Universidade Federal da Paraíba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Mestrado em Matemática
Ideais Primitivos e o Módulo Conormal
Reginaldo Amaral Cordeiro Junior
2013
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Mestrado em Matemática
Ideais Primitivos e o Módulo Conormal
por
Reginaldo Amaral Cordeiro Junior
sob orientação do
Prof. Dr. Cleto Brasileiro Miranda Neto
Maio de 2013
João Pessoa-PB
ii
C794s Cordeiro Junior, Reginaldo Amaral.
Ideais primitivos e o módulo conormal/ Reginaldo AmaralCordeiro Junior. � João Pessoa: [s.n.], 2013.
50f.Orientador : Cleto Brasileiro Miranda Neto.Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN.
1. Matemática. 2. Ideal primitivo. 3. Módulo conormal
UFPB/BC CDU: 51(043)
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Mestrado em Matemática
Ideais Primitivos e o Módulo Conormal
por
Reginaldo Amaral Cordeiro Junior
Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade
Federal da Paraíba, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre
em Matemática.
Área de Concentração: Álgebra
Aprovado por:
Prof. Dr. Cleto Brasileiro Miranda Neto�UFPB (Orientador)
Prof. Dr. Aron Simis � UFPE
Prof. Dr. Napoleón Caro Tuesta � UFPB
iv
Sumário
Agradecimentos vii
Resumo viii
Abstract ix
Introdução x
1 Preliminares 1
1.1 O módulo de derivações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Idealizadores diferenciais e tangenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Ideais Primitivos 5
2.1 Ideais primitivos de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 O cálculo do ideal primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Módulo Conormal via Ideais Primitivos 20
3.1 Torção via ideais primitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Liberdade de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A Resultados Auxiliares 37
Referências Bibliográ�cas 38
vi
Agradecimentos
Agradeço acima de tudo a Deus, pelo dom da vida e por estar constantemente
me provando que é possível crescer diante das di�culdades e também pela felicidade
de poder compartilhar com todos a conquista de mais essa etapa importante em
minha vida.
Ao professor Cleto Brasileiro Miranda Neto, pela orientação e tempo dedicado a
este trabalho.
A toda minha família, sobretudo a meus pais Reginaldo e Marta Suely, que
con�aram em mim e estiveram sempre ao meu lado me incentivando.
A minha namorada e amiga Yane Lísley, pelo carinho, compreensão e incentivo
dedicados a mim nesses anos.
Aos amigos que encontrei em minha caminhada, os quais tanto me incentivaram e
me ajudaram a transpor todos os obstáculos até aqui. Em especial, agradeço Gilson
Mamede, Josenildo Brandão, Guilherme Luiz, Dayvid Gerverson, Gustavo Araújo,
Pammella Queiroz e aos amigos da pós-graduação, pela amizade, companherismo e
grande apoio nos momentos difíceis.
Aos professores do departamento de matemática da UEFS, pelo apoio e incentivo.
A Capes, pelo apoio �nanceiro.
En�m, a todos aqueles que colaboraram de alguma forma para a realização deste
trabalho.
Muito Obrigado!
vii
Resumo
Neste trabalho, nosso principal objetivo é introduzir e investigar certas
propriedades dos chamados ideais primitivos de Pellikaan-Siersma, incluindo uma
versão relativa a um par de ideais e uma generalização em ordem superior devida a
Jiang-Simis, bem como aplicar tal teoria ao estudo do módulo conormal M de um
ideal em um anel quociente, com foco em uma descrição adequada de sua torção
T (M) e na liberdade do módulo livre-de-torção M/T (M). A conexão entre M e a
segunda potência simbólica de um certo ideal (o ideal cujo módulo conormal é M)
também será destacada.
viii
Abstract
In this work, our main objective is to introduce and investigate certain properties
of the so-called primitive ideals of Pellikaan-Siersma, including a version relative to
a pair of ideals and a generalization to higher order due to Jiang-Simis, as well as to
apply such theory to the study of the conormal module M of an ideal in a quotient
ring, with focus on an adequate description of its torsion part T (M) and on the
freeness of the torsion-free module M/T (M). The connection between M and the
second symbolic power of a certain ideal (the ideal whose conormal module is M)
will also be highlighted.
ix
Introdução
Neste trabalho, nosso principal objetivo é introduzir e investigar certas
propriedades dos chamados ideais primitivos ([14], [15]), incluindo uma versão
relativa a um par de ideais ([6]) e uma generalização em ordem superior ([8]), bem
como aplicar tal teoria ao estudo do módulo conormal M de um ideal em um anel
quociente, com foco em uma descrição adequada de sua torção T (M) e na liberdade
do módulo livre-de-torção N := M/T (M) ([7]). A conexão entre M e a segunda
potência simbólica de um certo ideal (o ideal cujo módulo conormal é M) também
será destacada.
A titulo de informação, diversas aplicações (que não serão abordadas neste
trabalho) desta teoria podem ser executadas em Teoria de Singularidades (de onde
o conceito de ideal primitivo é oriundo), por exemplo, no estudo de retas em uma
interseção completa com singularidade isolada ([7, Section 5], [5]).
No Capítulo 1 introduzimos algumas noções iniciais que serão úteis ao longo de
todo o trabalho, a saber: o módulo clássico de derivações, e os módulos idealizadores
diferenciais e tangenciais tanto em versão absoluta como em versão relativa.
No Capítulo 2, a nossa principal meta é o estudo do ideal primitivo relativo
a um dado par de ideais. Introduziremos um análogo em ordem superior de tal
ideal. Faremos uso da noção de operadores diferenciais de ordem superior iterados, e
estabeleceremos uma conexão entre ideais primitivos de ordem superior e potências
simbólicas (relativas) de um ideal. Apresentaremos também um algoritmo para
calculá-los e forneceremos exemplos explícitos, ilustrando o método.
No Capítulo 3, estaremos concentrados no estudo do módulo conormal M :=
J/J2 de um ideal J em um anel residual A/I, onde A é um anel de polinômios
sobre um corpo de característica zero. Daremos uma abordagem por meio de ideais
x
primitivos. O A-submódulo de torção T (M) ⊂ M (cuja estrutura relacionaremos
com a segunda potência simbólica J (2) de J) e o correspondente módulo livre de
torção M/T (M) serão expressos em termos do ideal primitivo de J relativo a I.
Em geral, A/I é não-regular, de modo que o A/J-módulo M não é livre e pode
ter torção não-trivial, mesmo no caso em que I e J são interseções completas (isto
é, gerados por sequências regulares), e além disso, a dimensão projetiva de J não
é �nita (logo, J não é, em geral, uma interseção completa em A/I). Com base em
tais observações, os seguintes problemas são importantes:
a) Descrever o módulo T (M), e calcular o seu comprimento (quando �nito);
b) Descrever o módulo N := M/T (M) e encontrar uma caracterização para
liberdade de N .
Sob certas condições, solucionaremos os problemas a) e b). Mais precisamente,
após a obtenção de descrições para os módulos T (M) e N , provaremos o principal
resultado tratado nessa dissertação:
Teorema Principal. Sejam I ⊂ J ideais interseções completas em um anel de
polinômios A sobre um corpo k de característica zero. Suponha que o Spec(A/J) é
reduzido e conexo, e que o ideal jacobiano J (I) de I não está contido em nenhum
primo minimal de A/J . O A/J-módulo N é livre se, e somente se, existe uma
sequência regular g1, . . . , gn gerando J , tal que
∫I
J = (g1, . . . , gp) + (gp+1, . . . , gn)2,
onde p := grade(I), n := grade(J).
Finalmente, um exemplo será dado ilustrando este resultado principal.
Um pequeno apêndice fornecido no �nal deste trabalho, contendo o enunciado
de quatro resultados bem conhecidos em Álgebra Comutativa e que foram algumas
das ferramentas usadas nesta dissertação.
xi
Capítulo 1
Preliminares
Ao longo deste capítulo, apresentaremos alguns conceitos fundamentais para este
trabalho.
Convenção: Em toda esta dissertação, o termo anel signi�cará anel comutativo
com 1.
1.1 O módulo de derivações
De�nição 1.1. Sejam A um anel e M um A-módulo. Uma derivação de A em M
(ou a valores em M) é uma aplicação D : A −→M satisfazendo as relações
(i) D(a+ b) = D(a) +D(b)
(ii) D(ab) = aD(b) + bD(a) (Regra de Leibniz)
para quaisquer a, b ∈ A.
O conjunto de todas as derivações de A em M , denotado por Der(A,M), torna-
se um A-módulo com as operações naturais (D1 + D2)(a) = D1(a) + D2(a) e
(aD)(b) = aD(b). No caso M = A, a notação se reduz a Der(A). Se A é uma
k-álgebra (k anel) via um homomor�smo ϕ : k −→ A, pomos
Derk(A,M) = {D ∈ Der(A,M) |D ◦ ϕ ≡ 0},
1
Capítulo 1. Preliminares 2
que, como se veri�ca imediatamente, é um A-submódulo de Der(A,M). Os
elementos de Derk(A,M) são chamados de k-derivações (ou derivações sobre k).
