i
SUMÁRIO
1. Introdução .................................................................................02
2. Histórico....................................................................................03
2.1. Introdução .......................................................................03
2.2. Principais Eventos ...........................................................04
3. Classificação Cronológica ........................................................06
3.1. Introdução .......................................................................06
3.2. Classificação ...................................................................06
3.2.1. Primeira Geração......................................................06
3.2.2. Segunda Geração......................................................07
3.2.3. Terceira Geração ......................................................07
4. Critérios de Seleção ..................................................................08
4.1. Introdução .......................................................................08
4.2. O Que Verificar...............................................................08
4.2.1. Aplicações ................................................................08
4.2.1.1. Aplicações Industriais........................................09
4.2.1.2. Aplicações de Serviços ......................................09
4.2.2. Dimensões das Peças................................................09
4.2.3. Tipo de Movimento ..................................................10
4.2.4. Tempo de Manuseio .................................................10
4.2.5. Layout da Máquina...................................................10
4.2.6. Acessibilidade ..........................................................10
ii
4.3. Relação Custo – Benefício ..............................................11
5. Como Movimentar os Robôs ....................................................12
5.1. Introdução .......................................................................12
5.2. Atuadores ........................................................................12
5.2.1. Pneumático............................................................12
5.2.2. Hidráulico .............................................................13
5.2.3. Elétrico..................................................................13
6. Robôs Industriais ......................................................................14
6.1. Introdução .......................................................................14
6.2. Estrutura ..........................................................................15
6.3. Tipos de Juntas ................................................................17
6.4. Graus de Liberdade (GL) ................................................18
7. Espaço de Trabalho...................................................................20
7.1. Introdução .......................................................................20
8. Anatomia do Manipulador ........................................................22
8.1. Introdução .......................................................................22
8.2. Robôs Cartesianos...........................................................22
8.2.1. Especificações Técnicas Reais..............................24
8.3. Robôs Cilíndricos............................................................24
8.3.1. Especificações Técnicas Reais..............................26
iii
8.4. Robôs Polares ou Esféricos .............................................26
8.4.1. Especificações Técnicas Reais..............................27
8.5. Robôs SCARA ................................................................28
8.5.1. Especificações Técnicas Reais..............................29
9. Efetuadores ...............................................................................30
9.1. Introdução .......................................................................30
9.2. Características .................................................................30
9.3. Acionamento ...................................................................30
9.4. Medição...........................................................................31
9.5. Classificação ...................................................................31
9.5.1. Garras .......................................................................31
9.5.1.1. Garras com Dedos..............................................31
9.5.1.2. Garras a Vácuo...................................................32
9.5.1.3. Garras Magnéticas .............................................33
9.5.1.4. Garras Adesivas .................................................34
9.5.1.5. Ganchos .............................................................34
9.5.2. Ferramentas ..............................................................35
10. Sistema de Coordenadas .........................................................36
10.1. Introdução .....................................................................36
10.2. Significado ....................................................................36
iv
11. Representação Matemática .....................................................39
11.1. Introdução .....................................................................39
11.2. Representação de Posição .............................................39
11.3. Representação de Orientação ........................................41
11.4. Representação por Ângulos de Euler ............................45
12. Transformações Homogêneas .................................................48
12.1. Aritmética de Transformações ......................................50
12.1.1. Transformação Composta.......................................50
12.1.2. Transformação Inversa ...........................................51
13. Cinemática ..............................................................................52
13.1. Introdução .....................................................................52
13.2. Cinemática Direta..........................................................52
13.2.1. Notação Denavit Hartenberg (DH).........................53
13.2.1.1. Descrição Cinemática de Elo ...........................54
13.2.1.2. Descrição Cinemática de Junta ........................55
13.2.1.3. Transformação de Elo ......................................55
13.3. Cinemática Inversa........................................................58
14. Controle de Movimento ..........................................................61
14.1. Introdução .....................................................................61
14.2. Geração de Trajetória ....................................................62
v
14.2.1. Geração em Espaço de Juntas.................................63
14.2.1.1. Interpolação Linear ..........................................65
14.2.1.2. Interpolação com Polinômio Cúbico................68
14.2.1.3. Interpolação Linear com Bordas Parabólicas...69
15. Programação de Robôs ...........................................................75
15.1. Introdução .....................................................................75
15.2. Funções Básicas de Programação .................................75
15.2.1. Definição de Variáveis. .......................................75
15.2.2. Definição de Rótulos ...........................................76
15.2.3. Definição de Contadores .....................................76
15.2.4. Manipulação de Contadores ................................76
15.2.5. Definição de Pontos de Parada ............................76
15.2.6. Manipulação de Interfaces...................................77
15.2.7. Tempo de Espera .................................................77
15.2.8. Controle de Velocidade .......................................77
15.2.9. Controle do Efetuador .........................................77
15.2.10. Movimento Absoluto.........................................78
15.2.11. Movimento Relativo..........................................78
15.2.12. Geração de Trajetória ........................................78
15.2.13. Comandos Especiais ..........................................78
vi
RELAÇÃO DE FIGURAS
Fig. 1 – Manipulador industrial ....................................................16
Fig. 2 – Tipos de juntas.................................................................17
Fig. 3 – Simbologia das juntas ......................................................18
Fig. 4 – Ângulos de roll, pitch e yaw............................................19
Fig. 5 – Espaço de trabalho...........................................................20
Fig. 6 – Modelos de manipuladores ..............................................21
Fig. 7 – Robô cartesiano ...............................................................23
Fig. 8 – Robô cilíndrico ................................................................24
Fig. 9 – Robô polar .......................................................................26
Fig. 10 – Robô SCARA ................................................................28
Fig. 11 – Garra de dedos paralelos com engrenagens...................32
Fig. 12 – Garra a vácuo com duas ventosas ..................................33
Fig. 13 – Garra magnética dom ímã permanente ..........................34
Fig. 14 – Ponta de solda por arco..................................................35
Fig. 15 – Coordenadas generalizadas............................................37
Fig. 16 – Coordenadas generalizadas ampliadas...........................38
Fig. 17 – Representação gráfica do ponto P..................................39
Fig. 18 – Representação do vetor posição.....................................40
Fig. 19 – Representação de um corpo rígido ................................41
Fig. 20 – Rotação em torno do eixo z ...........................................42
Fig. 21 – Ângulos de Euler ZYX ..................................................45
vii
Fig. 22 – Orientação relativa entre dois referenciais.....................47
Fig. 23 – Translação pura..............................................................48
Fig. 24 – Parâmetros de elo...........................................................54
Fig. 25 – Parâmetros de junta .......................................................55
Fig. 26 – Manipulador planar e atribuição de referenciais............56
Fig. 27 – Manipulador (a) cilíndrico, (b) RD5 e (c) XYZ ............58
Fig. 28 – Múltiplas soluções .........................................................60
Fig. 29 – Malha de controle em espaço de juntas .........................63
Fig. 30 – Malha de controle em espaço cartesiano .......................63
Fig. 31 – Trajetória descrita por um manipulador planar..............63
Fig. 32 – Manipulador planar com 1 GL ......................................64
Fig. 33 – Posição em função do tempo .........................................67
Fig. 34 –Velocidade em função do tempo ....................................67
Fig. 35 – Perfil linear com bordas parabólicas..............................70
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 2
01 - INTRODUÇÃO
No mundo globalizado, a necessidade de se realizar ta-
refas com eficiência e precisão é cada vez maior. Existem tam-
bém tarefas a serem realizadas em lugares onde a presença hu-
mana se torna difícil, arriscada e até mesmo impossível. Para
realizar essas tarefas se faz necessária à presença de dispositivos
ou equipamentos, que as faça sem risco de vida. A ROBÓTICA é
a área que se preocupa com o desenvolvimento destes dispositi-
vos. Robótica é multidisciplinar e busca o desenvolvimento e a
integração de técnicas e algoritmos para a criação de ROBÔS.
A robótica envolve áreas como engenharia mecânica,
engenharia elétrica, inteligência artificial, entre outras, com uma
perfeita harmonia, que se faz necessária para se projetar essas
máquinas.
Não é errado afirmar que todo aquele que trabalha com
automação industrial (independente do nível) é, na essência, um
INTEGRADOR de tecnologias.
O presente trabalho tem por objetivo abrir as portas da
robótica industrial (particularmente manipuladores robóticos)
aos alunos do curso de Tecnologia em Automação Industrial do
CEFET-RN, aproveitando se caráter multidisciplinar para pro-
mover a integração entre as diversas disciplinas do curso através
de projetos (desafios) e/ou competições.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 3
02 - HISTÓRICO
2.1. INTRODUÇÃO
A palavra robô tem origem na palavra tcheca ROBOT-
NIK, que significa servo, o termo robô foi utilizado inicialmente
por Karel Capek (teatrólogo tcheco) em 1923.
Não é só o homem moderno que tem o desejo de cons-
truir robôs, existem alguns fatos históricos que nos mostram que
a idéia não é nova, por exemplo, existem inúmeras referências
sobre o "Homem Mecânico" construído por relojoeiros com a
finalidade de se exibir em feiras. Há relatos também da realiza-
ção de várias "Animações Mecânicas" como o leão animado de
Leonardo da Vinci, e seus esforços para fazer máquinas que re-
produzissem o vôo das aves. Porém estes dispositivos eram
muito limitados, pois não podiam realizar mais que uma tarefa,
ou um número reduzido delas.
A idéia de se construir robôs começou a tomar força no
início do século XX com a necessidade de aumentar a produti-
vidade e melhorar a qualidade dos produtos. É nesta época que
o robô industrial encontrou suas primeiras aplicações (George
Devol – considerado o pai da robótica industrial).
Atualmente, devido aos inúmeros recursos que os sis-
temas de microcomputadores nos oferece, a robótica atravessa
uma época de contínuo crescimento que permitirá, em um curto
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 4
espaço de tempo, o desenvolvimento de robôs inteligentes fa-
zendo assim a ficção do homem antigo se tornar à realidade do
homem atual.
