1
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT
GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
Caâu 1. Cho bieåu thöùc 3 3
3
2
3
2
3
2. Meänh ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng?
A. 2
3
B.
2
1
3
2
C.
2
2
3
D.
1
42
3
Caâu 2. Cho bieåu thöùc 16
11
a:aaaa (a > 0). Meänh ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng?
A. 4
1
a B.
1
3a C.
3
4a D.
1
2a
Caâu 3. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Cho bieåu thöùc 4 3 32
x.x.xP , vôùi x > 0. Meänh ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng?
A. 2
1
xP B. 24
13
xP C. 4
1
xP D. 3
2
xP
Caâu 4. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc 20162017
734347P
A. P = 1 B. 347P C. 347P D. 2016
347P
Caâu 5. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Vôùi caùc soá thöïc döông a, b baát kì. Meänh ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng?
A. ln(ab) = lna + lnb B. ln(ab) = lna.lnb C.
bln
aln
b
aln D. alnbln
b
aln
Caâu 6. (THPT QG 2018) Vôùi a laø soá thöïc döông tuøy yù, ln(5a) – ln(3a) baèng
A. a3ln
a5ln B. ln(2a) C.
3
5ln D.
3ln
5ln
Caâu 7. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 2) Vôùi a laø soá thöïc döông tuøy yù, log2(a3) baèng
A. alog
2
3
2 B. alog
3
1
2 C. alog3
2 D. alog3
2
Caâu 8. (THPT QG 2019) Vôùi a laø soá thöïc döông tuøy yù, 2
5alog baèng
A. alog25
B. alog25
C. alog
2
1
5 D. alog
2
1
5
Caâu 9. (ÑEÀ MINH HOÏA 2018) Vôùi a laø soá thöïc döông baát kì, meänh ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng?
A. log(3a) = 3loga B. alog
3
1alog
3 C. loga3 = 3loga D. alog
3
1a3log
Caâu 10. (THPT QG 2020 – LAÀN 2) Vôùi a laø soá thöïc döông tuøy yù, log5(5a) baèng
A. 5 + log5a B. 5 log5a C. 1 + log5a D. 1 – log5a
Caâu 11. (ÑEÀ MINH HOÏA 2019) Vôùi a vaø b laø hai soá thöïc döông tuøy yù, log(ab2) baèng
A. 2loga + logb B. loga + 2logb C. 2(loga + logb) D. blog2
1alog
Caâu 12. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 1) Vôùi a laø soá thöïc döông tuøy yù, log2(a2) baèng
A. 2 + log2a B. alog
2
1
2 C. 2log2a D. alog
2
1
2
2
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
Caâu 13. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Vôùi caùc soá thöïc döông a, b baát kì. Meänh ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng?
A. blogalog31
b
a2log
22
3
2
B. blogalog
3
11
b
a2log
22
3
2
C. blogalog31
b
a2log
22
3
2
D. blogalog
3
11
b
a2log
22
3
2
Caâu 14. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Cho caùc soá thöïc döông a, b vôùi a 1. Khaúng ñònh naøo sau ñaây laø khaúng ñònh
ñuùng ?
A. blog
2
1ablog
aa2
B. blog22ablogaa
2
C. blog
4
1ablog
aa2
D. blog
2
1
2
1ablog
aa2
Caâu 15. (ÑEÀ MINH HOÏA 2019) Ñaët log32 = a, khi ñoù log1627 baèng
A.
4
a3 B.
a4
3 C.
a3
4 D.
3
a4
Caâu 16. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 2) Xeùt caùc soá thöïc a vaø b thoûa maõn log3(3a.9
b) = log93. Meänh ñeà naøo
döôùi ñaây ñuùng?
A. a + 2b = 2 B. 4a + 2b = 1 C. 4ab = 1 D. 2a + 4b = 1
Caâu 17. (THPT QG 2020 – LAÀN 2) Vôùi a, b laø caùc soá thöïc döông tuøy yù thoûa maõn log3a – 2log9b = 2, meänh ñeà
naøo döôùi ñaây ñuùng?
A. a = 9b4 B. a = 9b
C. a = 6b D. a = 9b
2
Caâu 18. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 1) Xeùt taát caû caùc soá thöïc döông a vaø b thoûa maõn log2a = log8(ab). Meänh
ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng?
A. a = b2 B. a
3 = b C. a = b D. a
2 = b
Caâu 19. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Cho haøm soá f(x) = 2
xx
7.2 . Khaúng ñònh naøo sau ñaây laø khaúng ñònh sai ?
A. f(x) < 1 x + x2log27 < 0 B. f(x) < 1 xln2 + x
2ln7 < 0
C. f(x) < 1 xlog72 + x2 < 0 D. f(x) < 1 1 + xlog27 < 0
Caâu 20. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Cho hai soá thöïc a vaø b, vôùi 1 < a < b. Khaúng ñònh naøo döôùi ñaây laø khaúng ñònh
ñuùng ?
A. logab < 1 < logba B. 1 < logab < logba C. logba < logab < 1 D. logba < 1 < logab
Caâu 21. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Cho a, b laø caùc soá thöïc döông thoûa maõn a 1, ba vaø 3bloga
. Tính
a
blogP
a
b .
A. 335P B. 31P C. 31P D. 335P
Caâu 22. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Cho a laø soá thöïc döông, a 1 vaø 3
aalogP
3 . Meänh ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng ?
A. P = 3 B. P = 1 C. P = 9 D.
3
1P
Caâu 23. (THPT QG 2017) Cho a laø soá thöïc döông khaùc 1. Tính alogIa
.
A.
2
1I B. I = 0 C. I = 2 D. I = 2
3
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
Caâu 24. (THPT QG 2019) Cho a vaø b laø hai soá thöïc döông thoûa maõn a4b = 16. Giaù trò cuûa blogalog4
22
baèng
A. 4 B. 2 C. 16 D. 8
Caâu 25. (THPT QG 2020) Vôùi a, b laø caùc soá thöïc döông tuøy yù vaø a 1, blog5
a
baèng
A. blog5a
B. blog
5
1
a C. blog5
a D. blog
5
1
a
Caâu 26. (THPT QG 2017) Vôùi a, b laø caùc soá thöïc döông tuøy yù vaø a khaùc 1, ñaët 6
a
3
ablogblogP
2 . Meänh
ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng?
A. P = 9logab B. P = 27logab C. P = 15logab D. P = 6logab
Caâu 27. (THPT QG 2017) Cho logax = 3, logbx = 4 vôùi a, b laø caùc soá thöïc lôùn hôn 1. Tính P = logabx.
A.
12
7P B.
12
1P C. P = 12 D.
7
12P
Caâu 28. (THPT QG 2020) Cho a vaø b laø hai soá thöïc döông thoûa maõn 3balog
a34
2
2 . Giaù trò cuûa bieåu thöùc a2b
baèng
A. 3 B. 6 C. 12 D. 2
Caâu 29. Bieát log153 = a. Haõy Tính A = log2515.
A. 1
1 a B.
1
2 a
C. A =
)a1(2
1
D.
1
3(1 a)
Caâu 30. Bieát log4911 = a vaø log27 = b. Haõy tính B =
8
121log 3 7
.
A. B = 12a – 1
b
B. B = 12a –
b
9
C. B = 12a – 3
b
D. B = 12a – 5
b
Caâu 31. Cho a = log303, b = log305. Haõy tính log301350 theo a vaø b.
A. 2a + 3b + 1 B. 3a + 2b + 1
C. a + 2b + 1 D. 2a + b + 1
Caâu 32. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Ñaët a = log23, b = log53. Haõy bieåu dieãn log645 theo a vaø b.
A.
ab
ab2a45log
6
B.
ab
ab2a245log
2
6
C.
bab
ab2a45log
6
D.
bab
ab2a245log
2
6
Caâu 33. (THPT QG 2017) Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá 3
1
1xy .
A. D = ( ; 1) B. D = (1 ; ) C. D = R D. D = R \ {1}
Caâu 34. (THPT QG 2020 – LAÀN 2) Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = 5x laø
A. R B. (0; ) C. R \ {0} D. [0; )
Caâu 35. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 2) Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = log2x laø
A. [0; +) B. (; ) C. (0; ) D. [2; )
Caâu 36. (THPT QG 2020) Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá xlogy5
laø
A. [0; ) B. (; 0) C. (0; ) D. (; +)
Caâu 37. Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá
8
12lgy
2xx2 laø
A. D = (1 ; 3) B. D = (1 ; 3) C. D = (1 ; 4) D. D = (1 ; 5)
4
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
Caâu 38. Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá 4x3logy 2 laø
A. ;1D B. D 0 ; C. (–1; ) D. D 1;
Caâu 39. (THPT QG 2017) Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá
2x
3xlogy
5
.
A. D = R \ {2} B. D = (;2) [3; )
C. D = (2 ; 3) D. D = ( ; 2) (3 ; )
Caâu 40. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá y = log2(x2 – 2x – 3).
A. D = ( ; 1] [3 ; ) B. D = [1 ; 3]
C. D = ( ; 1) (3 ; ) D. D = (1 ; 3)
Caâu 41. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá y = 13x.
A. y’ = x.13x – 1
B. y’ = 13x.ln13 C. y’ = 13
x D. y’ =
13ln
13x
Caâu 42. (THPT QG 2019) Haøm soá x3x
2
2y coù ñaïo haøm laø
A. 2ln.2).3x2(x3x
2 B. 2ln.2x3x
2
C. x3x
2
2).3x2( D.
1x3x22
2).x3x(
Caâu 43. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tìm ñaïo haøm cuûa haøm soá y = logx.
A.
x
1'y B.
x
10ln'y C.
10lnx
1'y D.
xln10
1'y
Caâu 44. (ÑEÀ MINH HOÏA 2019) Haøm soá f(x) = log2(x2 – 2x) coù ñaïo haøm
A. f ’(x) =
x2x
2ln
2 B. f ’(x) =
2lnx2x
1
2
C. f ’(x) =
x2x
2ln2x2
2
D. f ’(x) =
2lnx2x
2x2
2
Caâu 45. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá x
4
1xy
.
A.
x2
2
2ln1x21'y
B.
x2
2
2ln1x21'y
C.
2x
2
2ln1x21'y
D.
2
x
2
2ln1x21'y
Caâu 46. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá 1x1lny .
A.
1x11x2
1'y
B.
1x1
1'y
C.
1x11x
1'y
D.
1x11x
2'y
Caâu 47. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Cho haøm soá
x
xlny meänh ñeà naøo döôùi ñaây ñuùng ?
