TRIGONOMETRIA
21
6. Na circunferência trigonométrica da figura ao lado, considere o heptá-
gono regular de lado 1 tal que:
• um dos lados do heptágono coincide com o raio da circunferência e
encontra -se no semieixo positivo Ox ;
• P é um ponto do heptágono pertencente à circunferência;
• Q é um ponto do semieixo negativo Ox ;
• o segmento [OQ] é um raio da circunferência;
• a é a amplitude do ângulo cujo lado origem passa no semieixo positivo
Ox e cujo lado extremidade passa no segmento [OP] .
Qual é, aproximadamente, a área do triângulo [OPQ] ?
(A) 0,191 (B) 0,312 (C) 0,391 (D) 0,512
7. Na circunferência trigonométrica da figura ao lado está representado o
ângulo de amplitude 3p ___ 10 , que tem por lado origem o segmento de reta
[OA] e por lado extremidade o semieixo positivo Oy .
Tal como a figura sugere:
• [OA] é um raio da circunferência;
• B é um ponto do semieixo positivo Ox ;
• o ângulo OBA é reto.
Qual é o valor, arredondado às centésimas, de ‾ AB ?
(A) 0,81 (B) 0,75 (C) 0,63 (D) 0,59
8. Na figura ao lado está representada uma artéria principal do corpo humano,
cuja secção é um círculo com raio R , e uma sua ramificação, mais estreita, cuja
secção é um círculo com raio r .
Seja q å ] 0, p __ 2 [ a amplitude, em radianos, do ângulo que a artéria principal faz
com a sua ramificação (medida relativamente a duas geratrizes complanares
dos dois cilindros).
Sabendo que r2 = R2 √ ________
cos q , indique, arredondado à centésima do radiano, o
valor de q no caso em que R = √ ___
2 r .
(A) 1,11 (B) 1,18 (C) 1,25 (D) 1,32
Adaptado do Exame Nacional de Matemática, 12.° ano, 2.ª fase, 2007.
Itens para resolver
PE.2011.0018.01.02Prep Exame Nacional - MAT 12. ano / TEXTO
DT1_PE12_0201.a prova
13 SET 2013
α
x
y
O
P
Q
PE.2011.0018.01.02Prep Exame Nacional - MAT 12. ano / TEXTO
DT1_PE12_0211.a prova
13 SET 2013
x
y
O
A
B
�310
PE.2011.0018.01.02Prep Exame Nacional - MAT 12. ano / TEXTO
DT1_PE12_0221.a prova
13 SET 2013
rθ
R
014_024_Tema2_5P.indd 21 14/08/17 14:58
PREPARAR O EXAME NACIONAL
46
2. Na figura ao lado encontra-se, num referencial o.n. Oxyz , a pirâmide qua-drangular reta [OPQRS] .
Sabe-se que:
• a base é o quadrado [OPQR] de lado 2 e está contida num plano concor-rente ao plano xOy ;
• a área total da pirâmide é igual a 24;
• o ponto P pertence ao eixo Ox ;
• o ponto S pertence ao plano xOz ;
Admita que o ponto R tem cota igual a 1.
2.1 Determine as coordenadas do ponto S .
2.2 Mostre que as coordenadas do ponto Q são (2, - √ ___
3 , 1) .
2.3 Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta SR com o plano xOy .
2.4 Mostre que y + √ ___
3 z = 0 é uma equação do plano POR .
3. O plano a representado parcialmente no referencial o.n. Oxyz da figura ao lado tem de equação x + z = 4 e contém o ponto A(2, 1, 2) .
3.1 Seja r a reta que passa no ponto A e é perpendicular ao plano a . Justifique que esta reta interseta o plano xOy exatamente no eixo Oy .
3.2 Considere agora o plano b definido pela equação 3x - 5y - 3z = 5 . Mostre que a e b são perpendiculares.
3.3 Considere o ponto P , pertencente ao eixo Ox , e o ponto Q , pertencente ao eixo Oz , ambos do plano a . Escreva uma equação vetorial e um sistema de equações paramétricas do plano que contém os pontos A , P e Q .
4. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n. Oxyz , o octaedro [OPQRAB] .
Sabe-se que:
• um dos vértices do octaedro é a origem O do referencial;
• a reta AB é paralela ao eixo Oz ;
• o ponto P pertence ao semieixo positivo Ox ;
• o ponto R pertence ao semieixo positivo Oy ;
• a altura do octaedro é igual a 6 √ ___
2 .
4.1 Mostre que a aresta do octaedro tem comprimento 6 e que as coordenadas do ponto A são (3, 3, 3 √ ___
2 ) .
4.2 Escreva a equação geral de um plano perpendicular à reta PR e que passa no ponto de coordenadas (3, 4, 5) .
4.3 Escreva a equação geral do plano AQR .
Itens para resolver (CONTINUAÇÃO)
PE.2013.0001.01.01Prep Testes - MAT 12. ano / TEXTO
DT2_PE12_1111.a prova
28 out 2013
O
Q
R
S
P
z
y
x
PE.2013.0001.01.01Prep Testes - MAT 12. ano / TEXTO
DT2_PE12_1121.a prova
28 out 2013
O
�A
z
y
x
PE.2013.0001.01.01Prep Testes - MAT 12. ano / TEXTO
DT2_PE12_1131.a prova
28 out 2013
O Q
R
A
P
B
z
y
x
025_047_Tema3_5P.indd 46 15/08/17 08:46
FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
81
7. O telescópio espacial Hubble é um satélite não tripulado que transporta um grande telescópio para a luz visível e infravermelha e tem, desde 1990, uma órbita elítica em torno da Terra, tal como se representa nas duas figuras seguintes ( H representa o Hubble). Como é óbvio, os ele-mentos dessas figuras não estão na mesma escala.
T4DDT3
Prep Exame Nacional - MAT 12. ano / TEXTO
x
d
H
x
dPeriélioAfélio
H
Figura 2Figura 1
Tal como se pode observar na elipse da Figura 1, estão assinalados dois pontos:
• o afélio, que é o ponto da órbita do Hubble mais afastado do centro da Terra;
• o periélio, que é o ponto da órbita do Hubble mais próximo do centro da Terra.
O ângulo de amplitude x radianos, assinalado nas figuras, tem o seu vértice no centro da Terra, o seu lado origem passa no periélio e o seu lado extremidade passa no Hubble.
Admita que a distância d , em quilómetros, do Hubble à Terra, é dada por d(x) = 625 - 25 cos x , x å [0, 2p[ .
7.1 Determine a distância do Hubble à Terra quando este se encontra no afélio.
Apresente o resultado em quilómetros, arredondado às unidades.
7.2 Num certo instante, o Hubble está na posição indicada na Figura 2.
Sabe-se que distância do Hubble à Terra nesse ponto é igual a 642 quilómetros.
Determine o valor de x , em radianos, arredondado às centésimas.
8. Uma mola está suspensa por uma extremidade, tendo na outra extremidade um corpo C. Após ter sido alon-gada na vertical, a mola inicia um movimento oscilatório no instante t = 0 .
A distância ao solo do corpo C , em metros, é dada em cada instante t , em segundos, pela expressão:
D(t) = 4 + 3 cos (pt + p __ 2 ) para t å [0, 4]
8.1 Determine a distância máxima e a distância mínima do corpo C ao solo.
8.2 Indique o valor da amplitude do movimento do corpo C.
8.3 Determine o período, a frequência e a respetiva fase deste oscilador.
8.4 Determine os instantes, em segundos, em que o corpo C está à distância de 5,5 metros do solo.
9. Um ponto P move-se no eixo das abcissas de forma que a sua abcissa no instante t , em segundos, é dada por:
x(t) = 5 cos ( p __ 8 t) - 5 √ ___
3 sen ( p __ 8 t)
9.1 Prove que se trata de um oscilador harmónico escrevendo x(t) na forma A cos (ωt + φ) , com A > 0, w > 0 e φ å [0, 2p[ .
