Gustavo Serebrenick
Análise da estabilidade de colunas esbeltas parcialmente enterradas em uma fundação elástica não-linear
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Área de Concentração: Estruturas.
Orientador: Paulo Batista Gonçalves
Rio de Janeiro
Novembro de 2004
Gustavo Serebrenick
Análise da estabilidade de colunas esbeltas parcialmente enterradas em uma fundação elástica não-linear
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof. Paulo Batista Gonçalves Presidente/Orientador
Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. Ricardo Azoubel da Mota Silveira UFOP
Profa. Djenane Cordeiro Pamplona Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. José Eugênio Leal Coordenador Setorial
do Centro Técnico Científico – PUC-Rio
Rio de Janeiro, 04 de Novembro de 2004
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.
Gustavo Serebrenick
Graduou-se em Engenharia Civil, ênfase em Estruturas, pela PUC-Rio (Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro) em Dezembro de 2000. Desenvolveu seu trabalho final de curso sobre o tema Concreto de Alto Desempenho.
Ficha catalográfica
CDD: 624
Serebrenick, Gustavo Análise da estabilidade de colunas parcialmente enterradas em uma fundação elástica não-linear / Gustavo Serebrenick ; orientador: Paulo Batista Gonçalves. – Rio de Janeiro : PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil, 2005. 115 f. : il. ; 30 cm Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil . Inclui referências bibliográficas 1. Engenharia civil – Teses. 2. Colunas. 3. Estabilidade. 4. Fundação não-linear. 5. Flambagem. 6. Estacas parcialmente enterradas. I. Gonçalves, Paulo Batista. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título.
Aos meus pais, Edmundo e Sylvia.
À minha irmã, Renata.
Agradecimentos
Ao Prof. Paulo Batista Gonçalves por sua orientação, serenidade e pelos
conhecimentos transmitidos principalmente ao longo desse último ano.
Ao Prof. Ricardo Azoubel M. Silveira pelo seu enorme apoio e
receptividade durante o período de estudos em Ouro Preto-MG.
Aos meus pais e à minha irmã, por tudo o que eles representam para mim.
Ao meu avô, Abrahão Serebrenick (I.M.), pelos ensinamentos e pelo prazer
que me proporcionou durante o nosso convívio em comum.
Aos meus demais familiares e amigos, que me acompanham e apóiam em
todos os momentos.
Aos colegas da PUC-Rio, em especial Antônio Eduardo Gonçalves
Sampaio, Eduardo Pasquetti e Patrícia Cunha de Assis pelo importante apoio dado
durante algumas etapas desta Dissertação.
Ao colega Bruno Moreira pela hospitalidade dada na ocasião da minha ida à
Ouro Preto.
A PUC-Rio e aos demais professores do Departamento de Engenharia Civil.
A CAPES pelo auxílio financeiro concedido, incentivo este, fundamental
para a realização deste trabalho.
Resumo
Serebrenick, Gustavo; Gonçalves, Paulo B. Análise da estabilidade de colunas esbeltas parcialmente enterradas em uma fundação elástica não-linear. Rio de Janeiro, 2004. 115p. Dissertação de Mestrado – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. O presente trabalho tem por objetivo estudar o comportamento de colunas
esbeltas parcialmente enterradas, quando submetidas a um carregamento axial de
compressão. A fundação é representada, ora por um modelo linear, o qual
considera que a reação exercida pelo solo é proporcional às deflexões da coluna,
ora por um modelo não-linear no qual esta relação de proporcionalidade não é
mais verificada. Para a modelagem da coluna, é usada a teoria inextensional de
barras esbeltas. Inicialmente, mostra-se como são deduzidas as equações
diferenciais do problema a partir dos funcionais de energia da coluna. No
problema linear, buscam-se obter as cargas críticas e modos críticos da coluna.
Neste caso, sua solução analítica é encontrada a partir da resolução do problema
de valor de contorno usando-se um programa de álgebra simbólica. Também é
obtida uma solução aproximada através do método de Ritz. Um estudo
paramétrico detalhado analisa a influência das condições de apoio da coluna e
altura e rigidez da fundação na carga e modo críticos. Entretanto, no caso não-
linear, as equações diferenciais são mais complexas, não permitindo a obtenção de
uma solução analítica. É utilizado, então, o método de Ritz, no qual as soluções
analíticas obtidas para o problema linear (autofunções) são usadas como funções
de interpolação. Em seguida, chega-se à uma equação não-linear de equilíbrio, da
qual se obtém o caminho pós-crítico da coluna. Os resultados do problema não-
linear são comparados com os obtidos através do método dos elementos finitos.
Palavras-chave Colunas, estabilidade, fundação não-linear, flambagem, estacas parcialmente enterradas.
Abstract
Serebrenick, Gustavo; Gonçalves, Paulo B. (Advisor). Stability analysis of slender columns partially buried in a non-linear elastic foundation. Rio de Janeiro, 2004. 115p. M.Sc. Dissertation – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. In this thesis the behavior of slender, partially embedded columns under
axial compressive forces is studied. The foundation is either represented by a
linear model, which considers that the soil reaction is proportional to the column’s
deflections or by a non-linear model in which this proportionality relation is not
observed. The inextensional slender beam theory is used to model the column.
Initially, the governing differential equations are deduced from the energy
functional of the column-foundation system. In the linear problem, the critical
loads and corresponding critical modes are looked for. In this case, an analytic
solution is obtained by the solution of the associated boundary value problem,
using a symbolic algebra software. An approximate solution is also found by
Ritz’s method. A parametric study is conducted to study the influence of the
column boundary conditions and foundation’s height and stiffness on critical
loads and modes. However, in the non-linear case, differential equations are much
more complex and an analytical solution is not possible. So, the Ritz’s method is
used once again, in which the analytic solutions of the linear problem
(eigenfunctions) are used as interpolation functions. After that, a non-linear
equilibrium equation is obtained together with the column post-buckling path.
These results are compared with the ones obtained using the finite element
method.
Key-words Columns, stability, non-linear foundation, buckling, partially embedded piles.
