Modelos discretos e contınuos
Joaquim [email protected]
www.ufjf.br/joaquim_neto
Departamento de Estatıstica - ICEUniversidade Federal de Juiz de Fora (UFJF)
Versao 3.0
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 1 / 55
Sumario1 Informacoes gerais
ContatoReferencias Bibliograficas
2 Modelos discretosDistribuicao uniforme discretaDistribuicao de BernoulliDistribuicao binomialDistribuicao geometricaDistribuicao binomial negativa (Pascal)Distribuicao hipergeometricaDistribuicao de PoissonProcesso de PoissonValor esperado e variancia de algumas distribuicoes discretas
3 Modelos contınuosUniformeNormalBetaGamaGama invertidaChi-quadradot de StudentF de SnedecorValor esperado e variancia de algumas distribuicoes contınuasJoaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 1 / 55
Informacoes gerais Contato
Contato
Site pessoalhttp://www.ufjf.br/joaquim_neto
Site do Departamento de Estatıstica (UFJF)http://www.ufjf.br/estatistica
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Informacoes gerais Referencias Bibliograficas
Referencias Bibliograficas
Barry, R. James(1981)Probabilidade: um curso em cıvel intermediario.Rio de Janeiro: Instituto de Matematica Pura e Aplicada (Projeto Euclides).
Bussab, Wilton de O. & Morettin, Pedro A.(2005)Estatıstica Basica, 5a ed. edn.Sao Paulo: Saraiva.
Degroot, M. H. & Schervish, M. J.(2001)Probability and Statistics, 3rd Edition, 3 edn.Addison Wesley.
Meyer, P. L.(2000)Probabilidade: Aplicacoes a Estatıstica, 2 ed. edn.LTC.
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Modelos discretos Distribuicao uniforme discreta
Distribuicao uniforme discreta
Definicao 1: Uma variavel X tem distribuicao uniforme discreta no conjunto {1, 2, ..., n} se suafuncao de probabilidade for:
p(x) =
{1n
, se x ∈ {1, 2, ..., n}0, caso contrario
0 1 2 3 4 5 6
0.15
0.20
0.25
x
p(x) ● ● ● ● ●
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Funcao de probabilidade
0 1 2 3 4 5 6
0.0
0.4
0.8
xF(x
)
●
●
●
●
●
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Funcao de distribucao acumulada
Figura: Funcao de probabilidade e funcao de distribuicao acumulada de uma v.a. X comdistribuicao uniforme discreta no conjunto {1, 2, 3, 4, 5}.
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Modelos discretos Distribuicao de Bernoulli
Distribuicao de Bernoulli
Suponhamos um experimento com resultados que assumem apenas duas classificacoes (comosucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa, etc). Seja X uma v.a. que assume apenas osvalores 0 e 1, onde o 1 e associado a uma das classificacoes e o 0 e associado a outraclassificacao. Dizemos entao que X tem distribuicao de Bernoulli com parametro θ ∈ [0, 1],onde θ = P([X = 1]). Para indicar a distribuicao de Bernoulli, podemos tambem usar a notacaoX ∼ Ber(θ).
Resultado 1: Se X ∼ Ber(θ) entao sua funcao de probabilidade e dada por
p(x) =
θ, se x = 11− θ, se x = 00, caso contrario
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Modelos discretos Distribuicao de Bernoulli
−1.0 0.0 1.0 2.0
0.0
0.4
0.8
x
p(x)
●
●
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Funcao de probabilidade
−1.0 0.0 1.0 2.0
0.0
0.4
0.8
x
F(x
)
●
●
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Funcao de distribucao acumulada
Figura: Funcao de probabilidade e funcao de distribuicao acumulada de uma v.a. X , tal queX ∼ Ber(0.3).
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Modelos discretos Distribuicao binomial
Distribuicao binomial
Suponhamos agora n realizacoes independentes de um experimento com resultados queassumem apenas duas classificacoes (como sucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa,etc). Associando uma das classificacoes ao numero 1 (sucesso) e a outra ao numero 0(fracasso), seja X a variavel aleatoria associada ao numero de sucessos (uns) obtidos nas Nrealizacoes do experimento. Se a probabilidade de sucesso em cada uma das realizacoes e amesma e igual a θ, dizemos que X tem distribuicao binomial com parametros n ∈ {1, 2, ...} eθ ∈ [0, 1] ou usamos a notacao X ∼ Bin(n, θ).