Observamos que, sendo 1 · 1 = 1, temos D(1) = D(1 · 1) = 1 · D(1) + 1 · D(1)
donde D(1) = 0 para qualquer D ∈ Der(A,M). Assim, considerando A como uma
Z-álgebra, obtemos Der(A,M) = DerZ(A,M).
A notação para A-módulo das k-derivações a valores em A (isto é, caso M = A)
reduz-se a Derk(A). O anel de coe�cientes de uma derivação D ∈ Derk(A) (como
aplicação k-linear) é o núcleo Ker(D). Notamos que Im(ϕ) ⊆ Ker(D), onde
ϕ : k −→ A é o homomor�smo estrutural.
Consideremos dois exemplos básicos:
Exemplo 1.2. Sejam A um anel, B = A[X1, . . . , Xn] (onde os X ′is são
indeterminadas sobre A) eM um B-módulo. Fixando arbitrariamente m1, . . . ,mn ∈
M , vemos que D =n∑i=1
∂
∂Xi
·mi é uma derivação, o que segue imediatamente da
aditividade das derivadas parciais e da regra de Leibniz habitual. Quando M = B
e mi = Xi, 1 ≤ i ≤ n, D é chamada a derivação de Euler.
Exemplo 1.3. Sejam A anel e A[X] = A[X1, . . . , Xn]. Então DerA(A[X]) é um
A[X]-módulo livre de posto n, gerado por∂
∂X1
, . . . ,∂
∂Xn
. Explicitamente:
DerA(A[X]) =n⊕i=1
A[X] · ∂
∂Xi
∼= A[X]n.
Encerramos esta seção citando uma propriedade natural das derivações: se A é
um anel e S ⊂ A um conjunto multiplicativo, então cada D ∈ Der(A) induz uma
(única) D ∈ Der(AS), onde AS denota S−1A. Essencialmente, põe-se D : AS −→ AS
como D(t−1a) = t−2(tD(a)−aD(t)). Se em particular A é um domínio de integridade
(donde o ideal (0) é primo) com corpo de fraçõesK (isto é, K = AS com S = A\{0})
e se L é um corpo qualquer contendo A, então cada D ∈ Der(A,L) se estende a uma
D ∈ Der(K,L).
Capítulo 1. Preliminares 3
1.2 Idealizadores diferenciais e tangenciais
Seja A um anel e seja k ⊂ A um subanel. O conjunto Endk(A) de endomor�smos
de k-módulos de A é um A-módulo da maneira usual, através da qual a multiplicação
por escalar aρ (a ∈ A, ρ ∈ Endk(A) ) é para ser tomada como a composição µa ◦ ρ,
onde µa denota o endomor�smo dado por multiplicação por a.
Dado um inteiro r ≥ 0, seja Diff(r)(A) = Diff(r)k (A) ⊂ Endk(A) o A-submódulo
consistindo dos operadores diferenciais de ordem ≤ r da k-álgebra A ([3], [13]).
Nosso principal interesse estará baseado na seguinte noção inicial.
De�nição 1.4. Seja I ⊂ A ideal. O r-ésimo idealizador diferencial de I é dado por
I(r)I := {δ ∈ Diff(r)(A) | δ(I) ⊂ I}.
Para r = 1, escrevemos I(1)I = II , o o idealizador diferencial de I. Note que, a
partir da estrutura de A-módulo de Endk(A) como acima, segue facilmente que o
idealizador de ordem r de I é um A-submódulo de Diff(r)(A).
No caso em que r = 0, tem-se Diff(0)(A) = A e assim I(0)I = A. É sabido que
Diff(r)(A) = A⊕Der(r)(A),
onde Der(r)(A) é o A-módulo das k-derivações de ordem r de A, e que portanto
I(r)I = A⊕Der
(r)I (A), onde
Der(r)I (A) = {δ ∈ Der(r)(A) | δ(I) ⊂ I},
o chamado o r-ésimo idealizador tangencial de I. No caso r = 1 escrevemos
simplesmente DerI(A), o idealizador tangencial de I, (denotado em [12] por TA(I)).
Dado um outro ideal J , podemos também considerar o idealizador tangencial relativo
ao par I, J ,
DerI,J(A) := {δ ∈ Derk(A) | δ(I) ⊂ J}.
Para um determinado r ≥ 0, consideramos ainda um outro A-módulo, o
A-submódulo (II)r ⊂ I(r)I , gerado pelos elementos de II . Em outras palavras,
Capítulo 1. Preliminares 4
os elementos desse submódulo são combinações A-lineares de composições de t
elementos de II , para t ≤ r.
Para um dado elemento f ∈ A, os conjuntos
(II)r(f) := {δ(f) | δ ∈ (II)r} ⊂ I(r)I (f) := {δ(f) | δ ∈ I(r)
I }
são ideais de A, o que segue da estrutura de A-módulo de I(r)I .
Capítulo 2
Ideais Primitivos
O chamado ideal primitivo relativo a um dado par de ideais foi primeiramente
estudado por Jiang-Pellikaan-Siersma ([6], [14],[15]). Neste capítulo, introduziremos
um análogo em ordem superior de tal ideal devido a Jiang-Simis ([8]). Faremos uso
da noção de operadores diferenciais de ordem superior iterados, e estabeleceremos
uma conexão entre ideais primitivos de ordem superior e potências simbólicas
(relativas) de um ideal. Apresentaremos também um algoritmo para calculá-los.
2.1 Ideais primitivos de ordem superior
Antes de de�nirmos o principal conceito deste capítulo, fornecemos a de�nição
de ideal primitivo (ordinário), mas já em um contexto puramente algébrico
(originalmente, tal conceito foi introduzido no contexto complexo-analítico).
De�nição 2.1. Sejam I ⊂ J ⊂ A ideais. O ideal primitivo de J relativo I é de�nido
por ∫I
J := {f ∈ J | ξ(f) ∈ J para todo ξ ∈ DerI(A)}.
Agora, a noção correspondente em ordem superior:
De�nição 2.2. (i) Sejam I ⊂ J ⊂ A ideais, e seja r ≥ 0 inteiro. O r-ésimo ideal
primitivo de J relativo a I é dado por
∮ (r)
I
J := {f ∈ J | I(r)I (f) ⊂ J}.
5
Capítulo 2. Ideais Primitivos 6
(ii) O r-ésimo ideal primitivo iterado de J relativo a I é dado por
∫ (r)
I
J := {f ∈ J | (II)r(f) ⊂ J}.
Claramente∮ (r)
I
J ⊂∫ (r)
I
J , pois (II)r ⊂ I(r)I e, trivialmente
∮ (0)
I
J =
∫ (0)
I
J = J.
Se r = 1, simpli�camos a notação e temos∮ (1)
I
J =
∫ (1)
I
J =
∫I
J , que é o ideal
primitivo ordinário.
A vantagem da segunda noção é que ela permite um método recursivo de cálculo,
de acordo com o resultado abaixo.
Proposição 2.3. Sejam I ⊂ J ⊂ A ideais. Então
∫ (r)
I
J =
{f ∈ J | II(f) ⊂
∫ (r−1)
I
J
}.
Em particular,∫ (r)
I
J =
∫I
(∫ (r−1)
I
J
).
Demonstração: Para r ≥ 0, de�na de forma iterada,
∫ ((r−1→r))
I
J :=
{f ∈ J | II(f) ⊂
∫ ((r−2→r−1))
I
J
}
com a condição inicial ∫ (−1→0)
I
J := J.
Mostraremos que, para todo inteiro r ≥ 0,
∫ (r)
I
J =
∫ ((r−1→r))
I
J
Capítulo 2. Ideais Primitivos 7
O que facilmente implicará o nosso resultado. Argumentaremos por indução. Seja
r ≥ 0. Uma vez que ∫ (0)
I
J =
∫ ((−1→0))
I
J (= J),
assumiremos indutivamente que, para s ≤ r − 1,
∫ (s)
I
J =
∫ ((s−1→s))
I
J
Mostraremos inicialmente a inclusão
∫ (r)
I
J ⊂∫ ((r−1→r))
I
J. (2.1)
Seja f ∈∫ (r)
I
J e seja δ ∈ II arbitrário. Queremos mostrar que
δ(f) ∈∫ ((r−2→r−1))
I
J.
Por hipótese de indução temos que
∫ (r−1)
I
J =
∫ ((r−2→r−1))
I
J.
Sendo assim, basta mostrar que δ(f) ∈∫ (r−1)
I
J , isto é, que (δ1 · · · δt)(δ(f)) ∈ J
para todo δ1, . . . , δt ∈ II e para todo t ≤ r − 1.
Mas (δ1 · · · δt)(δ(f)) = (δ1 · · · δtδ)(f), e (δ1 · · · δtδ)(f) ∈ J pois trata-se de uma
composição de t + 1 ≤ r derivações de ordem 1, e além disso f foi tomado em∫ (r)
I
J . Assim, (δ1 · · · δt)(δ(f)) ∈ J e logo
δ(f) ∈∫ ((r−2→r−1))
I
J
Daí, segue que f ∈∫ ((r−1→r))
I
J . Mostrando assim a inclusão.