Sumário 1. Introdução...........................................................................................19
1.1. Objetivo......................................................................................... 20
1.2. Organização do texto.................................................................... 22
2. Formulação do problema....................................................................24
2.1. Funcional de energia não-linear da coluna................................... 24
2.2. Contribuição da fundação elástica................................................ 28
2.3. Funcional completo de energia não-linear.................................... 30
2.4. Funcional de energia linear...........................................................30
2.5. Funcional completo de energia linear........................................... 31
2.6. Equações diferenciais da coluna.................................................. 31
2.7. Solução analítica do problema de autovalor................................. 33
2.8. Solução aproximada de Rayleigh-Ritz.......................................... 41
3. Resultados da análise linear.............................................................. 44
3.1. Nota sobre a apresentação dos resultados.................................. 44
3.2. Influência da rigidez da fundação................................................. 45
3.2.1. Influência na carga crítica.....................................................45
3.2.2. Influência no modo crítico.....................................................48
3.3. Influência da altura da fundação................................................... 50
3.3.1. Influência na carga crítica.....................................................50
3.3.2. Influência no modo crítico.....................................................54
3.4. Influência das condições de apoio................................................ 56
3.4.1. Influência na carga crítica.....................................................57
3.4.2. Influência no modo crítico.....................................................60
3.5. Análise da coluna com a extremidade inferior livre.......................61
3.5.1. Influência da rigidez da fundação......................................... 61
3.5.1.1. Influência na carga crítica............................................ 61
3.5.1.2. Influência no modo crítico............................................ 64
3.5.2. Influência da altura da fundação...........................................65
3.5.2.1. Influência na carga crítica............................................ 65
3.5.2.2. Influência no modo crítico............................................ 68
3.6. Comparação dos resultados com o método de Ritz..................... 69
3.7. Diagramas de momento fletor e esforço cortante......................... 72
4. Formulação do problema não-linear...................................................75
4.1. Equações diferenciais para a coluna com um trecho sem fundação
e outro sob fundação elástica não-linear........................................ 75
4.2. Equações diferenciais para a coluna com um trecho sem fundação
e outro sob fundação elástica linear.................................................... 78
4.3. Método de Ritz – caminho pós-crítico não-linear..........................79
5. Resultados da análise não-linear....................................................... 82
5.1. Resultados obtidos pelo método de Ritz para a coluna com
fundação elástica linear....................................................................... 83
5.1.1. Influência da rigidez da fundação......................................... 83
5.1.2. Influência da altura da fundação...........................................86
5.1.3. Influência das condições de contorno.................................. 87
5.2. Resultados obtidos pelo método de Ritz para a coluna com
fundação elástica não-linear................................................................ 89
5.3. Resultados obtidos pelo programa de elementos finitos.............. 91
5.3.1. Influência das imperfeições na coluna..................................92
5.4. Comparação dos resultados......................................................... 93
5.4.1. Comparação entre os caminhos pós-críticos....................... 94
5.4.2. Comparação entre as cargas críticas................................... 96
5.5. Diagramas de momento fletor e esforço cortante......................... 97
6. Conclusões.......................................................................................100
6.1. Sugestões................................................................................... 102
7. Referências Bibliográficas................................................................ 103
8. Apêndices.........................................................................................105
8.1. Introdução .................................................................................. 105
8.2. Apêndice A..................................................................................105
8.3. Apêndice B..................................................................................111
8.4. Apêndice C..................................................................................113
Lista de Figuras Figura 1.1 Representação do problema estudado. 21
Figura 2.1 Coluna deformada. 25
Figura 2.2 Elemento infinitesimal deformado. 26
Figura 2.3 Condições de contorno homogêneas para diferentes
tipos de apoio. 39
Figura 2.4 Função seno como aproximação para a função que
mede os deslocamentos transversais em uma
coluna bi-apoiada. 42
Figura 3.1 Problema padrão. 44
Figura 3.2 Variação de �cr em função de K. 46
Figura 3.3 Variação de �cr em função de K, no formato semi-
log. 47
Figura 3.4 Modos críticos da coluna para K=10 e K=100. 48
Figura 3.5 Modos críticos da coluna para K=500, K=1.000,
K=10.000 e K=100.000. 49
Figura 3.6 Variação de �cr em função de K, para cinco valores
distintos de h. 51
Figura 3.7 Variação de �cr em função de K, para cinco valores
distintos de h, no formato semi-log. 52
Figura 3.8 Variação de �cr em função de h, para três valores de
K. 54
Figura 3.9 Primeiro modo crítico da coluna para cinco valores
de h, em função de K. 55
Figura 3.10 Definição das condições de apoio. 56
Figura 3.11 Variação de �cr em função de K, para cinco
condições de apoio distintas. 58
Figura 3.12 Variação de �cr em função de K, para cinco
condições de apoio distintas, no formato semi-log. 59
Figura 3.13 Primeiro modo crítico da coluna para cinco
condições de apoio distintas. 60
Figura 3.14 Condições de apoio para a coluna com a
extremidade inferior livre. 61
Figura 3.15 Variação de �cr em função de K, para a coluna com
quatro condições de apoio distintas. 63
Figura 3.16 Variação de �cr em função de K, para a coluna com
quatro condições de apoio distintas, no formato
semi-log. 63
Figura 3.17 Primeiro modo crítico da coluna com a extremidade
inferior livre e com quatro condições de apoio
distintas na extremidade superior. 64
Figura 3.18 Variação de �cr em função de h, para as quatro
condições de contorno da coluna com a
extremidade inferior livre e K=1.000. 66
Figura 3.19 Variação de �cr em função de h, para as quatro
condições de contorno da coluna com a
extremidade inferior livre e K=10.000. 67
Figura 3.20 Variação do primeiro modo crítico da coluna com a
extremidade inferior livre para quatro condições de
apoio distintas em função da variação na relação
h=H/L, para K=1.000. 68
Figura 3.21 Variação do primeiro modo crítico da coluna com a
extremidade inferior livre para quatro condições de
apoio distintas em função da variação na relação
h=H/L, para K=10.000. 69
Figura 3.22 Variação do erro cometido ao se utilizar cada função
de aproximação. 72
Figura 3.23 Diagramas de momento fletor linear e esforço
cortante linear. 74
Figura 5.1 Problema padrão. 83
Figura 5.2 Variação do caminho pós-crítico de uma coluna bi-
apoiada, com fundação até a metade de seu
comprimento, em função de diversos valores
adotados para K. 84
Figura 5.3 Variação das cargas com as deflexões em colunas
com as mesmas condições citadas na Figura 5.2. 85
Figura 5.4 Variação do caminho pós-crítico de uma coluna bi-
apoiada, com fundação elástica com K = 10.000, em
função de três relações distintas de H/L. 86
Figura 5.5 Variação das cargas com as deflexões em colunas
com as mesmas condições citadas na Figura 5.4. 87
Figura 5.6 Condições de contorno. 87
Figura 5.7 Variação do caminho pós-crítico de uma coluna com
fundação até metade do seu comprimento e
K=10.000, em função de cinco condições de apoio
distintas. 88
Figura 5.8 Variação das cargas com as deflexões em colunas
com as mesmas condições citadas na Figura 5.7. 88
Figura 5.9 Variação do caminho pós-crítico de uma coluna bi-
apoiada, com fundação até metade do seu
comprimento e K = 1.000, em função de diversos
valores adotados para Knl. 90
Figura 5.10 Variação do caminho pós-crítico de uma coluna bi-
apoiada, com fundação até metade do seu
comprimento e K = 10.000, em função de diversos
valores adotados para Knl. 91
Figura 5.11 Influência da imperfeição da coluna no caminho pós-
crítico. 93
Figura 5.12 Caminhos pós-críticos obtidos através dos dois
métodos. 95
Figura 5.13 Caminho pós-crítico. 98
Figura 5.14 Diagramas de momento fletor linear e esforço
cortante não-linear. 99
Figura 8.1 Situação analisada nos apêndices. 105
Lista de Tabelas Tabela 2.1 Modelos de fundação elástica. 29
Tabela 2.2 Condições de continuidade, definidas pelas
coordenadas locais. 39
Tabela 3.1 Valores de �cr associados a valores de K. 45
Tabela 3.2 Valores de �cr associados a valores de K, para h=0. 50
Tabela 3.3 Valores de �cr associados a valores de K, para
h=0,25. 50
Tabela 3.4 Valores de �cr associados a valores de K, para h=0,5. 50
Tabela 3.5 Valores de �cr associados a valores de K, para
h=0,75. 51
Tabela 3.6 Valores de �cr associados a valores de K, para h=1. 51
Tabela 3.7 Valores de �cr associados a crescentes valores de h,
para K=100. 53