9.2 Indique a amplitude, o período e a frequência do movimento, bem como o respetivo ângulo de fase.
Itens para resolver
048_105_Tema4_5P.indd 81 14/08/17 15:11
SUCESSÕES REAIS
117
1. Considere as sucessões (un) e (vn) definidas, respetivamente, por un = 5n + 4 ______ 2n + 1 e vn = (un)n .
Sem usar a calculadora, resolva os itens seguintes.
1.1 Prove, usando a definição, que lim un = 5 __ 2 . 1.2 Calcule lim vn .
2. Calcule, se existirem:
2.1 lim 4n3 + 6n2 - 1000 _____________________ 3n3 + 3n2 + 22n + 1000 2.2 lim 3
√ __________________
1 - 16n4 ___________ 2n4 + 5n2 + 3
2.3 lim 3n + 3n + 2
__________ 4n + 4n - 1 2.4 lim [5n (- 1)n + 7 _______ n2 - 40 ]
2.5 lim an , sendo an =
⎧
⎪ ⎨
⎪
⎩
( 4n - 1 ______ 6n + 3 )
n
se n < 1020
cos n _____ n + 7 - 4
se n ≥ 1020
2.6 lim ( √ ________
16 n 2 + 2n - 4n)
2.7 lim un , sabendo que, para n ≥ 12 , un ≥ n __ √
__ n 2.8 lim vn , sabendo que, para n ≥ 5000, vn ≤
n √ ___
4 - n
2.9 lim sen2 ( pn ___ 10 )
__________ n , usando o teorema das sucessões enquadradas.
2.10 lim n2 + cos n2
___________ 4n2 + 1 , usando o teorema das sucessões enquadradas.
2.11 lim (1 + 2 _____ 3n + 5 ) 6n
2.12 lim (1 + 2n ______ 3 n 2 + 5 ) 6n
2.13 lim ( 4n + 5 _____ 7 - 4n ) n + 1
2.14 lim ( 3 n 2 + 4 ______ 3 n 2 + 2 ) 2 - n 2
2.15 lim ( 5 n 4 + 4 _________ 5 n 4 + 2n + 1 ) 4 n 4
3. Considere a sucessão (an) , de termos positivos, definida por: ⎧
⎪
⎨ ⎪
⎩ a1 = 10
an + 1 = √
__________ 4an - 4 , An å N
3.1 Mostre que (an) é monótona decrescente. 3.2 Justifique que (an) é convergente e calcule lim an .
4. Seja R1 um retângulo de área 1. Dividindo R1 em quatro retângulos iguais, constrói-se o retângulo R2 pintando um dos quatro retângulos mais pequenos. Em cada um dos outros retângulos, procede-se analogamente para construir R3 , e assim sucessivamente.
PE.2013.0001.01.01Prep Testes - MAT 12. ano / TEXTO
DT5_PE12_2913.a prova
03 dez 2013
R1
PE.2013.0001.01.01Prep Testes - MAT 12. ano / TEXTO
DT5_PE12_2923.a prova
03 dez 2013
R2
PE.2013.0001.01.01Prep Testes - MAT 12. ano / TEXTO
DT5_PE12_2933.a prova
03 dez 2013
R3
PE.2013.0001.01.01Prep Testes - MAT 12. ano / TEXTO
DT5_PE12_2943.a prova
03 dez 2013
R4 …
Designe por (an) a sucessão que dá a área total da parte pintada do retângulo Rn .
4.1 Escreva a expressão geral de (an) .
4.2 Calcule lim an e interprete o resultado no contexto do problema.
Itens para resolver Itens de construção
106_117_Tema5_5P.indd 117 14/08/17 15:13
PREPARAR O EXAME NACIONAL
186
17.1 Mostre que a área do quadrilátero [ABCD] é dada, em função de q , pela função f definida por:
f(q) = sen (q + p __ 6 )
Percorra sucessivamente as seguintes etapas:
• escreva uma expressão, em função de q , para a área do triângulo [BCD] ;
• identifique, no triângulo [ABD] , a amplitude q ;
• escreva uma expressão, em função de q , para a área do triângulo [ABD] ;
• mostre que f(q) é a área pedida.