2.2. PRINCIPAIS EVENTOS
SÉCULO XVIII ⇒ Bonecos encenavam peças musicais.
⇒ O controle era rudimentar. Feito através de cabos e ou-
tros dispositivos mecânicos.
ANO DE 1923 ⇒ Karel Capek – Peça RUR.
ANO DE 1939 ⇒ Isaac Asimov – Eu Robô (livro), postulando as três leis
fundamentais da robótica: (1ª) um robô
não deve machucar um humano ou,
por sua inércia, deixar que este sofra
dano; (2ª) um robô deve obedecer às
ordens que lhe são dadas por um hu-
mano, exceto quando essas ordens
contradigam a 1ª lei; (3ª) um robô deve
proteger sua própria existência até on-
de esta não entre em conflito com a 1ª
ou 2ª leis.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 5
ANO DE 1943 ⇒ Colossus – 1º Computador Eletrônico (Inglaterra).
ANO DE 1951 ⇒ 1º Computador em Tempo Real.
ANO DE 1952 ⇒ Construção da 1ª Máquina Operatriz com NC (MIT).
ANO DE 1954 ⇒ 1ª Teoria com Auxílio da Eletrônica.
⇒ Patente do 1º Robô Industrial Automático.
ANO DE 1958 ⇒ Manipulador Copiador com Câmera na Garra.
A PARTIR DE 1959... ⇒ A automatização dos Sistemas.
⇒ O Homem Passa a Executar Tarefas menos Repetitivas.
⇒ Robôs “invadem” o Parque Industrial Mundial.
⇒ Sistemas Robóticos são Utilizados na Medicina.
⇒ Robôs na Exploração Espacial.
⇒ Robôs Resgatam de Vítimas de Catástrofes.
⇒ Robôs operados via internet.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 6
03 – CLASSIFICAÇÃO CRONOLÓGICA
3.1. INTRODUÇÃO
O avanço da tecnologia permitiu o surgimento e desen-
volvimento de várias estruturas, necessitando classificá-los de
acordo com a época de aparecimento, situando-os tecnologica-
mente no tempo.
3.2. CLASSIFICAÇÃO
Devido a várias diferenças em função de características
e propriedades, existem diversas classes de robôs que se dife-
renciam em suas aplicações e formas de trabalhar.
3.2.1. PRIMEIRA GERAÇÃO
São dotados apenas de sensores (percebem apenas estados
internos do robô).
Requerem um ambiente estruturado (objetos bem posicio-
nados).
Têm seqüência fixa (repetem a mesma tarefa).
Precisam ser re-programados para outras tarefas.
Dotados de pequeno poder computacional.
Ex: “Braços” para coleta de amostras submarinas.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 7
3.2.2. SEGUNDA GERAÇÃO
São dotados com sensores internos e externos (percebem
os estados do ambiente).
Podem atuar em um ambiente parcialmente estruturado.
Seus atuadores são pneumáticos, hidráulicos ou elétricos.
Ex: Manipuladores.
3.2.3. TERCEIRA GERAÇÃO
Fazem uso intensivo de sensores.
Algoritmos de percepção.
Algoritmos de controle inteligente.
Comunicação com outras máquinas.
Tomam decisões autônomas diante de situações não pre-
vistas.
Podem atuar em um ambiente não estruturado.
Uso incipiente na indústria.
Ex: Robôs utilizados em missões espaciais (exploradores).
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 8
04 – CRITÉRIOS DE SELEÇÃO
4.1. INTRODUÇÃO
O mercado nacional e internacional está repleto de uma
infinidade de modelos de robôs. Para saber qual é o melhor mo-
delo em vista da aplicação, devem-se observar alguns pontos
cruciais:
Aplicação do robô;
Dimensões das Peças;
Tipo de Movimento;
Tempo de Manuseio;
Layout da máquina;
Acessibilidade.
4.2. O QUE VERIFICAR
4.2.1. APLICAÇÕES
Inicialmente, as principais aplicações dos robôs eram
do tipo industrial e concentravam-se na realização de tarefas
repetitivas, precisas e rápidas. Porém, há alguns anos começa-
ram a serem usados em outros trabalhos, além dos repetitivos,
onde não se conhece com precisão o entorno: ROBÔS DE SERVI-
ÇO.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 9
4.2.1.1. APLICAÇÕES INDUSTRIAIS
Empilhamento e Empacotamento;
Montagem e Desmontagem de Materiais;
Medição, Inspeção;
Soldagem;
Aplicação de Fluidos;
Corte.
4.2.1.2. APLICAÇÕES DE SERVIÇO
Agricultura, Medicina e Domésticos;
Exploração Espacial;
Ajuda a Incapacitados;
Arredores Perigosos;
Minas e Construções.
4.2.2. DIMENSÕES DAS PEÇAS
A dimensão e natureza da peça a ser manipulada influ-
enciam diretamente na estrutura do robô. Peças pesadas, por
exemplo, podem exigir efetuadores hidráulicos. Por outro lado,
peças delicadas necessitam de efetuadores pneumáticos ou até
com ventosas.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 10
4.2.3. TIPO DE MOVIMENTO
É determinado pelo campo de atuação do robô.
4.2.4. TEMPO DE MANUSEIO
Influencia diretamente a produção diária, portanto, de-
ve ser cuidadosamente analisado (cumprir a demanda).
4.2.5. LAYOUT DA MÁQUINA
A geometria e o layout das máquinas, produtoras das
peças a serem manipuladas, devem ser consideradas na escolha
do robô. Muitos layouts requerem versões especiais de robôs ou
graus de liberdade adicionais para que a demanda do processo
seja atendida.
4.2.6. ACESSIBILIDADE
A principal função de um robô manipulador em um
processo produtivo é diminuir os custos da produção através de
um melhor aproveitamento da capacidade instalada. Para isso,
quanto melhor a acessibilidade à peça, tanto menor o tempo de
manobra. Portanto, as geometrias da máquina e a do robô de-
vem ser compatíveis de modo a facilitar as operações de mani-
pulação.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 11
4.3. RELAÇÃO CUSTO BENEFÍCIO
De posse das informações acima já se pode definir um
modelo de robô e conseqüentemente já se ter uma idéia do seu
preço.
O próximo passo será definir se o investimento é eco-
nomicamente viável. O que deve ser feito, então, é uma relação
entre custo e benefício.
CUSTO DA IMPLEMENTAÇÃO BENEFÍCIOS Preço do robô.
Preço total dos acessórios.
Possíveis modificações nas máquinas
que irão operar em conjunto com o
robô.
Possíveis alterações no layout da
planta fabril.
Equipamentos periféricos.
Instalação.
Treinamento de pessoal.
“Start-up”.
Redução de trabalho.
Otimização das máquinas de produção.
Flexibilidade.
Melhora da qualidade do produto. Di-
minuição do tempo e passos da pro-
dução.
Diminuição dos riscos pessoais em tra-
balhos perigosos ao homem.
Incremento da produtividade.
Diminuição do “refugo”.
PROBLEMA 01: Deseja-se instalar uma célula flexível de manu-
fatura para gravação de CDs. Utilizando os crité-
rios apresentados, escolha o robô que melhor se
adapta a tarefa proposta. Justifique sua resposta.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 12
05 – COMO MOVIMENTAR OS ROBÔS
5.1. INTRODUÇÃO
Os circuitos de potência, comandados pelo controlador,
são os responsáveis pelo acionamento, aplicando a energia ne-
cessária, nos atuadores, à realização dos movimentos.
5.2. ATUADORES
São os elementos responsáveis pela conversão da ener-
gia disponível em energia mecânica para movimentar o robô.
Podem ser:
Pneumático;
Hidráulico;
Elétrico.
5.2.1. PNEUMÁTICO
Tipo de atuador que utiliza um gás pressurizado para
movimentar o robô. Características principais:
Leves;
Baratos;
Movimentos Rápidos;
Baixa Precisão (operação do tipo pega e coloca);
Não são robustos.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 13
5.2.2. HIDRÁULICO
Faz utilização de um fluido a pressão para realizar os
movimentos programados. Características principais:
Mais Fortes;
Mais Caros;
Perdem precisão quando o fluido muda de temperatura;
Grande Potência e Velocidade;
Baixa Precisão.
5.2.3. ELÉTRICO
Utiliza a energia elétrica para executar suas tarefas. Ca-
racterísticas principais:
Mais Fortes;
Mais Caros;
Podem ser extremamente rápidos;
Têm dependência do tipo do motor;
Porte Médio;
Maior Precisão.
PROBLEMA 02: Em relação ao problema 01, qual o tipo de acio-
namento mais indicado e por quê? Faça uma esti-
mativa das características dos componentes utili-
zados.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 14
06 – ROBÔS INDUSTRIAIS
6.1. INTRODUÇÃO
Na indústria moderna e também em laboratórios de en-
sino e pesquisa, cada vez mais estão sendo utilizados diversos
tipos de robôs nos processos de manufatura ou de controle da
qualidade.
Mas, o quê se entende exatamente por um ROBÔ? Exis-
tem muitas definições diferentes, dependendo do ponto de vista
e, em geral, da área na qual se trabalha com os robôs. Uma a-
cepção supostamente "oficial" do termo robô foi estabelecida
pelo Instituto Americano de Robótica (RIA):
"Um robô industrial é um manipulador reprogramável, multifuncional, projetado para mover materiais, peças, ferramentas ou dispositivos específicos em movimentos variáveis programados para a realização de uma vari-edade de tarefas".
Essa definição, do ponto de vista mais amplo do termo
robô, corresponde apenas a uma classe específica, precisamente
a dos ROBÔS MANIPULADORES.
São exemplos de robôs manipuladores os braços mecâ-
nicos, ou qualquer sistema que, em geral, tenha por objetivo
deslocar material de um ponto para outro do espaço ou acompa-
nhando uma trajetória dentro de um volume de trabalho.