A. 2
x
1"xy'y2 B.
2
x
1"xy'y
C. 2
x
1"xy'y D.
2
x
1"xy'y2
5
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
Caâu 48. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Cho ba soá thöïc döông a, b, c khaùc 1. Ñoà thò caùc
haøm soá y = ax, y = b
x, y = c
x ñöôïc cho trong hình veõ beân. Meänh ñeà naøo döôùi ñaây
ñuùng?
A. a < b < c
B. a < c < b
C. b < c < a
D. c < a < b
Caâu 49. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Cho haøm soá f(x) = xlnx. Moät trong boán ñoà thò cho
trong boán phöông aùn A, B, C, D döôùi ñaây laø ñoà thò cuûa haøm soá y = f ’(x). Tìm ñoà thò ñoù.
A. B. C. D.
Caâu 50. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tìm taäp hôïp taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá thöïc m ñeå haøm soá y = ln(x2+1) –
mx + 1 ñoàng bieán treân khoaûng ( ; +).
A. ( ; –1] B. ( ; –1) C. [1 ; 1] D. [1 ; +)
Caâu 51. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Xeùt caùc soá thöïc a, b thoûa maõn a > b > 1. Tìm giaù trò nhoû nhaát Pmin cuûa bieåu
thöùc
b
alog3alogP
b
22
b
a.
A. Pmin = 19 B. Pmin = 13 C. Pmin = 14 D. Pmin = 15
Caâu 52. (ÑEÀ MINH HOÏA 2019) Cho haøm soá y = f(x). Haøm soá y = f ’(x) coù baûng bieán thieân nhö sau
Baát phöông trình f(x) < ex + m ñuùng vôùi moïi x (1; 1) khi vaø chæ khi
A. m f(1) – e B. e
11fm C.
e
11fm D. m > f(1) – e
Caâu 53. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 1) Cho x, y laø caùc soá thöïc döông thoûa maõn log9x = log6y = log4(2x + y).
Giaù trò cuûa
y
x baèng
A. 2 B.
2
1 C.
2
3log
2 D. 2log
2
3
Caâu 54. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 1) Coù bao nhieâu caëp soá nguyeân (x; y) thoûa maõn 0 x 2020 vaø log3(3x
+ 3) + x = 2y + 9y?
A. 2019 B. 6 C. 2020 D. 4
Caâu 55. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 2) Xeùt caùc soá thöïc döông a, b, x, y thoûa maõn a > 1, b > 1 vaø ax = b
y =
ab . Giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc P = x + 2y thuoäc taäp hôïp naøo döôùi ñaây?
A. (1; 2) B.
2
5;2 C. [3; 4) D.
3;
2
5
6
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
Caâu 56. (THPT QG 2020) Xeùt caùc soá thöïc khoâng aâm x vaø y thoûa maõn 34.yx21yx
. Giaù trò nhoû nhaát cuûa
bieåu thöùc y6x4yxP22 baèng
A.
4
33 B.
8
65 C.
8
49 D.
8
57
Caâu 57. (ÑEÀ MINH HOÏA 2018) Cho daõy soá (un) thoûa maõn 101011
ulog2ulog2ulog2ulog vaø un +1 =
2un vôùi moïi n ≥ 1. Giaù trò nhoû nhaát cuûa n ñeå un > 5100
baèng
A. 247 B. 248 C. 229 D. 290
Caâu 58. (THPT QG 2017) Xeùt caùc soá thöïc döông x, y thoûa maõn 4y2xxy3
y2x
xy1log
3
.
Tìm giaù trò nhoû nhaát Pmin cuûa P = x + y.
A.
9
19119P
min
B.
9
19119P
min
C.
21
291118Pmin
D.
3
3112P
min
Caâu 59. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020) Coù bao nhieâu soá nguyeân x sao cho toàn taïi soá thöïc y thoûa maõn log3(x + y) =
log4(x2 + y
2)?
A. 3 B. 2 C. 1 D. Voâ soá
Caâu 60. (THPT QG 2018) Cho a > 0, b > 0 thoûa maõn log3a + 2b + 1(9a2 + b
2 + 1) + log6ab + 1(3a + 2b + 1) = 2.
Giaù trò cuûa a + 2b baèng
A. 6 B. 9 C.
2
7 D.
2
5
Caâu 61. (THPT QG 2020 – LAÀN 2) Coù bao nhieâu caëp soá nguyeân döông (m, n) sao cho m + n 16 vaø öùng vôùi
moãi caëp (m, n) toàn taïi ñuùng ba soá thöïc a (1; 1) thoûa maõn 1aalnna22m ?
A. 16 B. 14 C. 15 D. 13
Caâu 62. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 2) Nghieäm cuûa phöông trình 3x – 1
= 27 laø
A. x = 4 B. x = 3 C. x = 2 D. x = 1
Caâu 63. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tìm nghieäm cuûa phöông trình 3x – 1
= 27.
A. x = 9 B. x = 3 C. x = 4 D. x = 10
Caâu 64. (THPT QG 2020 – LAÀN 2) Nghieäm cuûa phöông trình 22x – 4
= 2x laø
A. x = 16 B. x = 16 C. x = 4 D. x = 4
Caâu 65. (THPT QG 2017) Cho phöông trình 4x + 2
x + 1 – 3 = 0. Khi ñaët t = 2
x, ta ñöôïc phöông trình naøo döôùi
ñaây?
A. 2t2 – 3 = 0 B. t
2 + t – 3 = 0 C. 4t – 3 = 0 D. t
2 + 2t – 3 = 0
Caâu 66. (THPT QG 2019) Nghieäm cuûa phöông trình 32x – 1
= 27 laø
A. x = 5 B. x = 1 C. x = 2 D. x = 4
Caâu 67. (THPT QG 2018) Phöông trình 22x + 1
= 32 coù nghieäm laø
A.
2
5x B. x = 2 C.
2
3x D. x = 3
Caâu 68. (THPT QG 2020) Nghieäm cuûa phöông trình 931x
laø
A. x = 2 B. x = 3 C. x = 2 D. x = 3
Caâu 69. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Giaûi phöông trình log4(x – 1) = 3.
A. x = 63 B. x = 65 C. x = 80 D. x = 82
7
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
Caâu 70. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 1) Nghieäm cuûa phöông trình log3(2x – 1) = 2 laø
A. x = 3 B. x = 5 C.
2
9x D.
2
7x
Caâu 71. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tìm taäp nghieäm S cuûa phöông trình log2(x – 1) + log2(x + 1) = 3.
A. S = {3 ; 3} B. S = {4} C. S = {3} D. 10;10S
Caâu 72. (ÑEÀ MINH HOÏA 2019) Taäp nghieäm cuûa phöông trình log2(x2 – x + 2) = 1 laø
A. {0} B. {0; 1} C. {1; 0} D. {1}
Caâu 73. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Hoûi phöông trình 3x2
– 6x + ln(x + 1)3
+ 1 = 0 coù bao nhieâu nghieäm phaân bieät ?
A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.
Caâu 74. (ÑEÀ MINH HOÏA 2018) Toång giaù trò taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình
3
2xlog.xlog.xlog.xlog
812793 baèng
A.
9
82 B.
9
80 C. 9 D. 0
Caâu 75. (ÑEÀ MINH HOÏA 2019) Toång taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình log3(7 – 3x) = 2 – x baèng
A. 2 B. 1 C. 7 D. 3
Caâu 76. (THPT QG 2020 – LAÀN 2) Nghieäm cuûa phöông trình log2(x + 9) = 5 laø
A. x = 41 B. x = 23 C. x = 1 D. x = 16
Caâu 77. (THPT QG 2019) Nghieäm cuûa phöông trình log3(x + 1) + 1 = log3(4x + 1) laø
A. x = 3 B. x = 3 C. x = 4 D. x = 2
Caâu 78. (THPT QG 2020) Nghieäm cuûa phöông trình 21xlog3
laø
A. x = 8 B. x = 9 C. x = 7 D. x = 10
Caâu 79. (ÑEÀ MINH HOÏA 2019) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình 273x2x
2
laø
A. (; 1) B. (3; ) C. (1; 3) D. (; 1) (3; )
Caâu 80. (THPT QG 2020) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình 27313x
2
laø
A. (4; ) B. (4; 4) C. (; 4) D. (0; 4)
Caâu 81. (ÑEÀ MINH HOÏA 2018) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình 22x
< 2x + 6
laø
A. (0 ; 6) B. ( ; 6) C. (0 ; 64) D. (6; )
Caâu 82. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tìm taäp nghieäm S cuûa baát phöông trình 0
5
15
1x
A. S = (1 ; +) B. S = (1 ; +) C. S = (2 ; +) D. S = ( ; 2)
Caâu 83. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 1) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình 9xx1x
2
55 laø
A. [2; 4] B. [4; 2] C. (; 2] [4; ) D. (; 4] [2; )
Caâu 84. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 2) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình 9x + 2.3
x – 3 > 0 laø
A. [0; ) B. (0; ) C. (1; ) D. [1; )
Caâu 85. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 2) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình logx 1 laø
A. (10; ) B. (0; ) C. [10; ) D. (; 10)
Caâu 86. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Giaûi baát phöông trình log2(3x – 1) > 3.
A. x > 3 B. 3x
3
1 C. x < 3 D.
3
10x
8
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
Caâu 87. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tìm taäp nghieäm S cuûa baát phöông trình 1x2log1xlog
2
1
2
1 .
A. S = (2 : ) B. S = ( ; 2) C.
2;
2
1S D. S = (1 ; 2)
Caâu 88. (THPT QG 2020 – LAÀN 2) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình log3(13 – x2) 2 laø
A. (; 2] [2; ) B. (; 2] C. (0; 2] D. [2; 2]
Caâu 89. (THPT QG 2017) Tìm taäp nghieäm S cuûa baát phöông trình log2
2x – 5log2x + 4 0.
A. S = ( ; 2] [16 ; ) B. S = [2 ; 16]
C. S = (0 ; 2] [16 ; ) D. S = ( ; 1] [4 ; )
Caâu 90. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Tìm taäp hôïp taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá thöïc m ñeå phöông trình 6x + (3 –
m)2x – m = 0 coù nghieäm thuoäc khoaûng (0 ; 1).
A. [3 ; 4] B. [2 ; 4] C. (2 ; 4) D. (3 ; 4)
Caâu 91. (THPT QG 2017) Tìm giaù trò thöïc cuûa tham soá m ñeå phöông trình log3
2x – mlog3x + 2m – 7 = 0 coù
hai nghieäm thöïc x1, x2 thoûa maõn x1x2 = 81.