17.2 Sem usar a calculadora, determine o valor de q para o qual é máxima a área do quadrilátero [ABCD] .
18. Na figura seguinte está representada a trajetória de uma bola, depois de ter sido pontapeada por um atleta.
PS
B
x
h(x)
Seja h uma função de domínio [0, p] , definida por h(x) = 2,2 [p sen (0,5x) - x] .
Admita que h dá a altura, em metros, da bola ao solo em função da amplitude x , em radianos, do ângulo SPB ( S é o ponto de saída da bola, P é um ponto fixo do solo e B é o ponto onde se encontra a bola).
18.1 Mostre que se o ângulo SPB for reto, a altura da bola será, em metros, igual a 1,1p( √ ___
2 - 1) .
18.2 Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permita resolver o seguinte problema:
Quais são os valores para a amplitude, em radianos, do arco SPB , para que a altura da bola seja igual a 1 metro?
Apresente todos os elementos recolhidos da utilização da calculadora, nomeadamente o(s) gráfico(s) obtido(s). Apresente também os resultados na forma de dízima, arredondados às centésimas.
18.3 Num certo instante em que x < p __ 2 , a bola encontra-se a uma distância do ponto P que é igual ao dobro da distância da projeção da bola no solo (ponto R , como se pode ver na figura ao lado) a esse ponto P .
Qual é a altura da bola nesse instante? Apresente o resultado em metros, arre-dondado às centésimas.
18.4 Recorrendo a métodos analíticos, determine a altura máxima que a bola atinge, apresentando o resul-tado em metros, arredondado às centésimas.
Nota: nos cálculos intermédios, conserve pelo menos duas casas decimais.
18.5 Considere agora a função f de domínio ]0, p] , definida por f(x) = h(x)
____ x .
Sem recorrer à calculadora, estude-a quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico.
Preparação Exames − Mat. 12ª
DT_218 — 1.ª prova
19/05/2011
RCoelho
P
2d
d
xR
B
Itens para resolver (CONTINUAÇÃO)
156_200_Tema7_5P.indd 186 14/08/17 15:22
PREPARAR O EXAME NACIONAL
148
22. Na figura ao lado está representada parte do gráfico da função f , cujo domínio é R .
As retas de equações y = 2x + 4 e y = - 2x + 4 são assíntotas ao gráfico de f .
Qual é o valor de lim x " - ∞
f(x)
____ x ?
(A) + ∞ (B) 2 (C) - 2 (D) - ∞
23. Acerca da função h , de domínio R , sabe-se que:
• lim x " 0+
h(x) 0 lim x " 0-
h(x) ;
• o seu gráfico admite apenas duas assíntotas de equações x = k e y = k , sendo k um número real.
Qual dos gráficos cartesianos seguintes pode representar a função h num referencial o.n. xOy ?
(A) (B)
Dt_408
2.ª prova
Preparar o Exame Mat. 12°
15/10/2011
Bruno Fragoso
x
y
O
Dt_409
2.ª prova
Preparar o Exame Mat. 12°
15/10/2011
Bruno Fragoso
x
y
O
(C) (D)
Dt_410
2.ª prova
Preparar o Exame Mat. 12°
15/10/2011
Bruno Fragoso
x
y
O
Dt_411
2.ª prova
Preparar o Exame Mat. 12°
15/10/2011
Bruno Fragoso
x
y
O
24. Na figura seguinte está representada parte do gráfico da função f , de domínio R \ {2} .
Dt_413
2.ª prova
Preparar o Exame Mat. 12°
15/10/2011
Bruno Fragoso
x
y
Of
2
2
Tal como a figura sugere, as retas de equações x = 2 e y = 2 são assíntotas ao gráfico de f .