Da definição dada podem ser extraídas diversas con-
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 15
clusões sobre as características dos robôs manipuladores. Uma
delas é que, como qualquer robô, a tarefa a realizar deve estar
previamente programada e seu acionamento dependerá desse
programa de controle. Essa característica é invariável para todo
robô, portanto também para os manipuladores.
Uma outra conclusão é que os manipuladores têm co-
mo principal objetivo deslocar materiais, que podem ser peças
diversas, ferramentas que irão trabalhar sobre uma peça, ou sis-
temas de visão que deverão monitorar o andamento de um de-
terminado processo, entre outras possibilidades.
O tipo mais conhecido de robô manipulador é o braço
mecânico. Ele consiste numa série de corpos rígidos interliga-
dos por juntas que permitem um movimento relativo entre esses
corpos, assemelhando-se assim sua forma geral à de um braço
humano, às vezes quase com as mesmas possibilidades de mo-
vimento.
6.2. ESTRUTURA
Os robôs industriais são projetados com o intuito de
realizar um trabalho produtivo. O trabalho é executado quando
o robô movimenta sua estrutura a fim de deslocar o objeto a ser
manipulado.
A estrutura de um robô manipulador consiste basica-
mente numa série de corpos rígidos, idealmente sem deforma-
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 16
ção pela ação de forças aplicadas sobre eles e que, em geral, são
feitos de um material resistente como aço, que se denominam
ELOS (links). Esses elos podem ter diversos tamanhos e formas
dependendo da aplicação, estando unidos por JUNTAS (articula-
ções) que lhes permitem ter um movimento relativo entre eles.
Assim, em alguma localização do elo, existirá uma junta que o
une com o elo seguinte, permitindo-lhe um movimento. Con-
forma-se assim uma cadeia cinemática aberta de elos interliga-
dos por juntas.
Em geral, os manipuladores estão montados sobre uma
BASE fixa, à qual está unido o primeiro elo através da primeira
junta. Esta base pode estar montada sobre uma superfície tam-
bém fixa, ou num veículo (automatizado ou não), que lhe per-
mita um deslocamento pelo local de trabalho.
O ponto extremo do último elo é conhecido com o
nome de PUNHO, e é onde costuma estar fixado o EFETUADOR;
no caso particular dos braços mecânicos ele se assemelha à mão
no extremo do antebraço (Fig. 1).
Fig. 1 – Manipulador Industrial.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 17
6.3. TIPOS DE JUNTAS
As articulações são uniões entre as diferentes partes
motrizes; nos robôs, essas articulações são denominadas juntas.
O movimento pode ser de giro (Fig. 2b), onde o elo
pode rodar de um determinado ângulo com respeito ao anterior;
nesse caso a junta chama-se ROTACIONAL, ROTATIVA ou de RE-
VOLUÇÃO.
O deslocamento também pode ser linear (Fig. 2a), on-
de um elo se afasta ou aproxima do anterior uma determinada
distância, caso em que a junta é chamada de PRISMÁTICA ou LI-
NEAR.
Fig. 2 – Tipos de juntas.
Na Fig. 3 vemos os diferentes tipos de juntas rotativas:
de torção (Fig. 3a), de elevação (Fig. 3b) e de guinada (Fig. 3c).
Enquanto que na Fig. 3d vê-se a simbologia de uma junta line-
ar.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 18
(a) (b) (c)
(d)
Fig. 3 – Simbologia das Juntas
Um manipulador não necessita ter todas as juntas do
mesmo tipo, podendo ser algumas de revolução e outras pris-
máticas, segundo a conveniência da configuração projetada.
Nos braços mecânicos as juntas costumam ser de revolução,
justamente por visarem uma proximidade com o braço humano.
As juntas, então, determinam os movimentos possíveis
do manipulador, e juntamente com as características físicas dos
elos, determinam a anatomia do manipulador.
A anatomia do robô deve considerar suas aplicações
específicas. Por exemplo, um manipulador destinado a colocar
componentes eletrônicos numa PCI deve ser substancialmente
diferente de um outro destinado a deslocar carros numa linha de
montagem.
6.4. GRAUS DE LIBERDADE (GL)
O número total de juntas do manipulador é conhecido
com o nome de GRAUS DE LIBERDADE (ou DoF).
Um manipulador típico possui 6 graus de liberdade,
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 19
sendo três para o posicionamento do punho dentro do ESPAÇO
DE TRABALHO, e três para obter uma orientação do efetuador,
conhecidas como PUNHO.
As juntas de punho têm por objetivo orientar o efetua-
dor numa direção arbitrária, conveniente para a tarefa a ser rea-
lizada. Essas juntas são sempre de revolução, pois o objetivo é
a orientação do efetuador e não seu posicionamento. Estes ân-
gulos recebem os nomes de "PITCH” (guinada), "YAW” (giro) e
"ROLL” (torção).
Na Fig. 4, observa-se que as juntas de roll, pitch e yaw
têm os eixos de rotação perpendiculares entre si, permitindo
uma orientação em qualquer ângulo de rotação, de inclinação à
esquerda ou direita, e de inclinação para cima e para baixo.
Fig. 4 – Ângulos de Roll, Pitch e Yaw.
Portanto, a maioria dos robôs industriais de hoje em
dia, mesmo que controlados por computadores, são basicamen-
te simples máquinas posicionais.
PROBLEMA 03: Em relação ao problema 02, quais os tipos de
juntas mais indicados e por quê?
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 20
07 – ESPAÇO DE TRABALHO
7.1. INTRODUÇÃO
É definido como o volume total conformado pelo per-
curso do punho, quando o manipulador efetua todas as trajetó-
rias possíveis (Fig. 5). O volume dependerá da anatomia do ro-
bô, do tamanho dos elos, assim como dos limites dos movimen-
tos das juntas.
Fig. 5 – Espaço de trabalho.
A posição do punho pode ser representada no espaço
de trabalho ou no ESPAÇO DAS JUNTAS.
A "posição no espaço de trabalho" é determinada pela
posição do punho segundo um sistema de três eixos cartesianos
ortogonais, cuja origem é à base do robô.
A "posição no espaço das juntas" é representada pelo
vetor de coordenadas generalizadas, relativas a uma posição i-
nicial arbitrária.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 21
PROBLEMA 04: Obtenha o espaço de trabalho dos manipulado-
res apresentados na Fig. 6.
Fig. 6 – Modelos de manipuladores.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 22
08 – ANATOMIA DO MANIPULADOR
8.1. INTRODUÇÃO
Existem diferentes configurações físicas ou anatomias
nos manipuladores. Essas são determinadas pelos movimentos
relativos das três primeiras juntas, aquelas destinadas ao posi-
cionamento do efetuador.
Para cada combinação possível haverá uma anatomia
diferente, que independe do tamanho dos elos, pois estes de-
terminarão o tamanho do espaço de trabalho, mas não sua for-
ma.
As anatomias dos robôs são caracterizadas pelas coor-
denadas de movimento ou pelas três primeiras coordenadas ge-
neralizadas, que representam seu movimento.
8.2. ROBÔS CARTESIANOS (Fig. 7)
O formato deste tipo de robô lhe permite realizar três
movimentos lineares e perpendiculares entre si. Cada um dos
movimentos está localizado num dos três eixos cartesianos.
Esta configuração possui três articulações prismáticas
(PPP), uma em cada eixo. A posição de um ponto é especifica-
da usando-se coordenadas cartesianas (x, y, z).
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 23
Fig. 7 – Robô cartesiano.
Esta configuração dá lugar a robôs que se caracterizam
por:
Alta precisão;
Velocidade;
Capacidade de grandes e constantes cargas;
Ampla área de trabalho.
Porém, esta configuração resulta inadequada para a-
cessar pontos situados em espaços relativamente fechados; a-
lém do mais, o volume de trabalho torna-se pequeno se compa-
rado com o de outras configurações.
O volume de trabalho será um paralelepípedo, ou seja,
o produto das distâncias dos três eixos. Portanto, se o compri-
mento máximo de cada elo for “L”, então o volume será L3.
Este tipo de configuração é bastante usual em estrutu-
ras industriais como:
Pórticos – empregados para transporte de cargas;
Sistema de Armazenamento Automático – mani-
pulação de caixas.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 24
8.2.1. ESPECIFICAÇÕES TÉCNICAS REAIS
Área de trabalho: Eixo X = 300 mm; Eixo Y = 300 mm; Eixo Z = 300 mm;
Carga: Mesa = 11 kg; Cabeceira = 6 kg;
Velocidade: X e Y de 8 a 800 mm/s; Z de 3,2 a 320 mm/s;
Memória: 100 programas ou 6.000 pontos;
Temperatura de trabalho: de 0 a 40º C;
Programação: entrada manual ou remota;
Resolução: 0,01 mm em cada eixo.
8.3. ROBÔS CILÍNDRICOS (Fig. 8)
O robô de configuração cilíndrica pode realizar dois
movimentos lineares e um rotativo, de acordo com sua estrutura
mecânica. Assim os movimentos lineares são localizados nos
eixos X e Y e o movimento de rotação é feito em torno do eixo
Z (roll).
Fig. 8 – Robô cilíndrico.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 25
A configuração contém duas articulações prismáticas e
uma rotacional, sendo a primeira, de rotação, na base (RPP). A
posição de um ponto é especificada usando-se coordenadas ci-
líndricas (x, y, α).
Comparando-se o robô cartesiano com o cilíndrico, ve-
rificamos que este último apresenta:
Melhor manobrabilidade;
Maior velocidade;
Simplicidade de instalação;
Maior acessibilidade para alcançar cargas atrás.
Esta configuração resulta adequada em instalações sem
obstáculos, onde as máquinas estejam distribuídas de forma ra-
dial e o acesso ao ponto desejado se faz horizontalmente.