Capítulo 2. Ideais Primitivos 8
Mostraremos agora a inclusão oposta,
∫ ((r−1→r))
I
J ⊂∫ (r)
I
J (2.2)
Seja f ∈∫ ((r−1→r))
I
J e seja δ ∈ II arbitrário. Queremos mostrar que δ(f) ∈∫ (r−1)
I
J .
Por hipótese de indução temos
∫ (r−1)
I
J =
∫ ((r−2→r−1))
I
J.
Como δ(f) ∈∫ ((r−2→r−1))
I
J , pois f ∈∫ ((r−1→r))
I
J , temos que δ(f) ∈∫ (r−1)
I
J , ou
seja, (δ1 · · · δt)(δ(f)) ∈ J para todo δ1, · · · , δt ∈ II e para todo t ≤ r − 1. Logo
(δ1 · · · δtδ)(f) ∈ J . Segue-se que f ∈∫ (r)
I
J .
Portanto, por (2.1) e (2.2) temos
∫ (r)
I
J =
∫ ((r−1→r))
I
J.
Este resultado acima, apesar de simples, permite-nos derivar alguns resultados
importantes. Primeiro, recordemos a seguinte noção:
De�nição 2.4. Dados um anel Noetheriano A, um ideal I ⊂ A e um inteiro não
negativo s, a s-ésima potência simbólica de I, denotada por I(s), é de�nida como a
interseção das componentes primárias isoladas de I(s). Mais precisamente,
I(s) =
a ∈ A | ∃x ∈ A \ ⋃P∈Min(A/I)
P, com xa ∈ Is .
Proposição 2.5. Seja A uma k-álgebra Noetheriana e sejam I ⊂ J ⊂ A ideais.
Então:
(i) Para todo r ≥ 0,
0 :A
( ∫ (r)
IJ∫ (r+1)
IJ
)⊃ J.
Capítulo 2. Ideais Primitivos 9
(ii) Se J não possui primos associados imersos, então para todo r ≥ 0,
Ass
(A
J
)= Ass
(A∫ (r)
IJ
).
(iii) Se J não possui primos associados imersos, então, para todo r ≥ 0,
J (r+1) ⊂ J (r+1) ⊂∫ (r)
I
J,
onde J (r+1) denota a imagem inversa, em A, de
(J
I
)(r+1)
⊂ A
I. Além disso,
Ass
(A
J
)= Ass
(A
J (r+1)
).
Demonstração: (i) Vamos proceder por indução em r. Para r = 0, devemos
veri�car que J2 ⊂∫I
J . Como será visto em breve, esta parte já está incluída na
etapa geral da recursão.
Assim suponhamos que J∫ (r−1)
I
J ⊂∫ (r)
I
J , e mostremos que J∫ (r)
I
J ⊂∫ (r+1)
I
J .
De fato, sejam f ∈∫ (r)
I
J , g ∈ J e δ ∈ II . Então
δ(gf) = δ(g)f + gδ(f).
O primeiro somando do lado direito δ(g)f pertence a∫ (r)
I
J (pois f ∈∫ (r)
I
J). Como
δ(f) ∈∫ (r−1)
I
J por suposição, o segundo somando gδ(f) pertence a J∫ (r−1)
I
J . Por
sua vez, este último está contido em∫ (r)
I
J por hipótese de indução.
Daí, como ambos os somandos pertencem a∫ (r)
I
J , temos que δ(gf) ∈∫ (r)
I
J , logo
gf ∈∫ (r+1)
I
J . Portanto o anulador do A-módulo
∫ (r)
IJ∫ (r+1)
IJ
contém J .
(ii) Primeiramente a�rmamos que Jr+1 ⊂∫ (r)
I
J para cada r ≥ 0. Procedamos
por indução em r
Se r = 0 temos que J ⊂∫ (0)
I
J = J por de�nição. Suponhamos que o resultado
Capítulo 2. Ideais Primitivos 10
seja válido para r − 1, ou seja, Jr ⊂∫ (r−1)
I
J . Provemos agora para r, ou seja,
Jr+1 ⊂∫ (r)
I
J .
Como Jr+1 = JJr e temos por hipótese de indução que Jr ⊂∫ (r−1)
I
J , segue que
JJr ⊂ J
∫ (r−1)
I
J . Por (i) obtemos que J∫ (r−1)
I
J ⊂∫ (r)
I
J , logo Jr+1 ⊂∫ (r)
I
J ,
provando a a�rmação.
Assim das inclusões
Jr+1 ⊂∫ (r)
I
J ⊂ J
decorre que∫ (r)
I
J e J têm o mesmo radical para qualquer r ≥ 0. Por outro lado,
para quaisquer J1, J2 ⊃ I, vale que
∫ (r)
I
(J1 ∩ J2) =
∫ (r)
I
J1 ∩∫ (r)
I
J2.
De fato, se f ∈∫ (r)
I
(J1 ∩ J2) então por de�nição temos que (II)r(f) ⊂ J1 ∩ J2 e
daí (II)r(f) ⊂ J1 e (II)r(f) ⊂ J2. Logo, g ∈∫ (r)
I
J1 e f ∈∫ (r)
I
J2. Agora, seja
g ∈∫ (r)
I
J1 ∩∫ (r)
I
J2, então g ∈∫ (r)
I
J1 e g ∈∫ (r)
I
J2 e por de�nição de ideal
primitivo temos que (II)r(g) ⊂ J1 ∩ J2. Logo, g ∈∫ (r)
I
(J1 ∩ J2), provando outra
inclusão.
Como por hipótese J não tem primos imersos, pode-se, supor que J é um ideal
primário, digamos com Ass
(A
J
)= {P}. A partir da sequência exata curta
0 −→ J∫ (r)
IJ−→ A∫ (r)
IJ−→ A
J−→ 0,
temos
Ass
(A∫ (r)
IJ
)⊂ Ass
(J∫ (r)
IJ
)∪ {P}.
Portanto, é su�ciente mostrarmos que J/∫ (r)
I
J é P -primário. Seja Q ⊂ A um primo
Capítulo 2. Ideais Primitivos 11
associado do módulo J/∫ (r)
I
J . Logo Q ∈ Ass
(A∫ (r)
IJ
). Há duas possibilidades:
• Q ∈ Min
(A∫ (r)
IJ
). Nesta situação, já que J e
∫ (r)
I
J têm o mesmo radical,
tem-se Min
(A∫ (r)
IJ
)= Min
(A
J
)= {P} donde necessariamente teríamos
Q = P , como queremos.
• Q é um primo associado imerso deA∫ (r)
IJ. Como Min
(A∫ (r)
IJ
)= {P} segue
que P ⊂ Q. A�rmamos, agora, que Q ⊂ P . Uma vez que Q foi tomado em
Ass
(J∫ (r)
IJ
)podemos escrever
Q = 0 : x =
∫ (r)
I
J : (x)
para algum x ∈ J \∫ (r)
I
J .
Se a ∈ Q, então ax ∈∫ (r)
I
J . Por de�nição, para qualquer ξ ∈ (II)r,
ξ(ax) ≡ aξ(x) ≡ 0(mod J). Se a 6∈ P , devemos ter ξ(x) ∈ J . Mas então
x ∈∫ (r)
I
J , o que é uma contradição. Assim, Q ⊂ P e logo Q = P , como
queremos.
Portanto, Ass
(J∫ (r)
IJ
)= {P}, o que completa a prova do item (ii).
(iii) Primeiramente vamos mostrar a inclusão J (r+1) ⊂ J (r+1). Para um A-módulo
M vamos denotar conjunto dos divisores de zero de M por Z(M). Como J não têm
primos imersos, podemos escrever J (r+1) = {a ∈ A | ∃x ∈ A \ Z(A/J), comxa ∈
Jr+1} ⊂ J (r+1) = {a ∈ A | ∃x ∈ A \ Z(A/J), comxa ∈ Jr+1 + I}.
Provaremos agora a inclusão J (r+1) ⊂∫ (r)
I
J .
Procedendo por indução em r, temos que o resultado para r = 0 é válido pois
J = J + I = J =
∫ (0)
I
J . Seja agora f ∈ J (r+1). Pela Proposição 2.3 mostraremos
que δ(f) ∈∫ (r−1)
I
J para todo δ ∈ II . Por de�nição de potência simbólica, existe
Capítulo 2. Ideais Primitivos 12
x ∈ A \ Z(A/I/J/I) = A \ Z(A/J) tal que xf ∈ Jr+1 + I. Pela parte (i),
Jr+1 ⊂∫ (r)
I
J . Como I ⊂∫ (r)
I
J , então xf∈∫ (r)
I
J . Segue que
δ(x)f + xδ(f) = δ(xf) ∈∫ (r−1)
I
J.
Mas f ∈ J (r+1) ⊂ J (r) (devido à inclusão descendente natural de sucessivas
potências simbólicas). Por indução, J (r) ⊂∫ (r−1)
I
J . Portanto, xδ(f) ∈∫ (r−1)
I
J .