Tabela 3.8 Valores de �cr associados a crescentes valores de h,
para K=1.000. 53
Tabela 3.9 Valores de �cr associados a crescentes valores de h,
para K=10.000. 54
Tabela 3.10 Posição dos deslocamentos transversais máximos
para a coluna com cinco relações distintas de h=H/L,
e K = 10.000. 56
Tabela 3.11 Valores de �cr associados a valores crescentes de K,
para a condição de apoio 1. 57
Tabela 3.12 Valores de �cr associados a valores crescentes de K,
para a condição de apoio 2. 57
Tabela 3.13 Valores de �cr associados a valores crescentes de K,
para a condição de apoio 3. 57
Tabela 3.14 Valores de �cr associados a valores crescentes de K,
para a condição de apoio 4. 58
Tabela 3.15 Valores de �cr associados a valores crescentes de K,
para a condição de apoio 5. 58
Tabela 3.16 Valores de �cr associados a crescentes valores de K
(condição de apoio 6). 61
Tabela 3.17 Valores de �cr associados a crescentes valores de K
(condição de apoio 7). 62
Tabela 3.18 Valores de �cr associados a crescentes valores de K
(condição de apoio 8). 62
Tabela 3.19 Valores de �cr associados a crescentes valores de K
(condição de apoio 9). 62
Tabela 3.20 Valores de �cr associados a crescentes valores de h,
para K=1.000 e K=10.000 (condição de apoio 6). 65
Tabela 3.21 Valores de �cr associados a crescentes valores de h,
para K=1.000 e K=10.000 (condição de apoio 7). 65
Tabela 3.22 Valores de �cr associados a crescentes valores de h,
para K=1.000 e K=10.000 (condição de apoio 8). 65
Tabela 3.23 Valores de �cr associados a crescentes valores de h,
para K=1.000 e K=10.000 (condição de apoio 9). 66
Tabela 3.24 Valores de �cr para três valores distintos de K. 70
Tabela 3.25 Valores de �cr e do erro percentual cometido ao se
utilizar funções de aproximação com diferentes
números de termos (K=10). 71
Tabela 3.26 Valores de �cr e do erro percentual cometido ao se
utilizar funções de aproximação com diferentes
números de termos (K=1.000). 71
Tabela 3.27 Valores de �cr e do erro percentual cometido ao se
utilizar funções de aproximação com diferentes
números de termos (K=10.000). 71
Tabela 5.1 Dados do problema analisado pelo método dos
elementos finitos. 92
Tabela 5.2 Comparação entre as cargas críticas. 96
Tabela 5.3 Pontos do caminho pós-crítico. 98
Lista de Símbolos Romanos A área da seção transversal da coluna; matriz dos coeficientes de um
sistema de equações
Aj coeficientes da função de interpolação �j no método de Rayleigh-Ritz;
E módulo de elasticidade transversal (ou módulo de Young);
F força de reação exercida pelo solo;
H altura da fundação;
H1 coordenada local do topo do trecho 1 da coluna,
H2 coordenada local do topo do trecho 2 da coluna,
I momento de inércia da seção transversal;
K parâmetro adimensional de rigidez elástico-linear da fundação; Knl parâmetro adimensional de rigidez elástico-não-linear da fundação; L comprimento total da coluna;
M momento fletor;
N1..N5 valores numéricos presentes na equação de equilíbrio não-linear;
P carga axial atuante na coluna;
Paprox carga crítica calculada pelo Método de Ritz;
Pexato carga crítica calculada pela solução analítica;
P1 ponto intermediário da coluna quando esta se encontra em seu estado
inderformado;
P2 ponto intermediário da coluna quando esta se encontra sob a ação da
carga P;
Q esforço cortante; 1
0�R raio de curvatura da estrutura indeformada;
1�fR raio de curvatura do eixo deformado;
U energia interna de deformação; Uf energia de flexão; Ufd energia interna de deformação da fundação elástica; Um energia de membrana;
V vetor das constantes do problema de autovalor;
Vnorm vetor normalizado das constantes do problema de autovalor;
Vp potencial das cargas externas; W trabalho realizado pelas forças não-conservativas; aij elemento da matriz A, localizado na linha i e na coluna j;
ampnorm amplitude normalizada de um autovetor;
ds comprimento infinitesimal do elemento curvo;
dx elemento linear na direção do eixo axial;
fn função de aproximação do método de Rayleigh-Ritz; h razão entre os comprimentos da fundação e da coluna;
i número imaginário;
k, k1, k2 constantes de rigidez elástico-linear da fundação;
k3 constante de rigidez elástico-não-linear da fundação;
m parâmetro adimensional para o momento fletor ;
mnl parâmetro adimensional para o momento fletor não-linear;
n número de termos usados na função de aproximação;
q parâmetro adimensional para o esforço cortante ;
qnl parâmetro adimensional para o esforço cortante não-linear;
u deslocamento axial; vj elemento do vetor V, localizado na posição j;
w deslocamento transversal;
xw, primeira derivada do deslocamento w em relação ao eixo x, ou, dxdw ;
xxw, segunda derivada do deslocamento w em relação ao eixo x, ou, 2
2
dxwd ;
xxxw, terceira derivada do deslocamento w em relação ao eixo x, ou, 3
3
dxwd ;
xxxxw, quarta derivada do deslocamento w em relação ao eixo x, ou, 4
4
dxwd ;
w1(x) função que mede o deslocamento transversal no trecho da coluna sem
fundação;
w2(x) função que mede o deslocamento transversal no trecho da coluna com
fundação;
wmáx deslocamento transversal máximo; x coordenada axial;
Gregos �i raízes da equação característica;
�j função em seno constituinte da função de aproximação fn;
� parâmetro adimensional de carga; �cr parâmetro adimensional de carga crítica; �� energia potencial total; �aprox funcional de energia linear, aproximado pelo método de Rayleigh-Ritz;
�� carga utilizada para representar as imperfeições da coluna;
� ângulo formado entre o eixo x e o eixo da viga deformada;
1. Introdução
A análise do comportamento de colunas enterradas em fundação elástica
tem atraído a atenção de pesquisadores por um longo período de tempo. Isso se
deve principalmente à sua grande aplicação prática em problemas reais do dia-a-
dia em Engenharia Estrutural. Pode-se citar, por exemplo, pilares esbeltos em
edifícios industriais, pontes e estruturas off-shore, estacas de fundação de
edifícios, dentre muitas outras aplicações nessa área.
A solução para problemas como o de uma coluna totalmente enterrada, ou
totalmente desenterrada, pode ser encontrada em livros clássicos de estabilidade,
como em Bazant e Cedolin (1991).
Andrade (1993) estudou o problema de estabilidade de colunas em contato
total ou parcial com uma base elástica, a partir de uma formulação baseada no
método de Ritz e uma solução modal baseada no método dos elementos finitos
hierárquicos, onde o deslocamento transversal da coluna é descrito por uma
combinação linear de polinômios de Hermite e polinômios de Legendre.
Mais recentemente, outros autores também desenvolveram trabalhos nesta
área, como Matsunaga (1999), Patel, et al. (1999), Nageswara Rao e
Venkateswara Rao (2003), entre outros.
Sampaio (2004) estudou o comportamento dinâmico de colunas semi-
enterradas, trabalho o qual partiu da mesma formulação desenvolvida nesta
Dissertação.
Um diferencial do problema estudado nesse trabalho com relação à
trabalhos anteriores desenvolvidos com base nesse assunto, deve-se o fato deste
trabalho envolver colunas parcialmente enterradas, assunto que ainda carece de
um estudo aprofundado, graças à sua complexidade matemática. Enquanto o
estudo de colunas totalmente enterradas ou totalmente desenterradas envolve um
sistema matemático matricial de dimensão quatro, o problema estudado nesse
trabalho (devido exatamente ao fato da coluna estar semi-enterrada) envolve um
sistema matemático matricial de dimensão oito, resultando assim em expressões
muito mais extensas e complexas.
20
Todo projeto estrutural de elementos esbeltos deve satisfazer critérios bem
definidos que garantam a segurança da estrutura através da sua resistência aos
esforços atuantes e do impedimento de deformações e vibrações excessivas, que
possam ocasionar o comprometimento de sua estabilidade. Somente uma estrutura
projetada nesses moldes pode ser considerada segura e confiável.
Daí a importância de se conhecer o comportamento detalhado de colunas
com respeito à sua estabilidade, evitando-se, desta forma, que as mesmas sejam
submetidas a cargas e deformações que possam vir a comprometer a sua utilização
como elemento de sustentação.
1.1. Objetivo
O presente trabalho tem por objetivo estudar a estabilidade de colunas
esbeltas parcialmente enterradas, a partir da análise dos resultados obtidos para
suas cargas críticas, modos de flambagem, caminhos pós-críticos e diagramas de
esforço cortante e momento fletor.
O problema em questão constitui-se em uma coluna, que possui um trecho
de seu comprimento enterrado sob fundação elástica, sujeita à carregamento axial
de compressão em ambas as extremidades, conforme ilustrado na Figura 1.1.
21
Figura 1.1 – Representação do problema estudado.
Na Figura 1.1, L é o comprimento total da coluna, H, a altura da fundação,
P, a carga axial de compressão aplicada no topo da coluna, F, a força de reação
exercida pela fundação e k e 3k , constantes de rigidez linear e não-linear da
fundação, respectivamente.
A coluna é subdividida em dois trechos. O primeiro, superior, sem
fundação, denominado trecho 1, e o segundo, trecho 2.
São definidas então as coordenadas globais e locais do sistema: as
coordenadas globais estão representadas nos pontos indicados, no lado direito da
coluna, e são utilizadas na formulação do problema no Capítulo 2 (itens 2.1 à 2.6).
Por sua vez, as coordenadas locais, representadas no lado esquerdo da
coluna, definem os limites de cada trecho, sendo utilizadas na formulação do
problema nos Capítulos 2 (item 2.7) e 4.
A fim de representar as condições de contorno do problema, foram
desenhados na Figura 1.1 apoios de primeiro e segundo gêneros. Entretanto, ao
longo deste trabalho, a coluna será analisada para diferentes tipos de apoios.
22
Da mesma forma, a altura da fundação e o seu comportamento também
serão variados de modo a se obterem resultados para diversas situações.
A coluna é descrita pela formulação clássica de Navier e para a fundação
adota-se uma formulação geral que permite representar, através de uma escolha
criteriosa dos parâmetros de rigidez da fundação, os modelos de fundação elástica
mais encontrados na literatura.