O volume de trabalho será um cilindro. Portanto, se o
comprimento máximo dos eixos X e Y forem “L”, então o vo-
lume será πL3.
Este tipo de configuração é bastante usado nas estrutu-
ras industriais como:
Carga e descarga;
Alimentação de máquina.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 26
8.3.1. ESPECIFICAÇÕES TÉCNICAS REAIS
Área de trabalho: Roll α = 360º Eixo X = 1200 mm Eixo Y = 1070 mm;
Carga útil: 20 kg;
Temperatura de trabalho: de 0 a 40º C;
Resolução: 0,5 mm na direção do punho.
8.4. ROBÔS POLARES OU ESFÉRICOS (Fig. 9)
O robô de configuração polar pode realizar dois mo-
vimentos de rotação e um linear, sendo os eixos rotativos per-
pendiculares entre si. Assim o movimento linear está localizado
no eixo X e os movimentos de rotação são de roll (em torno de
Z) e pitch (em torno de X).
Fig. 9 – Robô polar.
Esta configuração possui duas articulações de rotação
e uma prismática (RRP). A posição de um ponto é especificada
através de (x, α, β).
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 27
Esta configuração dá lugar a robôs que se caracterizam
por:
Boa acessibilidade (melhor que os anteriores);
Grande capacidade de carga;
Ampla zona de trabalho.
Porém, a configuração apresenta alguns inconvenien-
tes como:
Dificuldade em movimento de translação;
Perde precisão com cargas pesadas ou braço
muito estendido.
O volume de trabalho, supondo que o raio de giro seja
de 360º e que a articulação linear varie de L a 2L, será o que
existe entre uma esfera de raio 2L e outra concêntrica de raio L.
Portanto, o volume será (28/3)πL3.
Este tipo de configuração tem sido usado para manipu-
lar cargas que não precisam de movimentos complexos.
8.4.1. ESPECIFICAÇÕES TÉCNICAS REAIS
Área de trabalho: Roll α = 180º Pitch β = 80º Eixo X = 100 mm;
Carga útil: 6 kg;
Temperatura de trabalho: de 0 a 40º C;
Resolução: 0,5 mm na direção do punho.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 28
8.5. ROBÔS SCARA (Fig. 10)
O exemplo mais comum de uma configuração não
clássica é representado pelo robô tipo SCARA – “Selective
Compliance Assembly Robot Arm” (Braço Robótico para Mon-
tagem com Flexibilidade Seletiva).
Fig. 10 – Robô SCARA.
Esta configuração possui duas articulações rotacionais
e uma prismática (RRP). Os eixos são paralelos entre si, sendo
o prismático com deslocamento vertical. Assim o movimento
linear está localizado no eixo Z e os movimentos de rotação são
de roll (em torno de Z), sendo a posição especificada por (α, β,
z).
Esta configuração foi desenhada para poder executar
trabalhos que requerem movimentos simples de manipulação de
peças sobre uma superfície plana, tais como:
Montagem de peças;
Inserção de componentes;
Empacotamento.
Este robô pode realizar movimentos horizontais de
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 29
maior alcance devido disposição de suas articulações rotacio-
nais.
O volume de trabalho não representa nenhuma figura
geométrica conhecida. Portanto, se o comprimento máximo de
cada elo for “L”, um raio de giro de 360º, então o volume será
4πL3.
8.5.1. ESPECIFICAÇÕES TÉCNICAS REAIS
Área de trabalho: Raio mínimo = 270 mm Raio máximo = 800 mm Roll do Eixo1 α = 360º Roll do Eixo2 β = 295º Eixo Y = 240 mm;
Carga nominal: 5 kg;
Velocidade máxima: 8,48 mm/s;
Memória: 1 Mb com conexão serial para PC;
Temperatura de trabalho: de 5 a 40º C;
Umidade: 50% a 40º C e 90% a 20º C.
PROBLEMA 05: Em relação ao problema 03, qual a anatomia do
manipulador escolhido e qual o seu espaço de tra-
balho?
PROBLEMA 06: Em relação ao problema 05, quais as especifica-
ções técnicas do manipulador escolhido?
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 30
09 – EFETUADORES
9.1. INTRODUÇÃO
O objetivo dos robôs manipuladores é interagir com
seu meio ambiente deslocando um objeto ou uma ferramenta ou
algum dispositivo especial. Para isso, necessita de um dispositi-
vo que permita tal interação. Esse dispositivo é conhecido com
o nome de ÓRGÃO TERMINAL ou EFETUADOR.
9.2. CARACTERÍSTICAS
Elemento encarregado do manuseio da peça, propriamen-
te dito.
Fixado no extremo do último elo (PUNHO).
Projetado para fácil remoção e substituição.
Projetado para uma aplicação específica.
9.3. ACIONAMENTO
Motor elétrico (CC ou de passo).
Pistões pneumáticos.
Eletroímãs.
Ventosas a vácuo.
Pistões hidráulicos.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 31
9.4. MEDIÇÃO
Força exercida sobre o objeto segurado.
Orientação para exercer a força sobre o objeto.
Sistema de visão digital.
9.5. CLASSIFICAÇÃO
Garras.
Ferramentas.
9.5.1. GARRAS
Efetuadores destinados a pegar e segurar objetos.
Deslocar objetos no espaço de trabalho do manipulador.
Podem deslocar ferramentas.
Tipos de garras: Garras com dedos mecânicos.
Garras a vácuo.
Garras magnéticas ou eletroímãs.
Ganchos.
Garras adesivas.
9.5.1.1. GARRAS COM DEDOS
As mais comuns possuem 2 ou 3 dedos.
Abertura e fechamento mecânico.
Os dedos fazem o contato direto com a peça.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 32
Podem ter dedos substituíveis para se adaptar a peça.
Segura a peça por constrição ou por atrito.
Especificações de Projeto: Ângulos de abertura máxima e mínima.
Distâncias de abertura máxima e mínima.
Comprimento dos dedos.
Presença ou não de articulações intermédias nos dedos.
Fig. 11 – Garra de dedos paralelos com engrenagens.
9.5.1.2. GARRAS A VÁCUO
São conformadas por copos de SUCÇÃO ou VENTOSAS.
Os objetos devem ser PLANOS, LISOS E LIMPOS.
Para objetos duros, copos de material elástico (borracha
ou plástico); para objetos macios, copos de material duro
(geralmente metal).
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 33
O peso transportado depende da pressão e superfície da
ventosa.
Exigem apenas uma superfície de contato.
Peso relativamente leve.
Aplicáveis a uma grande quantidade de materiais.
Desvantagem: Utilizados apenas em superfícies planas e com área maior
que as ventosas.
Fig. 12 – Garra a vácuo com duas ventosas.
9.5.1.3. GARRAS MAGNÉTICAS
Formato similar às garras a vácuo.
Eletroímãs ou ímãs permanentes no lugar das ventosas.
Modo razoável de manipular materiais ferromagnéticos.
Objetos devem ter uma superfície plana.
Podem carregar até carros.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 34
Vantagens: Tempos de pegada muito rápidos.
Pequenas variações de tamanho são toleráveis
Mais universais que as a vácuo.
Podem manusear peças com furos.
Necessitam apenas de uma superfície de contato.
Fig. 13 – Garra magnética com ímã permanente.
9.5.1.4. GARRAS ADESIVAS
Usam substâncias adesivas para segurar a peça.
Principal aplicação com tecidos e materiais leves.
Perdem aderência com o uso repetitivo.
Projetadas com fita contínua (máquina de datilografar).
9.5.1.5. GANCHOS
Em muitas aplicações onde é preciso transportar volumes
pesados, as garras podem ser inadequadas.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 35
A vantagem deste sistema é a sua versatilidade, pois não
é necessário mudar o efetuador se o tipo de peça mudar.
A desvantagem é que a peça deve apresentar um ponto
onde o gancho possa pegá-la.
9.5.2. FERRAMENTAS
Pontas de solda para soldagem a ponto.
Maçaricos para soldagem a arco.
Bicos para pintura por pulverização.
Mandris.
Aplicadores de cimento.
Ferramentas de corte por jato de água.
Ferramentas de corte a laser.
Fig. 14 – Ponta de solda por arco.
PROBLEMA 07: Em relação ao problema 06, qual o tipo de efe-
tuador que melhor se adapta a tarefa do manipula-
dor escolhido?
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 36
10 – SISTEMA DE COORDENADAS
10.1. INTRODUÇÃO
As características variáveis das juntas são aquelas
grandezas físicas que permitem representar o movimento rela-
tivo de um elo em relação ao anterior. Nas juntas de revolução,
serão os ângulos de rotação e nas prismáticas à distância dos
elos.
O estado dessas variáveis é suficiente para determinar
a posição do punho, pois, se for conhecida a posição de cada
uma das juntas a partir da primeira e os comprimentos dos elos,
é possível conhecer a sua posição. Essas variáveis são conheci-
das pelo nome de COORDENADAS GENERALIZADAS.
Em geral, as coordenadas generalizadas são represen-
tadas por meio de um vetor de tantas componentes quantas jun-
tas tenha o manipulador, independentemente de que algumas
dessas componentes representem ângulos ou distâncias.
10.2. SIGNIFICADO
A Fig. 15 apresenta um manipulador com duas juntas
de revolução (manipulador planar). As coordenadas generaliza-
das serão dadas pelo vetor q = [ql q2]T, cujas componentes re-
presentam os ângulos dessas juntas.
Conhecendo-se esse vetor e o comprimento dos elos
(L1 e L2), é possível determinar a posição do punho, expressa
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 37
em função de um sistema de eixos ortogonais. Portanto, a posi-
ção do punho é representada no espaço de trabalho como um
vetor p = [x y z]T.
Fig. 15 – Coordenadas generalizadas de um manipulador.
Como o robô não apresenta deslocamento na direção z
(saindo do plano do papel), então o punho pode ser definido pe-
lo vetor posição p = [x y]T.