A. m = 4 B. m = 4 C. m = 81 D. m = 44
Caâu 92. (ÑEÀ MINH HOÏA 2018) Coù bao nhieâu giaù trò nguyeân döông cuûa tham soá m ñeå phöông trình
16x – 2.12
x + (m – 2).9
x = 0 coù nghieäm döông?
A. 1 B. 2 C. 4 D. 3
Caâu 93. (THPT QG 2018) Goïi S laø taäp hôïp taát caû caùc giaù trò nguyeân cuûa tham soá m sao cho phöông trình
16x – m.4
x + 1 + 5m
2 – 45 = 0 coù hai nghieäm phaân bieät. Hoûi S coù bao nhieâu phaàn töû?
A. 13 B. 3 C. 6 D. 4
Caâu 94. (ÑEÀ MINH HOÏA 2020 – LAÀN 1) Cho phöông trình log2
2(2x) – (m + 2)log2x + m – 2 = 0 (m laø tham soá
thöïc). Taäp hôïp taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm phaân bieät thuoäc ñoaïn [1; 2] laø
A. (1; 2) B. [1; 2] C. [1; 2) D. [2; )
Caâu 95. (THPT QG 2019) Cho phöông trình log9x2 – log3(3x – 1) = log3m (m laø tham soá thöïc). Coù taát caû
bao nhieâu giaù trò nguyeân cuûa m ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm ?
A. 2 B. 4 C. 3 D. Voâ soá
Caâu 96. (ÑEÀ MINH HOÏA 2017) Hoûi coù bao nhieâu giaù trò m nguyeân trong ñoaïn [2017 ; 2017] ñeå phöông trình
log(mx) = 2log(x + 1) coù nghieäm duy nhaát ?
A. 2017 B. 4014 C. 2018 D. 4015
Caâu 97. (THPT QG 2018) Cho phöông trình 5x + m = log5(x – m) vôùi m laø tham soá. Coù bao nhieâu giaù trò
nguyeân cuûa m (20 ; 20) ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm?
A. 20 B. 19 C. 9 D. 21
Caâu 98. (THPT QG 2020) Coù bao nhieâu soá nguyeân x sao cho öùng vôùi moãi x coù khoâng quaù 728 soá nguyeân y
thoûa maõn yxlogyxlog3
2
4 ?
A. 59 B. 58 C. 116 D. 115
Caâu 99. (THPT QG 2020 – LAÀN 2) Xeùt caùc soá thöïc x, y thoûa maõn x221yx42x2yx2
22
. Giaù trò lôùn
nhaát cuûa bieåu thöùc
1yx2
4x8P
gaàn nhaát vôùi soá naøo döôùi ñaây?
A. 9 B. 6 C. 7 D. 8
Caâu 100. (THPT QG 2019) Cho phöông trình 0m75xlogxlog4x
2
2
2 (m laø tham soá thöïc). Coù taát
caû bao nhieâu giaù trò nguyeân döông cuûa m ñeå phöông trình ñaõ cho coù ñuùng hai nghieäm phaân bieät ?
A. 49 B. 47 C. Voâ soá D. 48
9
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
Caâu 101. (ÑEÀ THAM KHAÛO 2021) Vôùi a laø soá thöïc döông tuøy yù, log3(9a) baèng
A. 3
1log a
2
B. 2log3a C. (log3a)2 D. 2 + log3a
Caâu 102. (ÑEÀ THAM KHAÛO 2021) Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = 2x laø:
A. y’ = 2xln2 B. y’ = 2
x C. y’ =
x2
ln 2
D. y’ = x2x – 1
Caâu 103. (ÑEÀ THAM KHAÛO 2021) Vôùi a laø soá thöïc döông tuøy yù, 3
a baèng
A. a6 B.
3
2a C.
2
3a D.
1
6a
Caâu 104. (ÑEÀ THAM KHAÛO 2021) Nghieäm cuûa phöông trình 52x – 4
= 25 laø
A. x = 3 B. x = 2 C. x = 1 D. x = 1
Caâu 105. (ÑEÀ THAM KHAÛO 2021) Nghieäm cuûa phöông trình log2(3x) = 3 laø:
A. x = 3 B. x = 2 C. 8
x
3
D. 1
x
2
Caâu 106. (ÑEÀ THAM KHAÛO 2021) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình
24 x
3 27 laø
A. [1; 1] B. (; 1] C. 7 ; 7
D. [1; )
Caâu 107. (ÑEÀ THAM KHAÛO 2021) Coù bao nhieâu soá nguyeân döông y sao cho öùng vôùi moãi y coù khoâng quaù 10
soá nguyeân x thoûa maõn x 1 x2 2 2 y 0
A. 1024 B. 2047 C. 1022 D. 1023
Caâu 108. (ÑEÀ THAM KHAÛO 2021) Coù bao nhieâu soá nguyeân a (a 2) sao cho toàn taïi soá thöïc x thoûa maõn:
loga
logxa 2 x 2 ?
A. 8 B. 9 C. 1 D. Voâ soá
Caâu 109. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 1) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình 3x < 2 laø
A. (; log32) B. (log32; ) C. (; log23) D. (log23; )
Caâu 110. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 1) Ñoà thò cuûa haøm soá y = x4 + 4x
2 – 3 caét truïc tung taïi ñieåm coù tung ñoä
baèng
A. 0 B. 3 C. 1 D. 3
Caâu 111. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 1) Treân khoaûng (0; ), ñaïo haøm cuûa haøm soá
5
2y x laø:
A.
7
22
y ' x7
B.
3
22
y ' x5
C.
3
25
y ' x2
D.
3
25
y ' x2
Caâu 112. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 1) Nghieäm cuûa phöông trình log3(5x) = 2 laø
A. 8
x5
B. x = 9 C. 9
x5
D. x = 8
Caâu 113. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 1) Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = 9x laø
A. R B. [0; ) C. R \ {0} D. (0; )
Caâu 114. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 1) Cho a > 0 vaø a 1, khi ñoù 4
alog a baèng
A. 4 B. 1
4 C.
1
4 D. 4
10
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
Caâu 115. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 1) Vôùi moïi a, b thoûa maõn 3
2 2log a log b 6 , khaúng ñònh naøo sau ñaây
ñuùng?
A. a3b = 64 B. a
3b = 36 C. a
3 + b = 64 D. a
3 + b = 36
Caâu 116. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 1) Coù bao nhieâu soá nguyeân x thoûa maõn 2x x
33 9 . log x 25 3 0 ?
A. 24 B. Voâ soá C. 26 D. 25
Caâu 117. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 1) Coù bao nhieâu soá nguyeân y sao cho toàn taïi 1
x ;33
thoûa maõn
23x xy 9x27 1 xy .27
A. 27 B. 9 C. 11 D. 12
Caâu 118. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 2) Vôùi moïi soá thöïc döông a, 4log 4a baèng
A. 41 log a B. 41 log a C. 4log a D. 44log a
Caâu 119. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 2) Ñaïo haøm cuûa haøm soá xy 3 laø
A.
x3y '
ln 3 B.
xy ' 3 C. x 1y ' x3 D.
xy ' 3 ln3
Caâu 120. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 2) Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá 3y log x 3 laø
A. ;3 B. 3; C. 3; D. ;3
Caâu 121. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 2) Nghieäm cuûa phöông trình 5x = 3 laø:
A. 3x 5 B.
3x
5 C. x = 3log 5 D. x = 5log 3
Caâu 122. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 2) Taäp nghieäm cuûa baát phöông trình 2log 3x 5 laø
A. 32
0;3
B. 32
;3
C.
250;
3
D. 25
;3
Caâu 123. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 2) Vôùi a > 0, ñaët 2log 2a b , khi ñoù 4
2log 8a baèng
A. 4b + 7 B. 4b + 3 C. 4b D. 4b – 1
Caâu 124. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 2) Coù bao nhieâu soá nguyeân x thoûa maõn
2 x 1
2 2log x 1 log x 31 32 2 0
?
A. 27 B. Voâ soá C. 26 D. 28
Caâu 125. (THPT QG 2021 – ÑÔÏT 2) Coù bao nhieâu soá nguyeân döông y sao cho toàn taïi soá thöïc x 1;6 thoûa
maõn x x 24 x 1 e y e xy 2x 3 ?
A. 18 B. 15 C. 16 D. 17
----------
11
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
ÑAÙP AÙN HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT
Caâu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ñaùp aùn B A B C A C D A C C
Caâu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Ñaùp aùn B C A D B D B D D D
Caâu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Ñaùp aùn C C D A D D D A C B
Caâu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Ñaùp aùn D C B A C C A A D C
Caâu 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ñaùp aùn B A C D A A A B C A
Caâu 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
Ñaùp aùn D C B D D B B D B C
Caâu 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
Ñaùp aùn D A C D D B B B B B
Caâu 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
Ñaùp aùn C B C A A B D D C B
Caâu 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
Ñaùp aùn B C A B C A C D C C
Caâu 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Ñaùp aùn B B B C A C B C C B
Caâu 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
Ñaùp aùn D A B A C A A A A D
Caâu 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Ñaùp aùn C C A B A C C A D B
Caâu 121 122 123 124 125
Ñaùp aùn D B D C B
12
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT
GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
I. LUÕY THÖØA VÔÙI SOÁ MUÕ NGUYEÂN
1) Luõy thöøa vôùi soá muõ nguyeân : Cho n Z , n > 1, a R. Luõy thöøa baäc n cuûa a, kyù hieäu an, ñöôïc ñònh nghóa
laø tích cuûa n thöøa soá a. Ta coù: a soá thöøa n
n a...a.aa VD: 3 soá thöøa n
n 3...3.33
Trong bieåu thöùc an, soá a goïi laø cô soá, soá n goïi laø soá muõ, a
n goïi laø luõy thöøa cuûa a vôùi soá muõ n.
