MoF
O
F
φ
d
r
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA PROF.: SERGIO TRANZILLO FRANÇA
MECÂNICA - RESUMOS E EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
CURSO: ENGENHARIA CIVIL
02. MOMENTOS: Momento em relação a ponto; momento em relação a eixo; binários
Momento – tendência de rotação
Momento em relação a ponto: (rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano força/ponto) Mo
F = r X F = rFsenφ = Fd Decompondo em coordenadas cartesianas: r = rxi + ryj + rzk F = Fxi + Fyj + Fzk;
Mo
F = ;
No plano: rz = 0 ; Fz = 0 ⇒ Momento na direção k (eixo z) Mz = rxFy – ryFx
Rotação em torno de cada eixo coordenado
i j k rx ry rz Fx Fy Fz
M = √ Mx2 + My2 + Mz2
Mx = ryFz – rzFy My = rzFx – rxFz Mz = rxFy – ryFx
Cosθx = Mx/M ; Cosθy = My/M ; Cosθz = Mz/M
A
r
F
C
B
rA
rB
E. CIVIL - 01
SERGIO TRANZILO FRANÇA
Momento em relação a eixo: projeção de Mo no eixo. Rotação em torno de um dado eixo (específico).
MeF = λ • Mo
F = λ • (r X F)
Decompõe a força; determina vetor posição; determina o vetor unitário (eixo)
Me
F =
Binário: duas forças com mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentido contrários.
Gera apenas rotação. É representado por um vetor livre.
M = r X F = rFsenθ = Fd (momento do binário) Direção: perpendicular ao plano de F Quando um binário atua em um corpo rígido, o importante é o valor do momento (intensidade, direção e sentido). Binários equivalentes: mesma rotação no corpo rígido. Binário resultante: soma vetorial dos binários (momentos) aplicados. Sistema força-binário: permite deslocar uma força para qualquer ponto do corpo rígido, aplicando-se neste ponto a força e o momento gerado em relação ao mesmo (mantêm-se o efeito).
λx λy λz rx ry rz Fx Fy Fz
O
A •
r • F
O
A•
•
MoF
=
ΣF = 0 ΣM ≠ 0
MeF
λ
MoF
r
F e
F - F
d
M
r
SERGIO TRANZILO FRANÇA
E. CIVIL - 02
4m
1m A
B
α
F = 80N
0,6m
0,2m
0,4 0,2
0,2m
0,2 D
C
B
A
30º
F
EXERCÍCIOS 1. Uma força F = 120 N, é aplicada em A. Determine
o momento de F em relação a B, sendo α = 60o. Determine a distância entre a linha de ação de F e o ponto B.
2. Para a figura da questão anterior, determine o valor
de α, para o qual o momento produzido pela força é máximo, e o valor correspondente deste momento.
3.Uma força F = 150 N, é aplicada no ponto B como
ilustrado. Determine o momento desta força em relação ao ponto A, usando: a) a definição de momento; b) a decomposição da força em componentes horizontal e vertical; c) a decomposição da força em componentes segundo a reta AB e perpendicular a ela.
4. Determine: a) uma força horizontal em D, que produza o
mesmo momento de F em relação ao ponto A b) a menor força aplicada em C, que produz o
mesmo momento de F em relação ao ponto A 5. Para a situação ilustrada, o momento de T em relação ao ponto O é M = 72 kNm. Determine o valor de T. 6. Determine o maior e o menor momento para a
força F em relação ao ponto B, e o respectivo valor de α.
7. Sendo P = 9 kN, determine o momento desta força
em relação ao ponto C, e a distância de sua linha de ação ao referido ponto.
8. a) Sendo F = 20N, determine o momento desta
força, em relação à base do poste. b) Determine a menor força F, para que o poste se quebre na base, sabendo que para isto, é necessário um momento de 900 N.m
9. Determine o momento de F = 120 N, em torno da
reta AB e a distância de sua linha de ação à reta indicada.
10. Sendo Q = 100 N e P = 130 N, determine a
distância entre as retas AB e CD, através do conceito de momento.