Como x ∈ A \ Z(A/J) e Z(A
J
)= Z
(A∫ (r−1)
IJ
)(pela parte (ii)), segue que
δ(f) ∈∫ (r−1)
I
J , logo f ∈∫ (r)
I
J . Portanto, J (r+1) ⊂∫ (r)
I
J .
Para a�rmação sobre primos associados, nota-se que os primos associados de J/I
provém dos primos associados de J , e assim J/I não têm primos imersos, pois J
por hipótese possui apenas primos minimais. Neste caso, da de�nição de potência
simbólica, tem-se
Ass
(J
I
)= Ass
((J
I
)(r+1))
para qualquer r ≥ 1 . Assim, como os primos associados de J (r+1) são as imagens
inversas dos associados de
(J
I
)(r+1)
, a a�rmação segue.
Lema 2.6. Seja A uma k-álgebra �nitamente gerada sobre um anel k. Sejam
I ⊂ J ⊂ A ideais sem primos imersos e seja S ⊂ A um conjunto multiplicativo.
Então para cada r ≥ 0
S−1
(∫ (r)
I
J
)'∫ (r)
S−1I
S−1J.
Demonstração: Primeiramente vamos mostrar que S−1II ' IS−1I .
Se S intercepta algum primo minimal de I, então S−1I ' S−1A. Daí claramente
IS−1I = Diff(1)(S−1A), enquanto S−1II = Diff(1)(S−1A) já que II ⊃ IDiff(1)(A).
Agora, suponha que S não intercepta primo minimal de I. Existe um isomor�smo
natural S−1Diff(1)(A)ϕ' Diff(1)(S−1A) (veja [3]). Precisamente, se t−1δ ∈
S−1Diff(1)(A) e se s−1f ∈ S−1A, então (ϕ(t−1δ))(s−1f) = (ts2)−1(δ(s)f − sδ(f)).
Observe que a restrição ϕ|S−1II injeta S−1II em IS−1I . Restamos mostrar que tal
Capítulo 2. Ideais Primitivos 13
injeção é sobrejeção.
De fato, seja ξ ∈ IS−1I e seja t−1δ = ϕ−1(ξ) ∈ S−1Diff(1)(A). Seja f ∈ I.
Então ξ(f/1) = (ϕ(t−1δ))(f/1) = (t)−1(δ(1)f − δ(f)) ∈ S−1I por suposição, logo
δ(f)/1 ∈ S−1I, assim sδ(f) ∈ I para algum s ∈ S. Como I não têm primo
imerso por hipótese e S não intercepta primo minimal de I, segue que s 6∈ Z(A
I
).
Portanto, δ(f) ∈ I, logo δ ∈ II , mostrando então que t−1δ ∈ S−1II , como pretendido.
Assim, S−1II ' IS−1I via ϕ.
Exatamente, o mesmo tipo de argumento mostra que a restrição S−1DerI(A) −→
DerS−1I(S−1A) induzida por ϕ, é um isomor�smo.
Agora vamos provar a a�rmação principal, por indução em r.
Começando com r = 0, não temos o que provar, pois
S−1
∫ (0)
I
J = S−1J =
∫ (0)
S−1I
S−1J.
Assuma que o resultado seja válido para r − 1. Dado g ∈ A podemos de�nir
(DerI(A))(g) := {δ(g) | δ ∈ DerI(A)}, que é um ideal de A. Pela Proposição
2.3, temos que ∫ (r)
I
J = {g ∈ J | (DerI(A))(g) ⊂∫ (r−1)
I
J},
e, similarmente,
∫ (r)
S−1I
S−1J = {g ∈ J | (DerS−1I(S−1A))(g) ⊂
∫ (r−1)
S−1I
S−1J},
Como já vimos, S−1DerI(A) ' DerS−1I(S−1A) via ϕ, e pela hipótese de indução,
S−1
∫ (r−1)
I
J =
∫ (r−1)
S−1I
S−1J.
Seja agora, g ∈∫ (r)
I
J e η ∈ DerS−1I(S−1A) = ϕ(S−1DerI(A)). Digamos,
η = ϕ(t−1δ) para algum δ ∈ DerI(A). Aplicando η em g/1, encontramos
t−1(δ(1)g−δ(g)) = −t−1δ(g) (aqui, use δ(1) = 0, pois δ é uma derivação ordinária de
A). O último elemento pertence S−1
∫ (r−1)
I
J =
∫ (r−1)
S−1I
S−1J , já que δ(g) ∈∫ (r−1)
I
J
Capítulo 2. Ideais Primitivos 14
por hipótese. Isso mostra que a imagem de∫ (r)
I
J pelo o homomor�smo canônico
σ : A −→ S−1A, σ(a) = a/1, é um subideal de
∫ (r)
S−1I
S−1J.
Daí, segue que S−1
∫ (r)
I
J ⊂∫ (r)
S−1I
S−1J .
Reciprocamente, seja s−1g ∈∫ (r)
S−1I
S−1J . A �m de provarmos a inclusão oposta,
podemos assumir que s = 1.
Seja δ ∈ DerI(A). Então ϕ(δ/1) ∈ ϕ(S−1DerI(A)) = DerS−1I(S−1A), daí,
(ϕ(δ/1))(g/1) ∈∫ (r−1)
S−1I
S−1J = S−1
∫ (r−1)
I
J . Novamente, (ϕ(δ/1))(g/1) =
−δ(g)/1. Portanto, tδ(g) ∈∫ (r−1)
I
J , para algum t ∈ S.
Uma vez que a noção de ideal primitivo claramente comuta com a operação de tomar
interseções ao nível de J (vide prova da Proposição 2.3 item (ii)), podemos assumir
que J é primário. Seja P o radical de J . Podemos assumir que P não intercepta S,
o que implica t 6∈ Z(A
J
). Pela Proposição 2.3, item (ii), segue que δ(g) ∈
∫ (r−1)
I
J ,
logo g ∈∫ (r)
I
J . Assim g/1 ∈ S−1
∫ (r)
I
J . Logo∫ (r)
S−1I
S−1J ⊂ S−1
∫ (r)
I
J . Portanto,
S−1
∫ (r)
I
J =
∫ (r)
S−1I
S−1J.
A seguir veremos que, sob certas condições, o ideal primitivo iterado coincide
com a imagem inversa de uma potência simbólica adequada. Assumiremos que k é
um corpo e que A é um anel de polinômios sobre k.
Lembremos que, para um anel a�m A/I, com I = (f1, . . . , fm), o seu ideal
jacobiano é o ideal (J (I) + I)/I, onde J (I) ⊂ A é o ideal gerado pelos c × c
menores da matriz Jacobiana de {f1, . . . , fm} onde c é a codimensão de I.(Trata-se
de um ideal de Fitting; logo não há dependência com relação à escolha de geradores
de I).
Capítulo 2. Ideais Primitivos 15
Proposição 2.7. Seja A = k[z1, . . . , zn] um anel de polinômios sobre um corpo k
de característica zero e sejam I ⊂ J ⊂ A ideais, com I puro (ou seja, todo primo
associado de I possui a mesma altura) e J radical. Se J (I) não está contido em
nenhum elemento de Ass(A/J), então para todo r ≥ 0
∫ (r)
I
J = J (r+1).
Demonstração: Pela Proposição 2.5, os ideais∫ (r)
I
J e J (r+1) não possuem primos
imersos e os seus radicais são iguais a J . Portanto, é su�ciente mostrar que os dois
ideais são iguais localmente em cada P ∈ Ass(A/J).
Como A é um anel de polinômios sobre um corpo, existe um isomor�smo bem
conhecido de A/I-módulos ([11]),
Diff1(A/I) ' IIIDiff1(A)
.
Daí, pelo caráter recursivo do ideal primitivo iterado, pode-se escrever(∫ (r)
I
J
)/I =
∫ (r)
0
(J/I)
onde 0 =I
I. Assim, pelo Lema 2.6, temos
(∫ (r)
IP
JP
)/IP =
∫ (r)
0
(J/I)P/I .
Uma vez que ambos os lados comutam com interseções e J foi assumido radical,
podemos supor que J é um ideal primo. Assim, a hipótese de que J (I) não está
contido em J (= P ) implica que J pertence ao lugar regular deA/I, ou seja, (A/I)P/I
é anel local regular. Neste caso, pela caracterização diferencial de regularidade dada
em [16, Theorem 3.2], obtemos
∫ (r)
0
(J/I)P/I = (J/I)(r+1)P/I .
Capítulo 2. Ideais Primitivos 16
Logo, (∫ (r)
I
J/I
)P/I
= (J/I)(r+1)P/I .
e portanto, (∫ (r)
I
J
)P
= J (r+1)P
como queremos.
2.2 O cálculo do ideal primitivo
Nesta seção, vamos mostrar como calcular efetivamente o r-ésimo ideal primitivo
iterado no caso em que A é um anel de polinômios sobre um corpo k de característica
zero. O resultado computacional básico refere-se ao primeiro ideal primitivo.