2) Luõy thöøa vôùi soá muõ nguyeân aâm, vôùi soá muõ 0 : Vôùi a 0 vaø n = 0 hoaëc n laø moät soá nguyeân aâm, ta ñònh nghóa :
a0 = 1 (a 0) VD: 3
0 = (–3)
0 = 1 ;
n
n
a
1a
n
n
a
1ahoaëc VD: 9
3
13
2
2
;
9
1
3
13
2
2
Chuù yù :
a) Caùc kyù hieäu 00; 0
n (n nguyeân aâm) ñeàu khoâng coù nghóa.
b) Ngöôøi ta thöôøng duøng caùc luõy thöøa cuûa 10 vôùi soá muõ nguyeân ñeå bieåu thò nhöõng soá raát lôùn vaø nhöõng soá raát
beù. (Khi söû duïng maùy tính caàm tay ñeå giaûi toaùn, ta nhôù raèng: “möôøi muõ döông” (ví duï: 1010
laø töông ñöông
vôùi voâ cuøng (): chaüng haïn 1010
töông ñöông vôùi +, coøn –1010
töông ñöông vôùi –). Coøn “möôøi muõ aâm”
thì töông ñöông vôùi 0 (ví duï: 10–10
hieåu laø töông ñöông vôùi 0).
c) Moãi soá haïng coù daïng a.10k thì soá muõ k chæ roõ vò trí cuûa chöõ soá a trong bieåu dieãn thaäp phaân cuûa soá ñaõ cho.
Chaúng haïn, vôùi k = –1 thì chöõ soá a ôû haøng phaàn möôøi, vôùi k = 0 thì chöõ soá a ôû haøng ñôn vò, vôùi k = 1 thì chöõ
soá a ôû haøng chuïc, … Ví duï: 3,010
310.3
1
1 ; 03,0
10
310.3
2
2 ; 31.310.3 0 ; 3010.3 1 ; 30010.3 2
3) Tính chaát cuûa luõy thöøa vôùi soá muõ nguyeân :
Quy taéc tính : a, b R, a 0, b 0 vaø m, n Z ta coù :
1) am
. an = a
m + n 2)
n
m
a
a = a
m – n 3) (a
m)
n = a
m.n 4) (ab)
n = a
n. b
n 5)
n
b
a
=
n
n
b
a
So saùnh caùc luõy thöøa : Cho m, n Z ta coù :
1) Neáu a > 1 thì am
> an m > n. VD: 3
3 > 3
2 3 > 2.
2) Neáu 0 < a < 1 thì am
> an m < n. VD: 32
2
1
2
132
.
3) Neáu 0 < a < b vaø m Z ta coù : a) am
< bm
m > 0. VD: 23 < 3
3 3 > 0.
b) am
> bm
m < 0. VD: 2–3
> 3–3
–3 < 0.
4) Neáu a, b > 0; n Z, n 0 thì an = b
n a = b. VD: x
3 = 2
3 x = 2 (vôùi x > 0).
5) Vôùi n laø soá töï nhieân leû: Neáu a < b an < b
n. VD: 2 < 3 2
3 < 3
3.
II. CAÊN BAÄC n VAØ LUÕY THÖØA VÔÙI SOÁ MUÕ HÖÕU TÆ
1) Caên baäc n : Vôùi n nguyeân döông, caên baäc n cuûa soá thöïc a laø soá thöïc b sao cho bn = a.
Vôùi n N*, ta coù: ban sao cho bn = a.
_ Khi n laø soá leû, moãi soá thöïc a chæ coù moät caên baäc n. (VD: caên baäc ba cuûa 8 laø 2, caên baäc ba cuûa –8 laø –2)
_ Khi n laø soá chaün, moãi soá thöïc döông a coù ñuùng hai caên baäc n laø hai soá ñoái nhau. (VD: caên baäc hai cuûa 9 laø
3 vaø –3 vì 32 = (–3)
2 = 9).
2) Nhaän xeùt :
_ Caên baäc 1 cuûa a laø chính laø a.
_ Moät soá döông coù hai caên baäc hai laø hai soá ñoái nhau.
_ Caên baäc n cuûa 0 laø 0.
_ Moät soá aâm khoâng coù caên baäc chaün (vì luõy thöøa baäc chaün cuûa moät soá thöïc baát kyø luoân laø soá khoâng aâm).
13
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
_ Vôùi n nguyeân döông leû, caên baäc leû cuûa moät soá döông laø soá döông, caên baäc leû cuûa moät soá aâm laø soá aâm.
_ Ta coù:
chaün
leû
nkhia
nkhiaa
n n VD: aa
5 5 ; aa6 6
3) Moät soá tính chaát cuûa caên baäc n :
Cho a, b R vaø a, b khoâng aâm; hai soá nguyeân döông m, n vaø hai soá nguyeân p, q tuøy yù, ta coù :
1) nnn b.ab.a
VD: 333 3.23.2
2) n
nn
b
a
b
a (b > 0)
VD: 3
3
3
3
2
3
2
3) pnn p aa (a > 0)
VD: 233 2 aa
4) n.mm n aa
VD: 63.23 222
5) n mk.n k.m aa
VD: 53.2 3.5 aa
6) mn n.m aa
VD: 23 3.2 aa
7) aan2 n2
VD: aa4 4
8) Neáu
m
q
n
p thì
m qn p aa
VD:
6
3
4
2
6 34 2 55
Moät soá ví duï :
a) 2324.84.8 5555 b)
2
3
16
81
16
81
16
15
4
4
44 c) 822128128 337 7377 3
d) 3729729 63 e) 37.3 721 721 222128
Chuù yù :
_ Neáu n laø soá nguyeân döông leû vaø a < b thì nn ba . VD:
55 3232
_ Neáu n laø soá nguyeân döông chaün vaø 0 < a < b thì nn ba . VD:
44 32320
4) Luõy thöøa vôùi soá muõ höõu tæ :
Ñònh nghóa : Cho :
*N n Z, m ôùi
n
m rdaïng coù tæ u höõsoálaø r
0) (a a
v
R
Ta coù : n mn
m
r aaa (a > 0) VD: 46488 33 23
2
;
3
1
27
12727 3
3 13
1
Chuù yù : nn
1
aa (a döông, n nguyeân döông)
III. LUÕY THÖØA VÔÙI SOÁ MUÕ THÖÏC
1) Ñònh nghóa : Cho soá döông a. Ngöôøi ta ñònh nghóa luõy thöøa vôùi soá muõ thöïc a (a R) nhö sau:
nr
nalima
vôùi nn
rlim
2) Caàn nhôù :
a) Khi xeùt luõy thöøa vôùi soá muõ 0 vaø soá muõ nguyeân aâm thì cô soá phaûi khaùc 0.
b) Khi xeùt luõy thöøa vôùi soá muõ khoâng nguyeân thì cô soá phaûi döông.
VD: Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá : a) 31xy
. b) 3
1
1xy .
a) Haøm soá 31xy
ñöôïc xaùc ñònh khi x – 1 0 x 1. Vaäy D = R\1.
b) Haøm soá 3
1
1xy ñöôïc xaùc ñònh khi x – 1 > 0 x > 1. Vaäy D = (1 ; ).
14
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
IV. LOGARIT
1) Ñònh nghóa : Loâgarit cô soá a (0 < a 1) cuûa soá x > 0, (kyù hieäu xlog a ) laø moät soá y sao cho khi naâng a
leân luõy thöøa y thì ñöôïc soá x, töùc laø : xlog a = y x = ay
VD: 532log2
vì 3225 ; 2
9
1log
3 vì
2
23
3
1
9
1
Chuù yù :
Khoâng coù loâgarit cuûa soá 0 vaø soá aâm (vì a luoân döông vôùi moïi ).
Cô soá cuûa loâgarit phaûi döông vaø khaùc 1.
Logarit cô soá 10 cuûa moät soá döông x ñöôïc goïi laø loâgarit thaäp phaân cuûa x, ñöôïc kyù hieäu laø lgx (hoaëc logx)
Theo ñònh nghóa cuûa loâgarit, ta coù :
alog a = 1 vaø 1log a = 0 b = b
a alog (b R) b = blogaa (b R, b > 0)
VD: 13log3 ; 01log3 ;
3
13log3log 3
1
3
3
3 ; 3log223
2) So saùnh hai loâgarit coù cuøng cô soá
Ñònh lyù 1 :
Cho caùc soá döông b vaø c.
a) Khi a > 1 thì blog a > clog a b > c > 0 VD: 3x3logxlog 22 (vôùi x > 0)
b) Khi 0 < a < 1 thì blog a > clog a 0 < b < c VD: 3x03logxlog2
1
2
1 (vôùi x > 0)
Heä quaû :
Cho 0 < a 1 vaø b > 0, c > 0, ta coù :
a) Khi a > 1 thì blog a > 0 b > 1. VD: 1x0xlog2 (vôùi x > 0)
b) Khi 0 < a < 1 thì blog a > 0 b < 1. VD: 1x00xlog2
1 (vôùi x > 0)
c) blog a = clog a b = c VD: 3x3logxlog 22 (vôùi x > 0)
3) Caùc quy taéc tính loâgarit
Ñònh lyù 2 : Cho 0 < a 1 vaø b > 0, c > 0, ta coù :
clogblog)c.b(log aaa clogblogc
blog aaa
blogblog aa
( R)
VD: 5322log2log8log4log)8.4(log 3
2
2
2222
2242log2log4log16log4
16log 2
2
4
2222
3log33log27log 2
3
22
Chuù yù : Baèng qui naïp vôùi caùc soá döông b1, b2, … , bn, ta coù : loga(b1b2…bn) = logab1 + logab2 + … + logabn
Heä quaû 1 : Cho 0 < a 1 , b > 0 vaø n Z+, ta coù : blog
b
1log aa vaø blog
n
1blog a
na
VD: 3log3
1log 22 ; 3log
3
13log 2
3
2
4) Coâng thöùc ñoåi cô soá cuûa logarit
15
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
Ñònh lyù 3 : Cho 0 < a, b 1 vaø c > 0, ta coù :
blog
clogclog
a
a
b hay blog a . clogclog ab
VD:
2log
3log3log
5
52
Heä quaû 2 : Cho 0 < a, b 1, ta coù :
blog
1alog
a
b hay 1alog.blog ba
VD:
15log
13log
3
15 hay 115log.3log 315
Heä quaû 3 : Cho 0 < a 1, c > 0 vaø 0, ta coù : clog1
clog aa VD: 5log
2
15log 332
Heä quaû 4 : Cho 0 < a 1, c > 0 vaø 0, ta coù : clogclog aa
VD: 5log2
75log 3
7
32
5) Soá e vaø logarit töï nhieân
1) Soá e = ...71828,2x
11lim
x
x
Vôùi soá voán ban ñaàu A, theo theå thöùc tính laõi keùp ñònh kyø lieân tuïc, laõi suaát moãi naêm seõ laø r thì sau N naêm
soá tieàn thu ñöôïc caû voán laãn laõi seõ laø : Nre.AS
2) Logarit cô soá e cuûa 1 soá döông a ñöôïc goïi laø logarit töï nhieân (hay logarit Neâ-pe) cuûa soá a, kyù hieäu laø lna.
