Introdução à LógicaComputacional

Aula: Lógica Proposicional

Agenda

• Semântica das proposições: Tabela verdade

• Álgebra das proposições

Validade dos argumentos

• Método da tabela verdade– Dado um argumento 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛𝑄

– Verificar se é possível ter • 𝑉(𝑄) = 𝐹 quando 𝑉(𝑃1) = 𝑉(𝑃2) = ⋯ = 𝑉(𝑃𝑛) = 𝑉

• Procedimento– Construir uma tabela em que cada coluna representa

uma premissa e a última coluna representa aconclusão.

Se 𝑉(𝑄) = 𝐹 em alguma linha da tabela

Então o argumento NÃO É VÁLIDO, ou seja, é um sofisma

Tabela verdade: negação (˜)

• Se p é uma proposição, ˜p é a negação de p

• A negação inverte o valor verdade de uma expressão

p ˜p

V F

F V

Tabela verdade: conjunção(ˆ)

• p ocorre ao mesmo tempo que q• p e q são chamados fatores da expressão• Exemplo:

– p: está frio– q: está chovendo– pˆq: Está frio e está chovendo

p q pˆq

V V V

V F F

F V F

F F F

Tabela verdade: disjunção(v)

• Pelo menos um dos fatos ocorre• p e q são chamados parcelas da expressão• Exemplo:

– p: está frio– q: está chovendo– pvq: Está frio ou está chovendo

p q pvq

V V V

V F V

F V V

F F F

Tabela verdade: condicional(→)

• p→q• A ocorrência do fato expresso pelo antecedente p garante necessariamente a ocorrência do fato expresso

pelo consequente q• A operação condicional indica que o acontecimento de p é uma condição para o acontecimento de q• Exemplo:

– p: Jantou– q: Está saciado– p→q: Se jantou, então está saciado

p q p→q

V V V

V F F

F V V

F F V

Tabela verdade: Bi-Condicional(→)

• p→q• A ocorrência do fato expresso pelo antecedente p garante necessariamente a ocorrência do fato expresso

pelo consequente q e vice-versa• A operação condicional indica que o acontecimento de p é uma condição para o acontecimento de q• Exemplo:

– p: Jantou– q: Está saciado– p→q: Se jantou, então está saciado

p q P→q

V V V

V F F

F V F

F F V

Tabela verdade: parênteses()

• Objetivo: retirar ambiguidade• Exemplo:

– p=Estudar– q= fazer a prova– r=fazer trabalho– r=Ser aprovado

• p ˆ q v r→ s(p ˆ q) v( r→ s)((p ˆ q) v r )→ s

((p ˆ q) v r)) → sp ˆ ((q v r) → s)(p ˆ (q v r) )→ s

Construção da Tabela Verdade

• Considerando o principio do terceiro excluído, toda proposição simples só pode ser Verdadeira (V) ou Falsa(F)

• Proposição composta:

– Depende dos valores lógicos das proposições simples

Construção da Tabela Verdade

• A tabela terá – no mínimo n +1 colunas, em que n é o número

de proposições primitivas– 2n linhas

• Exemplo ((p ^q )v (q→p ))^˜p2 proposições primitivas: p e qTabela verdade 3 colunas e 4 linhas

p q ((p ^q )v (q→p ))^˜p

V V

V F

F V

F F

Exemplo

• Verificar a validade do argumento: 𝑝 → 𝑞, 𝑞 |-- 𝑝

Argumento não é válido, Pois a conclusão (p) é verdadeira e falsa Mesmo com as premissas(𝑝 → 𝑞) e 𝑞 verdadeiras