O problema estrutural é analisado para duas situações. Na primeira é
adotado um comportamento elástico-linear para a fundação, no qual considera-se
que a reação exercida pelo solo é proporcional às deflexões da coluna, segundo o
modelo linear de Winkler. Já na segunda situação, a fundação é analisada por um
modelo elástico-não-linear, que considera que ocorre perda de rigidez do solo à
medida que se aumentam as forças exercidas sobre ele (Greimann, et al., 1987).
Todo o problema estrutural foi modelado com o auxílio de recursos
computacionais através do software MAPLE 7.0, de onde se extraíram os
resultados que serão apresentados ao longo dessa Dissertação.
1.2. Organização do Texto
Este trabalho foi dividido em oito capítulos, os quais são brevemente
descritos a seguir.
No presente capítulo é feita a apresentação do tema dessa Dissertação, dos
seus objetivos e dos fatores que motivaram a execução desse trabalho.
No Capítulo 2 é apresentada a formulação do problema linear, com a
dedução dos funcionais de energia e das equações diferencias, objetivando-se a
determinação das cargas críticas e modos críticos do problema. São apresentadas
também as soluções analíticas e aproximada, sendo, neste último caso, utilizado o
Método de Ritz.
No Capítulo 3 são apresentados os resultados das análises do problema
linear, incluindo-se variações no problema, com alterações na altura e rigidez da
fundação e condições de apoio da coluna.
No Capítulo 4 é formulado o problema não-linear a partir dos seus
funcionais de energia, objetivando-se analisar o comportamento não-linear da
coluna através do seu caminho pós-crítico.
23
No Capítulo 5 são apresentados os resultados das análises do problema não-
linear, incluindo-se, novamente, variações no problema. Também são
apresentados os resultados obtidos através da utilização de um programa
computacional baseado no método dos elementos finitos, permitindo, assim, que
possam ser feitas comparações entre os resultados.
No Capítulo 6 são apresentadas as principais conclusões baseadas nos
resultados obtidos, bem como algumas sugestões de assuntos que poderão vir a
ser abordados em trabalhos futuros.
No Capítulo 7 é apresentada a bibliografia consultada no desenvolvimento
deste trabalho.
Por fim, no Capítulo 8 são apresentados os Apêndices A, B e C, com alguns
dos programas desenvolvidos com o software de álgebra simbólica MAPLE e dos
quais se obtiveram os resultados apresentados nesse trabalho.
2. Formulação do Problema
Neste capítulo é apresentada a formulação utilizada para a obtenção do
funcional de energia e das equações diferenciais do problema.
Partindo do funcional de energia, e utilizando as ferramentas do Cálculo
Variacional, chegam-se às equações diferencias, a partir das quais podem ser
obtidas as cargas críticas e os modos críticos.
Em seguida são apresentados os passos para a resolução do problema linear,
bem como suas soluções analítica e aproximada, sendo esta última obtida através
do Método de Ritz.
Nos itens 2.1 à 2.6 são utilizadas coordenadas globais para a coluna, e no
item 2.7, coordenadas locais, conforme ilustrado na Figura 1.1.
2.1. Funcional de Energia Não-Linear da Coluna
A energia potencial total de uma estrutura, denominada �, é dada pela soma
da energia interna de deformação (U), com o potencial das cargas externas (Vp),
ou seja:
pVU ��� (2.1)
Na expressão anterior, U refere-se ao somatório da energia de membrana
gerada pela deformação axial (Um) e da energia de flexão gerada pelo
alongamento das fibras tracionadas e o encurtamento das fibras comprimidas (Uf),
podendo ser expressa, portanto, como:
dxEIdxEAUUULL
fm2
0
2
0 21
21
�� �� ���� (2.2)
onde E é o módulo de elasticidade transversal da coluna (ou módulo de Young), I,
o momento de inércia da sua seção transversal, A, a área desta seção
transversal, � , a mudança de curvatura e �, a deformação específica da linha
neutra.
25
Seguindo procedimento comumente adotado na literatura na análise de
colunas esbeltas (Dym e Shames, 1973), despreza-se a parcela relativa à
deformação axial, ficando-se apenas com a parcela relativa à energia de flexão, ou
seja:
dxEIUL
2
0 21
��� (2.3)
O trabalho realizado pelo sistema (W) é dado pelo produto da carga axial, P,
pelo encurtamento gerado na extremidade da coluna, ���conforme mostrado na
Figura 2.1. Logo, tem-se a equação:
�� PW (2.4)
Figura 2.1: Coluna deformada.
O sinal positivo do trabalho é explicado pelo fato da carga P e do
deslocamento axial �� estarem em um mesmo sentido.
Já o potencial das cargas externas é igual ao trabalho realizado, com sinal
invertido, ou seja,
����� PWVp (2.5)
Logo, substituindo-se as expressões (2.3) e (2.5) em (2.1), chega-se à
seguinte equação para� :
��� � PdxEIL
2
0 21
�� (2.6)
Considerando-se a estrutura da Figura 2.1, tem-se que o deslocamento de
um ponto P1 para um ponto P2 pode ser descrito por um vetor de deslocamentos
que é decomposto em duas componentes, um deslocamento axial, u, e um
deslocamento transversal, w. Admitindo-se a hipótese da linha neutra da estrutura
ser inextensível, tem-se que o comprimento L da estrutura indeformada permanece
26
inalterado após a sua deformação. Dessa forma, pode-se dizer que o elemento
linear dx é igual ao elemento curvo ds, conforme ilustrado na Figura 2.2.
Figura 2.2: Elemento infinitesimal deformado.
Sendo assim, pode-se dizer que o elemento diferencial da Figura 2.2.a é
semelhante ao elemento diferencial da Figura 2.2.b, permitindo-se escrever as
seguintes relações entre estes elementos:
xwdxdw
dsdw ,sen ���� (2.7)
),(sen 1xw�
�� (2.8)
onde � é o ângulo formado entre o eixo axial e o eixo da estrutura deformada.
A curvatura do eixo deformado é dada por:
2/121
),1(,
),,(sen,1
x
xxxxx
f ww
wR �
����
� (2.9)
onde fR/1 é o raio de curvatura do eixo deformado.
A curvatura da estrutura indeformada é:
011
0
�
�
�
R (2.10)
sendo 0/1 R o raio de curvatura do eixo indeformado.
A variação da curvatura é dada pela diferença entre a curvatura do eixo
deformado e a curvatura da estrutura indeformada, ou seja:
2/122/120 ),1(
,0
),1(,11
x
xx
x
xx
f ww
ww
RR �
��
�
���� (2.11)
Substituindo a expressão (2.11) em (2.3), tem-se:
dxw
wEIU
x
xxL
��
�
�
��
�
�
�� � 2
2
0 ,1,
21
(2.12)
Expandindo a Equação 2.11 em séries de Taylor até a segunda ordem,
chega-se à aproximação:
27
��
���
��� 2,
211, xxx ww� (2.13)
Admitindo que as grandezas E e I são constantes ao longo da estrutura, e
substituindo (2.13) em (2.3), pode-se reescrever a energia interna de deformação
U da seguinte forma:
dxwwwwwEIUL
xxxxxxxx� ��
���
����
0
42222 ,,41,,,
21 (2.14)
Em seu trabalho, Andrade (1993) mostra que esta expressão é suficiente
para a descrição precisa do caminho pós-crítico da coluna, inclusive nas regiões
onde ocorrem grandes deslocamentos transversais. Dessa forma, a expressão
(2.14) é adotada para a energia interna de deformação.
Buscando-se descrever o potencial das cargas externas a partir dessas
mesmas grandezas, prossegue-se com as constatações a seguir.
O parâmetro �, relativo ao encurtamento da coluna, pode ser escrito em
termos do vetor de deslocamentos. Logo, a partir da Figura 2.2.b e com a
utilização do Teorema de Pitágoras, tem-se: 222 )()()( dwdudxds ��� (2.15)
Dividindo todos os termos da Equação 2.15 por (dx)2, obtém-se 222
��
���
���
�
���
� ��
�
���
�
dxdw
dxdudx
dxds (2.16)
Admitindo-se que ds = dx, e derivando a Equação 2.16 com relação a x,
tem-se que: 22 ,),1(1 xx wu ��� (2.17)
Desenvolvendo-se então a expressão anterior pode-se reescrevê-la na forma:
2/12 ),1(1 xwdxdu
��� (2.18)
Passando agora dx para o lado direito da equação e observando que
���L
du0
(2.19)
chega-se à:
� �dxwduL L
x� � �����
0 0
2/12 ),1(1 (2.20)
28
Substituindo (2.20) em (2.5), pode-se escrever:
� �dxwPVL
xp � ���
0
2/12 ),1(1 (2.21)
A partir da Equação 2.21, após expandir-se o termo 2/12 ),1( xw� até a quarta
ordem em séries de Taylor, chega-se à expressão final para o potencial das cargas
externas Vp, ou seja:
dxwwPVL
xxp � ��
���
����
0
42 ,81,
21 (2.22)
Finalmente, de posse das equações (2.14) e (2.22) referentes,
respectivamente, à energia interna de deformação e ao potencial das cargas
externas, pode-se escrever o funcional completo de energia potencial total da
coluna. Tem-se, portanto,
� ��
���
����
�
���
���
L
xxxxxxxxxx dxwwPdxwwwwwEI0
4242222 ,41,
21,,
41,,,
21
� (2.23)
2.2. Contribuição da Fundação Elástica
Diversos modelos podem ser utilizados a fim de descrever o comportamento
da fundação.