Resultado 2: Se X ∼ Bin(n, θ) entao sua funcao de probabilidade e dada por
p(x) =
(
nx
)θx (1− θ)n−x , se x = 0, 1, 2, ..., n
0, caso contrario
OBS: Suponhamos uma sequencia X1, X2, ..., Xn de v.a. independentes tais que Xi ∼ Ber(θ),
∀i ∈ {1, 2, ..., n}. A variavel Y =n∑
i=1Xi ∼ Bin(n, θ).
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Modelos discretos Distribuicao binomial
Exemplo 1: Sabe-se que 30% dos animais submetidos a um certo tratamento nao sobrevivem.Suponhamos que 10 animais sao submetidos a este tratamento. Seja X o numero de naosobreviventes.
a) Construa o grafico da funcao de probabilidade de X .
b) Construa o grafico da funcao de distribuicao acumulada de X .
Solucao: Como X ∼ Bin(10, 0.3), sua funcao de probabilidade e dada por
p (x) =
(10x
)0.3x (1− 0.3)10−x .
Com esta funcao, podemos construir a tabela abaixo.
x p(x) F(x)0 0.028247 0.0282471 0.121060 0.1493082 0.233474 0.3827823 0.266827 0.6496104 0.200120 0.8497315 0.102919 0.9526516 0.036756 0.9894077 0.009001 0.9984098 0.001446 0.9998569 0.000137 0.999994
10 0.000005 1.000000
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Modelos discretos Distribuicao binomial
A partir da tabela, podemos construir os graficos.
a)
0 2 4 6 8 10
0.00
0.10
0.20
x
p(x)
●
●
●
●
●
●
●
●● ● ●
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Funcao de probabilidade
b)
0 2 4 6 8 10
0.0
0.4
0.8
x
F(x
)
●
●
●
●
●
●● ● ● ● ●
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Funcao de distribucao acumulada
Para explorar um aplicativo da distribuicao binomial, clique aqui.
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Modelos discretos Distribuicao binomial
Exemplo 2: Um lote de componentes eletronicos e recebido por uma firma. Vinte componentessao selecionados, aleatoriamente e com reposicao, para teste e o lote e rejeitado se pelo menos 3forem defeituosos. Sabendo que 1% destes componentes sao defeituosos, qual e a probabilidadeda firma rejeitar o lote.
Solucao: Seja X uma v.a. associada ao numero de componentes defeituosos dentre osselecionados e p(x) sua funcao de probabilidade. Como X ∼ Bin(20, 0.05), temos que
p (0) =
(200
)0.010 (1− 0.01)20 = 0.817907
p (1) =
(201
)0.011 (1− 0.01)19 = 0.1652337
p (2) =
(202
)0.012 (1− 0.01)18 = 0.01585576
Sabemos tambem que o lote e rejeitado se X ≥ 3 e, portanto, a probabilidade de rejeicao edada por
P ([X ≥ 3]) = 1− P ([X < 3]) = 1− P ([X ≤ 2])
= 1− (P ([X = 0]) + P ([X = 1]) + P ([X = 2]))
= 1− (p (0) + p (1) + P (2))
= 1− (0.817907 + 0.1652337 + 0.01585576)
= 0.0010035
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Modelos discretos Distribuicao geometrica
Distribuicao geometrica
Suponhamos que um experimento com resultados que assumem apenas duas classificacoes(como sucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa, etc) e realizado sucessivas vezes. SejaX a v.a. associada ao numero de fracassos ate obter o primeiro sucesso. Se a probabilidade desucesso em cada uma das realizacoes e constante e igual a θ, dizemos que X tem distribuicaogeometrica com parametro θ ∈ [0, 1].