24.1 Considere a sucessão (un) definida por un = ln n3 ______ n . Qual pode ser o valor de lim f(un) ?
(A) - ∞ (B) - 0,3 (C) 1,6 (D) 2
24.2 Considere a sucessão (vn) definida por vn = - 3 · en · n- 15 . Qual é o valor de lim f(vn) ?
(A) - ∞ (B) - 0,3 (C) 0 (D) 2
Dt_405
2.ª prova
Preparar o Exame Mat. 12°
15/10/2011
Bruno Fragoso
x
y
f
O
Itens para resolver (CONTINUAÇÃO)
118_155_Tema6_5P.indd 148 14/08/17 15:16
DERIVADAS DE FUNÇÕES
199
10. Acerca da função g , de domínio [0, π] , sabe-se que a expressão da primeira derivada, também de domínio [0, π] , é dada por:
g’(x) = x – cos (2x)
Sem recorrer à calculadora, resolva os itens seguintes.
10.1 Calcule o valor de lim x " 0
g (x + p __ 2 ) - g ( p __ 2 )
_______________ x .
10.2 Seja r a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 0. Sabe-se que r passa no ponto de coorde-nadas (0, 2) e num outro ponto de ordenada 6. Qual é a abcissa desse ponto?
10.3 Sabe-se que, no intervalo [0, p __ 2 ] , o gráfico da função g’ interseta num só ponto o gráfico da função h definida por:
h(x) = 2x + 1 ______ 2 Determine as coordenadas desse ponto.
10.4 Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e determine as abcissas dos pontos de inflexão.
11. Um projétil foi lançado verticalmente e a respetiva altura h , em metros, acima do solo é dada, em função do tempo decorrido t , em segundos, após o instante inicial t = 0 , por h(t) = - 4,9 t 2 + 44,1t + 5 .
11.1 Determine, em km/h, a velocidade média do projétil nos dois primeiros segundos.
11.2 Determine, em km/h, a velocidade do projétil nos instantes t = 2 e t = 4 .
11.3 Entre o instante inicial e o instante t = 4 , qual foi a velocidade máxima atingida pelo projétil? Qual foi a sua aceleração nesse instante?
12. Um ponto P desloca-se, durante alguns segundos, sobre uma reta numérica cuja unidade é o centímetro. A abcissa de P (nessa reta) da respetiva posição no instante t , em segundos, é dada por:
p(t) = 4 t 3 - 2 t 2 + 3t + 2
12.1 Determine, em centímetros por segundo, a velocidade média de P :
12.1.1 nos primeiros três segundos;
12.1.2 entre os instantes t = 2 e t = 6 .
12.2 Determine, em centímetros por segundo, a velocidade de P nos instantes t = 1 e t = 3 .
12.3 Determine, em centímetros por segundo ao quadrado, a aceleração média de P :
12.3.1 nos primeiros cinco segundos;
12.3.2 entre os instantes t = 3 e t = 10 .
12.4 Determine, em centímetros por segundo ao quadrado, a aceleração de P no instante t = 3 .
12.5 Supondo que o ponto esteve em movimento entre os instantes t = 0 e t = 3 , em que instante, em segun-dos, o ponto atingiu a velocidade mínima? Qual foi a aceleração do ponto nesse instante?
Itens para resolver
156_200_Tema7_5P.indd 199 14/08/17 15:22
PROBABILIDADES E COMBINATÓRIA
243
6. Considere o conjunto A = {0, 1, 3, 5, 8} .
6.1 Quantos números naturais distintos, menores do que 5000, é possível escrever com os elementos de A ?
6.2 Quantos números naturais distintos, com quatro algarismos diferentes, é possível escrever com os elementos de A ?
6.3 Admita que numa urna estão cinco cartões, indistinguíveis ao tato, cada um com um dos algarismos do conjunto A . Extraem-se, ao acaso, dois cartões da urna.
Calcule a probabilidade de os algarismos serem ambos ímpares nas duas situações seguintes: se a extra-ção for com reposição e se a extração for sem reposição.