Segundo Coskun (1999), o modelo de fundação elástica de Winkler
caracteriza-se como uma distribuição infinita, porém contínua, de molas lineares,
no qual a fundação aplica somente uma única reação na direção normal à coluna e
que é proporcional a deflexão desta. Dessa forma, a resistência da fundação pode
ser expressa através de um único parâmetro de rigidez, denominado por k.
Em função de sua simplicidade, combinado com um histórico de bons
resultados obtidos em trabalhos anteriores, o modelo de Winkler é o mais usado
na prática e será o modelo adotado para descrever o comportamento da fundação
também neste trabalho.
Ainda sobre o modelo de Winkler, sabe-se que sua maior limitação é o fato
deste modelo não considerar a existência de interações entre as molas. Dessa
forma, outros modelos encontrados na literatura utilizam mais de um parâmetro
29
para descrever o comportamento da fundação elástica. São os casos dos modelos
propostos por Hetényi (1946), Pasternack (1954), Reisenner (1958), dentre outros.
Com base nesses modelos, a força exercida pela fundação sobre a coluna, F,
pode ser descrita pela equação geral a seguir: 3
321 2,, wkwkwkkwF xxxxx ���� (2.24)
onde 1k e 2k são constantes lineares de rigidez da fundação e w , xw, , xxw, e
xxxw, , funções correspondentes ao deslocamento transversal ao longo da coluna e
sua primeira, segunda e terceiras derivadas, respectivamente.
Nessa mesma expressão, k3 corresponde ao coeficiente de rigidez do termo
não-linear cúbico. O sinal positivo neste termo corresponde a uma fundação com
ganho de rigidez (ou hardening foundation), da mesma forma que o sinal negativo
neste mesmo termo está relacionado a uma fundação com perda de rigidez (ou
softening foundation).
No Capítulo 4, quando se adotará um comportamento não-linear para a
fundação elástica, se utilizará o modelo de Winkler Não-Linear com perda de
rigidez. Esse modelo foi escolhido baseado na suposição de que a maioria dos
solos apresenta esse tipo de comportamento à medida que se aumentam as forças
exercidas sobre eles.
A Tabela 2.1 apresenta as constantes consideradas nos modelos citados.
Modelos Constantes da fundação
Winkler (linear)
0,,
0
321 �
�
kkkk
Winkler Não-Linear
0,0
0
21
3
�
�
�
kkkk
Hetényi 0,
0,
31
2
�
�
kkkk
Pasternack 0,
0,
32
1
�
�
kkkk
Reissner 0,
0,
32
1
�
�
kkkk
Tabela 2.1: Modelos de fundação elástica.
30
A energia interna de deformação da fundação elástica, segundo o modelo de
Winkler linear, é dada por:
dxkwUH
fd2
0 21�� (2.25)
e segundo o modelo de Winkler Não-Linear com perda de rigidez, por:
dxwkdxkwUHH
fd4
30
2
0 21
21
�� �� (2.26)
2.3. Funcional Completo de Energia Não-Linear
O funcional completo de energia não-linear, expresso a seguir é obtido a
partir da soma das equações (2.23) com (2.26), ou seja,
� ��
���
���
�
� ��
�
�
� �
L
xxxxxxxxxx dxwwPwwwwwEI0
4242222 ,41,
21,,
41,,,
21
�
dxwkdxkwHH
43
0
2
0 21
21
�� �� (2.27)
No caso de se considerar a fundação elástica com comportamento linear, o
funcional de energia não-linear passa a ser dado por:
� ��
���
���
�
� ��
�
�
� �
L
xxxxxxxxxx dxwwPwwwwwEI0
4242222 ,41,
21,,
41,,,
21
�
dxkwH
2
0 21��
(2.28)
2.4. Funcional de Energia Linear
O funcional de energia linear é obtido a partir da consideração de que a
coluna sofre pequenas rotações após a sua deformação. Com isso, tem-se que o
ângulo � , visto na Figura 2.2, é muito pequeno e, dessa forma, pode-se fazer a
aproximação a seguir:
1),1( 2/12�� xw (2.29)
Em conseqüência dessa aproximação, a energia interna de deformação
(2.12) pode ser escrita como:
31
dxEIwU xx
L2
0
,21�� (2.30)
e o potencial das cargas externas, como:
dxPwV x
L
p2
0
,21
��� (2.31)
Logo, o funcional de energia linear, usado apenas para pequenas rotações,
pode ser descrito pela equação
� � � �� ��
���
���
L
xxx dxwPwEI0
22 ,21,
21
� (2.32)
2.5. Funcional Completo de Energia Linear
Incluindo-se os termos relativos à fundação (obtidos em 2.25), o funcional
completo de energia linear adquire a forma:
� � � � dxkwdxwPwEIHL
xxx2
00
22
21,
21,
21
�� ���
��
��� (2.33)
2.6. Equações Diferenciais da Coluna
Neste item faz-se a dedução das equações diferenciais da coluna para os
trechos com e sem fundação, a partir dos funcionais de energia obtidos em (2.33)
e (2.32), respectivamente.
Ambas as expressões são da forma:
dxwwwxf xx
L
x ),,,,(0� (2.34)
Para se determinar estas equações diferenciais são aplicadas as ferramentas
do Cálculo Variacional. Vários autores já resolveram este problema, como, por
exemplo, Chajes (1993) e Dym e Shames (1973).
Será apresentado a seguir, e de forma concisa, como se obter as equações
diferenciais a partir dos funcionais de energia.
Para um funcional como o da expressão (2.34), a Equação de Euler que
representa a equação diferencial do problema, é do tipo:
32
0)()( ´´2
2
´ ��� www fdxdf
dxdf (2.35)
onde:
f: função que corresponde ao integrando do funcional de energia linear;
fw : derivada da função f com relação à w(x);
fw´: derivada da função f com relação à w´(x) e
fw´´: derivada da função f com relação à w´´(x).
Para o trecho da coluna sem fundação, a função f é aquela contida no
funcional da expressão (2.32), ou seja,
� � � ����
��
��� 22 ,
21,
21
xxx wPwEIf (2.36)
Calculando-se os termos fw, fw´ e fw´´, obtém-se:
0�wf (2.37)
��
���
���
� dxxdwPf w)( (2.38)
���
����
��
�� 2
2 )(dx
xwdEIf w (2.39)
os quais, quando substituídos em (2.35), fornecem:
0)()(0 2
2
2
2
���
���
���
���
��
�
���
��
��
��
dxxwdEI
dxd
dxxdwP
dxd (2.40)
Consequentemente,
0)()(2
2
4
4
����
���
����
�
���
�
dxxwd
EIP
dxxwd (2.41)
A Equação (2.41) corresponde ao trecho sem fundação da coluna, o qual se
denominará daqui por diante, trecho 1, e a função w(x) correspondente a este
trecho, w1(x).
Logo, reescrevendo a expressão (2.41) em função de w1(x), chega-se à:
0)()(
21
2
41
4
����
���
����
�
���
�
dxxwd
EIP
dxxwd
(2.42)
Seguindo o mesmo procedimento e partindo-se desta vez da expressão
(2.33), obtém-se a equação diferencial para o trecho sem fundação, ou trecho 2,
expressa a seguir.
33
0)()()(
222
2
42
4
�����
����
����
�
����
�xw
EIk
dxxwd
EIP
dxxwd
(2.43)
onde w2(x) corresponde à função que define os deslocamentos transversais ao
longo do trecho 2 da coluna.
2.7. Solução Analítica do Problema de Autovalor
Neste item, objetiva-se, a partir das equações diferencias da coluna, em seus
trechos com e sem fundação, juntamente com as condições de contorno e de
continuidade do problema, encontrar a sua solução analítica.