Resultado 3: Se X tem distribuicao geometrica com parametro θ, sua funcao de probabilidadee dada por
p (x) =
{(1− θ)x θ, se x = 0, 1, 2, ...0, caso contrario
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Modelos discretos Distribuicao geometrica
0 5 10 15 20 25 30
0.00
0.10
0.20
x
p(x)
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
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Funcao de probabilidade
0 5 10 20 30
0.0
0.4
0.8
x
F(x
)
●
●
●
●
●
●●
●●
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Funcao de distribucao acumulada
Figura: Graficos para X com distribuicao geometrica de parametro θ = 0.2.
Para explorar um aplicativo da distribuicao geometrica, clique aqui.
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Modelos discretos Distribuicao geometrica
Exemplo 3: A probabilidade de se encontrar um determinado semaforoaberto e igual a 20%. Qual e a probabilidade de passar pelo semaforosucessivas vezes e encontra-lo aberto pela primeira vez na quintapassagem?
Solucao: Sejam X o numero de passagens antes de encontrar o semaforoaberto pela primeira vez e p(x) a funcao de probabilidade de X . Como Xtem distribuicao geometrica de parametro θ = 0.2, temos
p(4) = (1− 0.2)40.2 = 0.08192.
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Modelos discretos Distribuicao binomial negativa (Pascal)
Distribuicao binomial negativa (Pascal)
Suponhamos que um experimento com resultados que assumem apenas duas classificacoes(como sucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa, etc) e realizado sucessivas vezes. SejaX a variavel aleatoria associada ao numero de fracassos ate observar r sucessos. Se aprobabilidade de sucesso em cada uma das realizacoes e a mesma e igual a θ, dizemos que Xtem distribuicao binomial negativa com parametros r ∈ {1, 2, 3, ...} e θ ∈ [0, 1] ou usamos anotacao X ∼ BN(r , θ).
Resultado 4: Se X ∼ BN(r , θ) entao sua funcao de probabilidade e dada por
p (x) =
(
x + r − 1r − 1
)θr (1− θ)x , se x ∈ {0, 1, 2, ...}
0, caso contrario
OBS: Note que a distribuicao geometrica e um caso particular da distribuicao binomial negativa,para r = 1.
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Modelos discretos Distribuicao binomial negativa (Pascal)
0 10 20 30 40
0.00
0.02
0.04
0.06
x
p(x)
●
●
●
●
●
●
●
●●●●
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●
●
●
●
●
●
●
●
●●
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●●
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Funcao de probabilidade
0 10 20 30 40
0.0
0.4
0.8
x
F(x
)
●●●●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●
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Funcao de distribucao acumulada
Figura: Graficos para X ∼ BN(5, 0.3).
Para explorar um aplicativo da distribuicao binomial negativa, clique aqui.
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Modelos discretos Distribuicao binomial negativa (Pascal)
Exemplo 4: Em uma linha de producao, a probabilidade de um determinado componente serdefeituoso e de 0.1%. Qual e a probabilidade de se produzir 4 componentes defeituosos antes de20 perfeitos.
Solucao: Sejam X uma v.a. associada ao numero de componentes defeituosos antes de 20perfeitos e p(x) a funcao de probabilidade de X . Como X ∼ BN(20, 0.9), temos que
p (x) =
(x + 20− 1
20− 1
)0.920 (1− 0.9)x , para x ∈ {0, 1, 2, ...}.
Logo, a probabilidade procurada e dada por
p (4) =
(4 + 20− 1
20− 1
)0.920 (1− 0.9)4 , para x ∈ {0, 1, 2, ...} = 0.1076561.
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Modelos discretos Distribuicao hipergeometrica
Distribuicao hipergeometrica
Suponhamos que n elementos sao selecionados aleatoriamente e sem reposicao de umapopulacao finita com A elementos do tipo I e B elementos do tipo II . Seja X uma v.a.associada ao numero de elementos do tipo I selecionados. Neste caso, dizemos que X temdistribuicao hipergeometrica com parametros A, B e n.
