Indecibilidade da Lógica de Predicados
Felipe CecagnoGuilherme Lazzarotto de Lima
Luiz Fernando Scheidegger
(UFRGS – Instituto de Informática 2006/2)
Contexto Histórico
• Final do séc. XIX: Intelectuais acreditavam que havia pouca coisa a ser ainda descoberta
• 1900: Congresso Internacional de matemática (Paris). David Hilbert propôs 23 problemas que seriam um fecho da matemática
• em 1931, Kurt Gödel publicou uma prova de que a Lógica de Predicados, junto com uma forma de Aritmética, é necessariamente incompleta
Kurt Gödel (1906 1978)
• Gödel foi um matemático Austríaco, nascido em Brno, na atual República Tcheca
• Publicou trabalhos importantíssimos para a Lógica Formal
Viveu durante muito tempo nos Estados Unidos, onde conheceu cientistas importantes como Albert Einstein
Problema 2 de Hilbert
• Gödel resolveu, em 1931, o problema 2 dos 23 problemas propostos por Hilbert
• A solução causou controvérsia e contrariou a expectativa geral dos intelectuais da época
• Se acreditava que a Aritmética Formal seria completa
Aritmética de Peano
• Baseada em axiomas:– 0 é um número natural– qualquer número natural tem um sucessor– 0 não sucede nenhum número– dois números diferentes têm sucessores
diferentes– indução matemática
A prova de Gödel
O paradoxo do mentiroso:Esta frase é uma mentira.
Formalização de uma construção semelhante para Lógica Formal:
“Esta afirmativa é verdadeira e não pode ser provada.”
Enumeração de Gödel
• Símbolos são arbitrários, e podem ser substituídos:
0 .... 666S .... 123= .... 111+ .... 112* .... 236^ .... 161v .... 616
etc.
Autoreferência
• Como símbolos são substituídos para números, e números já podem ser tratados na nossa lógica, podemos falar de proposições que se referem a outras proposições:
p(a) > p'(a)
SSS........SSS0 = 0(exatamente 133,362,262,323,633,133,163,362,262,323 S's)
Quinificação e Pares de Prova
• Quinificação consiste em colocar dentro de uma fórmula uma referência para seu próprio número de Gödel. Com isso, esta fórmula pode falar sobre si mesma.
• Pares de prova são uma propriedade de alguns números que permitem expressar a noção de existência ou não de uma prova dentro do sistema formal.
Conseqüências
• Depois que a incompletude da lógica de Predicados foi provada, os esforços passaram a ser dispendidos em descobrir se havia como diferenciar fórmulas que tinham provas daquelas que não tinham provas.
Alan Mathison Turing (1912 1954)
Cálculo Lambda
• Um pouco antes da prova de Turing, entretanto, Alonzo Church publicou, nos Estados Unidos, um artigo sobre o Cálculo Lambda, que efetivamente provava a mesma coisa que Turing provou com suas máquinas universais
Entscheidungsproblem
• Turing desenvolveu o conceito de Máquinas de Turing, e provou, com estas, que não há um algoritmo capaz de decidir se uma fórmula da lógica é provável ou não;
• Prova baseada no argumento de Diagonalização de Cantor
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