Por se tratar de um problema de valor de contorno, sua solução analítica
corresponde a uma família de autovalores e autofunções que são, respectivamente,
as cargas de bifurcação e os respectivos modos de bifurcação, também chamados
de cargas críticas e modos críticos.
A introdução de parâmetros adimensionais, mostrados a seguir, é feita com
o objetivo de facilitar o desenvolvimento do problema, permitindo assim uma
maior eficiência na análise paramétrica.
De forma a considerar a coluna com comprimento total igual a um,
normalizam-se a coordenada axial, x, e os deslocamentos transversais, w,
dividindo-os pelo comprimento total da coluna, L.
Lxx � (2.44)
Lww � (2.45)
São também introduzidos os parâmetros adimensionais:
21 LEIP
�� � (2.46)
4LEIkK � (2.47)
63 LEIkK nl � (2.48)
onde � , K e Knl correspondem, respectivamente, ao parâmetro de carga e aos
parâmetros de rigidez da fundação elástica linear e não-linear, respectivamente.
34
Assim, pode-se reescrever as equações (2.42) e (2.43) em função das novas
variáveis, isto é, a equação diferencial parametrizada para o trecho sem fundação
é dada por:
0)()(
21
222
41
4
����
����
����
�
����
�
dxxwd
dxxwd
�� (2.49)
e a equação diferencial parametrizada para o trecho com fundação:
0)()()(
222
222
42
4
�����
����
����
�
����
�xKw
dxxwd
dxxwd
�� (2.50)
Como mostrado por Boyce e Di Prima (1998), a solução geral de uma
equação diferencial linear de quarta ordem, com coeficientes constantes é uma
expressão da seguinte forma:
� � xn
iii
ieCxw �
��
�
1
(2.51)
onde Ci são as constantes da solução geral, e �i as raízes da equação característica.
A solução geral de uma equação diferencial linear com coeficientes
constantes, terá um número de constantes igual ao número de sua ordem. Logo,
como as equações diferenciais deste problema são de quarta ordem, serão quatro
as constantes Ci envolvidas em cada uma destas equações.
Como a coluna está dividida em dois trechos (trecho 1 – sem fundação e
trecho 2 – com fundação), para facilitar o desenvolvimento do problema, cada
trecho terá a sua própria solução geral, ou seja,
Trecho sem fundação:
� � xxxx eCeCeCeCxw 432143211
����
���� (2.52)
Trecho com fundação:
� � xxxx eCeCeCeCxw 876587652
����
���� (2.53)
Com o objetivo de se escrever as equações características dos dois trechos
coluna, tem-se:
x44
n4
eCdx
)x(wd�
�� ; x22
n2
eCdx
)x(wd�
�� (2.54)
onde 1�n (trecho sem fundação) e 2�n (trecho com fundação).
Substituindo as expressões escritas em (2.54) na equação diferencial (2.49),
correspondente ao trecho sem fundação, chega-se à sua equação característica,
35
02224�� ���� (2.55)
ou seja,
0)( 2222�� ���� (2.56)
Assim, pode-se facilmente encontrar as seguintes soluções para �:
021 ���� (2.57)
i����� ���22
3 (2.58)
i����� �����22
4 (2.59)
onde 1��i , número imaginário.
Substituindo as expressões (2.57), (2.58) e (2.59) na expressão (2.52), e
multiplicando-se a parcela correspondente a raiz repetida 2� por x, chega-se à
solução geral da equação diferencial do trecho da coluna sem fundação:
� � ixix eCeCxCCxw ���� �
���� 43211 (2.60)
ou, em termos de funções trigonométricas:
� � )cos()sen( 43211 xCxCxCCxw ���� ���� (2.61)
Da mesma forma, para o trecho com fundação, segue-se o mesmo
desenvolvimento. Nesse caso, a equação característica é:
02224��� K���� (2.62)
a qual possui as seguintes soluções para �:
K4222/1 44225 ���� ����� (2.63)
K4222/1 44226 ���� ����� (2.64)
K4222/1 44227 ����� ����� (2.65)
K4222/1 44228 ����� ����� (2.66)
Substituindo-se as raízes (2.63) à (2.66) na Equação 2.53, chega-se à
solução geral da equação diferencial para o trecho com fundação, expressa a
seguir.
� �
xKxK
xKxK
eCeC
eCeCxw)4222/1(
8)4222/1(
7
)4222/1(6
)4222/1(52
44224422
44224422
��������
������
�
���
��������
��������
(2.67)
Fazendo uma análise mais detalhada dessas raízes, observa-se que,
dependendo da relação entre os valores de � e K, as mesmas podem vir a ser reais
36
ou imaginárias e que podem ser escritas soluções simplificadas para cada um
desses casos, conforme mostrado a seguir.
i��� 221
5 �
i��� 221
6 �
i��� 221
7 �� Caso 1)
4
44��
�K
i��� 221
8 ��
Nesse caso obtêm-se quatro raízes imaginárias iguais e de mesmo módulo,
sendo duas delas com sinal positivo e outras duas com sinal negativo. A solução
geral da equação diferencial é:
� � xxCxCxxCxCxw ���
����
���
��
����
���
��
����
���
��
����
��
22cos
22cos
22sen
22sen 87652
�������� (2.68)
05 ��
i��� �6
07 �� Caso 2) 0�K
i��� ��8
As raízes obtidas no caso 2 são iguais àquelas encontradas no problema sem
fundação e a solução geral da equação diferencial volta à da Equação (2.61).
37
iK42221 4422
5 ��� �����
iK42221 4422
6 ��� �����
iK42221 4422
7 ���� ����� Caso 3)
4
44��
�K
iK42221 4422
8 ���� �����
No caso 3 as raízes são dadas por dois pares imaginários, e a solução geral
da equação diferencial é:
� �
��
���
�����
�
���
���
���
���
�����
�
���
���
xKCxKC
xKCxKCxw
42221cos422
21cos
42221sen422
21sen
44228
44227
44226
442252
��������
��������
(2.69)
iK 44225 422
21
����� ����
iK 44226 422
21
����� ����
iK 44227 422
21
����� ����� Caso 4)
4
44��
�K
iK 44228 422
21
����� �����
Este caso apresenta-se como o mais complexo, e após simplificar as
expressões das raízes �5, �6, �7 e �8, pode-se reescrevê-las da seguinte forma:
��
���
���
2sen
2cos
22
5��
��� irr
��
���
��
2sen
2cos
22
6��
��� irr
��
���
���
2sen
2cos
22
7��
��� irr
��
���
���
2sen
2cos
22
8��
��� irr
onde:
38
22
2��
Kr �
���
����
��� 14arctan 44
���
K
E, portanto, para este caso, a solução geral da equação diferencial fica
sendo:
� �
��
�
�
��
�
�
���
����
���
��
����
��
��
�
�
��
�
�
���
����
���
��
����
��
��
���
��
��
���
�
xrCxrCe
xrCxrCexw
xr
xr
2sen
22sen
2sen
22cos
2sen
22sen
2sen
22cos
872
cos22
652
cos22
2
���
���
���
���
���
���
(2.70)
Conforme dito anteriormente, as soluções das equações diferenciais para
cada trecho da coluna são dadas em função de quatro constantes. Como a coluna
foi dividida em dois trechos, o número total de constantes envolvidas é igual a
oito.
A fim de se obter os valores numéricos destas oito constantes, é preciso que
se tenham também oito equações, as quais são obtidas da seguinte forma: quatro
delas provêm das condições de contorno, ou seja, dos apoios nas duas
extremidades da coluna, e as outras quatro das condições de continuidade,
definidas na interface física entre os trechos com e sem fundação.
Com relação às condições de contorno, cada apoio fornece duas condições
de contorno homogêneas que podem ser em função dos deslocamentos
transversais, rotações, momentos ou cortantes, dependendo do tipo de apoio. A
Figura 2.3 mostra as condições de contorno homogêneas para diferentes condições
de apoio da coluna.
39
Figura 2.3: Condições de contorno homogêneas para diferentes tipos de apoio.
Com relação às condições de continuidade, sabe-se que elas são definidas
em um ponto intermediário localizado exatamente na interface física que
subdivide a coluna em seus dois trechos.