Adotamos a convenção de escrever os elementos do A-submódulo
DerI(A) ⊂ Der(A) =n⊕i=1
A∂
∂zi
como vetores-coluna com coordenadas em A.
Proposição 2.8. Sejam I ⊂ J ⊂ A ideais. Considere geradores J = (g) =
(g1, . . . , gm). Seja Θ(g) a matriz Jacobiana de g, e seja ∆(I) a matriz cujas colunas
formam um conjunto de geradores do A-submódulo DerI(A) ⊂ Der(A). Então
∫I
J = I1(g ·Ψ),
onde Ψ é o levantamento (em A) da matriz de sizigias da transposta de Θ(g) ·∆(I)
módulo o ideal J .
Capítulo 2. Ideais Primitivos 17
Demonstração: Seja g =∑j
ujgj ∈ J e seja δ =∑i
hi∂/∂zi ∈ DerI(A). Então
δ(g) =
(∑i
hi∂/∂zi
)(∑j
ujgj
)
=∑j
uj
(∑i
hi∂gj/∂zi
)+∑j
gj
(∑i
hi∂uj/∂zi
).
Logo, δ(g) ∈ J se, e somente se,∑j
uj
(∑i
hi∂gj/∂zi
)∈ J . Fazendo δ percorrer
um conjunto de geradores
{∑i
hik∂/∂zi
}1≤k≤p
de DerI(A), esta condição signi�ca
que as entradas do produto
∑i
hi1∂g1/∂zi∑i
hi1∂g2/∂zi · · ·∑i
hi1∂gm/∂zi
......
......∑
i
hip∂g1/∂zi∑i
hip∂g2/∂zi · · ·∑i
hip∂gm/∂zi
·
u1
u2
...
um
pertencem a J . Note que transposta da matriz à esquerda é o produto Θ(g) ·∆(I).
Portanto, δ(g) ∈ J para todo δ ∈ DerI(A) se, e somente se, o vetor -coluna à direita
é uma sizigia desta matriz módulo J .
Observação 2.9. Este resultado, juntamente com a Proposição 2.3, produz um
método e�caz para o cálculo de ideais primitivos iterados. A seguir, veremos alguns
exemplos explícitos.
2.2.1 Exemplos
Exemplo 2.10 (Característica zero). Seja
I =
(xy +
(1
k + 1
)zk+1
), k ≥ 2,
Capítulo 2. Ideais Primitivos 18
a chamada singularidade Ak. Seja J = (y, z), que de�ne uma reta contida em Ak.
Comecemos calculando o primeiro ideal primitivo. Neste caso, g1 = y e g2 = z.
Logo
Θ(g) =
0 1 0
0 0 1
Além disso, usando por exemplo o método dado em [12, Section 2], obtemos
∆(I) =
zk x 0 kx
0 −y −zk y
−y 0 x z
Logo
Θ(g) ·∆(I) =
0 −y −zk y
−y 0 x z
transpondo, reduzindo módulo J , calculando geradores (u1, u2) do núcleo, e
�nalmente levantando para A obtemos a matriz
Ψ =
1 0 0
0 y z
.
Então
g ·Ψ =(y yz z2
)De modo que, I1(g ·Ψ) = (y, z2). Pela Proposição 2.8 temos
∫I
J = (y, z2).
Observe que, de maneira totalmente análoga, pode-se obter∫I
(y, z2) = (y, z3).
Logo, para o cálculo do segundo ideal primitivo, a Proposição 2.3 nos permite
escrever ∫ (2)
I
J =
∫I
(∫I
J
)=
∫I
(y, z2) = (y, z3).
Capítulo 2. Ideais Primitivos 19
Continuando dessa forma, veri�camos que
∫ (r)
I
J = (y, zr+1)
sempre que r ≤ k.
Exemplo 2.11. Seja
I = (x2y + y4 + z2),
a chamada superfície D5,2 e considere a reta de�nida pelo ideal J = (y, z). Neste
caso, J é o mesmo do exemplo anterior, mas um conjunto de geradores do A-módulo
DerI(A) corresponde aos vetores-colunas da matriz
∆(I) =
−z 0 x2 + 4y3 3x
0 −2z −2xy 2y
xy x2 + 4y3 0 4z
Aplicando o método ilustrado no exemplo acima, obtemos∫I
J = (y, z2), e usando a
Proposição 2.3, vemos que∫ (2)
I
J = yJ + I. Com mais alguns cálculos (totalmente
análogos aos anteriores) obtemos
∫ (r+1)
I
J = (yr) + I, r ≥ 2.
Capítulo 3
Módulo Conormal via Ideais
Primitivos
Neste capítulo, nosso principal objetivo é estudo do módulo conormalM := J/J2
de um ideal J em um anel residual A/I, onde A é um anel de polinômios sobre um
corpo de característica zero. Daremos uma abordagem por meio de ideais primitivos.
O A-submódulo de torção T (M) ⊂M (cuja estrutura relacionaremos com a segunda
potência simbólica J (2) de J) e o correspondente módulo livre de torção M/T (M)
serão expressos em termos do ideal primitivo de J relativo a I.
Em geral, A/I é não-regular, de modo que o A/J-módulo M não é livre e pode
ter torção não-trivial, mesmo no caso em que I e J são interseções completas (isto
é, gerados por sequências regulares), e além disso, a dimensão projetiva de J não
é �nita (logo, J não é, em geral, uma interseção completa em A/I). Com base em
tais observações, os seguintes problemas são importantes:
a) Descrever o módulo T (M), e calcular o seu comprimento (quando �nito);
b) Descrever o módulo N := M/T (M) e encontrar uma caracterização para
liberdade de N .
Sob certas condições, solucionaremos os problemas a) e b). Mais precisamente,
após a obtenção de descrições para os módulos T (M) e N , provaremos o principal
resultado tratado nessa dissertação:
20
Capítulo 3. Módulo Conormal via Ideais Primitivos 21
Teorema Principal. Sejam I ⊂ J ideais interseções completas em um anel de
polinômios A sobre um corpo k de característica zero. Suponha que o Spec(A/J) é
reduzido e conexo, e que o ideal jacobiano J (I) de I não está contido em nenhum
primo minimal de A/J . O A/J-módulo N é livre se, e somente se, existe uma
sequência regular g1, . . . , gn gerando J , tal que
∫I
J = (g1, . . . , gp) + (gp+1, . . . , gn)2,
onde p := grade(I), n := grade(J).
3.1 Torção via ideais primitivos
Seja E um módulo sobre um anel A, e seja S o conjunto dos não-divisores-de-zero
de A. Denote por Q o anel total de frações de A, e por ES := E ⊗A Q. O núcleo
do mapa canônico E −→ ES, e 7−→ e/1, é denotado por T (E), o o submódulo de
torção de E, ou simplesmente, torção de E.
Sejam I ⊂ J ideais de um anel Noetheriano A. Denote por J := J/I, o ideal
quociente em A/I.
De�nição 3.1. O A/J-módulo M := J/J2 ' J/(J2 + I) é chamado módulo
conormal de J .
Proposição 3.2. Seja A um anel de polinômios sobre um corpo k de característica
zero. Sejam I ⊂ J ⊂ A ideais puros, com J radical, tal que o ideal Jacobiano J (I)
de I não está contido em nenhum primo minimal de A/J , então
T (M) = T :=
∫I
J
J2 + I' J (2)
J2.
Consequentemente, se N =M
T (M)então
N ' J∫I
J
.
Capítulo 3. Módulo Conormal via Ideais Primitivos 22
Demonstração: Dado um ideal P ⊂ A denotemos por P a sua imagem em A/I.
Primeiramente, provaremos que T ⊂ T (M).
Note que, para qualquer P ∈ V(J) \ V(J (I)) ∪ V(J (J)), onde V(−) denota um
fechado de Zariski. Em particular, temos que P 6⊃ J (I) · J (J). Note que
TP =
(∫0
JP
)/J2
P
é um módulo sobre o anel local R := (A/I)P . Como R e R/JP são anéis regulares,
temos que JP é gerado por uma parte de um sistema regular de parâmetros
{g1, . . . , gd} (vide Teorema A.1) onde d é a dimensão de R. Além disso, podemos
assumir que J é primo. Assim, como JP é gerado por um R-sequência e J é primo,
temos por [4] que J2P
= J(2)
P, a segunda potência simbólica de JP . Agora, pelo
critério dado em [16, Theorem 3.2], obtemos
∫0
JP = J(2)
P,
e assim TP = 0, o que equivale a 0 : T 6⊂ P . Assim, provamos que
J (I) · J (J) ⊂⋂
Q⊃0:T
Q =√
0 : T .
Se s é tal que (√
0 : T )s ⊂ 0 : T , obtemos que a s-ésima potência de J (I)J (J) anula
T , segue que T ⊂ T (M).
Seja agora, a ∈ T (M),e seja β ∈ A/J um não-divisor-de-zero tal que βa = 0.
Tomando um representante, tem-se βa ∈ J2 + I. Para qualquer ξ ∈ DerI(A), temos
que ξ(βa) ≡ βξ(a) modJ . Além disso, ξ(βa) ∈ J . Daí, ξ(a) ∈ J e a ∈∫I
J , donde
a ∈ T , mostrando que T (M) ⊂ T . Portanto T (M) = T .
