Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Introdução ao Método dos
Elementos Finitos
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Princípio dos Trabalhos Virtuais para a Elasticidade
Tridimensional
O trabalho virtual dos esforços externos é
dado por:
Define-se o trabalho virtual dos esforços internos – as tensões – sxx, syy, szz, sxy,
sxz e syz para o campo das deformações virtuais por:
dVV
yzyzxzxzxyxyzzzzyyyyxxxxi ssssss
dVV
T
i s }{
dSfudVfu ST
S
B
V
T
e
f
}{
onde:
),,(
),,(
),,(
zyxw
zyxv
zyxu
u
),,(
),,(
),,(
zyxw
zyxv
zyxu
u
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
O Princípio dos Trabalhos Virtuais para a elasticidade tridimensional pode ser
escrito como:
dSfudVfudV ST
S
BT
V
T
V f
s
Mostra-se que:
Dados Bf em V e Sf em Sf
são condições equivalentes para o campo de tensões {s} satisfazer o Princípio dos
Trabalhos Virtuais para qualquer deslocamento virtual e satisfazer equilíbrio, i.e.,
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Princípio dos Trabalhos Virtuais
dSfudVfudV ST
S
BT
V
T
V f
s
para todo 0, uu em Su
0
B
y
yzyyyxf
zyx
sss
0
B
zzzzyzx f
zyx
sss
0
B
xxzxyxx f
zyx
sss
Equilíbrio
para todo x em V
SfuT para todo x em Sf
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
O problema da elasticidade linear pode ser formulado usando o princípio dos
trabalhos virtuais.
Determinar s e,u tal que
dSfudVfudV ST
S
BT
V
T
V f
s
para todo 0, uu em Su
Equilíbrio
(a)
w
v
u
yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
zz
yy
xx
0
0
00
00
00
u Vx
Compatibilidade
(b)
s C VxEquação Constitutiva
(c)
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Substituindo as equações de compatibilidade e constitutivas ( (b) e (c) ) na expressão
do princípio dos trabalhos virtuais (a) obtém-se a formulação somente em termos dos
deslocamentos
dSfudVfudVuCu ST
S
BT
V
TT
V f
0, uu em Su
u
s C
Determinar u tal que
Tendo-se u , obtém-se
e
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Princípio dos Trabalhos Virtuais para a Elasticidade
no Plano
Particularizando-se a expressão da elasticidade tridimensional para as condições de
estado plano de tensão:
Estado Plano de Tensões
Axyxyyyyyxxxx
A
h
hxyxyzzyyyyxxxx
T
V
dAh
dAdzdV
sss
ssss2/
2/0}{}{
e
ff
f
L
S
y
S
xL A
B
y
B
x
h
h
S
y
S
x
A
h
h
B
y
B
xS
ST
V
BT
dLfvfuhdAfvfuhdLdzfvfu
dAdzfvfudSfudVfu
2/
2/
2/
2/}{
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Usando a notação:
e definindo-se
resulta:
xy
yy
xx
xy
yy
xx
s
s
s
s
S
y
S
xS
B
y
B
xB
f
ff
f
ff
v
uu
dLfdAfdV S
L
T
A
BTT
A f
}{}u{}{}u{}{}{ s
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Estado Plano de Deformações
As componentes de deformação xx, yy, xy são diferentes de zero e as componentes
de tensão sxx, sxy, syy , szz são não nulas, então analogamente ao caso de estado
plano de tensões, tem-se:
dLfudAfudV S
L
T
A
BTT
A f
}{}{}{}{}{}{ s
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Considerando o Problema Plano
Equilíbrio:
dLfudAfudA ST
L
BT
A
T
A f
s
vuuT
Compatibilidade:
x
v
y
u
x
v
x
u
xy
yy
xx
Equação constitutiva:
s C (i)
onde
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Definindo-se
A equação de compatibilidade pode ser reescrita como:
Substituindo-se (i) e (ii) na equação de equilíbrio, resulta:
xy
y
x
0
0
u (ii)
dLfudAfudAuCu ST
L
BT
A
TT
A f
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Formulação do Problema da Elasticidade Plana em
Termos de Deslocamentos
Determinar o campo de deslocamentos {u}, {u}T = { u(x,y) v(x,y) } tal que:
para qualquer {u}, {u }T = { u(x,y), v(x,y) } tal que {u} = {0} em Lu
Vamos procurar a solução para a equação acima considerando uma determinada forma
funcional para os deslocamentos.
