Modelo Estrutural de Viga Longa (EulerBernoulli)
Modelo de Viga Longa Geometria
● Comprimento L >> demais dimensões transversais ;
● Seção transversal constante;
● Sistema de referencia local xyz;
● Simetria no plano de flexão;
Modelo de Viga Longa Material
● Homogêneo;● Isotrópico;● Regime Elástico;● Regime Linear.
Modelo de Viga Longa Carregamento
● Flexão pura > somente momentos fletores (não são considerados, inicialmente, efeitos associados ao cortante);
M
Teoria de Vigas Longas – Comportamento 1
● Se a flexão for pequena, então a altura e a espessura da viga se mantém constantes;
x
x
h
h
Teoria de Vigas Longas – Comportamento 1
● Assim, todos os pontos de uma seção transversal tem o mesmo deslocamento vertical v;
● Conceito de linha elástica.
v(x)
v(x)
Graus de Liberdade de uma Viga longa
● Deslocamento transversal: v(x);
● Rotação da linha elástica:
v(x)
(x)
(x)
Modelo de Viga Longa – Comportamento 2
● Hipótese das seções planas: seção transversal gira, sem “entortar”;
● Decorrencia direta do fato de estarmos aplicando somente momentos fletores.
x
x
Modelo de viga longa – comportamento 2
● Assim, os pontos de uma determinada seção transversal são submetidos somente a deformações e tensões normais; +
Validade do modelo de viga longa
● Se a viga for longa, mesmo a aplicação de uma força transversal provoca momento mais intenso do que o cortante.
F
V = FM = F*L
Rigidez de uma viga longa
● O procedimento é análogo aos anteriores (barra e eixo), com a diferença de que temos 2 graus de liberdade, ao invés de 1;
● Modelo de viga longa:
Rigidez Flexional de Viga Longa
● Se E e I forem constantes, podemos integrar esta equação 2 vezes:
Matriz de Rigidez de uma Viga Longa
● Vamos aplicar uma força transversal na extremidade da direita, mantendo os outros graus de liberdade fixos;
F
FM
M
Matriz de rigidez de uma viga longa
Matriz de Rigidez de uma viga longa
● Vamos aplicar um momento fletor na extremidade da direita, mantendo os outros graus de liberdade fixos;
F
F
M
M
Matriz de Rigidez de Viga Longa
● O mesmo procedimento deve ser repetido para os dois graus de liberdade do lado esquerdo; Ao sobrepor as equações, obtemos:
Matriz de Rigidez de Viga
Carregamento Distribuído
● Conceito de reações de engastamento perfeito;
● Novamente, tiramos proveito da linearidade do problema;
● Carregamento com variação linear.
q1
q2
Carregamento Distribuído
● Basta sobrepor as reações na hora de deduzir a matriz de rigidez; Não modifica a rigidez.
Elemento Finito de Pórtico Plano
● União de efeito Axial (barra) e flexional (Viga Longa): 3 graus de liberdade por nó.
Elemento Finito de Pórtico Plano
● Rigidez Axial > barra
Elemento Finito de Pórtico Plano
● Rigidez Flexional> viga
Elemento Finito de Pórtico Plano
● Sobrepondo:
Rotação do Sistema de Coordenadas
F
a
b
nó 1
nó 2
nó 3
F
Rotação do Sistema de Coordenadas
nó 1
nó 2
nó 3
F
x
x
Sistemas locais rotacionados em torno do eixo Z
X
Y
Rotação do Sistema de Coordenadas
Somente as forças e deslocamentos precisam ser rotacionados. Os momentos em torno de Z e os giros não não se alteram !
Rotação do Sistema de Coordenadas
Rotação do Sistema de Coordenadas
Sobreposição das Matrizes de Rigidez dos Elementos
Matriz de Rigidez
● Simétrica;● Esparsa – depende da numeração dos nós;● PositivoDefinida;
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