Resultado 5: Se X tem distribuicao hipergeometrica com parametros A, B e n, entao suafuncao de probabilidade e dada por
p (x) =
(Ax
)(B
n − x
)(
A + Bn
) , se x ∈ {max (0, n − B) , ...,min (n,A)} ∩ N
0, caso contrario
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 19 / 55
Modelos discretos Distribuicao hipergeometrica
Exemplo 5: Uma firma compra lampadas por lotes de 30 unidades. Suponha que em umdeterminado lote ha 25 lampadas perfeitas. Sete lampadas deste lote sao selecionadasaleatoriamente e sem reposicao.
a) Qual e a probabilidade de selecionar menos de 4 lampadas perfeitas?
b) Construa o grafico da funcao de probabilidade de X .
c) Construa o grafico da funcao de distribuicao acumulada de X .
Solucao:a) Sejam X uma v.a. associada ao numero de lampadas perfeitas selecionadas e p(x) suafuncao de probabilidade. Como X tem distribuicao hipergeometrica, temos que
p (x) =
(25x
)(5
7− x
)(
25 + 57
) , se x ∈ {max (0, 7− 5) , ...,min (7, 25)} ∩ N
0, caso contrario
Logo, a probabilidade de selecionar menos de 4 lampadas perfeitas e dada por
P[X < 4] = p(2) + p(3) = 0.57962%
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 20 / 55
Modelos discretos Distribuicao hipergeometrica
b)
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
p(x)
● ● ● ●
●
●
●
●
● ● ●
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Funcao de probabilidade
c)
0 2 4 6 8 10
0.0
0.4
0.8
x
F(x
)
● ●
●
●
●
●
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Funcao de distribucao acumulada
Para explorar um aplicativo da distribuicao hipergeometrica, clique aqui.
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 21 / 55
Modelos discretos Distribuicao de Poisson
Distribuicao de Poisson
A distribuicao de Poisson e utilizada para explicar probabilisticamente o numero de ocorrenciasem um experimento aleatorio.
Definicao 2: Uma v.a. X tem distribuicao de Poisson com taxa media de ocorrencias θ > 0, sesua funcao de probabilidade for
p (x) =
{exp(−θ)θx
x!, se x = 0, 1, 2, ...
0, caso contrario.
Para indicar a distribuicao de Poisson, podemos usar a notacao X ∼ Poiss(θ).
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 22 / 55
Modelos discretos Distribuicao de Poisson
0 5 10 15
0.00
0.10
0.20
x
p(x)
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●● ● ● ● ● ●
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Funcao de probabilidade
0 5 10 15
0.0
0.4
0.8
x
F(x
)
●
●
●
●
●
●
●●
● ● ● ● ● ● ● ●
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Funcao de distribucao acumulada
Figura: Graficos para X ∼ Poiss(4).
Para explorar um aplicativo da distribuicao de Poisson, clique aqui.
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 23 / 55
Modelos discretos Processo de Poisson
Processo de Poisson
Consideremos o numero de ocorrencias de um determinado evento por regiao ou intervalo.
Hipotese 1 (incrementos estacionarios) A probabilidade de x ocorrencias em uma regiao
depende apenas do tamanho da regiao (e nao de sua localizacao).
Hipotese 2: (incrementos independentes) O numero de ocorrencias em regioes disjuntas saoindependentes.
Hipotese 3: Os ocorrencias sao registradas sozinhas e nao simultaneamente.
Se as hipoteses acima sao satisfeitas, entao o numero de ocorrencias X em uma regiao detamanho t tem distribuicao Poiss(θt), onde θ e a taxa media de ocorrencias por unidade demedida da regiao e θt e a taxa media de ocorrencias da regiao.
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 24 / 55
Modelos discretos Processo de Poisson
Exercıcio 1: Suponhamos que a chegada de navios a um porto segue um processo de Poisson,com numero medio de chegadas em 6 horas igual a 12.a) Qual e a probabilidade de exatamente 2 navios chegarem em 3 horas.b) Qual e a probabilidade de pelo menos 2 navios chegarem chegarem em 2 horas.