α F
A
0,30m
30o
B
O
30m
60o
12m
T
Q
P
5 4
3
12
C
A D
B
F
10,5
4,0
3,0 1,5
B
A
4
C
3
6
5
4
2
2
P
F
B
A
50
20 20
10
20
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E. CIVIL - 03
G
H
F
B 20o
8000N
0,6
0,3
0,3
0,3 m
0,6
0,9
E
A
D
C
F=-4i+10j+8k F=4i-10j-8k
B A
3
2
3
4
5
30o F = 200N
C
B A
0,8 m
0,5 m
11. Determine a distância entre a linha de ação da força F e a reta CD. .
12. a) Sabendo que o momento de F em relação a reta AB, e - 90 N.m, determine o valor de F.
b) Se a força F for aplicada na reta AB, e se você desejar que o seu momento em relação à reta CD seja positivo, qual deve ser o sentido de orientação da força F? Justifique.
13. Uma força é aplicada como ilustrado. Determine: a) um sistema força-momento equivalente em A; b) duas forças horizontais em B e E, equivalentes ao momento encontrado; c) as menores forças aplicadas em C e F, equivalentes ao momento encontrado;
d) as menores forças aplicadas na placa, equivalentes ao momento encontrado.
14. Uma força é aplicada como ilustrada. Determine: a) Um sistema força-momento equivalente em B; b) Um sistema equivalente, formado por duas
forças paralelas aplicadas em B e C.
15. A chapa em forma de L, mostrada na figura, está submetida a duas forças de 250 N, como ilustrado em (a); Deseja-se substituir estas forças por um conjunto equivalente, constituído da força de 200 N aplicada em A e de uma segunda força aplicada em B, como ilustrado em (b). Determinar a coordenada y de B.
16. Para o sistema a seguir, determine: a) um sistema força momento equivalente no ponto B b) um binário equivalente ao momento, formado pelas menores forças aplicadas em A e C c) um binário equivalente ao momento, formado pelas menores forças aplicadas na placa d) um sistema equivalente, formado por duas forças paralelas aplicadas em B e C. .
17 A treliça suporta uma carga F = 40 kN, como ilustrado. No ponto A, existe uma força horizontal, e no ponto B, uma força horizontal e outra vertical. Se a força F e a força vertical de B formam um binário igual e oposto ao binário formado pelas forças horizontais em A e B, determine os valores dessas forças horizontais. 18. Determine o momento do binário mostrado na figura.
160mm
240mm
250N
200mm
250N
30o
B
A
y
200N
(a) (b)
4m
5m
4m
B
40kN
A
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E. CIVIL - 04
D
C
3m
2m
4m 5m 2m
2m
4m
B
A
2m 3m
F=5kN 4m
x
y
z
B 30º
4,5 kN
A
C
D
5,0 m 3,5 m
4,0 m A
B
F 7m
3m 6m
2m
3m x
y
z
8m
C
D
α = 63,4o
α = 45o
α = 30o
100mm
45o
75mm 100mm
C
B A
α = 48,8o
α = 38,7o
19. A chapa indicada, está sujeita a três força de 400N; Substitua estas forças, por um sistema formado por duas forças paralelas, atuando em A e B. (Indicar módulo, direção e sentido). 20. Um cabo amarrado em B, exerce sobre a barra AB de 3,0m de comprimento, uma força 5000 N. Substitua a força exercida em B, por uma força e um momento em A.
RESPOSTAS: 1. M = 31,2 Nm; d = 0,26 m 2. α= 30o; M = 36 Nm 3. M = -44 Nm 4. a) F = 220N b) F = 53,6N; α = 76o 5. T = 8,65 KN 6. Mmax = 329,6 N; α = 104º ; Mmin = 0; α = 14º 7. M = 25,06i +49,26j+3,58k (KNm); d =6,15 m 8. a) 81,58i + 61,22 k b) 176,6 N 9. M = 1,18 KNm ; d = 9,8 m 10. d = 2,22 m 11. d = 0,52 m 12. 22,4 N; sentido BA. 13.a) F = 7,52i – 2,74j (kN); M = 5,95k (kNm) b) F = 4,96 kN c) F = 4,44 kN, em C e F;
d) F = 3,5 KN, em B e E
14. a) F = -173,21i – 100j (N); M = 50k (Nm)
b) F = 272,5 N em B; 72,5 N em C; 15. y = 0,35 m 16. a) M = - 9 kNm b) F = 1,69 kN, em A e C;
c) F =1,4 kN, em B e D;
d) FB = 7,5 kN FC = 3,0 kN α= 45º 17 . FH = 64 kN
18. M = 20i –24j +40k (Nm) 19.FA = 887,1 N FB = 78,5 N α= 45º 20. F = 2,8i – 3,7j + 1,9k (kN) M = 4,6i – 3,4j – 13,4k (kNm)
A
B
1,2m
C
1,8m 1,8m
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E. CIVIL - 05