Resta-nos provar que N ' J/
∫I
J . Note que, pela Proposição 2.7, temos
(∫I
J
)/I = J (2),
Capítulo 3. Módulo Conormal via Ideais Primitivos 23
logo T ' J (2)
J2. Assim T (M) ' J (2)
J2. Finalmente:
N =M
T (M)=
J/J2
J (2)/J2' J
J (2)' J/
∫I
J.
Antes de provarmos o próximo resultado, demonstraremos o seguinte lema:
Lema 3.3. Para dois ideais J ⊂ I ⊂ A com I radical e√J = I, tem-se
Ass(A/J) = Ass(I/J) ∪ Ass(A/I).
Demonstração: Considere a sequência exata estrutural
0 −→ I
J−→ A
J−→ A
I−→ 0
De onde obtemos Ass(A/J) ⊆ Ass(I/J) ∪ Ass(A/I).
Mostremos agora que Ass(A/J) ⊇ Ass(I/J) ∪ Ass(A/I). Como, claramente,
Ass(I/J) ⊂ Ass(A/J), basta mostrarmos que Ass(A/I) ⊂ Ass(A/J).
Para isto, seja P ∈ Ass(A/I). Por de�nição, existe x ∈ A \ I tal que P = I : x.
Segue que
Px ⊂ I =√J =
⋂Q∈Min(A/J)
Q.
Como x 6∈ I, existe Q ∈ Min(A/J) tal que x 6∈ Q. Por outro lado, Px ⊂ Q, o que
implica que P ⊂ Q. Mas
Q ∈ Min(A/J) = Min(A/I)
donde P = Q, e portanto P ∈ Ass(A/J), como queremos.
Agora, lembremos a de�nição de sequência regular.
De�nição 3.4. Uma sequência (ordenada) x1, . . . , xn de elementos de A é dita uma
Capítulo 3. Módulo Conormal via Ideais Primitivos 24
A-sequência ou sequência regular (em A) se (x1, . . . , xn) 6= A, e para cada i
xi 6∈ Z(
A
(x1, . . . , xn−1)
)
Em seguida, provamos o seguinte resultado auxiliar:
Lema 3.5. Seja J um ideal radical de um anel Notheriano A. Suponha que J é
gerado por uma sequência regular g1, . . . , gn. Se J∗ := (g1, . . . , gt) + (gt+1, . . . , gn)2
para algum 1 ≤ t ≤ n, então
Ass(A/J∗) = Ass(A/J).
Demonstração: Primeiramente, como J é radical e√J∗ = J , o Lema 3.5 fornece
Ass(A/J∗) = Ass(J/J∗) ∪ Ass(A/J)
de maneira que apenas precisamos provar que Ass(J/J∗) ⊂ Ass(A/J).
Tomemos uma decomposição prima minimal J =r⋂i=1
Pi com Pi = J : xi, com
xi ∈ A \ J . Seja Q ∈ Ass(J/J∗), e escreva Q = J∗ : y, com y ∈ J \ J∗. Temos dois
casos a tratar:
• Q ⊆r⋃i=1
Pi. Neste caso pela Proposição A.2 item (i), tem-se Q ⊆ Pj para
algum j. Mas, Q ∈ Ass(A/J∗) e Pj ∈ Min(A/J∗), donde segue Q = Pj, e logo
Q ∈ Ass(A/J), como queremos.
• Q 6⊂r⋃i=1
Pi. Seja q ∈ Q \r⋃i=1
Pi. Então qy ∈ J∗, e qxi 6∈ J para i.
Agora escreva qy ≡ β1g1 + · · ·+ βtgt mod J2 e y =∑n
k=1 ykgk. Então
qy − (β1g1 + · · ·+ βtgt) =
q(y1g1 + . . .+ ytgt + yt+1gt+1 + . . .+ yngn)− (β1g1 + · · ·+ βtgt) =
(qy1 − β1)g1 + · · ·+ (qyt − βt)gt + qyt+1gt+1 + · · ·+ qyngn ≡ 0 mod J2
Por outro lado, como qy ∈ J e g1, . . . , gn formam uma A-sequência, vê-se que
Capítulo 3. Módulo Conormal via Ideais Primitivos 25
qyi−βi ∈ J para i = 1, . . . , t. Logo qyt+1gt+1+· · ·+qyngn ∈ J2. Explicitamente
qyt+1gt+1 + · · ·+ qyngn =n∑1
higi
com hi ∈ J para todo i. Usando novamente o fato de que g1, . . . , gn constituem
uma A-sequência, obtemos que qyj − hj ∈ J , para j = t+ 1, . . . , n, e portanto
qyj ∈ J =r⋂i=1
Pi. Como q 6∈ Pi para todo i = 1, . . . , r temos que yj ∈ J ,
com j = t + 1, . . . , n. Portanto, sendon∑k=1
ykgk, temos que y ∈ J∗, que é uma
contradição.
Está mostrado portanto, que somente o primeira situação é possível. Então, digamos
Q ⊂ P1.
Por outro lado, como Ass(J/J∗) ⊂ Ass(A/J∗) e√J∗ = J , temos que Q ⊃ J =
r⋂i=1
Pi
e assim pela Proposição A.2, item (ii), obtemos Q ⊃ Pi para algum 1 ≤ i ≤ r, o que
implica em i = 1, poisr⋂i=1
Pi é decomposição prima minimal de J . Logo Q = P1, e
portanto Q ∈ Ass(A/J).
De�nição 3.6. Seja A um anel Noetheriano, um ideal I ⊂ A é dito uma interseção
completa se I pode ser gerado por uma A-sequência.
Proposição 3.7. Sejam I ⊂ J ideais de anel de polinômios A sobre um corpo k de
característica zero. Suponhamos que I é puro e que J é uma interseção completa
radical. Suponha que o ideal Jacobiano J (I) de I não está contido em nenhum
primo minimal de A/J . Se existe um conjunto minimal de geradores {g1, . . . , gn}
de J tal que
(1) As imagens de g1, . . . , gt estão contidas em T (M) para algum inteiro t, com
0 ≤ t ≤ n;
(2) Para qualquer primo P ∈ Ass(A/J), as imagens de gt+1, . . . , gn em (A/I)P
geram (J/I)P como um ideal interseção completa de (A/I)P .
Então ∫I
J = J∗ := (g1, . . . , gt) + (gt+1, . . . , gn)2.
Capítulo 3. Módulo Conormal via Ideais Primitivos 26
Demonstração: Primeiro é claro que, J∗ ⊂∫I
J . Foi provado na Proposição 2.5
que A/J e A/∫I
J têm os mesmos primos associados. Assim, pelo Lema 3.5, os ideais
J∗ e∫I
J não possuem primos imersos e, além disso, possuem o mesmo radical J .
Basta provarmos que estes ideais coincidem localmente em todo P ∈ Ass(A/J).
Seja f = a1g1 + · · ·+ angn ∈∫I
J . Então para qualquer ξ ∈ DerI(A), temos que
ξ(f) ≡ ξ(f ′) ≡ 0 mod J,
onde f ′ := at+1gt+1 + · · · + angn. Por hipótese, temos P ∈ V(I) \ V(J (I)), logo
ξ(f ′) ∈ (J/I)P , onde e denota a imagem de um elemento e ∈ A (respectivamente
DerI(A)) após redução módulo I e localização em P =P
I. Em outras palavras,
f ′ = at+1gt+1 + · · ·+ angn ∈((∫
I
J
)/I
)P
=
∫0
(J/I)P = (gt+1, . . . , gn)2P ,
onde a última igualdade segue de [16, Theorem 3.2]. Pela hipótese (2), temos que
((at+1, . . . , an)/I)P ⊂ ((gt+1, . . . , gn)/I)P
o que implica (at+1, . . . , an)P ⊂ JP . Assim, provamos que (J∗)P =
(∫I
J
)P
, como
queremos.
Antes de demostrarmos o Corolário 3.9, lembremos um fato importante, que nos
auxiliará para o entendimento do mesmo.
Observação 3.8. É um fato bem-conhecido que se
0 −→ E1 −→ E2 −→ F −→ 0
é uma sequência exata curta de A-módulos, com F livre, então tal sequência cinde,
e portanto E2∼= E1 ⊕ F .
Corolário 3.9. Sob hipótese da Proposição 3.7, tem-se que N é um A/J-módulo
livre, com as imagens gt+1, . . . , gn de gt+1, . . . , gn formando uma base, e M '
Capítulo 3. Módulo Conormal via Ideais Primitivos 27
T (M)⊕N .
Demonstração: É su�ciente provar que gt+1, . . . , gn são linearmente independentes
sobre A/J . Suponha que existam βt+j ∈ A/J tais que
a := βt+1gt+1 + · · ·+ βngn = 0 ∈ N.