BAØI TAÄP
BAØI 1 : Caùc logarit sau ñaây döông hay aâm :
1) log25 2) log0,20,8 3) log50,5 4) 0,25log 7
BAØI 2 : Tính giaù trò bieåu thöùc :
1)
3
5 32
aa
aalog ÑS :
15
34 2) loga
aa
a.a.a5
3 45 33
ÑS : –
30
17
3) 89tanlg...3tanlg2tanlg1tanlgA ÑS : 0 4) A = lg
2(10x) – lg
2x. ÑS : 1 + 2lgx
5) 89tanlg...3tanlg.2tanlg.1tanlgB ÑS : 0 6) B =
5log33log2
182
4
ÑS :
25
3
7) 7log436log5log 993 32781A ÑS : 890 8) B = log36.log89.log62 ÑS : 2/3
9) A = log32.log43.log54.log65.log76.log87 ÑS : 1/3 10) B = 3log
2
2log
1
86 34 ÑS : 10
IV. HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT
1) Ñònh nghóa : Giaû söû a laø moät döông khaùc 1.
Haøm soá daïng y = ax ñöôïc goïi laø haøm soá muõ cô soá a.
Haøm soá daïng y = logax ñöôïc goïi laø haøm soá logarit cô soá a.
2) Ñaïo haøm cuûa haøm soá muõ vaø haøm soá logarit :
Ñaïo haøm cuûa haøm soá sô caáp cô baûn. Ñaïo haøm cuûa haøm soá hôïp.
1) (xn)’ = n.x
n–1
2) 2
'
x
1
x
1
(x 0)
3) x2
1x
'
(x > 0)
1*) (un)’ = n.u
n–1.u’
2*) 'uu
1
u
12
'
(u 0)
3*) 'uu2
1u
'
(u > 0)
16
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
4) (sinx)’ = cosx
5) (cosx)’ = –sinx
6) (tanx)’ = 1 + tan2
x =
xcos
12
7) (cotx)’ = – (1 + cot2
x) =
xsin
12
4*) (sinu)’ = cosu.u’
5*) (cosu)’ = –sinu.u’
6*) (tanu)’ = (1 + tan2
u).u’ = 'uucos
12
7*) (cotu)’ = – (1 + cot2
u).u’ = 'uusin
12
8) (ex)’ = e
x
9) (ax)’ = a
x.lna
8*) (eu)’ = e
u.u’
9*) (au)’ = a
u.lna.u’
10) (lnx)’ =
x
1 hay (ln x )’ =
x
1
11) (logax)’ =
aln.x
1 hay (loga x )’ =
aln.x
1
10*) (lnu)’ =
u
1.u’ hay (ln u )’ =
u
1.u’
11*) a
1(log u)' u'
u.lna
hay a
1log u ' u'
u.lna
3) Khaûo saùt haøm soá muõ y = ax (a > 0, a 1)
y = ax, a > 1 y = a
x, 0 < a < 1
1) Taäp xaùc ñònh : R
2) Söï bieán thieân
y’ = axlna > 0, x
Giôùi haïn : 0alimx
x
,
x
x
alim
Tieäm caän : Truïc Ox laø tieäm caän ngang.
3) Baûng bieán thieân
x 0 1
y’
y a
1
0
4) Ñoà thò :
1) Taäp xaùc ñònh : R
2) Söï bieán thieân
y’ = axlna < 0, x
Giôùi haïn :
x
x
alim , 0alimx
x
Tieäm caän : Truïc Ox laø tieäm caän ngang.
3) Baûng bieán thieân
x 0 1
y’
y
1
a
0
4) Ñoà thò :
Baûng toùm taét caùc tính chaát cuûa haøm soá muõ y = ax (a > 0, a 1)
Taäp xaùc ñònh ( ; )
Ñaïo haøm y’ = axlna
Chieàu bieán thieân a > 1 : haøm soá luoân ñoàng bieán
0 < a < 1 : haøm soá luoân nghòch bieán
Tieäm caän truïc Ox laø tieäm caän ngang
Ñoà thò Ñi qua caùc ñieåm (0 ; 1) vaø (1 ; a), naèm phía treân truïc hoaønh
(y = ax > 0, x R)
4) Khaûo saùt haøm soá logarit y = logax (a > 0, a 1)
y = logax, a > 1 y = logax, 0 < a < 1
17
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
1) Taäp xaùc ñònh : (0 ; )
2) Söï bieán thieân : y’ =
alnx
1 > 0, x > 0
Giôùi haïn :
xloglima
0x
,
xloglima
x
Tieäm caän : Truïc Oy laø tieäm caän ñöùng.
3) Baûng bieán thieân
x 0 1 a
y’
y 1
0
4) Ñoà thò :
1) Taäp xaùc ñònh : (0 ; )
2) Söï bieán thieân : y’ =
alnx
1 < 0, x > 0
Giôùi haïn :
xloglima
0x
,
xloglima
x
Tieäm caän : Truïc Ox laø tieäm caän ñöùng.
3) Baûng bieán thieân
x a 1
y’
y
1
0
4) Ñoà thò :
Baûng toùm taét caùc tính chaát cuûa haøm soá muõ y = logax (a > 0, a 1)
Taäp xaùc ñònh (0 ; )
Ñaïo haøm y’ =
alnx
1
Chieàu bieán thieân a > 1 : haøm soá luoân ñoàng bieán
0 < a < 1 : haøm soá luoân nghòch bieán
Tieäm caän truïc Oy laø tieäm caän ñöùng
Ñoà thò Ñi qua caùc ñieåm (1 ; 0) vaø (a ; 1), naèm phía beân phaûi truïc tung
BAØI 3 : Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau :
1) y = (2x + 1) 2) y =
ba
x
a
b
x
(a, b > 0) 3) y = 3
3
3
x1
x1
4) y =
5 3 x5ln
5) y = ln(x2 + 1) 6) y = ln(x
2 + 2x) 7) y = ln
2x 8) y = ln
4(sin2x)
9) y = 2axax ee 10) 14) y = xx ee2
1 11) y = 2x + 3
x 12) y =
2
ee xx
17) y =
1xxln 2 18)
xsin1
xsin1lny
19) y =
x21
x21ln
20) y = ln
x1
x1
BAØI 4 : Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá :
1) y =
x
xln 2
treân ñoaïn [1 ; e3] . (ÑH B 2004) 2) y =
2lg
1lg
2
2
x
x .
3) y = 8log2
3x – 6log2
2x – 12log2x + 3 treân ñoaïn
4;
4
1. 4) y = e
3x + 3e
2x – 9e
x + 5 treân ñoaïn [ln2 ; ln5].
5) y = x2.e
x treân ñoaïn [–3 ; 2] . 6) xln1xlny
2 treân ñoaïn [1 ; e]
7) f(x) = 4x – ln(x + 1) treân ñoaïn [0 ; 2]. 8) y = x(ln
2x – 5lnx + 7) treân ñoaïn [1 ; e
2].
9)
2 29 x 2 9 xy e e treân ñoaïn 5 ; 5
. 10) f(x) = 2x + 1
+ (x2 – 6x)ln2 treân ñoaïn [1 ; 2].
18
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
ÑS : 1)2e
4, 0; 2)
2
1; 3) 19,–61; 4)160, 0; 5) 4e
2, 0; 6) 1 2 , 1; 7) 16 – ln3, ln 2 5 4 ; 8) 3e ; 7 ; 9)
e
1e4 ; 1e2 ; 10) 2ln71 ; 2ln54 .
V. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ – PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Phöông phaùp: Bieán ñoåi caùc phöông trình veà moät trong caùc daïng sau (vôùi 0 < a 1).
1) Phöông trình muõ
Daïng 1 : af(x)
= b
blog)x(f
0b,1a0
a
Daïng 2 : af(x)
= ag(x)
)x(g)x(f
1a0
Daïng 3 : af(x)
= bg(x)
blog).x(g)x(fblogalog a
)x(g
a
)x(f
a
2) Phöông trình logarit
Daïng 1 : logaf(x) = b
ba)x(f
1a0 Daïng 2 : logaf(x) = logag(x)
0)x(g)x(f
1a0
Caàn chuù yù ta raát hay nhaàm khi aùp duïng nhoùm coâng thöùc naøy :
Neáu 0 < a 1 , b1b2 > 0 thì :
1) 2a1a21a
blogblogbblog 2)2a1a
2
1
ablogblog
b
blog 3) blog.k2blog
a
k2
a , k Z
+, b 0
BAØI 5 : Giaûi caùc phöông trình sau :
1) 2x 3 2x 29 27 ÑS : 0 ; 3 2)
3x
2 3 2 3 ÑS : –1/3
3) 3x = 25 ÑS : 2log35 4) 5x59 2)x21(log3
ÑS : 102
5) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3) ÑS : 5 6) 2)x(loglog)x(loglog 4224 ÑS : 16
8) 3x
17x
7x
5x
128.25,032
ÑS : 10 7) 94x4xlog)2x(log 2
3
2
3 ÑS : 25; –29
9) 2x + 3
x = 5
x ÑS : 1 10) log5x = 11 – 2x ÑS : 5
11)2xx1x )1x(22
2
ÑS : 1 12) 2x3x
5x4x2
3xxlog 2
2
2
3
ÑS : –1; –2
1) 2.16x – 17.4
x + 8 = 0 ÑS :–1/2 ; 3/2 2) 8433
10x10
x5
ÑS : 20
3) 62.54 2x1x2xx 22
ÑS : 3/2 4) 24.74 x2cos1x2cos23
ÑS : /3 + k
5) 2x – 24.2
–x + 2 = 0 ÑS : 2 6) 991010
22 x1x1 ÑS : 1
7) 02055 x3x ÑS : 4 8) 62.42 xcosxsin 22
ÑS : /2 + k
9) 3.16x + 2.81
x = 5.36
x ÑS : 0 ; 1/2 10) 03.264 2xlnxln1xln 2
ÑS : e
–2
11) 0210.325 x
21
x
1
2
1
x
1
ÑS : –1 12) x
1
x
1
x
1
964
ÑS :
2
3log
2
51
13) x x
2 1 2 1 2 2 ÑS : 1 14) 43232xx
ÑS : 2
15) xxx
2.315215 ÑS : 0; 2log
2
15 16) 3x
xx
22157215 ÑS : 0; 7log
2
215
17) 1444 7x3x25x6x2x3x 222
ÑS : 1 ; 2 ;–5 18)
x452x2xx2 22222 ÑS : 31
19) 20xlogxlog 42
4
24
2 ÑS : 2 ; 1/2 20) 2xlog)x2(logx2x2
ÑS : 2
VI. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ – BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Phöông phaùp: Bieán ñoåi caùc phöông trình veà moät trong caùc daïng sau (vôùi 0 < a 1).