6.4 Suponha que, na urna anterior, foram acrescentados mais alguns cartões. Sabe-se que agora existem 756 maneiras de se extraírem dois quaisquer cartões diferentes, um de cada vez e sem reposição.
Quantos cartões foram acrescentados?
7. Uma caixa tem dez bombons de café e outros de chocolate. A Isilda pretende comê-los todos, um de cada vez.
7.1 Suponha que a caixa tem 20 bombons de chocolate. Verifique que a probabilidade de a Isilda comer os dez
bombons de café consecutivamente é igual a 21! * 10! ________ 30! .
7.2 Suponha agora que a caixa tem n bombons de chocolate. Prove que a probabilidade de a Isilda comer os
dez bombons de café consecutivamente é dada por n + 1 _______ n + 10C10
.
8. Na figura seguinte está representado o prisma quadrangular regular [OPQRSTUV] .
Preparação Exames − Mat. 12ª
DT_007 — 1.ª prova
14/05/2011
RCoelho
QP
T U
S V
RO
8.1 Considere que dispomos de cinco cores (amarelo, branco, castanho, azul e encarnado) para pintar a base superior e as quatro faces laterais desse prisma.
Determine de quantas maneiras diferentes podem ficar pintadas essas faces, de modo que:
• duas faces que tenham uma aresta comum fiquem pintadas com cores diferentes;
• duas faces laterais que sejam opostas fiquem pintadas com a mesma cor.
8.2 Escolhidos três vértices ao acaso do prisma, qual é a probabilidade de definirem um triângulo que contenha o ponto P ?
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
Itens para resolver
212_258_Tema9_5P.indd 243 14/08/17 15:29
PREPARAR O EXAME NACIONAL
280
29. No plano complexo da figura seguinte está representado o trapézio retângulo [OPQR] .
Dt_533
2.ª prova
Preparar o Exame Mat. 12°
15/10/2011
Bruno Fragoso
O
PQ
R
Im (z)
Re (z)
Sabe-se que:
• o ponto O é a origem do referencial;
• o ponto P é a imagem geométrica do complexo z1 = 3 e i 3p ___ 2
;
• o ponto Q é a imagem geométrica de um complexo z2 ;
• o ponto R é a imagem geométrica do complexo z3 = 5 .
Sem recorrer à calculadora, resolva os itens seguintes.
29.1 Suponha que Im (z2) = 4 .
Calcule a e b de modo que a + 2bi 45 – 3b = z2 + 2
_____ 1 - 2i .
29.2 Sabendo que a área do trapézio [OPQR] é igual a 17, determine, na forma algébrica, o complexo z2 .
29.3 Calcule, na forma trigonométrica, o número [z1 + 5 + (–1 – 3i )2] (3 – √ ___
3 i) .
30. Na figura ao lado está representado, no plano complexo, uma circunferên-cia de centro na origem.
Sabe-se que:
• o ponto A pertence a essa circunferência e é a imagem geométrica do número complexo w1 ;
• um argumento de w1 é 7p ___ 12 ;
• o ponto B pertence a essa circunferência e é a imagem geométrica do número complexo w2 ;
• α é a amplitude do ângulo POB , onde P é um ponto do semieixo negativo real.
Sem recorrer à calculadora, exceto para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva os itens seguintes.
30.1 Mostre que w1 ___ w2
= e i (a - 5p ___ 12 )
e determine um valor para α de modo que w1 ___ w2
seja um número imaginário puro.
30.2 Considere agora que:
• o número complexo w3 = 2 – 3i 123 é tal que |w3| é o raio da circunferência da figura;
• sen a = 1 __ 2 e a å ] 0, p __ 2 [ ;
• w1 e w2 são raízes consecutivas de índice n do número complexo z .
Escreva w2 e z na forma trigonométrica.Dt_534
1.ª prova
Preparar o Exame Mat. 12°
07/07/2011
Bruno Fragoso
O�
A
B
P
7�—12
Im (z)
Re (z)
Itens para resolver (CONTINUAÇÃO)
259_291_Tema10_5P.indd 280 14/08/17 15:39
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