A determinação da posição do punho no espaço de tra-
balho é feita pela obtenção das componentes do vetor p em co-
ordenadas generalizadas.
O vetor p pode ser escrito na forma matricial como:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
21
21pEloEloEloElo
yx
(1)
De acordo com a Fig. 15, a posição do Elo1 é dada por:
111 cosθLx = (2a)
111 θsenLy = (2b)
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 38
e a do Elo2 por:
( )2122 cos θθ += Lx (3a)
( )2122 θθ += senLy (3b)
Portanto, a posição do punho é dada por:
( )21211 coscos θθθ ++= LLx (4a)
( )21211 θθθ ++= senLsenLy (4b)
A Fig. 16 ilustra essa localização, bem como a disposi-
ção dos deslocamentos angulares para cada junta. Observa-se
que o Elo2 se desloca de um ângulo θ2 em relação ao eixo do
Elo1 e não do sistema de referência.
Fig. 16 – Coordenadas generalizadas ampliadas.
PROBLEMA 08: Considere o manipulador da Fig. 15. Sabe-se
que a posição angular da junta 1 é 30º e da junta 2
é de 15º. O comprimento dos elos é de 1 metro.
Qual a posição cartesiana do punho?
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 39
11 – REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
11.1. INTRODUÇÃO
Para o desenvolvimento das equações cinemáticas do
manipulador há necessidade de estabelecer vários sistemas de
coordenadas para representar as posições e orientações de cor-
pos rígidos.
Também é preciso conhecer as transformações de co-
ordenadas entre esses sistemas, de modo a possibilitar que veto-
res representativos de posições, velocidades e acelerações, da-
dos em um determinado sistema de coordenadas, possam ser re-
presentados em outros sistemas de coordenadas.
Neste capítulo serão consideradas as operações de rota-
ção e de translação de um sistema em relação a um outro siste-
ma e apresentada a noção de transformação homogênea.
11.2. REPRESENTAÇÃO DE POSIÇÃO
Seja um ponto genérico P, no espaço 3D (Fig. 17).
Fig. 17 – Representação gráfica do ponto P.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 40
Sabemos que um vetor é um segmento de reta orienta-
do, isto é, dois pontos definem um vetor (origem, destino e mó-
dulo).
Se tomarmos o ponto P como destino e a origem do sis-
tema como início, temos o vetor p dado por:
p = [Px Py Pz]T (5)
A partir de agora será adotado o seguinte modelo de
representação (Fig. 18):
O sistema ao qual o vetor está referido será representado
por uma letra maiúscula entre chaves {A};
O vetor deverá conter informações sobre qual sistema de
coordenadas ele está definido;
O vetor será representado por uma letra maiúscula com um
sobrescrito à esquerda para indicar o sistema onde estar re-
ferido AP.
Fig. 18 – Representação do vetor posição.
Portanto, (5) toma a forma
AP = [APx APy APz]T (6)
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 41
11.3. REPRESENTAÇÃO DE ORIENTAÇÃO
A localização de um corpo rígido B em relação a um
referencial qualquer {A} é definida pela localização do seu refe-
rencial associado {B} em relação à {A} (Fig. 19).
Fig. 19 – Representação de um corpo rígido.
Portanto, a posição de {B} em relação à {A} é definida
pelo vetor de posição APB ligando a origem de {A} à origem de
{B}, expresso em coordenadas de {A}.
APB = [APBx APBy APBz]T (7)
Os vetores unitários de {B} são: XB; YB e ZB. Cada ve-
tor de {B} deve ser escrito no sistema {A}, portanto cada ele-
mento de {B} terá três componentes em {A}.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
BZA
BYA
BXA
BA
XXX
X (8)
Se tomarmos uma matriz, onde as colunas sejam os
vetores AXB, AYB e AZB. Essa matriz será chamada de MATRIZ
DE ROTAÇÃO e descreverá a orientação do corpo {B} no sistema
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 42
de referência {A}. A matriz de rotação é denotada como ARB e
expressa por:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
BZA
BZA
BZA
BYA
BYA
BYA
BXA
BXA
BXA
BA
ZYXZYXZYX
R (9)
A matriz de rotação ARB é também chamada de matriz
de cossenos diretores, pois cada elemento é representado pelo
produto interno entre um eixo unitário de {A} e um eixo unitá-
rio de {B}.
PROBLEMA 09: Prove que ARB é a matriz de cossenos diretores
de {B} em {A}.
PROBLEMA 10: Encontre BRA na representação dada na Fig. 19 e
mostre que é uma matriz ortogonal.
Considere dois referenciais coincidentes {A} e {B} (Fig. 20).
Suponha que {B} gira de um ângulo θ em torno do eixo zB. En-
contre a matriz de rotação ARB.
Fig. 20 – Rotação em torno do eixo z.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 43
Da Fig. 20, através de relações trigonométricas, temos que:
AxB = [cos(θ) sen(θ) 0]T AyB = [-sen(θ) cos(θ) 0]T AzB = [0 0 1]T
Substituindo em (9), obtém-se
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
1000)cos()(sen0)(sen)cos(
R θθθθ
BA
(10)
PROBLEMA 11: Repita o exemplo anterior para rotações em tor-
no de xB e yB.
PROBLEMA 12: Considere dois referenciais {A} e {B} com a
mesma orientação, com a origem de {B} localiza-
da a 5 unidades ao longo do eixo xA. Considere um
ponto P, expresso em {B} como BP = [2 2 1]T.
Determine a posição de {B} em relação à {A} bem
como a representação do ponto P em {A}.
PROBLEMA 13: Determine a posição de um corpo em relação ao
referencial {A}, sabendo que este se encontra nas
coordenadas [5 -3 2]T em relação ao referencial
{B} e que a origem de {B} está a [4 0 -1]T da ori-
gem de {A}.
PROBLEMA 14: Considere dois referenciais coincidentes, {A} e
{B}. Suponha que {B} gira de um ângulo θ em
torno do eixo AzB. Considere um ponto P expresso
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 44
em coordenadas de {B}, BP. Encontre a represen-
tação do ponto P em coordenadas de {A}, AP.
PROBLEMA 15: Um corpo {B} está rotacionado em relação à re-
ferência {A} de um ângulo de 30º sobre o eixo z.
O eixo z é o vetor que sai do plano da página. Es-
creva AP e ARB, sabendo que BP é [5 -3 2]T e que
os referenciais têm mesma origem.
PROBLEMA 16: Um corpo {B} está rotacionado em relação à re-
ferência {A} de um ângulo de 30o sobre o eixo z e
está 10 unidades à frente em x e 5 em y. Encontrar AP, onde BP = [3 7 0]T.
PROBLEMA 17: Um corpo é rotacionado em torno do eixo z de
um ângulo de 45o. Em seguida sofre uma nova ro-
tação em torno do eixo x de 30º. Determine a ori-
entação resultante.
PROBLEMA 18: Encontre a posição de um corpo em relação ao
referencial {A}, sabendo que sua posição em rela-
ção à referência {B} é [0 4 -2]T e a posição de
{A} em {B} é [3 -2 5]T e que {B} está rotaciona-
do de um ângulo de 60o sobre o eixo y de {A}.
PROBLEMA 19: Determinar a posição P de um corpo em relação
à referência {A} a partir de sua posição [0 0 5]T
em {C}. Sabe-se que {C} está rotacionado de um
ângulo de 30o sobre o eixo z de {B}, que a origem
de {B} se encontra em [2 0 1]T da origem de {C}
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 45
e em [5 4 0]T da origem de {A} e que {A} e {B}
têm mesma orientação.
11.4. REPRESENTAÇÃO POR ÂNGULOS DE EULER
A orientação de {B} em relação à {A} é representada
por três ângulos de rotação (φ, θ, ψ), executados em torno de z,
y e x de um referencial móvel (Fig. 21), conhecidos como ân-
gulos de Euler ZYX.
Rφθψ = Rz,φ.Ry,θ.Rx,ψ (11)
Fig. 21 – Ângulos de Euler ZYX.
Definindo-se sen(θ) = sθ e cos(θ) = cθ. Temos:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−•
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−•
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
ψψψψ
θθ
θθφφφφ
φθψ
cs0sc0001
c0s010
s0c
1000cs0sc
R
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−++−
=)c.().c()-(
)s.cc.s.(s)c.cs..s()c.s()s.sc.s.(c)c.ss.s.c()c.c(
Rψθψθθ
ψφψθφψφψθφθφψφψθφψφψθφθφ
φθψ
csss (12)
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 46
Conhecendo-se a orientação na forma de uma matriz
Rφθψ, é possível encontrar os ângulos de Euler ZYX a partir de
relações entre seus elementos.
Para evitar ambigüidades, utilizaremos a função arco-
tangente definida nos quatro quadrantes (arco-tangente de dois
argumentos) atan2(a, b) = arg(a + jb) → argumento de a+jb.
Portanto, θ = atan2(sen(θ), cos(θ)) = atan2(ksen(θ), kcos(θ)),
com k>0, sendo a matriz de rotação dada por (9). Assim:
),(atan2 1121 RR=φ (13a)
),(atan2 233
23231 RRR +±−=θ (13b)
),(atan2 3332 RR=ψ (13c)
PROBLEMA 20: Deduza as expressões (13a), (13b) e (13c).
Verifica-se que a solução para os ângulos de Euler não
é única. Tomando o sinal positivo, o que equivale a limitar θ
ao intervalo –π/2 ≤ θ ≤ π/2, eliminamos esta ambigüidade.
Verifica-se também que, para θ = -π/2 ou θ = π/2, a so-
lução degenera (ocorre divisão por zero), o que resulta em infi-
nitas soluções. Isto ocorre porque θ é a soma de φ e ψ, que pode
ter infinitos pares (φ, ψ) diferentes. Neste caso:
Para θ = -π/2 → ψ + φ = atan2(-R12, R22) (14)
Para θ = π/2 → ψ - φ = atan2(R12, R22) (15)
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 47
Os ângulos de Euler ZYX são também chamados de
ângulos de roll, pitch e yaw, termos derivados dos movimentos
de rotação de naves ou aeronaves em torno dos seus eixos prin-
cipais.