1) Baát phöông trình muõ
Nếu a > 1 : af(x)
> ag(x)
f(x) > g(x) Nếu 0 < a < 1 : af(x)
> ag(x)
f(x) < g(x)
19
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
2) Baát phöông trình logarit
Nếu a > 1 : logaf(x) > logag(x) f(x) > g(x) > 0 Nếu 0 < a < 1: logaf(x) > logag(x) 0 < f(x) < g(x)
BAØI 6 : Giaûi caùc baát phöông trình sau :
1) 2x > 5
x ÑS : x < 0 2)
1x2x3
5x3
22
1
ÑS : (x –4) (–3 < x –1)
3) 04x
xxloglog
2
67,0
ÑS : (–4 < x < –3) (x > 8) 4) 0
1x
3x2loglog 2
3
1
ÑS : x < –2.
5) 1x2log1xlog
2
1
2
1 ÑS :
1x 2
2
6) log2
2x – 5log2x + 4 0 ÑS : 2 < x < 4.
VII. BAØI TOAÙN LAÕI SUAÁT
Laõi keùp laø hình thöùc laõi coù ñöôïc do coäng doàn tieàn laõi thaùng tröôùc vaøo tieàn goác thaønh voán môùi vaø tieáp tuïc
göûi cho thaùng sau.
Chuù yù :
Thuaät ngöõ laõi keùp cuõng ñoàng nghóa vôùi caùc thuaät ngöõ nhö laõi goäp voán, laõi gheùp voán hoaëc laõi nhaäp voán.
Laõi ñôn laø soá tieàn laõi chæ tính treân soá voán goác maø khoâng tính treân soá tieàn laõi do soá voán goác sinh ra trong
moät khoaûng thôøi gian coá ñònh. (Chæ coù voán goác môùi phaùt sinh tieàn laõi).
BAØI TOAÙN : Göûi vaøo ngaân haøng soá tieàn laø A ñoàng theo theå thöùc laõi keùp lieân tuïc, vôùi laõi suaát haøng naêm laø
r. Tính caû voán laãn laõi T sau N naêm?
Höôùng daãn :
Goïi A (ñoàng) laø tieàn goác ban ñaàu.
r (%) laø laõi suaát haøng naêm.
N (naêm) laø soá naêm.
T (ñoàng) tieàn voán laãn laõi sau N naêm.
Cuoái naêm thöù 1, soá tieàn coù ñöôïc: r1Ar.AAT (ñoàng)
Cuoái naêm thöù 2, soá tieàn coù ñöôïc: 2r1Arr1Ar1AT (ñoàng)
Cuoái naêm thöù 3, soá tieàn coù ñöôïc: 322r1Ar.r1Ar1AT (ñoàng)
Töông töï cho caùc naêm tieáp theo ...
Töø ñoù suy ra cuoái naêm thöù n, soá tieàn coù ñöôïc: Nr1AT (ñoàng)
Nhö vaäy neáu ñem göûi ngaân haøng moät soá voán ban ñaàu laø A vôùi laõi suaát moãi naêm laø r theo theå thöùc laõi keùp
thì sau N naêm göûi, soá tieàn thu veà caû voán laãn laõi seõ laø Nr1A .
Ta coù coâng thöùc : Nr1AT
Töø coâng thöùc Nr1AT ta tính ñöôïc caùc ñaïi löôïng khaùc nhö sau:
1)
)r1ln(A
Tln
A
TlogN )r1(
2) 1
A
Tr N 3)
N)r1(
TA
Ta chöùng minh caùc coâng thöùc nhö sau:
1) Laáy logarit Nepe hai veá cuûa (*) ta ñöôïc:
)r1ln(A
Tln
N)r1ln(.NA
Tln)r1ln(.NAlnTln)r1ln(.NAln)r1(AlnTln N
2) Töø 1A
Tr
A
Tr1r1
A
Tr1AT NN
NN 3) Töø
NN
r1
TAr1AT
20
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
TOÙM TAÉT COÂNG THÖÙC BAØI TOAÙN LAÕI SUAÁT
Coâng thöùc 1: Khaùch haøng göûi vaøo ngaân haøng A ñoàng vôùi laõi ñôn r%/kyø haïn thì soá tieàn khaùch haøng nhaän
ñöôïc caû voán laãn laõi sau n kyø haïn (n N*) laø:
Ta coù coâng thöùc 1 : T A nAr A 1 nr
THÍ DUÏ 1 : Moät ngöôøi göûi 100 trieäu ñoàng vaøo moät ngaân haøng vôùi hình thöùc laõi ñôn 5%/naêm thì sau 5 naêm,
soá tieàn khaùch haøng nhaän ñöôïc caû voán laãn laõi laø bao nhieâu?
Höôùng daãn :
Soá tieàn caû goác laãn laõi khaùch haøng nhaän ñöôïc sau 5 naêm laø: T A 1 nr 100 1 5 5% 125 (trieäu ñoàng)
Coâng thöùc 2: (Daønh cho göûi tieàn moät laàn) Khaùch haøng göûi vaøo ngaân haøng A ñoàng vôùi laõi suaát hình thöùc
laõi keùp r%/kyø haïn thì soá tieàn khaùch haøng nhaän ñöôïc caû voán laãn laõi sau n kyø haïn (n N*) laø:
Ta coù coâng thöùc 2 : n
T A 1 r
Chuù yù : Trong tính toaùn, caùc baøi toaùn laõi suaát vaø caùc baøi toaùn lieân quan, ta nhôù r
r%
100
THÍ DUÏ 2 : (ÑEÀ MINH HOÏA THPT QG 2018) Moät ngöôøi göûi 100 trieäu ñoàng vaøo moät ngaân haøng vôùi laõi suaát
0,4% /thaùng. Bieát raèng neáu khoâng ruùt tieàn ra khoûi ngaân haøng thì cöù sau moãi thaùng, soá tieàn laõi seõ ñöôïc nhaäp
vaøo voán ban ñaàu ñeå tính laõi cho thaùng tieáp theo. Hoûi sau ñuùng 6 thaùng, ngöôøi ñoù ñöôïc lónh soá tieàn (caû voán
ban ñaàu vaø laõi) gaàn nhaát vôùi soá tieàn naøo döôùi ñaây, neáu trong khoaûng thôøi gian naøy ngöôøi ñoù khoâng ruùt tieàn
ra vaø laõi suaát khoâng thay ñoåi?
A. 102.424.000 ñoàng B. 102.423.000 ñoàng C. 102.016.000 ñoàng D. 102.017.000 ñoàng
Höôùng daãn :
AÙp duïng coâng thöùc laõi keùp, ta coù sau ñuùng 6 thaùng, ngöôøi ñoù ñöôïc lónh soá tieàn caû voán ban ñaàu vaø laõi laø:
n 6
T A 1 r 100 1 0,4% 102.424.128,4 (ñoàng) choïn A
THÍ DUÏ 3 : (THPT QG 2018) Moät ngöôøi göûi tieát kieäm vaøo moät ngaân haøng vôùi laõi suaát 7,5%/naêm. Bieát raèng
neáu khoâng ruùt tieàn ra khoûi ngaân haøng thì cöù sau moãi naêm soá tieàn laõi seõ ñöôïc nhaäp vaøo voán ñeå tính laõi cho
naêm tieáp theo. Hoûi sau ít nhaát bao nhieâu naêm ngöôøi ñoù thu ñöôïc (caû soá tieàn göûi ban ñaàu vaø laõi) gaáp ñoâi soá
tieàn göûi ban ñaàu, giaû ñònh trong khoaûng thôøi gian naøy laõi suaát khoâng thay ñoåi vaø ngöôøi ñoù khoâng ruùt tieàn ra?
A. 11 naêm B. 9 naêm C. 10 naêm D. 12 naêm
Höôùng daãn :
Goïi A (ñoàng) laø tieàn goác ban ñaàu ; r (%) laø laõi suaát haøng naêm ; N (naêm) laø soá naêm ; S (ñoàng) tieàn voán laãn
laõi sau N naêm. AÙp duïng coâng thöùc:
10...5843,92log2logNr12r1AA2r1AS %)5,71()r1(
NNN choïn C
THÍ DUÏ 4 : (THPT QG 2017) Moät ngöôøi göûi 50 trieäu ñoàng vaøo moät ngaân haøng vôùi laõi suaát 6%/naêm. Bieát
raèng neáu khoâng ñöôïc pheùp ruùt tieàn ra khoûi ngaân haøng thì cöù sau moãi naêm soá tieàn laõi seõ ñöôïc nhaäp vaøo goác
ñeå tính laõi cho naêm tieáp theo. Hoûi sau ít nhaát bao nhieâu naêm ngöôøi ñoù nhaän ñöôïc soá tieàn nhieàu hôn 100
trieäu ñoàng bao goàm goác vaø laõi? Giaû ñònh trong suoát thôøi gian göûi, laõi suaát khoâng ñoåi vaø ngöôøi ñoù khoâng ruùt
tieàn ra.
A. 13 naêm B. 14 naêm C. 12 naêm D. 11 naêm
Höôùng daãn :
Ta coù coâng thöùc n%r1aT neân 50.(1 + 6%)n 100 (trieäu ñoàng) n log(1 + 6%)2 n 12 Choïn C
THÍ DUÏ 5 : (THPT QG 2018) Moät ngöôøi göûi tieát kieäm vaøo moät ngaân haøng vôùi laõi suaát 7,5%/naêm. Bieát raèng
neáu khoâng ruùt tieàn ra khoûi ngaân haøng thì cöù sau moãi naêm soá tieàn laõi seõ ñöôïc nhaäp vaøo voán ñeå tính laõi cho
21
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
naêm tieáp theo. Hoûi sau ít nhaát bao nhieâu naêm ngöôøi ñoù thu ñöôïc (caû soá tieàn göûi ban ñaàu vaø laõi) gaáp ñoâi soá
tieàn göûi ban ñaàu, giaû ñònh trong khoaûng thôøi gian naøy laõi suaát khoâng thay ñoåi vaø ngöôøi ñoù khoâng ruùt tieàn ra?