Pela expressão do ideal primitivo fornecida na Proposição 3.7 e tomando
representantes, temos
a ∈ (gt+1, . . . , gn) ∩∫I
J = (g1, . . . , gt) ∩ (gt+1, . . . , gn) + (gt+1, . . . , gn)2.
Escreva a ≡ β1g1 + · · ·+ βtgt mod (gt+1, . . . , gn)2. Então
−β1g1 − · · · − βtgt + βt+1gt+1 + · · ·+ βngn ≡ 0 mod J2.
Disso e da hipótese de que J é uma interseção completa (e por argumentos já usados
anteriormente), segue que βj ∈ J . Logo βj = 0, e assim gt+1, . . . , gn são linearmente
independentes sobre A/J . Portanto, gt+1, . . . , gn é base de N . Finalmente, a
sequência exata estrutural
0 −→ T (M) −→M −→ N −→ 0
é cindida, donde M ' T (M)⊕N .
Finalizamos esta seção com a observação abaixo.
Suponha que um ideal J é gerado por uma sequência regular g1, . . . , gn. Assuma
que exista um inteiro 0 ≤ t ≤ n, bem como não-divisores-de-zero β1, . . . , βt ∈ A/J ,
tais que β1g1, . . . , βtgt são zero em M como um A/J-módulo. Logo β1g1, . . . , βtgt ∈
J2 + I, onde βigi é representante de βigi.
Seja {h1, . . . , hp} um conjunto minimal de geradores de I. Denote
h = T(h1, . . . , hp), g = T(g1, . . . , gn), G = T(G1, . . . , Gt), Λ = diag{β1, . . . , βt},
Capítulo 3. Módulo Conormal via Ideais Primitivos 28
onde T signi�ca a transposta da matriz indicada.
Sejam A e (B1 |B2) matrizes tais que Λ T(g1, . . . , gt) = Ah + G, h = Bg, onde
A é uma matriz t × p, B uma matriz p × n, B1 uma matriz p × t, B2 uma matriz
p× (n− t) e Gi ∈ J2. Seja C1 = AB1, C2 = AB2. Então temos
(Λ− C1) T(g1, . . . , gt)− C2T(gt+1, . . . , gn) ≡ 0 mod J2.
Note que J/J2 é um A/J-módulo livre (pois J é gerado por uma sequência
regular). Logo Λ = C1, C2 = 0 em A/J . A partir disto obtemos o resultado a
seguir, que pode despertar interesse próprio, e além disso será um dos ingredientes
para prova da parte 1) da Proposição 3.13 que antecede o Teorema Principal.
Lema 3.10. Seja J ⊂ A um ideal interseção completa radical. Então
det(C1) = det(Λ) = β1 · · · βt
é um não-divisor-de-zero em A/J , e consequentemente posto(B1) ≥ t e t ≤ p.
Demonstração: De fato, como foi visto acima, temos Λ = C1, logo
det(C1) = det(diag{β1, . . . , βt}) = β1 · · · βt.
Além disso, como os elementos β1, . . . , βt ∈ A/J são não-divisores de-zero, o seu
produto tem a mesma propriedade. Para a a�rmação do posto, note que a igualdade
C1 = AB1 implica posto(B1) ≥ posto(C1) = t e posto(C1) ≤ p.
3.2 Liberdade de N
Sejam I ⊂ J interseções completas em A = k[x0, x1, . . . , xm], um anel de
polinômios sobre um corpo k de característica zero. Suponha que o ideal Jacobiano
J (I) não está contido em nenhum primo minimal de A/J . Seja p := grade I,
n := grade J . Se J é radical e gerado por uma sequência regular g1, . . . , gn, podemos
escolher um conjunto minimal de geradores {h1, . . . , hp} de I tal que (mudando
Capítulo 3. Módulo Conormal via Ideais Primitivos 29
geradores de J se necessário):
hi ≡t∑
j=1
bijgj mod J2, 1 ≤ i ≤ p (3.1)
onde t é um inteiro 0 ≤ t ≤ n, e para cada j, a imagem da p-upla (b1j, . . . , bpj) em
(A/J)p é não nula, (do contrário pode-se diminuir t). Escreva B := (bij).
Lema 3.11. Nas condições acima, tem-se:
(1) t ≥ p;
(2) Existe pelo menos 1 menor maximal de B que é não-divisor-de-zero em A/J .
Demonstração: (1) Como I é uma interseção completa, o ideal Jacobiano J (I)
de I pode ser gerado por I e os menores p × p da matriz Jacobiana Θ(I) de I
(com respeito a um conjunto qualquer de geradores de I). Cada um destes menores,
digamos ∆j1,...,jp , é o determinante deBGj1,...,jp módulo J , ondeGj1,...,jp é a submatriz
t× p de Θ(J), consistindo das 0 ≤ j1 < . . . jp ≤ m colunas de Θ(J).
Suponha t < p. Então teríamos, det(BGj1,...,jp) ≡ 0 mod J , o que é impossível, uma
vez que J (I), por hipótese não está contido em nenhum primo minimal de A/J .
Portanto t ≥ p.
(2) Suponha que todos os menores p × p de B são divisores-de-zero em A/J .
Então existe 0 6= a ∈ A/J tal que ab1 ∧ b2 ∧ . . . ∧ bp = 0 em∧p(A/J)t, onde
bi ∈ (A/J)t é a imagem do i-ésimo vetor-linha de B. Logo ab1, b2, . . . , bp são
linearmente dependentes em (A/J)t. Daí, temos que existem a1, . . . , ap ∈ A/J
não todos nulos, tais que
a1b1 + · · ·+ apbp = 0 ∈(A
J
)t,
isto é, a1b1j + . . .+ apbpj ∈ J , j = 1, . . . , t. Assim, por (3.1) obtemos
a1h1 + · · ·+ aphp ≡ 0 modJ2.
Capítulo 3. Módulo Conormal via Ideais Primitivos 30
Disto, e por diferenciação, J (I) ⊂ J , o que é uma contradição. Portanto, existe
pelo menos um menor maximal de B que é não-divisor-de-zero em A/J .
Proposição 3.12. Sejam I ⊂ J ideais interseções completas em um anel de
polinômios A sobre um corpo k de característica zero. Suponha que Spec(A/J) é
reduzido e conexo, e que ideal Jacobiano J (I) não está contido em nenhum primo
minimal de A/J . Se em (3.1) tivermos t = p = grade I, então b := det(bij) é um
não-divisor-de-zero em A/J , e
1) As imagens g1, . . . , gp de g1, . . . , gp geram T (M) sobre A/J ;
2) As imagens gp+1, . . . , gn de gp+1, . . . , gn geram N como módulo livre sobre A/J ,
e assim M ' T (M)⊕N e posto(M) = posto(N) = n− p;
3) Para cada P ∈ Ass(A/J), as imagens gp+1, . . . , gn de gp+1, . . . , gn formam uma
(A/I)P -sequência e geram JP ;
4)
∫I
J = (g1, . . . , gp) + (gp+1, . . . , gn)2;
5) Tem-se uma fórmula de comprimento, se �nito,
λ(I, J) := lA/J(T (M)) = lA/J
(A
(b) + J
).
Chamamos λ(I, J) o número de torção do par (I, J). Quando I e J estão
subentendidos no contexto, escrevemos λ ao invés de λ(I, J).
Demonstração: Temos t = p, e b é um não-divisor-de-zero em A/J (pela parte
(2) do Lema 3.11). A�rmamos que g1, . . . , gp ∈ T (M). De fato, basta multiplicar
em ambos os lados de (3.1) pela matriz adjunta clássica B∗ de B e regra de Cramer
usual, o que fornece
B∗B = BB∗ = diag{b, . . . , b},
implicando a nossa a�rmação.
Uma vez que, g1, . . . , gn geram M sobre A/J e como a sequência
0 // T (M) ι //M π // N // 0
Capítulo 3. Módulo Conormal via Ideais Primitivos 31
é exata, tem-se π(gp+1), . . . , π(gn) geram N . Se existir uma relação
βp+1π(gp+1) + · · ·+ βnπ(gn) = 0 ∈ N
então, βp+1gp+1 +· · ·+βngn ∈ T (M). Isto signi�ca que existe um não-divisor-de-zero
β ∈ A/J tal que
β(βp+1gp+1 + · · ·+ βngn) = 0 ∈M.
Tomando representantes, isto signi�ca simplesmente que
ββp+1gp+1 + · · ·+ ββngn ∈ J2 + I.
Portanto, existem µ1, . . . , µp ∈ A tais que
µ1h1 + · · ·+ µphp + ββp+1gp+1 + · · ·+ ββngn ∈ J2.
Por (3.1), isto se torna
µ′1g1 + · · ·+ µ′pgp + ββp+1gp+1 + · · ·+ ββngn ∈ J2.
onde (µ′1 · · ·µ′p) = (µ1 · · ·µp)B. Como g1, . . . , gn formam uma A-sequência, temos
que ββj = 0 em A/J . Note que β é um não- divisor-de-zero; logo βj = 0 em A/J .
Finalmente, aplicando o Corolário 3.9. Isto provado 1) e 2).