Solucao:a) Seja X o numero de navios que chegam em 3 horas. Como chegam em media 12 navios em 6horas, a taxa media de ocorrencias por hora e de θ = 12/6 = 2 navios por hora. Assim,X ∼ Poiss(θt), ou seja, X ∼ Poiss(2× 3) e
P([X = 2]) =exp(−6)62
2!= 4.461754%.
b) Seja Y o numero de navios que chegam em 5 horas. Consequentemente,Y ∼ Poiss( 12
62) ∼ Poiss(4) e
P([X ≥ 2]) = 1− P([X = 0])− P([X = 1])
= 1−exp(−4)40
0!−
exp(−4)41
1!
= 1− 9.157% = 90.843%.
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Modelos discretos Processo de Poisson
Exemplo 6: Seja X uma v.a. tal que X ∼ Bin(3, 0.4). Calcule o valor esperado de X ?
Solucao: Temos que
p (x) =3!
(3− x)!x!0.4x 0.63−x para x = 0, 1, 2, 3.
Consequentemente, p(0) = 0.216, p(1) = 0.432, p(2) = 0.288 e p(3) = 0.064.
Assim,E(X ) = 0p(0) + 1p(1) + 2p(2) + 3p(3)
= 0× 0.216 + 1× 0.432 + 2× 0.288 + 3× 0.064
= 1.2
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 26 / 55
Modelos discretos Processo de Poisson
Exemplo 7: Seja X uma v.a. tal que X ∼ Bin(3, 0.4). Calcule a variancia de X ?
Solucao: Temos que
p (x) =3!
(3− x)!x!0.4x 0.63−x para x = 0, 1, 2, 3.
Consequentemente, p(0) = 0.216, p(1) = 0.432, p(2) = 0.288 e p(3) = 0.064.
Alem disso,E(X ) = 0p(0) + 1p(1) + 2p(2) + 3p(3)
= 0× 0.216 + 1× 0.432 + 2× 0.288 + 3× 0.064
= 1.2
Por fim,
Var (X ) = (0− 1.2)2 p (0) + (1− 1.2)2 p (1) + (2− 1.2)2 p (2) + (3− 1.2)2 p (3)
= 0.72.
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 27 / 55
Modelos discretos Valor esperado e variancia de algumas distribuicoes discretas
Valor esperado e variancia de algumas distribuicoesdiscretas
Se X ∼ U({1, 2, ..., n}), entao
E(X ) =n + 1
2e Var(X ) =
n2 − 1
12.
Se X ∼ Ber(θ), entaoE(X ) = θ e Var(X ) = θ(1− θ).
Se X ∼ Bin(n, θ), entao
E(X ) = n · θ e Var(X ) = nθ(1− θ).
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 28 / 55
Modelos discretos Valor esperado e variancia de algumas distribuicoes discretas
Se X tem distribuicao geometrica com probabilidade de sucesso θ (definicao baseada nonumero de realizacoes ate o primeiro sucesso), entao
E(X ) =1
θe Var(X ) =
1− θθ2
.
Se X tem distribuicao geometrica com probabilidade de sucesso θ (definicao baseada nonumero de fracassos ate o primeiro sucesso), entao
E(X ) =1− θθ
e Var(X ) =1− θθ2
.
Se X tem distribuicao hipergeometrica com A elementos do tipo I, B elementos do tipo IIe n realizacoes, entao
E(X ) = n
(B
A + B
)e Var(X ) =
nAB
(A + B)2·
A + B − n
A + B − 1.
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 29 / 55
Modelos discretos Valor esperado e variancia de algumas distribuicoes discretas
Se X tem distribuicao Poiss(θ), entao
E(X ) = θ e Var(X ) = θ.
Se X tem distribuicao BN(r , θ), entao
E(X ) =rθ
1− θe Var(X ) =
rθ
(1− θ)2.
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 30 / 55
Modelos contınuos Uniforme
Uniforme
Definicao 3: Dizemos que uma variavel aleatoria tem distribuicaouniforme no intervalo (a, b) se tem densidade p(x) dada por
p (x) =
{1
b−a , se a < x < b
0, caso contrario.
Notacao: X ∼ U(a, b).
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 32 / 55
Modelos contınuos Normal
Normal
Definicao 4: Dizemos que uma variavel aleatoria tem distribuicao normalde media µ e variancia σ2 > 0 se tem densidade p(x) dada por
p (x) =(2πσ2
)− 12 exp
(−1
2
(x − µ)2
σ2
), com x ∈ R.