A. 11 naêm B. 9 naêm C. 10 naêm D. 12 naêm
Höôùng daãn :
Goïi A (ñoàng) laø tieàn goác ban ñaàu ; r (%) laø laõi suaát haøng naêm ; N (naêm) laø soá naêm ; S (ñoàng) tieàn voán laãn
laõi sau N naêm. AÙp duïng coâng thöùc:
10...5843,92log2logNr12r1AA2r1AS %)5,71()r1(
NNN choïn C
THÍ DUÏ 6 : (THPT QG 2017) Ñaàu naêm 2016, oâng A thaønh laäp moät coâng ty. Toång soá tieàn oâng A duøng ñeå traû
löông cho nhaân vieân trong naêm 2016 laø 1 tyû ñoàng. Bieát raèng cöù sau moãi naêm thì toång soá tieàn duøng ñeå traû
löông cho nhaân vieân trong caû naêm ñoù taêng theâm 15% so vôùi naêm tröôùc. Hoûi naêm naøo döôùi ñaây laø naêm ñaàu
tieân maø toång soá tieàn oâng A duøng ñeå traû löông cho nhaân vieân trong caû naêm lôùn hôn 2 tyû ñoàng?
A. Naêm 2023. B. Naêm 2022 C. Naêm 2021 D. Naêm 2020
Höôùng daãn :
Ta coù coâng thöùc: (1 + 15%)n 2 tyû ñoàng n log(1 + 5%)2 n 5 2016 + 5 = 2021 choïn C.
THÍ DUÏ 7 : Moät soá tieàn 100.000.000 ñoàng göûi tieát kieäm trong 2 naêm thì laõnh veà ñöôïc 112.360.000 ñoàng.
Tìm laõi suaát haøng naêm?
Höôùng daãn :
Ta coù : nr1AT 1A
Tr
A
Tr1
A
T)r1( nnn
Vaäy laõi suaát haøng naêm laø: 1000.000.100
000.360.112r = 0,06 hay 6%.
THÍ DUÏ 8 : (THI THÖÛ THPT QG TÆNH ÑOÀNG THAÙP 2015–2016) Moät ngöôøi göûi tieát kieäm ngaân haøng vôùi laõi
suaát 6,8%/naêm vaø laõi haøng naêm ñöôïc nhaäp vaøo voán. Cho bieát soá tieàn caû goác vaø laõi ñöôïc tính theo coâng thöùc
nr1AS , trong ñoù A laø soá tieàn göûi, r laø laõi suaát vaø N laø soá kyø haïn göûi. Hoûi sau bao nhieâu naêm ngöôøi ñoù
thu ñöôïc gaáp ñoâi soá tieàn ban ñaàu?
Höôùng daãn :
Sau n naêm soá tieàn thu ñöôïc laø N068.01AS
Ñeå S = 2A thì phaûi coù 54.102logN2068.1A.2068.01A 068.1
NN
Vaäy muoán thu ñöôïc gaáp ñoâi soá tieàn ban ñaàu, ngöôøi ñoù phaûi göûi 11 naêm.
Coâng thöùc 3: (Daønh cho göûi tieàn haøng thaùng) Khaùch haøng göûi vaøo ngaân haøng a ñoàng vôùi laõi suaát haøng
thaùng laø r% . Hoûi sau n thaùng, khaùch haøng coù bao nhieâu tieàn?
Cuoái thaùng thöù n, khaùch haøng coù soá tieàn caû goác laãn laõi laø:
Ta coù coâng thöùc 3 : na
T 1 r 1 1 r
r
n
n
T .ra
1 r 1 r 1
vaø
nT .r
ln 1 r
a
n 1
ln 1 r
THÍ DUÏ 9 : Moät ngöôøi muoán sau 5 naêm coù 1 tæ ñoàng ñeå mua oâ toâ. Hoûi raèng ngöôøi khaùch haøng ñoù phaûi göûi
ngaân haøng moãi thaùng (soá tieàn nhö nhau) laø bao nhieâu? Bieát laõi suaát moãi thaùng laø 0.5%.
Höôùng daãn :
Coi raèng ngöôøi khaùch haøng ñoù göûi tieàn vaøo thôøi ñieåm cuoái thaùng, aùp duïng coâng thöùc laõi keùp, göûi haøng
thaùng. Theá soá T60 = 1.000.000.000 vaø r = 0.5% vaøo coâng thöùc, ta coù:
n
n 60
T .r 1.000.000.000 0.5%a
1 r 1 r 1 1 0.5% 1 0.5% 1
Vaäy moãi thaùng ngöôøi khaùch haøng phaûi göûi tieát kieäm khoaûng 14 trieäu 260 ngaøn ñoàng vaøo ngaân haøng, lieân
tuïc trong 5 naêm.
22
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
Coâng thöùc 4: (Daønh cho baøi toaùn traû goùp) Goïi soá tieàn vay laø N, laõi suaát laø r, n laø soá thaùng phaûi traû, A laø soá
tieàn phaûi traû vaøo haøng thaùng ñeå sau n thaùng laø heát nôï.
Goïi x (ñoàng) laø soá tieàn phaûi traû haøng thaùng
Nhôù: Traû heát nôï thì sau n thaùng, soá tieàn seõ baèng 0.
Ta coù coâng thöùc 4 :
1)r1(
)r1.(r.Ax
n
n
THÍ DUÏ 10 : (ÑEÀ MINH HOÏA THPT QG 2019) OÂng A vay ngaân haøng 100 trieäu ñoàng vôùi laõi suaát 1%/thaùng.
OÂng ta muoán hoaøn nôï cho ngaân haøng theo caùch: Sau ñuùng moät thaùng keå töø ngaøy vay, oâng baét ñaàu hoaøn nôï;
hai laàn hoaøn nôï lieân tieáp caùch nhau ñuùng moät thaùng, soá tieàn hoaøn nôï ôû moãi thaùng laø nhö nhau vaø oâng A traû
heát nôï sau ñuùng 5 naêm keå töø ngaøy vay. Bieát raèng moãi thaùng ngaân haøng chæ tính laõi treân soá dö nôï thöïc teá cuûa
thaùng ñoù. Hoûi soá tieàn moãi thaùng oâng ta caàn traû cho ngaân haøng gaàn nhaát vôùi soá tieàn naøo döôùi ñaây?
A. 2,22 trieäu ñoàng B. 3,03 trieäu ñoàng C. 2,25 trieäu ñoàng D. 2,20 trieäu ñoàng
Höôùng daãn :
AÙp duïng coâng thöùc traû goùp, oâng A traû heát nôï sau ñuùng 5 naêm keå töø ngaøy vay, soá tieàn moãi thaùng oâng ta caàn
traû cho ngaân haøng: Vôùi S = 100 trieäu ñoàng, r = 1% vaø n = 5 12 = 60 thaùng thì :
n
n
A.r 1 r
x
1 r 1
=
1%11
%11%.110060
60
2,22 trieäu ñoàng choïn A
THÍ DUÏ 11 : (ÑEÀ MINH HOÏA THPT QG 2017) OÂng A vay ngaén haïn ngaân haøng 100 trieäu ñoàng, vôùi laõi suaát
12%/naêm. OÂng muoán hoaøn nôï cho ngaân haøng theo caùch : Sau ñuùng moät thaùng keå töø ngaøy vay, oâng baét ñaàu
hoaøn nôï ; hai laàn hoaøn nôï lieân tieáp caùch nhau ñuùng moät thaùng, soá tieàn hoaøn nôï ôû moãi laàn laø nhö nhau vaø traû
heát tieàn nôï sau ñuùng 3 thaùng keå töø ngaøy vay. Hoûi, theo caùch ñoù, soá tieàn m maø oâng A seõ phaûi traû cho ngaân
haøng trong moãi laàn hoaøn nôï laø bao nhieâu ? Bieát raèng, laõi suaát ngaân haøng khoâng thay ñoåi trong thôøi gian oâng
A hoaøn nôï.
A. 3
01,1.100m
3
(trieäu ñoàng) B.
101,1
01,1m
3
3
(trieäu ñoàng)
C.
3
03,1100m
(trieäu ñoàng) D.
112,1
12,1.120m
3
3
(trieäu ñoàng)
Höôùng daãn :
AÙp duïng coâng thöùc traû goùp, oâng A traû heát nôï sau ñuùng 3 thaùng keå töø ngaøy vay, soá tieàn moãi thaùng oâng ta caàn
traû cho ngaân haøng: Vôùi S = 100 trieäu ñoàng, r = 12%:12 = 1% thaùng vaø n = 3 thaùng thì:
n
n
A.r 1 r
m
1 r 1
=
3
3
3 3
100 1%. 1 1% (1.01)
(1,01) 11 1% 1
choïn B
VIII. BAØI TOAÙN TÆ LEÄ TAÊNG TRÖÔÛNG
Coâng thöùc taêng tröôûng cuûa vi khuaån: Tính tæ leä taêng tröôûng r cho coâng thöùc S = A.er.N
.
A laø soá löôïng vi khuaån ban ñaàu; S laø soá löôïng vi khuaån sau thôøi gian N, r laø tæ leä taêng tröôûng (r > 0), N laø
thôøi gian taêng tröôûng.
Coâng thöùc taêng tröôûng cuûa beøo: Giaû söû löôïng beøo ban ñaàu laø T0 vaø moãi giôø löôïng beøo taêng gaáp k laàn thì
sau n giôø löôïng beøo seõ laø n
0T T .k
THÍ DUÏ 12 : (SGK) Söï taêng daân soá ñöôïc öôùc tính theo coâng thöùc Nre.AS , trong ñoù A laø daân soá cuûa naêm
laáy laøm moác tính, S laø daân soá sau N naêm, r laø tæ leä taêng daân soá haøng naêm. Bieát raèng tæ leä taêng daân soá treân
theá giôùi haøng naêm laø 1,32%, naêm 1998 daân soá theá giôùi vaøo khoaûng 5926,5 trieäu ngöôøi. Khi ñoù döï ñoaùn daân
soá theá giôùi naêm 2008 (10 naêm) sau seõ laø bao nhieâu ? (giaû söû tæ leä taêng daân soá haøng naêm laø khoâng thay ñoåi).