PROBLEMA 21: Encontre a matriz de orientação bem como os
ângulos de Euler ZXZ e ZYZ.
PROBLEMA 22: Dados os referenciais {A} e {B} (Fig. 22), obte-
nha a matriz de rotação ARB bem como a sua repre-
sentação em ângulos de Euler ZXZ, ZYZ e ZYX.
Fig. 22 – Orientação relativa entre dois referenciais.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 48
12 – TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS
Até agora, foram consideradas apenas rotações de um
sistema de coordenadas em relação a um outro. Neste item, se-
rão introduzidos, também, os movimentos de translação.
Seja um sistema móvel {1}, obtido por translação pura
a partir do sistema fixo {0}, conforme Fig. 23.
Fig. 23 – Translação pura.
Como se observa, a origem {1} do sistema móvel foi
deslocada de uma distância representada pelo vetor 0P1. Tal ve-
tor fornece apenas a posição do sistema móvel em relação ao
sistema fixo, nada indicando quanto a sua orientação, a qual,
conforme já foi visto, é dada pela matriz de rotação 0R1.
Consideremos, agora, a combinação de translação com
rotação. Nesse caso, um ponto P do espaço 3D é representado,
no sistema fixo {0}, pela soma vetorial do vetor posição da ori-
gem do sistema móvel, 0P1, com o vetor 1P, em relação ao sis-
tema móvel {1}, então:
0P = 0R1 1P + 0P1 (16)
ou, desenvolvendo:
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 49
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
z
y
x
x
x
x
z
y
x
PPP
PPP
RRRRRRRRR
PPP
10
10
10
1
1
1
333231
232221
131211
0
0
0
(17)
onde os elementos Rij são os elementos da matriz de rotação de
acordo com (9).
Uma outra forma de apresentar a equação acima, com
apenas uma multiplicação matricial, é:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
1
1
1
1
10
333231
10
232221
10
322111
0
0
0
z
y
x
z
y
x
z
y
x
PPP
PRRRPRRRPRRR
PPP
(18)
Pode-se, ainda, colocar a expressão acima em uma for-
ma mais conveniente, de modo que a matriz seja quadrada 4x4:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
110001
1
1
1
10
333231
10
232221
10
322111
0
0
0
z
y
x
z
y
x
z
y
x
PPP
PRRRPRRRPRRR
PPP
(19)
A matriz 4x4 acima é conhecida como Matriz de
Transformação Homogênea (0T1) e representa de modo com-
pacto a posição e a orientação de {1} em relação à {0}. A linha
inferior foi acrescentada para resultar numa matriz quadrada e
assim ser inversível.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 50
PROBLEMA 23: Dado o referencial {B} rotacionado 45º em tor-
no do eixo z e transladado a uma distância de duas
unidades ao longo do eixo x do referencial {A},
determinar as coordenadas do ponto BP = [1 1 0]T
em relação à {A}.
12.1. ARITMÉTICA DE TRANSFORMAÇÕES
12.1.1. TRANSFORMAÇÃO COMPOSTA
Conhecendo a localização de {C} em relação à {B} e a
localização de {B} em relação à {A}, determine a localização
de {C} em relação à {A}.
Dado um ponto P representado em {A}, {B} e {C}, como AP = ATB BP AP = ATC CP BP = BTC CP
Então, AP = ATB BP = ATB (BTC CP) = (ATB BTC) CP
Como AP = ATC CP = (ATB BTC) CP
Logo
ATC = ATB BTC (20)
Ou, na forma matricial
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
1000.. CA
BA
BA
CB
BA
CA PRPRRT
(21)
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 51
12.1.2. TRANSFORMAÇÃO INVERSA
Conhecendo a localização de {B} em relação à {A},
determinar a localização de {A} em relação à {B}.
Dado um ponto P representado em {A} e {B}, como AP = ARB BP + APB
Multiplicando-se a expressão acima pela inversa de ARB, tem-se
(ARB)-1 AP = (ARB)-1 [ARB BP + APB] BP = (ARB)-1 (AP - APB)
Como ARB é uma matriz ortogonal, pode-se escrever BP como BP = (ARB)T AP - (ARB)T APB
Então, o operador matricial que relaciona AP e BP é
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −== −
1000.)R()R(1 BAT
BAT
BA
BA
AB P
TT (22)
a equação (15) pode ser estendida ao caso com “N” referenciais
0TN = 0T1 1T2 . . . N-2TN-1 N-1TN (23)
PROBLEMA 24: Seja uma célula de trabalho com os referenciais
{B} (base), {G} (garra), {E} (estação) e {O} (ob-
jeto). Determinar GTO a partir das transformações
homogêneas conhecidas BTG, BTE e ETO.
PROBLEMA 25: Seja um referencial {B} rotacionado em relação
à {A} em 30º e transladado de 4 unidades em xA e
3 unidades em yA. Obtenha BTA.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 52
13 – CINEMÁTICA
13.1. INTRODUÇÃO
A cinemática é o estudo dos movimentos relativos e-
xistentes entre os diferentes componentes de um robô manipu-
lador. Neste capítulo veremos a cinemática direta e a inversa.
13.2. CINEMÁTICA DIRETA
O problema de cinemática direta de robôs manipulado-
res consiste em determinar a localização da garra (eventualmen-
te de cada elo do manipulador) a partir do valor atual das variá-
veis de junta (ângulos ou deslocamentos), o qual pode ser re-
solvido para qualquer robô manipulador serial utilizando trans-
formações homogêneas que relacionam a localização de um elo
em relação ao anterior.
A solução da cinemática direta é única e pode ser obti-
da tanto na forma analítica quanto na forma numérica através
de um procedimento sistemático.
A seguir, apresenta-se um método sistemático para so-
lucionar o problema da cinemática direta de robôs manipulado-
res. Para esta solução é necessário caracterizar matematicamen-
te os elos do robô através de referenciais e parâmetros cinemá-
ticos atribuídos de acordo com convenções apropriadas.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 53
13.2.1. NOTAÇÃO DENAVIT HARTENBERG (DH)
Do ponto de vista cinemático, o robô manipulador po-
de ser considerado como um conjunto de corpos rígidos interli-
gados numa cadeia cinemática aberta através de juntas, com
uma extremidade fixa na base do manipulador e com uma garra
ou ferramenta na outra extremidade, que é livre.
O elo (corpo rígido) define a relação geométrica entre
dois eixos de juntas vizinhas na cadeia cinemática. Para identi-
ficar elos usaremos números inteiros, onde a base receberá o
número 0 (zero) e os elos seguintes são numerados em ordem
crescente na cadeia (da base até a garra).
A partir do eixo de junta se dá a movimentação relati-
va entre 2 (dois) elos vizinhos. Para identificar juntas usaremos
números inteiros, onde a junta mais próxima da base receberá o
número 1 (um) e as juntas seguintes são numeradas em ordem
crescente na cadeia (da base até a garra).
O eixo zi do referencial do elo {i} é coincidente com o
eixo de movimento da junta i. A origem de {i} é estabelecida
na interseção entre o eixo zi e a reta normal a zi e a zi+1.
O eixo xi é estabelecido sobre a reta normal a zi e a zi+1
e apontando de zi para zi+1. Enquanto que o eixo yi é definido
pela regra da mão direita.
O referencial {0} é atribuído de maneira a ser coinci-
dente com o referencial {1} quando a variável de junta 1 (q1)
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 54
for nula. Já o referencial {N} é atribuído de maneira a ser coin-
cidente com o referencial de elo {N+1} quando a variável da
junta N (qN+1) for nula. O referencial {N+1} é posicionado na
ponta da ferramenta e com a mesma orientação do referencial
{N}.
13.2.1.1. DESCRIÇÃO CINEMÁTICA DE ELO (Fig. 24)
O comprimento do elo i (ai) é à distância entre os eixos
zi e zi+1 e medida ao longo do eixo xi. Enquanto que, o ângulo
de torção do elo i (αi), que é a defasagem entre os eixos zi e zi+1
é medido em torno do eixo xi.
Fig. 24 – Parâmetros de elo.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 55
13.2.1.2. DESCRIÇÃO CINEMÁTICA DE JUNTA (Fig. 25)
O deslocamento da junta i (di) é à distância entre os ei-
xos xi-1 e xi e medida ao longo do eixo zi. Enquanto que, o ân-
gulo da junta i (θi), que é a defasagem entre os eixos xi-1 e xi é
medido em torno do eixo zi.
Fig. 25 – Parâmetros de junta.
A variável da junta i (qi) será igual ao ângulo de junta
(θi) se esta for rotacional ou igual ao deslocamento de junta (di)
se for prismática.
13.2.1.3. TRANSFORMAÇÃO DE ELO
De acordo com as convenções acima, a localização do
referencial {i} em relação ao referencial anterior {i-1} pode ser
obtida a partir de uma seqüência de translações e rotações ao
longo dos eixos xi e zi.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 56
i-1Ti = T(xi, ai-1) R(xi, ai-1) T(zi, di) R(zi, qi)
Portanto,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−
=−−−−
−−−−
−
−
1000
0
1111
1111
1
1
iiiiiii
iiiiiii
iii
ii
cdccssssdsccsc
asc
Tααθαθαααθαθα
θθ
(24)
onde cθ = cos(θ), sθ = sen(θ), cα = cos(α) e sα = sen(α).
A solução da cinemática direta será a composição de
transformações homogêneas.
EXEMPLO: Dado o manipulador planar com 3 GL da Fig. 26, ob-
tenha a sua cinemática direta.