dLfudAfudAuCu ST
L
BT
A
TT
A f
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Para se definir essa forma considere:
A(m)
A
Y
X
A(m)
A
Y
X
pontos
nodais
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
A(m)
A
Y
X
pontos
nodais
m
y
x
Y,V
X,U
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Considere um elemento genérico
Uk
lU
U
Uq
p
U
Uf
gjU
Ui
y,v
x,u
a/2 a/2
b/2
b/2
e uma numeração local
2 1
3 4
v2
2u
1v
u1
3v
u3
v4
4u
y
x
define-se
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Então
h1
1
x
y
b
y
a
xyxh
b
y
a
xyxh
b
y
a
xyxh
b
y
a
xyxh
21
21
4
1),(
21
21
4
1),(
21
21
4
1),(
21
21
4
1),(
4
3
2
1
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Define-se o campo de deslocamentos no interior do elemento por
Nota-se que
analogamente
4
1
4
1
),(
),(
i
ii
i
ii
vhyxv
uhyxu
4
1
),(),(i
ijjijj uyxhyxu
1),( jji yxh ji Como quando 0),( jji yxh ji e quando
jjj uyxu ),(
jjj vyxv ),(
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Definindo-se
onde:
Pode-se escrever
uHyxv
yxuu m ˆ
),(
),()(
4321
4321
0000
0000
hhhh
hhhhH
4
4
3
3
2
2
1
1
ˆ
v
u
v
u
v
u
v
u
u
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Considere:
Pode-se escrever:
onde Ui , i = 1, ..., n representam todos os deslocamentos nodais do modelo.
n
TUUUU ......21
UHu mm )()(
),(
),()(
)(
)(
yxv
yxuu
m
m
m
onde
e para o elemento (m) abaixo
Uk
lU
U
Uq
p
U
Uf
gjU
Ui
y,v
x,u
a/2 a/2
b/2
b/2
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
tem-se
Considerando as relações deslocamento-deformações
.........0
...0...0...0
...0...000...00...0
......0...000...0
431
4
2
132)(
hhh
h
h
hhhH
gjpf
qiK
UUUU
UUUU
m
UB mm )()( onde
)()( mm HB
e usando a equação constitutiva
)()()( mmm C s
sendo que
CC m )(
para material homogêneo.
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Lembrando o enunciado do Princípio dos Trabalhos Virtuais
pode-se escrevê-lo considerando-se a interpolação de elementos finitos
E considerando ainda que os deslocamentos virtuais são interpolados da mesma forma
que os deslocamentos
dLfdAfdA ST
L
BT
A
T
A f
uu s
UHyxv
yxuu mm )()(
),(
),(
UB mm )()(
UHu mm )()(
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
então resulta
onde L1(m), L2
(m), ..., Lf(m) lados do elemento (m) que pertencem a fronteira do domínio
Lf .
e
mq
m
m
e
m
m
e
m
n
m
m
LL
STm
n
m
m
A
BTmT
n
m
m
A
mmTmT
dLfH
dAfHU
UdABCBU
1
)(
,...
)(
1
)()(
1
)()()()(
)()(1
)(
)(
)(
)(
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Definindo-se
)()()()()(
)(
m
A
mmTmm dABCBKm
en
m
mKK1
)(
)()()(
)(
)( m
A
BTmm
B dAfHRm
m
)(
,...
)()(
)()(1
)( m
LL
STmm
S dLfHRm
qm
m
en
m
m
BB RR1
)(
en
m
m
SS RR1
)( SB RRR
Pode-se escrever
0 RUKUT
Como os deslocamentos virtuais são arbitrários, {U} pode ser tomado
arbitrariamente levando a: RUK
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Montagem da Matriz de Rigidez
m
y
x
Y,V
X,U
Uk
lU
U
Uq
p
U
Uf
gjU
Ui
y,v
x,u
a/2 a/2
b/2
b/2
en
m
mKK1
)(
)()()(
)(
)( m
A
j
mT
i
m
ij dABCBKm
m
.............................. )()()(
j
m
i
mm BBB
i j
0)(
m
ijK somente se os graus de liberdade Ui e Uj pertencerem ao elemento (m)
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Montagem da Matriz de Rigidez
Uk
lU
U
Uq
p
U
Uf
gjU
Ui
y,v
x,u
a/2 a/2
b/2
b/2
2 1
3 4
v2
2u
1v
u1
3v
u3
v4
4u
y
x
Recorda-se
188212
)(
12
)( ˆ uHUHu NN
mm
Analogamente
188313
)(
13
)( ˆ uBUB NN
mm
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Definindo
3
3
vU
uU
j
i
Os termos de [K(m)] que não são encontrados em [k] são nulos
dABCBkA
T
88
56
)(
kKm
ij
8
7
6
5
4
3
2
1
ˆ
4
4
3
3
2
2
1
1
v
u
v
u
v
u
v
u
u
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Montagem da Matriz de Rigidez
Uk
lU
U
Uq
p
U
Uf
gjU
Ui
y,v
x,u
a/2 a/2
b/2
b/2
2 1
3 4
v2
2u
1v
u1
3v
u3
v4
4u
y
x
Define-se
gfjiklpqLMTm
vuvuvuvu
)(
44332211
As contribuições da matriz de rigidez do elemento (m) para a matriz [K] podem ser
obtidas somando-sek11 na posição qq de [K]
k12 na posição qp de [K]
k18 na posição qg de [K]
k22 na posição pp de [K]
k28 na posição pg de [K]
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Forças Nodais
Uk
lU
U
Uq
p
U
Uf
gjU
Ui
y,v
x,u
a/2 a/2
b/2
b/2
2 1
3 4
v2
2u
1v
u1
3v
u3
v4
4u
y
x
1
)(
1
)(
NNN
m
N
m UKF
ukf ˆ
2fFp
1fFq
4fFk
3fFl
6fFj
5fFi
8fFg
7fFf
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