Notacao: X ∼ N(µ, σ2).
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 33 / 55
Modelos contınuos Normal
−6 −2 0 2 4 6
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
p X(x
)
www.ufjf.
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aquim
_neto
Densidade de uma N(0, 1).
−6 −2 0 2 4 60.
00.
10.
20.
30.
4x
p X(x
)www.uf
jf.br
/joaq
uim_n
eto
Densidade de uma N(0, 1) empreto e densidade de uma
N(3,1) em azul.
−6 −2 0 2 4 6
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
p X(x
)
www.ufjf.
br/jo
aquim
_neto
Densidade de uma N(0, 1) empreto e densidade de uma
N(0,4) em azul.
Figura: Densidades de distrinuicoes normais.
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 34 / 55
Modelos contınuos Normal
−6 −2 0 2 4 6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
FX(x
)
www.ufjf.
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aquim
_neto
Funcao de distribuicao de umaN(0, 1).
−6 −2 0 2 4 60.
00.
20.
40.
60.
81.
0x
FX(x
)www.uf
jf.br
/joaq
uim_n
eto
Funcao de distribuicao de umaN(0, 1) em preto e funcao de
distribuicao de uma N(3,1) emazul.
−6 −2 0 2 4 6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
FX(x
)
www.ufjf.
br/jo
aquim
_neto
Funcao de distribuicao de umaN(0, 1) em preto e funcao de
distribuicao de uma N(0,4) emazul.
Figura: Funcoes de Distribuicao Acumulada.
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 35 / 55
Modelos contınuos Normal
Propriedades da normal
Se X ∼ N(µ, σ2), entao E (X ) = µ e Var(X ) = σ2.
Se uma v.a. X tem distribuicao normal, entao Y = aX + btambem tem distribuicao normal, ∀a, b ∈ R.
Resultado 6: Como consequencia das propriedades acima, temos que
Se X ∼ N(µ, σ2), entao aX + b ∼ N(aµ+ b, a2σ2),
Se X ∼ N(0, 1), entao aX + b ∼ N(b, a2) e
Se X ∼ N(µ, σ2) entao X−µσ ∼ N(0, 1).
Prova: ...
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 36 / 55
Modelos contınuos Beta
Beta
Definicao 5: Dizemos que uma v.a. tem distribuicao beta de parametrosα > 0 e β > 0 se tem densidade p(x) dada por
p (x) =
{B (α, β)−1 xα−1 (1− x)β−1 , se 0 < x < 10, caso contrario
, onde
B (α, β) =Γ (α) Γ (β)
Γ (α + β)
e
Γ (α) =
∫ ∞0
βαxα−1 exp (−βx) dx .
Notacao: X ∼ Be(α, β).
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 37 / 55
Modelos contınuos Beta
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
02
46
x
p X(x
)
α = 10 e β = 10α = 0.1 e β = 0.1α = 4 e β = 0.1α = 4 e β = 2
www.ufjf.
br/jo
aquim
_neto
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
xF
X(x
)
α = 10 e β = 10α = 0.1 e β = 0.1α = 4 e β = 0.1α = 4 e β = 2
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br/jo
aquim
_neto
Figura: Densidades e funcoes de distribuicao Be(α, β), para diferentes valores de α e β.
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 38 / 55
Modelos contınuos Gama
Gama
Definicao 6: Dizemos que uma variavel aleatoria tem distribuicao Gamacom parametros α > 0 e β > 0 se tem densidade p(x) dada por
p (x) =
{βα
Γ(α) xα−1 exp (−βx) , se x > 0
0, caso contrario, onde
Γ (α) =
∫ ∞0
βαxα−1 exp (−βx) dx .
Notacao: X ∼ Ga(α, β).