Para que se garanta a continuidade da coluna como um todo, é necessário
que, neste ponto, se imponham as relações estabelecidas na Tabela 2.2:
)()0( 221 Hxwxw ���
)´()0´( 221 Hxwxw ���
)´´()0´´( 221 Hxwxw ���
)´´´()0´´´( 221 Hxwxw ���
Tabela 2.2: Condições de continuidade, definidas pelas coordenadas locais. Após definidas as oito expressões a partir das condições de contorno e de
continuidade, tem-se então um sistema homogêneo composto por oito equações e
oito incógnitas que pode ser escrito na forma matricial:
0�Ac (2.71)
ou seja,
(2.72)
onde A é denominada matriz dos coeficientes e c, vetor das constantes. Na matriz
A, cada elemento aij corresponde ao coeficiente que multiplica a constante Cj na
equação i.
40
A solução trivial desse sistema fornece:
087654321 �������� CCCCCCCC (2.73)
que corresponde à coluna na sua posição vertical, sem deformações transversais.
Para que um sistema de equações homogêneo tenha solução não-trivial é
necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja igual a zero. Ao se
igualar o determinante da matriz A à zero, obtém-se uma equação em função do
parâmetro de carga �, denominada equação característica do problema de
autovalor, isto é:
0det �A (2.74)
As raízes dessa equação são as cargas críticas da coluna e a melhor forma de
se obter esses valores é através da análise do gráfico da equação característica.
Nesse gráfico, no eixo das ordenadas são plotados os valores do determinante, e,
no eixo das abscissas, os valores do parâmetro de carga �. As cargas críticas
correspondem aos valores de � quando a curva corta o eixo das abscissas.
Para a obtenção precisa desses pontos é importante fazer uma análise
numérica cuidadosa nos intervalos próximos aos pontos onde a curva muda de
sinal. Em uma simples rotina computacional, define-se um pequeno intervalo no
qual o seu limite inferior é um valor de � antes da mudança de sinal da curva, e o
limite superior, um ponto posterior a esta mudança. Calcula-se então o valor do
determinante para cada um dos pontos deste intervalo, repetindo-se esse mesmo
procedimento até que se obtenha um valor do determinante na ordem de grandeza
de 10-5, que pode ser considerada uma boa aproximação da solução exata.
Em todo problema de estabilidade, a estrutura analisada possui diversas
cargas críticas, sendo que aquela com o menor valor numérico dentre elas é
denominada primeira carga crítica ou carga de flambagem. Fisicamente
analisando, essa carga representa um valor numérico para o qual a estrutura perde
sua estabilidade.
As cargas críticas são os autovalores da matriz A, assim como os seus
autovetores estão associados aos modos críticos (também denominados modos de
flambagem). A cada autovalor está associado um autovetor, ou seja, a cada carga
crítica está associado um certo modo de flambagem da coluna.
Para se determinar os autovetores, arbitra-se uma das constantes
multiplicativas e obtém-se a solução do sistema (2.71).
41
Após se obter um autovetor, o mesmo deve ser normalizado. Isto é feito,
dividindo-se cada um de seus elementos pela norma do vetor, ou seja,
227
26
25
24
23
22
21 1�������� vvvvvvvampnorm (2.75)
normnorm amp
V 1� (2.76)
onde ampnorm é a amplitude normalizada do autovetor V, vj são os elementos deste
autovetor, antes da sua normalização e Vnorm é o autovetor normalizado.
Em seguida, substituem-se os elementos do autovetor normalizado nas
soluções analíticas (2.61) e (2.67), encontrando-se, portanto, o modo crítico
correspondente (autofunção).
Finalmente, a fim de se obterem gráficos nos quais as amplitudes máximas
dos modos críticos sejam sempre unitárias, o deslocamento transversal calculado
em cada ponto desses gráficos foi dividido pelo valor máximo dos deslocamentos
ao longo de todo o comprimento da coluna. Dessa forma, todos os gráficos são
uniformizados, facilitando, assim, a observação dos resultados.
2.8. Solução Aproximada de Rayleigh-Ritz
A fim de se analisar a qualidade do programa desenvolvido, decidiu-se
determinar também a sua solução aproximada, a qual foi baseada no Método de
Rayleigh-Ritz (ou somente Método de Ritz). Esse método foi escolhido, pois se
apresenta como uma boa ferramenta na análise linear quando deseja-se estudar
sistemas que apresentem equações e condições de contorno complexas.
Através do método de Ritz substitui-se a solução analítica por uma função
de aproximação, fn, no funcional de energia da coluna. Essa função de
aproximação é usualmente expressa na forma de séries, de acordo com a
expressão,
j
n
jjn Af ��
�
�
1
(2.77)
onde Aj são constantes que multiplicam as funções �j adotadas, e n é o número de
termos usado na série.
A quantidade de termos empregados nesta função é determinante na
precisão da solução do problema. Ou seja, quanto mais termos forem utilizados na
42
função de aproximação adotada, mais próxima da solução exata será a solução
pelo Método de Ritz.
Por exemplo, para o caso particular de uma coluna bi-apoiada, suas
condições de contorno são definidas por:
0)0( ��xw ; 0)0´´( ��xw ; 0)( �� Lxw ; 0)0´´( ��xw (2.78)
A Figura 2.4 mostra que a função seno atende as condições de contorno
mencionadas anteriormente, logo sua adoção neste problema particular é, sem
dúvida, uma boa aproximação para a solução do mesmo.
Figura 2.4: Função seno como aproximação para a função que mede os deslocamentos
transversais em uma coluna bi-apoiada.
Definida a função de aproximação �j com o seu respectivo número de
termos, substitui-se a mesma no funcional de energia linear, definido em (2.33).
Integrando-se esse funcional ao longo do comprimento da coluna, obtém-se uma
função, �aprox, das amplitudes modais Aj.
Empregando-se então o princípio da energia potencial estacionária obtêm-se
as n equações de equilíbrio, definidas pelas equações:
0��
�
j
aprox
A�
j = 1 , n (2.79)
Assim, chega-se a um sistema com n equações e n incógnitas (Aj), cuja
resolução segue o mesmo raciocínio adotado no problema para a determinação das
cargas críticas a partir da solução analítica (item 2.7). Ou seja, monta-se a matriz
dos coeficientes que multiplicam as constantes Aj nas suas respectivas equações,
calcula-se o determinante desta matriz e iguala-o à zero. Em seguida, constrói-se o
y =
sen(
x)
L
43
gráfico determinante x �, onde os valores de � nos quais a curva corta o eixo das
abscissas representam as cargas críticas do problema (os seus autovalores).
3. Resultados da Análise Linear
Neste capítulo são apresentados todos os resultados das análises feitas para
o problema linear, incluindo variações na rigidez e na altura da fundação, e
também variações nas condições de apoio da coluna. Para todos esses casos é
verificada a influência destes parâmetros nas cargas críticas e modos críticos da
coluna.
No final do capítulo é feita ainda uma análise mais detalhada do problema
particular da coluna bi-apoiada, onde os resultados obtidos através da solução
analítica são comparados com aqueles obtidos pelo Método de Ritz para diferentes
números de termos utilizados na solução aproximada.
3.1. Nota sobre a Apresentação do Problema e dos Resultados
É importante mencionar que o problema analisado nesse capítulo refere-se à
coluna bi-apoiada, com fundação até a metade do seu comprimento, conforme
mostrado na Figura 3.1. No entanto, o problema se modificará na medida em que
forem sendo feitas alterações nas suas condições de apoio e altura e rigidez da
fundação, a partir do item 3.2.
Figura 3.1: Problema padrão.
45
Quanto aos resultados apresentados nesse capítulo, os mesmos serão dados
em função dos parâmetros �cr e K, relacionados à carga crítica e à rigidez da
fundação elástica, respectivamente.
Entretanto, caso deseje-se obtê-los em função de Pcr e k, pode-se facilmente
alternar entre esses parâmetros, utilizando-se as relações:
21 LEIPcr
cr�
� � (3.1)
4LEIkK � (3.2)
3.2. Influência da Rigidez da Fundação
3.2.1. Influência na Carga Crítica
Para o caso estudado neste item, foram calculados os valores das primeiras
cargas críticas da coluna à medida que se atribuíam valores distintos para a rigidez
da fundação elástica. A Tabela 3.1 apresenta estes resultados, calculados para K e
�cr.
K �cr 0,00 1,000,01 1,000,10 1,001,00 1,00
10,00 1,0320,00 1,0540,00 1,1060,00 1,1480,00 1,18
100,00 1,22500,00 1,70
1.000,00 1,865.000,00 2,10
10.000,00 2,2020.000,00 2,2950.000,00 2,40
100.000,00 2,46Tabela 3.1: Valores de �cr associados a valores de K.