Agora, provemos 3). Para cada primo P ∈ Ass(A/J), NP é também livre, com as
imagens de gp+1, . . . , gn formando uma base. Então,
(∫0
J
)P
= g2P .
Já que JP é uma interseção completa reduzida em (A/I)P , e P pertence ao lugar
regular de A/I por hipótese. Assim, sendo (A/I)P um anel regular, o teorema de
Vasconcelos ([17]) fornece que gp+1, . . . , gn é uma (A/I)P -sequência, que gera JP
pelo Lema de Nakayama.
Note que, 4) Resulta da Proposição 3.7.
Capítulo 3. Módulo Conormal via Ideais Primitivos 32
Para a formula de comprimento proposta em 5), note que
T (M) =
∫IJ
J2 + I=
(g1, . . . , gp) + (gp+1, . . . , gn)2
(g1, . . . , gn)2 + (h1, . . . , hp)
quocientando por (gp+1, . . . , gn)2, obtemos
T (M) ∼=(g1, . . . , gp)
(g1, . . . , gp)2 + (g1, . . . , gp)(gp+1, . . . , gn) + (h1, . . . , hp).
Agora, considere as interseções completas J1 = (g1, . . . , gp) e J2 = (gp+1, . . . , gn).
Em particular, note que J1 + J2 = J e J1/J21 é um A/J1-módulo livre de posto p.
De�na
F :=J1
J21 + J1J2
,
que é um A/J-módulo livre, pois
F ∼=J1
J21
⊗AA
J2
∼=(A
J1
)p⊗A
A
J2
∼=(A
J
)p.
Como b é um não-divisor-de-zero em A/J , a seguinte sequência é exata.
0 −→ FφB−→ F−→T (M) −→ 0,
onde
φB(gi) :=
p∑j=1
bij gj, i = 1, . . . , p.
Finalmente, pelo Teorema A.3, segue que
lA/J(T (M)) = lA/J(Coker(φB)) = lA/J
((A/J)
(b)(A/J)
)∼= l
(A
(b) + J
).
Na proposição a seguir, não assumimos (3.1).
Proposição 3.13. Sejam I ⊂ J ideais interseções completas em um anel A de
polinômios sobre um corpo k de característica zero. Sejam grade I = p e grade J = n.
Suponha que Spec(A/J) é reduzido e conexo, e que J (I) não está contido em
Capítulo 3. Módulo Conormal via Ideais Primitivos 33
nenhum primo minimal de A/J . Se N é um A/J-módulo livre, então
1) Existe uma A-sequência g1, . . . , gn gerando J , tal que:
� As imagens g1, . . . , gp de g1, . . . , gp geram T (M);
� As imagens gp+1, . . . , gn de gp+1, . . . , gn formam uma base de N ;
� posto(M) = posto(N) = n− p;
2)
∫I
J = (g1, . . . , gp) + (gp+1, . . . , gn)2;
3) Podemos escolher os geradores h1, . . . , hp de I tais que (3.1) é válido com t = p
e b um não-divisor-de-zero em A/J .
Demonstração: Considere as imagens gt+1, . . . , gn de gt+1, . . . , gn ∈ J gerando N
sobre A/J , onde t := n− posto(N).
Por hipótese cada P ∈ Ass(A/J), pertence ao lugar regular de A/I, e NP é
novamente um módulo livre, com as imagens de gt+1, . . . , gn formando uma base.
Pelo teorema de Vasconcelos([17]), as imagens gt+1, . . . , gn de gt+1, . . . , gn em (A/I)P
formam uma (A/I)P sequência, e
JP = (gt+1, . . . , gn) +
∫I
J
I
P
(3.2)
Daí, as imagens de h1, . . . , hp, gt+1, . . . , gn em AP formam uma AP sequência,
onde h1, . . . , hp formam um conjunto minimal de geradores de I. Contudo, como
I ⊂ J ⊂ P , temos
n− t+ p = grade(h1, . . . , hp, gt+1, . . . , gn)P ≤ grade(JP ) = n.
Portanto t ≥ p.
Estenda gt+1, . . . , gn para uma A-sequência g1, . . . , gn, de tal modo que estes
elementos geram J . Então g1, . . . , gn geram M sobre A/J . Agora vamos considerar
o conjunto de geradores de T (M). Escreva
π(gi) = cit+1π(gt+1) + . . .+ cinπ(gn), i = 1, . . . , t.
Capítulo 3. Módulo Conormal via Ideais Primitivos 34
Daí, pela sequência exata
0 // T (M) ι //Mπ // N // 0
tem-se
g′i := −gi + cit+1gt+1 + · · ·+ cingn ∈ T (M), i = 1, . . . , t.
Tomando representantes, denote
g′i := −gi + cit+1gt+1 + · · ·+ cingn, i = 1, . . . , t,
e
g′t+j := gt+j, j = 1, . . . , n− t.
Então, J = (g′1, . . . , g′n), com g′1, . . . , g
′t ∈ T (M). Pelo Lema 3.10, segue que t ≤ p.
Por outro lado, pelo Lema 3.11, tem-se t ≥ p. Isto prova 1).
Note que JP é uma interseção completa no anel local regular (A/I)P , e além
disso temos p = t em (3.2). De [4], [16, Theorem 3.2] segue que,
(∫I
J/I
)P
= J2P .
Pelo Lema de Nakayama e por (3.2), tem-se JP = (gp+1, . . . , gn). Da Proposição 3.7
segue-se 2).
Como I ⊂ J , temos que
hi = bi1g′1 + · · ·+ bipg
′p + bip+1g
′p+1 + · · ·+ bing
′n, i = 1, . . . , p.
Para qualquer ξ ∈ DerI(A), temos
bip+1ξ(g′p+1) + · · ·+ binξ(g
′n) ≡ 0 modJ, i = 1, . . . , p.
Daí, segue que
bip+1g′p+1 + · · ·+ bng
′in ∈
∫I
J,
Capítulo 3. Módulo Conormal via Ideais Primitivos 35
implicando que
bip+1, . . . , bn ∈ J, i = 1, . . . , p.
Claramente, b é um não-divisor-de-zero em A/J . Isto prova o resultado.
Finalmente, combinando as conclusões Corolário 3.9 da Proposição 3.12, da
Proposição 3.13 e a equivalência entre o item 2 e 3 da Proposição 3.13 obtemos
o principal resultado estudado neste trabalho.
Teorema Principal. Sejam I ⊂ J ideais interseções completas em um anel de
polinômios A sobre um corpo k de característica zero. Suponha que o Spec(A/J) é
reduzido e conexo, e que o ideal jacobiano J (I) de I não está contido em nenhum
primo minimal de A/J . O A/J-módulo N é livre se, e somente se, existe uma
sequência regular g1, . . . , gn gerando J , tal que
∫I
J = (g1, . . . , gp) + (gp+1, . . . , gn)2,
onde p := grade(I), n := grade(J).
Exemplo 3.14. Seja I de�nido por h := x3 +xy3 +2x2z+2z2 = 0, e seja J de�nido
por g1 := x2 + y3 = 0, g2 := z = 0. Como h não é quase-homogêneo, não é fácil
encontrar um conjunto de geradores de DerI(A). Temos, então, o mesmo problema
para∫I
J . Se denotarmos
g′1 = g1 + 2xg2 + g22 = x2 + y3 + 2xz + z2,
então
h = xg′1 + (2− x)g22
= x(x2 + y3 + 2xz + z2) + (2− x)z2
= x3 + xy3 + 2x2z + 2z2,
e note que x é um não-divisor-de-zero em A/J . Pela Proposição 3.12, temos:
• T (M) é gerado por g′1 sobre A/J .
Capítulo 3. Módulo Conormal via Ideais Primitivos 36
•∫I
J = (g′1, g22) = (x2 + y3 + 2xz, z2)
• N =(g2)
(g′1g2, g22)
é um A/J-módulo livre.
Apêndice A
Resultados Auxiliares
Lema de Nakayama. Sejam A um anel e M um A-módulo �nitamente gerado.
Seja I ⊂ A ideal Se IM = M então existe a ∈ A tal que aM = 0 e a ≡ 1 mod I. Se
I ⊂ RA(radical de Jacobson) então M = 0.
Demonstração: [10, Teorema 2.2].
Teorema A.1. Seja A um anel local regular. Se P é um ideal primo de A tal
que A/P é regular e tem dimensão d − i, então existe um sistema de regular de
parâmetros {y1, . . . , yd} tal que P = (y1, . . . , yi)
Demonstração: [9, Teorema 36].
Proposição A.2. Sejam P1, . . . , Pn ⊂ A ideais primos e seja I um ideal contido
emn⋃i=1
Pi. Então I ⊆ Pi para algum i.
Demonstração: [1, Proposição 1.11].
Teorema A.3. Sejam A um anel Noetheriano, M um A-módulo livre (de posto
�nito), e ϕ um endomor�smo A-linear. Então ϕ é injetiva se, e somente se det(ϕ)
é um não-divisor-de-zero em A, e neste caso,
lA(M/ϕ(M)) = lA(A/ det(ϕ)).
Demonstração: [2, Exemplo A.2.3].
37
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