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 39 / 55
Modelos contınuos Gama
0 5 10 15 20
0.0
0.2
0.4
x
p X(x
)
α = 1 e β = 2α = 2 e β = 2α = 3 e β = 2α = 5 e β = 1α = 9 e β = 0.5
www.ufjf.
br/jo
aquim
_neto
0 5 10 15 20
0.0
0.4
0.8
xF
X(x
)
α = 1 e β = 2α = 2 e β = 2α = 3 e β = 2α = 5 e β = 1α = 9 e β = 0.5
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br/jo
aquim
_neto
Figura: Densidades e funcoes de distribuicao Ga(α, β), para diferentes valores de α e β.
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 40 / 55
Modelos contınuos Gama invertida
Gama invertida
Definicao 7: Dizemos que uma variavel aleatoria tem distribuicao GamaInvertida (ou Gama Inversa) com parametros α > 0 e β > 0 se temdensidade p(x) dada por
p (x) =
{βα
Γ(α)
(1x
)α+1exp
(−β(
1x
)), se x > 0
0, caso contrario,
onde
Γ (α) =
∫ ∞0
βαxα−1 exp (−βx) dx .
Notacao: X ∼ GI (α, β).
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 41 / 55
Modelos contınuos Gama invertida
0.0 1.0 2.0 3.0
0.0
1.0
2.0
x
p X(x
)
α = 1 e β = 0.5α = 2 e β = 1α = 3 e β = 1α = 3 e β = 5
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br/jo
aquim
_neto
0.0 1.0 2.0 3.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
xF
X(x
)
α = 1 e β = 1α = 2 e β = 1α = 3 e β = 1α = 3 e β = 5
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aquim
_neto
Figura: Densidades e funcoes de distribuicao GI (α, β), para diferentes valores de α e β.
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 42 / 55
Modelos contınuos Gama invertida
Propriedades da Gama
Se X ∼ Ga(α, β) e a ∈ R entao aX ∼ Ga(α, βa
).
Relacao entre a Gamma e a Gamma Invertida
Se X ∼ Ga(α, β) entao 1X ∼ GI (α, β).
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 43 / 55
Modelos contınuos Chi-quadrado
Chi-quadrado (χ2)
Definicao 8: Uma v.a. X tem distribuicao chi-quadrado (χ2) com n > 0graus de liberdade se tem densidade p(x) dada por
p (y) =
( 12 )
n2
Γ( n2 )
xn2−1 exp
(−1
2 x), se x > 0
0, caso contrario,
onde
Γ(n
2
)=
∫ ∞0
(1
2
) n2
xn2−1 exp
(−1
2x
)dx .
Notacao: X ∼ χ2n.
OBS: X ∼ χ2n se, e somente se, X ∼ Ga
(n2 ,
12
). Assim, podemos dizer
que a distribuicao χ2 e um caso particular da gama.
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 44 / 55
Modelos contınuos Chi-quadrado
Sejam X1,X2, ...,Xn variaveis aleatorias independentes, de modo queXi ∼ N(0, 1) ∀i ∈ {1, 2, ..., n}. A variavel aleatoria
X =n∑
i=1
X 2i
tem distribuicao χ2 com n graus de liberdade.
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 45 / 55
Modelos contınuos Chi-quadrado
0 2 4 6 8
0.0
0.4
0.8
x
p X(x
)
n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5
www.ufjf.
br/jo
aquim
_neto
0 2 4 6 8
0.0
1.0
2.0
xF
X(x
)
n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5
www.ufjf.
br/jo
aquim
_neto
Figura: Densidades e funcoes de distribuicao χ2n, para diferentes graus de liberdade (n).
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 46 / 55
Modelos contınuos Chi-quadrado
Propriedades da χ2
Se X ∼ χ2n e Y ∼ χ2
m entao (X + Y ) ∼ χ2m+n.
Se X ∼ χ2n e Y ∼ χ2
m entao (Z = X − Y ) ∼ χ2m−n, desde que
Z ≥ 0 e n > m
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 47 / 55
Modelos contınuos t de Student
t de Student
Definicao 9: A distribuicao t de Student (ou simplesmente t) com n > 0 graus de liberdade edefinida pela razao de duas variaveis aleatorias.
Especificamente, se Y ∼ N(0, 1) e Z ∼ χ2n com Y e Z independentes, entao
X =Y√
Zn
(1)
tem distribuicao t com n graus de liberdade.