Fig. 26 – Manipulador planar e atribuição de referenciais.
i ai-1 αi-1 di θi
1 0 0 0 θ1
2 L1 0 0 θ2
3 L2 0 0 θ3
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 57
As transformações de elo são obtidas em função dos parâmetros
DH da tabela acima.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
100001000000
11
11
10 θθ
θθcssc
T
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
1000010000
0
22
122
21 θθ
θθcs
Lsc
T
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
1000010000
0
33
233
32 θθ
θθcs
Lsc
T
( )( )
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡++−
=
10000100
00
12211123123
12211123123
30 sLsLcs
cLcLsc
T
onde c1 = cos(θ1), s1 = sen(θ1), c12 = cos(θ1+θ2), s12 = sen(θ1+θ2), c123 = cos(θ1+θ2+θ3) e s123 = sen(θ1+θ2+θ3).
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 58
PROBLEMA 26: Para os manipuladores da Fig. 27, obtenha as
equações da cinemática direta..
Fig. 27 – Manipulador (a) cilíndrico, (b) RD5 e (c) XYZ.
13.3. CINEMÁTICA INVERSA
O problema da cinemática inversa é fundamental no
controle de robôs manipuladores. Normalmente, a tarefa é es-
pecificada em espaço cartesiano, enquanto que os controladores
atuam em espaço de juntas, requerendo que as referências de
controle sejam especificadas neste espaço. Deste modo, torna-
se necessário mapear referências especificadas em espaço carte-
siano em referências equivalentes em espaço de juntas.
Portanto, dada a localização desejada da garra deve-se
obter as variáveis de junta que conduzem a garra para tal situa-
ção. Assim, dois problemas adicionais devem ser levados em
conta: a verificação de existência de solução e a possibilidade
de existirem múltiplas soluções para uma dada localização da
garra.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 59
As equações são resolvidas por métodos algébricos,
freqüentemente fazendo uso de considerações geométricas, re-
sultando numa expressão analítica computável.
Considerando a posição e a orientação da garra especi-
ficada , por três valores (x, y, φ), onde (x, y) define a posição da
garra e φ é o ângulo de orientação. Chamando a transformação
homogênea resulte de T* e igualando a matriz da cinemática di-
reta obtém-se as variáveis de junta desejadas (vetor θ*).
T* = T (25)
EXEMPLO: No manipulador planar da Fig. 26, obtenha as variá-
veis de junta necessárias para alcançar a tarefa especi-
ficada, ou seja, ir para o ponto (x, y, φ).
( )( )
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡++−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
⇒=
10000100
00
10000100
00
12211123123
12211123123
* sLsLcscLcLsc
ycsxsc
TTφφφφ
Logo, cφ = c123 sφ = s123 x = L1c1+L2c12 y = L1s1+L2s12.
Assim,
21
22
21
22
2 2 LLLLyxc −−+
= se 11 2 ≤≤− c existe solução.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 60
22 1 cs −±= implica em múltiplas soluções (Fig.
28).
Então:
θ∗2 = atan2(s2, c2)
θ∗1 = atan2(y, x) – atan2(L2s2, L1+L2c2)
φ = atan2(s123, c123)
θ∗3 = φ – θ∗1 – θ∗2
Fig. 28 – Múltiplas soluções.
PROBLEMA 27: Determinar a cinemática inversa dos manipula-
dores da Fig. 27.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 61
14 – CONTROLE DE MOVIMENTO
14.1. INTRODUÇÃO
O controle de robôs manipuladores consiste na especi-
ficação de uma tarefa até a determinação dos esforços que de-
vem ser aplicados pelos atuadores de juntas de modo a executá-
la. Neste curso nos limitaremos apenas a geração de trajetória
em espaço de juntas, enquanto que o controle cinemático e o
dinâmico ficam para os cursos de engenharia.
O problema de controle de posição envolve várias eta-
pas. Inicialmente, o operador especifica um ou mais objetivos a
serem alcançados. Neste processo, pode ser necessário especifi-
car algumas características adicionais: o tempo de percurso pa-
ra atingir cada objetivo, o tipo de trajetória a ser percorrida e
outras mais.
O cálculo da trajetória entre a posição atual e a final
tem por finalidade gerar referências intermediárias para os con-
troladores de juntas, de tal modo que o manipulador possa se
movimentar suavemente até o seu objetivo, evitando esforços
excessivos nos atuadores. A trajetória pode ser gerada tanto em
espaço de juntas quanto em espaço cartesiano.
Quando a trajetória é gerada no espaço de juntas não
há a necessidade de um modelo geométrico e a operação de a-
prendizagem é realizada diretamente, junta a junta, pelo opera-
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 62
dor. Caso a trajetória seja gerada em espaço cartesiano, torna-se
necessário o mapeamento das referências intermediárias para
suas correspondentes em espaço de juntas. Um problema que
surge neste processo de mapeamento é a existência de configu-
rações singulares e/ou matrizes de rotação intermediárias não
ortogonais.
14.2. GERAÇÃO DE TRAJETÓRIA
Uma tarefa é especificada em linguagem de alto nível
e o controlador interpreta o comando, gerando a trajetória que
leva a garra ao ponto desejado. O controlador deve computar
uma trajetória suave (restrição mecânica) que sirva de referên-
cia a ser seguida pelos servo-controladores das juntas (controle
por rastreamento). Neste ponto faz-se necessário à distinção en-
tre o caminho percorrido pelo robô e a trajetória propriamente
dita.
Caminho → é a descrição geométrica do conjunto dos pon-
tos percorridos (restrição espacial) pelo manipu-
lador da posição atual ao alvo. É uma curva con-
tínua, contendo o maior número possível de deri-
vadas contínuas.
Trajetória → é o caminho sujeito a restrições temporais
(duração do deslocamento).
A geração de uma trajetória envolve a descrição tem-
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 63
poral da posição, velocidade e aceleração de cada GL do mani-
pulador, podendo ser realizada previamente (off-line) ou em
tempo real (durante a execução).
14.2.1. GERAÇÃO EM ESPAÇO DE JUNTAS
Os pontos extremos são especificados diretamente no
espaço de juntas (Fig. 29) ou no cartesiano (Fig. 30). Em virtu-
de da facilidade operacional, a entrada de dados é geralmente
feita em espaço cartesiano (Fig. 30) e estes são convertidos, pe-
lo controlador, em pontos no espaço de juntas (Fig. 30) e os
pontos intermediários da trajetória (linha verde na Fig. 31) são
obtidos por interpolação.
Fig. 29 – Malha de controle em espaço de juntas.
Fig. 30 – Malha de controle em espaço cartesiano.
Fig. 31 – Trajetória descrita por um manipulador planar.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 64
O procedimento é independente para cada junta e não
apresenta problemas de singularidades, porém nada se pode ga-
rantir sobre o posicionamento do manipulador no espaço carte-
siano para os pontos interpolados da trajetória.
Métodos de geração em espaço de juntas fazem uso de
vários tipos de perfis de interpolação: polinômios de ordem va-
riada (primeira, terceira, quinta ou maior), função linear com
limites parabólicos e tantos outros.
Para apresentar os conceitos básicos será usado um
simples modelo composto apenas por um elo e uma junta rota-
tiva, ou seja, um GL. No modelo da Fig. 32, nota-se que o bra-
ço tem comprimento L e gira em torno da origem do sistema de
coordenadas XY.
Fig. 32 – Manipulador planar com 1 GL.
O ponto cuja trajetória será controlada é a extremidade
livre que, dependendo do ângulo θ, alcança diferentes coorde-
nadas (x, y). O algoritmo utilizado para gerar a trajetória é a-
presentado a seguir.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 65
Escolher perfil de interpolação; Aplicar as condições de contorno; Encontrar os coeficientes do polinômio; Montar as equações de posição, velocidade e aceleração.
14.2.1.1. INTERPOLAÇÃO LINEAR
A forma mais simples de se mover uma junta rotativa
da posição inicial θ até a posição final θ* em um tempo T é u-
sando uma interpolação linear, ou seja, utilizando uma veloci-
dade angular constante.
Escolhendo ( ) taat 10 +=θ (26)
para t = 0 → ( ) θθ =0 (posição inicial)
para t = T → ( ) *θθ =T (posição final) fornecendo,
( ) ( ) θθθ =⇒=+= 001 00 aaa
( ) ( )T
aTaT θθθθθ −=⇒=+=
*
1*
1
Finalmente obtém-se que:
( ) tT
t ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
θθθθ*
(27)
( )T
t θθθ −=
• *
(28)
( ) 0=••
tθ (29)
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 66
Lembrando que θ e θ* são vetores cuja dimensão cor-
responde à quantidade de GL do manipulador, isto é, para cada
junta temos um conjunto de expressões como as apresentadas
acima e para manipuladores com “n” GL os elementos dos ve-
tores são:
θ = [θ1 θ2 θ3 ... θn]T (30)
θ* = [θ*1 θ*
2 θ*3 ... θ*
n]T (31)
Como dito anteriormente, a especificação da tarefa é
feita em espaço cartesiano, assim é necessário que o controla-
dor conheça tanto a cinemática direta quanto a inversa. Neste
caso,
Cinemática Direta: θcosLx = (32)
θLseny = (33)
Cinemática Inversa: ),(2tan xya=θ (34)
EXEMPLO: Suponha que o manipulador da Fig. 32 esteja inici-
almente orientado a 0º e que se deseja atingir a orien-
tação de 90º em um intervalo de 10 segundos.
Substituindo estes valores nas equações (27) a (29), temos
θ(t) = 9t ω(t) = 9
As figuras 33 e 34 mostram a variação de posição e velocidade
ao longo do tempo para a junta.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 67
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
tempo (s)
Theta (graus)
Fig. 33 – Posição em função do tempo.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tempo (s)
Omega (graus/s)
Fig. 34 – Velocidade em função do tempo.
NOTA: 1) Não se deve esquecer que, apesar do gráfico de posi-
ção angular mostrar uma reta, no espaço cartesiano o
braço executa um arco de circunferência.