23
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
A. 6762,6 (trieäu ngöôøi) B. 6762,7 (trieäu ngöôøi) C. 6762,8 (trieäu ngöôøi) D. 6762,9 (trieäu ngöôøi)
Höôùng daãn :
Döï ñoaùn daân soá theá giôùi naêm 2008 seõ laø : 8,6762e.5,5926e.AS 0132,0.10Nr (trieäu ngöôøi)
THÍ DUÏ 13 : (SGK) Bieát raèng naêm 2001, daân soá Vieät Nam laàn löôït laø 78685800 ngöôøi vaø tæ leä taêng tröôûng
daân soá naêm ñoù laø 1,7% vaø söï taêng daân soá ñöôïc öôùc tính theo coâng thöùc Nre.AS . Hoûi cöù taêng daân soá vôùi tæ
leä nhö vaäy thì ñeán naêm naøo daân soá nöôùc ta ôû möùc 100 trieäu ngöôøi ? (giaû söû tæ leä taêng daân soá haøng naêm laø
khoâng thay ñoåi)
A. naêm 2014 B. naêm 2015 C. naêm 2016 D. naêm 2017
Höôùng daãn :
Theo giaû thieát, ta coù : N017,0N017,0 e.6858,78ln100lne.6858,78100 14017,0
6858,78ln100lnN
Vaäy cöù neáu taêng daân soá vôùi tæ leä haøng naêm laø 1,7% thì ñeán naêm 2015 daân soá nöôùc ta seõ ôû möùc 100 trieäu
ngöôøi.
THÍ DUÏ 14 : (ÑEÀ MINH HOÏA THPT QG 2020 LAÀN 1) Ñeå döï baùo daân soá cuûa moät quoác gia, ngöôøi ta söû duïng
coâng thöùc S = Aenr
; trong ñoù A laø daân soá cuûa naêm laáy laøm moác tính, S laø daân soá sau n naêm, r laø tæ leä taêng
daân soá haøng naêm. Naêm 2017, daân soá Vieät Nam laø 93.671.600 ngöôøi (Toång cuïc Thoáng keâ, Nieân giaùm thoáng
keâ 2017, Nhaø xuaát baûn Thoáng keâ, Tr.79). Giaû söû tæ leä taêng daân soá haèng naêm khoâng ñoåi laø 0,81%, döï baùo
daân soá Vieät Nam naêm 2035 laø bao nhieâu ngöôøi (keát quaû laøm troøn ñeán chöõ soá haøng traêm)?
A. 109.256.100 B. 108.374.700 C. 107.500.500 D. 108.311.100
Höôùng daãn :
Ta coù: 2035 – 2017 = 18 n = 18.
Theá A = 93.671.600 ; n = 18 vaø r = 0,81% vaøo coâng thöùc: S = A.eNr
Daân soá Vieät Nam naêm 2035 laø S = 93.671.600 × e18 × 0,81%
108.374.741 choïn B.
THÍ DUÏ 15 : (ÑEÀ MINH HOÏA THPT QG 2017) Soá löôïng cuûa loaïi vi khuaån A trong moät phoøng thí nghieäm
ñöôïc tính theo coâng thöùc s(t) = s(0).2t, trong ñoù s(0) laø soá löôïng vi khuaån A luùc ban ñaàu, s(t) laø soá löôïng vi
khuaån A coù sau t phuùt. Bieát sau 3 phuùt thì soá löôïng vi khuaån A laø 625 nghìn con. Hoûi sau bao laâu, keå töø luùc
ban ñaàu, soá löôïng vi khuaån A laø 10 trieäu con?
A. 48 phuùt B. 19 phuùt C. 7 phuùt D. 12 phuùt
Höôùng daãn :
Ta coù s(3) = s(0).33 625.000 = 8.s(0) s(0) = 78125. Goïi thôøi gian caàn tìm laø t phuùt.
Ta coù : s(t) = s(0).2t
128
78125
1000000
0s
ts2
t 2t – 128 = 0 t = 7 choïn C
THÍ DUÏ 16 : (ÑMH THPT QG 2020 LAÀN 2) Ñeå quaûng baù cho saûn phaåm A, moät coâng ty döï ñònh toå chöùc
quaûng caùo theo hình thöùc quaûng caùo treân truyeàn hình. Nghieân cöùu cuûa coâng ty cho thaáy: neáu sau n laàn
quaûng caùo ñöôïc phaùt thì tæ leä ngöôøi xem quaûng caùo ñoù mua saûn phaåm A tuaân theo coâng thöùc P(n) =
n015,0
e491
1
. Hoûi caàn phaùt ít nhaát bao nhieâu laàn quaûng caùo ñeå tæ leä ngöôøi xem mua saûn phaåm ñaït treân
30%?
A. 202 B. 203 C. 206 D. 207
Höôùng daãn :
Ñeå tæ leä ngöôøi mua saûn phaåm ñaït treân 30%, ñieàu kieän laø: 10
3%30
e491
1nP
n015,0
203n968,202
21
1ln
015,0
1n
21
1lnn015,0
21
1e
3
10e491
n015,0n015,0
nmin = 203 Choïn B.
24
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
THÍ DUÏ 17 : (THPT QG 2020 ÑÔÏT 1) Trong naêm 2019, dieän tích röøng troàng môùi cuûa tænh A laø 600 ha. Giaû
söû dieän tích röøng troàng môùi cuûa tænh A moãi naêm tieáp theo ñeàu taêng 6% so vôùi dieän tích röøng troàng môùi cuûa
naêm lieàn tröôùc. Keå töø sau naêm 2019, naêm naøo döôùi ñaây laø naêm ñaàu tieân tænh A coù dieän tích röøng troàng môùi
trong naêm ñoù ñaït treân 1000 ha?
A. Naêm 2028 B. Naêm 2047 C. Naêm 2027 D. Naêm 2046
Höôùng daãn :
Goïi P0 laø dieän tích röøng troàng môùi naêm 2019.
Goïi Pn laø dieän tích röøng troàng môùi sau n naêm.
Goïi r% laø phaàn traêm dieän tích röøng troàng môùi taêng moãi naêm.
Sau 1 naêm, dieän tích röøng troàng môùi laø: P1 = P0 + P0r = P0(1 + r)
Sau 2 naêm, dieän tích röøng troàng môùi laø: P2 = P1 + P1r = P0(1 + r)2
…
Sau n naêm, dieän tích röøng troàng môùi laø: Pn = P0(1 + r)n
Theo giaû thieát: P0 = 600, r = 0,06 600(1 + 0,06)n > 1000
6
1006,1
n
6
10logn
06,1 8,8
Do ñoù n = 9.
Vaäy sau 9 naêm (töùc naêm 2028) thì tænh A coù dieän tích röøng troàng môùi trong naêm ñoù ñaït treân 1000 ha.
THÍ DUÏ 18 : (THPT QG 2020 ÑÔÏT 2) Naêm 2020, moät haõng xe oâ-toâ nieâm yeát giaù baùn loaïi xe X laø
750.000.000 ñoàng vaø döï ñònh trong 10 naêm tieáp theo, moãi naêm giaûm 2% giaù baùn so vôùi giaù baùn cuûa naêm
lieàn tröôùc. Theo döï ñònh ñoù, naêm 2025 haõng xe oâ-toâ nieâm yeát giaù baùn loaïi xe X laø bao nhieâu (keát quaû laøm
troøn ñeán haøng nghìn)?
A. 677.941.000 ñoàng B. 675.000.000 ñoàng C. 664.382.000 ñoàng D. 691.776.000 ñoàng
Höôùng daãn :
Ñaët A = 750.000.000 ñoàng laø giaù nieâm yeát loaïi xe X naêm 2020.
Naêm 2021, haõng xe oâ-toâ nieâm yeát giaù baùn loaïi xe X laø: 02,01A
100
2AAA
1
Naêm 2022, haõng xe oâ-toâ nieâm yeát giaù baùn loaïi xe X laø: 212
02,01A02,01AA
…
Vaäy ñeán naêm 2025, haõng xe oâ-toâ nieâm yeát giaù baùn loaïi xe X laø: 000.941.67702,01AA5
5 ñoàng.
Coâng thöùc taêng tröôûng cuûa beøo: Giaû söû löôïng beøo ban ñaàu laø T0 vaø moãi giôø löôïng beøo taêng gaáp k laàn thì
sau n giôø löôïng beøo seõ laø n
0T T .k
THÍ DUÏ 19 : Moät ngöôøi thaû 1 laù beøo vaøo moät caùi ao, sau 12 giôø thì beøo sinh soâi phuû kín maët ao. Hoûi sau
maáy giôø thì beøo phuû kín 1/5 maët ao, bieát raèng sau moãi giôø thì löôïng beøo taêng gaáp 10 laàn löôïng beøo tröôùc ñoù
vaø toác ñoä taêng khoâng ñoåi.
A. 12 – log5 (giôø) B. 12
5
(giôø) C. 12 – log2 (giôø) D. 12 + ln5 (giôø)
Höôùng daãn :
Caùch 1 : Söû duïng coâng thöùc soá haïng toång quaùt cuûa caäp soá nhaân
Coâng thöùc soá haïng toång quaùt cuûa caáp soá nhaân:
Neáu (un) laø moät caáp soá nhaân coù soá haïng ñaàu u1 vaø coâng boäi q 0 thì soá haïng toång quaùt un cuûa noù ñöôïc xaùc
ñònh theo coâng thöùc sau :
un = u1.qn –1
(n 2)
Vì cöù sau moät giôø thì dieän tích cuûa ñaùm beøo lôùn gaáp 10 laàn dieän tích ñaùm beøo tröôùc ñoù neân ñaây laø moät caáp
soá nhaân coù coâng boäi laø 10.
Giaû söû dieän tích beøo ban ñaàu laø u1.
25
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA, HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT ..................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG
Dieän tích beøo giôø thöù n laø: un = u1.10n –1
.
Sau 12 giôø beøo phuû khaép maët hoà. Khi ñoù dieän tích beøo seõ laø: u12 = u1.1011
.
Goïi t (giôø) laø thôøi gian ñaùm beøo phuû kín 1
5
maët hoà.
Dieän tích beøo giôø thöù t laø: ut = u1.10t –1
.
Beøo phuû kín 1
5
maët hoà, töùc laø dieän tích beøo seõ laø: 11
1
1u .10
5
Ta coù: t 1 11
1 1
1u .10 u .10
5
t 12
1 1
1u .10 u
5
t 12 1
10
5
1
t 12 log
5
t 12 log5 t 12 log5 Choïn A.
Caùch 2 : Söû duïng coâng thöùc taêng tröôûng cuûa beøo
Coâng thöùc taêng tröôûng cuûa beøo: Giaû söû löôïng beøo ban ñaàu laø T0 vaø moãi giôø löôïng beøo taêng gaáp k laàn thì
sau n giôø löôïng beøo seõ laø n
0T T .k
Ta coù : n
0T T .k
12
0T(12) T .10
Goïi t0 laø thôøi gian beøo phuû 1
5
maët hoà thì 0 0t t 12
0 0 0
1 1T .10 T(12) T .10 T .10
5 5
0 0t t12 12 12
0 0
1 1 110 10 log10 log 10 t log log10 t log5 12
5 5 5
Choïn A.
----------
Top Related