Aula 25
Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas
Coordenadas Esféricas
Ou t r o s i s t ema de c o o r denada s tridimensionais útil é o sistema de coordenadas esféricas. Ele simplifica o cálculo de integrais triplas em regiões limitadas por esferas e cones.
Coordenadas Esféricas
Coordenadas Esféricas
O sistema de coordenadas esféricas é útil em problemas nos quais exista simetria em torno de um ponto e a origem esteja colocada neste ponto.
Exemplo
,uma esfera
cρ =
Exemplo
,um semiplano
cθ =
Exemplo
, um semiconecφ =
Relação entre Coordenadas esféricas e retangulares
cossencossen
zrx ry r
ρ φρ φ
θθ
====
Conversão
Para converter de coordenadas esféricas para retangulares, usamos as equações
Para converter de coordenadas retangulares
para esféricas, usamos a equação
sen cos sen sen cosx y zρ φ θ ρ φ θ ρ φ= = =
Exemplo 1
O ponto é dado em coordenadas esféricas. Marque o ponto e encontre suas coordenadas retangulares.
Solução:
Exemplo 1
Logo, o ponto em Coordenadas retangulares é
3 1 3sen cos 2 sen cos 23 4 2 22
x π πρ φ θ⎛ ⎞⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
3 1 3sen sen 2 sen sen 23 4 2 22
y π πρ φ θ⎛ ⎞⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
1cos 2cos 2 13 2
z πρ φ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
Exemplo 2
O ponto está dado em coordenadas retangulares. Encontre coordenadas esféricas para este ponto.
Exemplo 2
Da equação temos logo
⇒
Exemplo 2
Obs: Logo, as coordenadas esféricas do ponto dado são
cos 0sen 2x πθ θ
ρ φ= = ⇒ =
3 , pois 2 3 0.2
yπθ ≠ = >
Integrais Triplas em coordenadas esféricas
Nesse sistema de coordenadas à caixa retangular é uma cunha esférica
onde
( ){ }, , | , ,E a b c dρ θ φ ρ α θ β φ= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
0, 2 ea d cβ α π π≥ − ≤ − ≤
Integrais Triplas em coordenadas esféricas
seni kρ φ θΔ
seni i kr ρ φ=seni i kr θ ρ φ θΔ = Δ
Fórmula para Integração Tripla em coordenadas cilíndricas
onde é um cunha esférica dada por
( ) 2
( , , )
sen cos , sen sen , cos sen d d d
Ed b
c a
f x y z dV
fβ
αρ φ θ ρ φ θ ρ φ ρ φ ρ θ φ=
∫∫∫
∫ ∫ ∫
E
( ){ }, , | , ,E a b c dρ θ φ ρ α θ β φ= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Extensão da fórmula
A fórmula anterior pode ser estendida para incluir regiões esféricas mais gerais, como
Calcule onde é a bola unitária:
Exemplo 3
( )3/22 2 2
,x y z
Be dV+ +
∫∫∫B
( ){ }2 2 2, , | 1B x y z x y z= + + ≤
Exemplo 3
Solução: como a fronteira de é uma esfera, utilizaremos coordenadas esféricas:
Além disso, as coordenadas esféricas são
convenientes, pois
B
Exemplo 3
( )
( )
[ ] ( )
3/22 2 2
3/22
3
3
2 1 2
0 0 02 1 2
0 0 01
00
sen d d d
sen d d
1 4cos 2 ( 1)3 3
x y z
Be dV
e
d e
e e
π π ρ
π π ρ
π ρ
ρ φ ρ θ φ
φ φ θ ρ ρ
φ π π
+ +
=
=
⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫∫∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
Exemplo 3
Seria extremamente complicado calcular a integral sem coordenadas esféricas. Com coordenadas retangulares, a integral seria
Exemplo 4
Ut i l i ze coordenadas es fér icas para determinar o volume do sólido delimitado pelo cone e pela esfera
(veja a figura).
Exemplo 4
Exemplo 4
Solução
Note que a esfera passa pela origem e tem centro em Escrevemos a equação da esfera em
coordenadas esféricas como
ou
10,0, .2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Solução
A equação do cone pode ser escrita como Isto dá ou Logo, a descrição do sólido em coordenadas
esféricas é
2 2 2 2 2 2cos sen cos sen sen sen .ρ φ ρ φ θ ρ φ θ ρ φ= + =
sen cosφ φ=
Solução
Solução
2 /4 cos 2
0 0 0cos32 /4
0 00
/44/4 3
00
( )
sen d d d
sen d3
2 2 cossen cos d3 3 4
E
V E dV
d
π π φ
φπ π
ππ
ρ φ ρ φ θ
ρθ φ φ
π π φφ φ φ
=
=
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤= = −⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫∫∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
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