdt
qd
)(q)(q)( )(q)(q)( 212211 tttxtttx
smscmdt
dxmNk
mkgm
/10,0/10)0(
/25
5,0 250,0250
2
212211 2
1q
2
1q xxxx
24. Uma corda, submetida a uma tensão de 200 N e presa em ambas as extremidades, oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária.O deslocamento da corda é dado por:
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t) onde x = 0 numa das extremidades da corda, x é dado em metros e t em segundos.
(a) Qual é o comprimento da corda? y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
(b) Qual é a velocidade escalar das ondas na corda? y = (0, 10) sen(x/ 2) sen(12 t)
(c) Qual é a massa da corda? y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
(d) Se a corda oscilar num padrão de onda referente ao terceiro harmônico,qual será o período de oscilação? y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
R: (a) L = 4 m, (b) v = 24 m/s, (c) μ = 0, 347 kg/m e (d) T = 0, 11 s
)cos(1 nn xktAy
)cos(2 nn xktAy
)]2(2/1cos[)]2(2/1cos[2
)](2/1cos[)](2/1cos[2)cos()cos(
)cos()cos(21
txkAy
bababa
xktAxktAyyy
nn
nnnn
y = (0, 10)cos(x/2 + /2))cos(12t + /2)
)()(2 22 tsenxkAseny
Ondas estacionárias numa corda segundo harmônico.
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
Qual o valor de L ?l
mLLL
nkn 42
2
2
)()(2 22 tsenxkAseny
Qual o valor de v ?l
)()(2 22 tsenxkAseny
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
24m/s vv212 L
Qual o valor de m?
g12.056,32K massa a e /347.012200
422 mKg
N
m
)()(2 22 tsenxkAseny
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
T3 = ?
)()(2 33 tsenxkAseny
ssmmT
VL
nTn
n 11,0/244
322
3
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t) Terceiro harmônico
Ondas estacionárias numa corda terceiro harmônico.
A velocidade do som e a temperatura do gás(caso gás ideal).
Variação da velocidade do som com a temperaturaA velocidade do som em um gás não é constante, e sim que depende da temperatura.
Da equação de um gás ideal pV=nRT ou então,
A fórmula da velocidade do som é expressa em função da temperatura t do gás em graus centígrados.Para obter esta expressão aproximada, tomamos os dois primeiros termos do
desenvolvimento de (1+t/T0)1/2 do binômio de Newton
Sabendo que T0=273.15 K, γ=1.4, R=8.314 J/(K·mol) e M=28.95·10-3 kg/mol, temos que
vs≈331.4+0.61·t onde 331.4 m/s é a velocidade do som no ar a 0ºC.
= Cp/Cv - processo adiabático
O afinador compara o som da corda do piano com um diapasão e por batimento ele acerta a nota desejada. TOINHoIIIIINHOIIIIIIINHOIIII...!
TONNN.iiii....
Toonnnnnn.iii.....
O caso do Batimento
)](2
1cos[)](
2
1cos[2),(
)()(k )()(
)])(2
1)(
2
1cos[)]
22cos[(2),(
)](2/1cos[)](2/1cos[2)cos()cos(
)cos()cos(
),(
21212121
2121
221121
txktkxAtxy
kkkkk
txkktxk
Atxy
bababa
xktAxktAyyy
txA
Duas oscilações(TONNNNN e TOoNNNNN) com pequena diferençanas suas freqüências quando somadas, produzem o fenômeno do: BATIMENTO!!! - TOINHoIINHIINHoIINHoIIII....!
TOINHoIIIIINHOIIIIIIINHOIIII...!
TONNN.iiii....
Toonnnnnn.iii.....
)](2
1cos[)](
2
1[2),(
),(
txktkxAsentxy
txA
16. Um pulso, que se desloca com uma velocidade de 50m/s em uma corda de 10m de comprimento, é descrito pela função
y(x, t) = 2e−2(x−vt)2 + e−2(x+vt)2 (SI) .
(a) Qual o valor de x para o qual a velocidade transversal da corda seja extremal em t = 0?
(b) Se a massa da corda for 1kg, qual a tensão nesta?
R: (a) x = 0, 5m
(b) 250N
y(x, t) = 2e−2(x−vt)2 + e−2(x+vt)2
dy(x, t=0)/dt = 0Se v=50m/s x=0,5m
NFkgmFsm
mKg
FFv 2501/10/50
101
Várias ondas, quando convenientemente somadas podemtomar a forma de um pulso:
+ +
+ + .... =
Análise de Fourier
an = 0
bn = 2 (-1)n+1 / n.
O fenômeno da dispersão de um pulso pode não ocorrer devido a não linearidades. Aí temos um SÓLITON que também é um pulso dispersivo mas neste caso há uma compensação.
Como cada onda tem diferente freqüência, a sua velocidade depropagação será diferente e, com o tempo, o pulso perde a sua amplitude original.
18. Determine a amplitude da onda resultante da combinação de duas ondas senoidais que se propagam no mesmo sentido, possuem mesma frequência,
têm amplitudes de 3, 0 cm e 4, 0 cm e diferença de fase de /2 rad
R: y(x, t) = 0, 05 sen(kx − t + 0, 64)
A 2 = 4 sen(kx − t)
A 1 =
3 s
en(k
x − t
+
/2)
A 2 = 4 sen(kx − t)
A 1 = 3 sen(kx − t + /2)
A 1 = 3 sen(kx − t + /2)
A 2 = 4 sen(kx − t)
)cos(2 122122
21 AAAAA
A 1 = 3 sen(kx − t + /2)
A 2 = 4 sen(kx − t)
)( 12
2 senA
Aarcsen
A 1 = 3 sen(kx − t + /2)
A 2 = 4 sen(kx − t)
)(
)cos(2
)cos()(
122
122122
21
1
senA
Aarcsen
AAAAA
tkxAtX
y =
Ysen
(n t
)
x = Xsen(n´ t)
Figuras de Lissajus
2
22
2
2
2
2
t
Av
y
A
x
A
Para tratar de oscilações em placa temos que usar a equação de d´Alembert bidimencional
A solução da equação de d´Alembert necessita do conhecimento das condições de contorno seus valores iniciais.
Quando são dadas as condições de contorno para a livre
oscilação teremos situações em que os máximos e mínimos
serão regidos por suas freqüências harmônicas características ou tons e também sobretons.
Você sabe o que é superheterodinagem?
Neste caso multiplicamos dois sinais:
Dr. Sebastião Simionatto FEP 2196 - 2009
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