Exemplo

Sabendo-se que:– V(p)=Verdadeiro, – V(q)=Falso e V(r)=Falso

Determine o valor lógico da proposição

Exemplo

Sabendo-se que:– V(p)=Verdadeiro, – V(q)=Falso e V(r)=Falso

Determine o valor lógico da proposição

Exercícios

1. Verifique a validade dos argumentos usando o método da tabela verdade

Exercícios

1. Verifique a validade dos argumentos usando o método da tabela verdade

Exercícios

2. Verifique a validade do argumento:

O argumento NÃO É válido

Exercícios

3. Verifique a validade do argumento:

O argumento NÃO É válido

Exercícios

4. Verifique a validade do argumento:

O argumento É válido

Exercícios para casa

• 5. Verifique a validade dos argumentosusando o método da tabela verdade

ÁLGEBRA DA LÓGICA PROPOSICIONAL

Propriedades da conjunção

• Sejam 𝑝, 𝑞 , 𝑟 , 𝑡 e 𝑐 proposições simplesquaisquer na conjunção as tabelas-verdadedas proposições são idênticas, ou seja, abicondicional é tautológica.

𝑡 e 𝑐 são respectivamente elemento neutro e elemento absorvente

Propriedades da disjunção

• Sejam 𝑝, 𝑞 , 𝑟 , 𝑡 e 𝑐 proposições simplesquaisquer na conjunção as tabelas-verdadedas proposições são idênticas, ou seja, abicondicional é tautológica.

𝑡 e 𝑐 são respectivamente elemento neutro e elemento absorvente

Propriedades da conjunção e disjunçãojuntas

• Distributivas

• Absorção

• Regras De Morgan

• Negação da Condicional

• Negação da bi-condicional

Propriedades da conjunção e disjunçãojuntas

• Distributivas

• Absorção

• Regras De Morgan

• Negação da Condicional

• Negação da bi-condicional

Propriedades da conjunção e disjunçãojuntas

• Distributivas

• Absorção

• Regras De Morgan

• Negação da Condicional

• Negação da bi-condicional

Propriedades da conjunção e disjunçãojuntas

• Distributivas

• Absorção

• Regras De Morgan

• Negação da Condicional

• Negação da bi-condicional

Negar que duas proposições são ao mesmo tempoverdadeiras, equivale a afirmar que pelo menos uma é falsa

Negar que pelo menos uma das duas proposições éverdadeira, equivale a afirmar que ambas são falsas

Propriedades da conjunção e disjunçãojuntas

• Distributivas

• Absorção

• Regras De Morgan

• Negação da Condicional

• Negação da bi-condicional

Tautologiaas tabelas-verdade das duasproposições ~(𝑝 → 𝑞) e 𝑝 ˄ ~𝑞 são idênticas

Propriedades da conjunção e disjunçãojuntas

• Distributivas

• Absorção

• Regras De Morgan

• Negação da Condicional

• Negação da bi-condicional

Exercícios

1. Demonstre por tabelas-verdade asequivalências:

a. 𝑝 → 𝑞 ˄ 𝑟⟺ (𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑝 → 𝑟)

b. 𝑝 → 𝑞 ˅ 𝑟⟺ (𝑝 → 𝑞) ˅ (𝑝 → 𝑟)

Exercícios

2.Dê a negação das proposições:

a. Rosas são vermelhas e violetas são azuis.

b. É falso que não está frio ou que está chovendo.

c. Não é verdade que o pai de Marcos e pernambucano ou

que a mãe é gaúcha.

d. Não é verdade que as vendas estão diminuindo e que os

preços estão aumentando.

e. Não é verdade que Jorge estuda Física, mas não Química.

Tarefa: Ponto extra na média, caso seja necessário para fazer prova final

• Objetivo: – Fomentar uma revisão da matéria e estudar o material apresentado em aula– Fomentar a participação em sala de aula

• Tarefa: – Toda aula haverá um slide com um pequeno erro de lógica. Tal erro será falado em sala de aula.– Apresentar o slide com erro e o consertado– É necessário que se apresente 1 slide por aula para que o aluno ganhar o ponto extra

• Obs.: Só valerá o ponto extra na média, se o aluno apresentar pelo menos um slide por aula, mas de TODAS as aulas.• Exemplo de entrega de 1 aula

Aula 1: erro marcado em rosa Aula 1: slide corrigido em vermelho