Notacao: X ∼ tn.
Se X ∼ tn, entao sua densidade e dada por
p (x) =Γ(
n+12
)√
nπ
(1 + x2
n
)− (n+1)2
Γ(
n2
) , para x ∈ R
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 48 / 55
Modelos contınuos t de Student
−4 −2 0 2 4 6
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
t
p X(x
)
n = 1n = 2n = 5n = 1000
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aquim
_neto
−4 −2 0 2 4 6
0.0
0.4
0.8
tF
X(x
)
n = 1n = 2n = 5n = 1000
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br/jo
aquim
_neto
Figura: Densidades e funcoes de distribuicao tn, para diferentes valores de n.
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 49 / 55
Modelos contınuos F de Snedecor
F de Snedecor
Definicao 10: A distribuicao F de Snedecor (ou simplesmente F) com n > 0 e m > 0 graus de
liberdade e definida pela razao de duas variaveis aleatorias independentes com distribuicao χ2
central, ambas divididas pelos seus respectivos graus de liberdade.
Especificamente, se Y ∼ χ2n e Z ∼ χ2
m com Y e Z independentes, entao
X =YnZm
tem distribuicao F com n e m graus de liberdade.
Notacao: X ∼ Fn,m.
Se X ∼ Fn,m, entao sua densidade e dada por
p (x) =
Γ( n+m2 )
Γ( n2 )Γ( m
2 )
(nm
) n2 x( n
2−1) (1 + n
mx)− (n+m)
2 , se x > 0
0, caso contrario.
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 50 / 55
Modelos contınuos F de Snedecor
0 1 2 3 4 5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
p X(x
)
n1 = 1 e n2 = 1n1 = 2 e n2 = 1n1 = 5 e n2 = 2n1 = 100 e n2 = 1n1 = 100 e n2 = 100
www.ufjf.
br/jo
aquim
_neto
0 1 2 3 4 5
0.0
1.0
2.0
xF
X(x
)
n1 = 1 e n2 = 1n1 = 2 e n2 = 1n1 = 5 e n2 = 2n1 = 100 e n2 = 1n1 = 100 e n2 = 100
www.ufjf.
br/jo
aquim
_neto
Figura: Densidades e funcoes de distribuicao Fn,m, para diferentes valores de n e m.
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 51 / 55
Modelos contınuos F de Snedecor
Relacao entre a t e a F
Elevando ao quadrado a equacao (1), temos
T 2 =X 2
1Yn
Como X 2 ∼ χ21 e Y ∼ χ2
n, entao T 2 ∼ F1,n.
Ou seja, o quadrado de uma v.a. com distribuicao tn tem distribuicao F1,n.
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 52 / 55
Modelos contınuos Valor esperado e variancia de algumas distribuicoes contınuas
Valor esperado e variancia de algumas distribuicoescontınuas
Se X ∼ U(a, b), entao
E(X ) =b + a
2e Var(X ) =
(b − a)2
12.
Se X ∼ N(µ, σ2), entaoE(X ) = µ e Var(X ) = σ2.
Se X ∼ Be(α, β), entao
E(X ) =α
α+ βe Var(X ) =
αβ
(α+ β)2(α+ β + 1).
Se X ∼ Ga(α, β), entao
E(X ) =α
βe Var(X ) =
α
β2.
Se X ∼ GI (α, β), entao
E(X ) =β
α+ 1e Var(X ) =
β2
(α− 1)2(α− 2).
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 53 / 55
Modelos contınuos Valor esperado e variancia de algumas distribuicoes contınuas
Se X ∼ χ2n, entao
E(X ) = n + λ e Var(X ) = 2(n + 2λ).
Se X ∼ tn, entao
E(X ) = µ para n > 1 e Var(X ) =n
n − 1para n > 2.
Se X ∼ Fn,m, entao
E(X ) =m
m − 2para m > 2 e Var(X ) =
2m2(n + m − 2)
n(m − 4)(m − 2)2para n > 4.
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 54 / 55
Modelos contınuos Valor esperado e variancia de algumas distribuicoes contınuas
Fim!
Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 3.0 55 / 55
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