2) Em termos práticos, a aceleração é considerada nula,
porém é necessário um pico de aceleração para iniciar
o movimento e um pico de desaceleração para pará-lo.
Isso faz com que ocorram choques mecânicos muito
fortes no início e no final da trajetória, tornando este
perfil de controle pouco adequado.
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 68
14.2.1.2. INTERPOLAÇÃO COM POLINÔMIO CÚBICO
O uso de uma equação cúbica (utilizada quando a junta
inicia e termina o movimento com velocidade nula) para repre-
sentar a posição angular no tempo elimina os choques da inter-
polação linear. Da mesma forma exposta no caso linear, as e-
quações de velocidade e aceleração são obtidas por derivação.
Escolhendo ( ) 33
2210 tatataat +++=θ (35)
para t = 0 → ( ) θθ =0 (posição inicial)
( ) 00 =•
θ (velocidade inicial)
para t = T → ( ) *θθ =T (posição final)
( ) 0=•
Tθ (velocidade final) logo,
( ) ( ) ( ) ( ) θθθ =⇒=+++= 0012
23
3 0000 aaaaa
( ) ( ) ( ) ( ) *1
22
33 θθθ =+++= TaTaTaT
então
( ) ( ) ( ) 0002030 1122
3 =⇒=++=•
aaaaθ
( ) ( ) ( ) 023 22
3 =+=•
TaTaTθ
( )2
*
23
Ta θθ −
= e
( )3
*
32
Ta θθ −
−=
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 69
Finalmente obtém-se que:
( ) 33
*2
2
*
23 tT
tT
t ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
θθθθθθ (36)
( ) 23
*
2
*
66 tT
tT
t ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
• θθθθθ (37)
( ) tTT
t ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
••
3
*
2
*
126 θθθθθ (38)
PROBLEMA 28: Considere as condições do exemplo anterior en-
contre as equações da posição, velocidade e acele-
ração como função do tempo, usando um polinô-
mio cúbico. Trace as curvas para cada variável.
14.2.1.3. INTERPOLAÇÃO LINEAR COM BORDAS PA-
RABÓLICAS
Outra estratégia de movimentação é, de certa forma, a
união dos conceitos anteriores. Tem-se uma movimentação li-
near com início e final suave (quadrático). Nota-se que há três
fases distintas.
Fase 1 – Início parabólico: No início do movimento há uma
aceleração constante que faz com que a velocidade au-
mente linearmente. Esse comportamento faz com que a
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 70
posição se altere mais rapidamente.
Fase 2 – Deslocamento linear: Nesta etapa a aceleração deixa
de existir, fazendo com que a velocidade seja constante
que, por sua vez, faz com que o deslocamento seja line-
ar.
Fase 3 – Final parabólico: Para finalizar o movimento é usada
uma desaceleração de valor constante. Essa desacelera-
ção diminui a velocidade de forma linear e faz com que
a posição varie cada vez mais lentamente até atingir a
sua meta.
Fig. 35 – Perfil linear com bordas parabólicas.
Na Fig. 35 vemos que o instante no qual ocorre a tran-
sição da entrada parabólica para o deslocamento linear é deno-
minado de TA e a posição angular nesse instante é definida co-
mo θA. Da mesma maneira, o instante da transição do desloca-
mento linear para a finalização parabólica é chamado de TB e a
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 71
posição angular de θB.
O equacionamento deste caso assume que os segmen-
tos parabólicos têm a mesma duração (Fig. 35), fazendo com
sejam simétricos em relação ao ponto central.
A duração dos segmentos parabólicos depende do va-
lor adotado para a aceleração e desaceleração. Quanto maior
este valor, menor é a porção parabólica, fazendo com que o
movimento tenda a uma interpolação linear simples. Por outro
lado, quanto menor a aceleração, menor é a porção linear. Há
um valor mínimo para a aceleração, que faz com que a porção
linear não exista. Considere que a aceleração mínima é dada
por:
( )2
*
min4
Tθθθ −
=••
(39)
o valor adotado para a aceleração é dado pela expressão a se-guir, onde c > 1 (como valor inicial pode-se usar c = 10).
min
••••
= θθ c (40)
A duração dos segmentos parabólicos é dada por:
( )••
••••
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
±=θ
θθθθ
2
4
2
*2
TTTA (41)
se θ* - θ > 0 → subtrai e adiciona caso contrário
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 72
TB = T – TA (42)
2
2 AA T••
+=θθθ (43)
2*
2 BB T••
−=θθθ (44)
AB
AB
TT −−
=• θθθ (45)
As equações de posição, velocidade e aceleração são: Fase 1:
( ) 2
21 tt
••
+= θθθ (46)
( ) tt•••
=θθ (47)
( )••••
=θθ t (48)
Fase 2:
( ) ( )AA Ttt −+=•
θθθ (49)
( )••
=θθ t (50)
( ) 0=••
tθ (51)
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE
GETIN Pág. 73
Fase 3:
( ) ( ) ( )221
BBB TtTtt −−−+=•••
θθθθ (52)
( ) ( )2BTtt −−=••••
θθθ (53)
( )••••
−= θθ t (54)
PROBLEMA 29: Deduza as equações (46) a (54).
PROBLEMA 30: Trace as curvas de posição, velocidade e acele-
ração usando interpolação linear com bordas para-
bólicas com os dados do problema 28.
Um algoritmo de controle pode ser visto a seguir:
Entre tarefa desejada. Calcule θ*. Gerar trajetória (vetor de pontos intermediários). Enquanto θ[i] <> θ* faça.
Enviar θ[i] para atuador. Incremente i. Leia θ.
Obtenha tarefa atual. Calcule erro.
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PROBLEMA 31: Para o manipulador da Fig. 32, obtenha as equa-
ções para posição, velocidade e aceleração usando
um polinômio de quinta ordem. Esboce os gráficos
e faça uma análise crítica dos resultados.
PROBLEMA 32: Gerar a trajetória para os manipuladores da Fig.
27, utilizando os três perfis vistos acima. Esboce
os gráficos de cada variável de junta e compare-os
criticamente.
PROBLEMA 33: Dimensione o modelo de controle de cada ma-
nipulador da Fig. 27.
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15 – PROGRAMAÇÃO DE ROBÔS
15.1. INTRODUÇÃO
Diferentemente dos Controladores Lógicos Programá-
veis (CLP) e das máquinas de Comando Numérico Computado-
rizado (CNC), os robôs industriais não têm uma linguagem de
programação padronizada e assim cada fabricante desenvolveu
sua própria forma de programar seus equipamentos.
Independentemente da linguagem e da maneira como
os fabricantes implementam cada comando, pode-se descrever
genericamente as principais funções que devem existir para se
realizar uma programação adequada das tarefas a serem realiza-
das pelo robô.
15.2. FUNÇÕES BÁSICAS DE PROGRAMAÇÃO
15.2.1. DEFINIÇÃO DE VARIÁVEIS
Serve para auxiliar no desenvolvimento do programa
dando-lhe maior flexibilidade.
As variáveis podem conter coordenadas geométricas,
tempos ou outras informações.
A alteração do valor de uma variável pode afetar todo o
programa, simplificando as alterações e/ou adaptações.
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15.2.2. DEFINIÇÃO DE RÓTULOS
Esta definição permite que saltos (condicionados ou
não) possam ocorrer para endereços previamente conhecidos
(rótulos).
15.2.3. DEFINIÇÃO DE CONTADORES
Facilitam o processo de manufatura, pois permitem que
o sistema realize a contagem de eventos. Portanto, seu início
deve ser pela definição do tipo de contador (crescente ou de-
crescente) e a ele associar um nome (identificador).
15.2.4. MANIPULAÇÃO DE CONTADORES
As operações relacionadas costumam ser:
Definição do valor inicial;
Incremento ou decremento;
Teste de finalização.
15.2.5. DEFINIÇÃO DE PONTOS DE PARADA
Quando da depuração (processo passa a passo), o em-
prego de pontos de parada (breakpoints) pode facilitar o proces-
so (execução automática até o ponto já depurado). Além disso,
pode haver a necessidade de interromper a execução em certos
instantes.
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15.2.6. MANIPULAÇÃO DE INTERFACES
Um robô deve ser capaz de se comunicar com o ambi-
ente a sua volta e para isto se faz necessário o uso de comandos
que escrevam valores nas portas de saída (output) e leia valores
nas portas de entrada (input) que podem ser digitais ou analógi-
cas.
15.2.7. TEMPO DE ESPERA
Algumas tarefas em uma aplicação ocorrem em tempos
pré-definidos. Isso permite ao programador usar comandos que
interrompam a execução do programa durante esse período de
tempo conhecido e assim sincronizar o robô com o seu meio ex-
terno.
15.2.8. CONTROLE DE VELOCIDADE
Há aplicações onde à velocidade deve ser a maior pos-
sível e a precisão não precisa ser extrema e há outras em que o
inverso é necessário. Portanto, deve haver comandos que defi-
nam a velocidade máxima de um movimento ou a precisão de-
sejada para atingir a meta.
15.2.9. CONTROLE DO EFETUADOR
Muitos efetuadores possuem apenas dois estados (ati-
vado ou desativado), mas o processo de acionamento pode per-
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mitir ao efetuador atuar numa faixa maior de possibilidades en-
tre os valores limites (uso de sensores ou posições intermediá-
rias).
15.2.10. MOVIMENTO ABSOLUTO
São comandos que movimentam o ponto de controle
em relação a um sistema de coordenadas fixo (origem), podendo
ser lineares ou rotativos.
15.2.11. MOVIMENTO RELATIVO
São comandos que movimentam o ponto de controle
em relação à posição atual e também podem ser lineares ou rota-
tivos.
15.2.12. GERAÇÃO DE TRAJETÓRIA
Define a forma de movimentação das juntas para sair
da posição atual e chegar ao destino.
15.2.13. COMANDOS ESPECIAIS
São comandos específicos para realização de tarefas
próprias de cada configuração ou aplicação.
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