46
Essa mesma análise também foi feita com os parâmetros de carga crítica e
rigidez da fundação elástica, expressos em função de Pcr e k. Isso foi feito de duas
maneiras: a primeira, através da modificação do programa com as devidas
alterações nas equações diferenciais do problema; e a segunda, através da
transformação direta pelas relações (3.1) e (3.2).
Comparando-se os resultados obtidos das duas maneiras, notou-se o
aparecimento de uma pequena diferença numérica entre os resultados, que variava
entre a ordem de grandeza de 10-11 a 10-5. Essa diferença não pode ser considerada
um erro, visto que o processo de cálculo envolve uma seqüência de operações
complexas, gerando assim essa diferença mínima entre os resultados obtidos das
duas maneiras.
Os resultados da Tabela 3.1 estão representados graficamente nas Figuras
(3.2) e (3.3), mostradas a seguir:
0 20000 40000 60000 80000 100000
K
0
0.5
1
1.5
2
2.5
�cr
Coluna bi-apoiada; h=0,5
K=100
Figura 3.2: Variação de �cr em função de K.
47
0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 100000
K (log)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
�cr
Coluna bi-apoiada; h=0,5
Figura 3.3: Variação de �cr em função de K, no formato semi-log.
Na Figura 3.2 percebe-se a influência da rigidez da fundação na carga crítica
associada. Conforme esperado, quando se aumenta a rigidez da fundação, maiores
valores são obtidos para a carga crítica.
Fisicamente, isso é perfeitamente coerente já que, quanto mais rígido for o
meio no qual a coluna está apoiada, maior será a sua capacidade de resistir às
cargas atuantes.
Dispondo os valores de K em escala logarítmica, todos os valores de K e �cr
calculados podem ser observados com maior nitidez, como mostra a Figura 3.3.
Para valores baixos de K, a rigidez da fundação exerce grande influência na
carga crítica obtida no problema, e o crescimento da curva é muito maior do que o
ocorrido quando K atinge valores mais elevados. Nesse último caso, com a taxa de
crescimento sendo muito mais lenta, as cargas críticas tendem a se estabilizar.
Nesse momento, a capacidade de carga da coluna chega ao seu limite e não se
conseguem obter valores mais elevados mesmo que se continue aumentando ainda
mais a rigidez do meio.
48
3.2.2. Influência no Modo Crítico
A influência da rigidez da fundação no modo crítico da coluna também é
claramente identificada. Para essa análise foram tomados valores para K em um
intervalo entre 10 e 100.000, de modo a se comprovar tal influência.
Os modos críticos associados foram divididos em dois grupos com
comportamento bastante distintos entre si, e que são mostrados nas Figuras 3.4 e
3.5.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra
Coluna bi-apoiada; h=0,5K=10K=100
Figura 3.4: Modos críticos da coluna para K=10 e K=100.
49
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra
Coluna bi-apoiada; h=0,5K=500K=1.000K=10.000K=100.000
Figura 3.5: Modos críticos da coluna para K=500, K=1.000, K=10.000 e K=100.000.
Nos gráficos mostrados na Figura 3.4, observa-se que, por estarem sendo
plotados valores baixos de K, sua influência na rigidez da coluna não pode ser
muito notada, e a coluna flamba com uma forma muito semelhante ao de uma
coluna sem fundação, ou seja, com um formato senoidal, e apenas uma meia onda.
Já na Figura 3.5, onde os valores de K são bem mais elevados, nota-se o
efeito inverso, ou seja, há uma grande influência da rigidez da fundação no
comportamento da coluna, e a sua configuração deformada torna-se bastante
diferente da observada na Figura 3.4. Neste caso, pode-se notar que as
deformações transversais máximas tendem a se concentrar no trecho superior da
coluna, e não mais a meia altura, e que, quanto maior for o valor de K, mais
próximo ao topo da coluna ocorrerão essas deformações máximas.
Vale notar que para o caso da base elástica com K=100.000, praticamente
inexistem deformações transversais no trecho inferior da coluna. Nesse caso, é
como se a fundação funcionasse como um engaste, ou seja, como se esta fosse
composta por um material muito rígido, com características semelhantes ao de
uma rocha, e como se a coluna tivesse apenas a altura do trecho desenterrado,
sendo engastada na base.
50
3.3. Influência da Altura da Fundação
Conforme se varia a altura da fundação com relação ao comprimento total
da coluna, ou seja, ao se modificar a relação LHh /� , observa-se que o
comportamento da coluna também se altera. Isso ocorre tanto para os valores
obtidos para as cargas críticas quanto para os modos críticos associados.
3.3.1. Influência na Carga Crítica
Os resultados dessa análise são apresentados nas Tabelas 3.2 à 3.6, e nas
Figuras 3.6 e 3.7.
h=0 K �cr
1,00 1,0010,00 1,00
100,00 1,00500,00 1,00
1.000,00 1,005.000,00 1,00
10.000,00 1,00Tabela 3.2: Valores de �cr associados a valores de K, para h=0.
h=0,25 K �cr
1,00 1,0010,00 1,00
100,00 1,04500,00 1,19
1.000,00 1,315.000,00 1,56
10.000,00 1,61Tabela 3.3: Valores de �cr associados a valores de K, para h=0,25.
h=0,50 K �cr
1,00 1,0010,00 1,03
100,00 1,22500,00 1,70
1.000,00 1,865.000,00 2,10
10.000,00 2,20Tabela 3.4: Valores de �cr associados a valores de K, para h=0,50.
51
h=0,75 K �cr
1,00 1,0010,00 1,05
100,00 1,39500,00 2,18
1.000,00 2,395.000,00 3,15
10.000,00 3,44Tabela 3.5: Valores de �cr associados a valores de K, para h=0,75.
h=1,00 K �cr
1,00 1,0110,00 1,05
100,00 1,42500,00 2,30
1.000,00 2,565.000,00 3,83
10.000,00 4,52Tabela 3.6: Valores de �cr associados a valores de K, para h=1.
0 2000 4000 6000 8000 10000
K
0
1
2
3
4
5
�cr
Coluna bi-apoiada; h=variávelh=0h=0,25h=0,5h=0,75h=1
Figura 3.6: Variação de �cr em função de K, para cinco valores distintos de h.
52
1 10 100 1000 10000
K (log)
0
1
2
3
4
5
�cr
Coluna bi-apoiada; h=variávelh=0h=0,25h=0,5h=0,75h=1
Figura 3.7: Variação de �cr em função de K, para cinco valores distintos de h, no formato
semi-log.
Observa-se através da Figura 3.6 um comportamento da coluna muito
semelhante para diversas relações de LHh /� .
As cinco curvas representadas seguem um mesmo padrão, com crescimento
inicial acentuado e tendência à estabilização para valores elevados de K.
Entretanto, para os casos 75,0�h e 1�h , a tendência a estabilização das
curvas ainda não pode ser notada neste gráfico, pois, para isso acontecer, seria
necessária a imposição de valores maiores para a rigidez da fundação.
Na Tabela 3.2, quando são apresentadas as cargas críticas da coluna para
0�h , observa-se que as mesmas possuem sempre o mesmo valor )1( �cr� , pois
o problema independe do valor de K já que não há fundação. Assim, nos gráficos
das Figuras 3.6 e 3.7, sua representação é dada por uma reta.
Comparando as curvas entre si, observa-se que as maiores cargas críticas
são obtidas para o caso da coluna totalmente enterrada )1/( �LH , e as menores
para a coluna sem fundação )0/( �LH . Ainda, quanto maior for o comprimento
enterrado da coluna, maiores serão as cargas críticas, comprovando-se assim a
importante influência exercida pela fundação na rigidez do sistema.
Novamente, o mesmo gráfico é também representado no formato semi-log,
para melhor visualização dos pontos analisados (Figura 3.7). Nesse gráfico pode-
53
se observar claramente que nos pontos iniciais dos gráficos, as cargas críticas
possuem valores muito próximos entre si, tendendo a se afastar à medida que
crescem os valores de K.
Também é possível analisar a influência da altura da fundação nas cargas
críticas da coluna, ao fixarem-se os valores de K, verificando-se como as cargas
críticas se modificam à medida que se alteram os valores de h.
Nas Tabelas 3.7, 3.8 e 3.9 são apresentados os valores das cargas críticas
associadas a diversas relações de LHh /� , com os valores de K estabelecidos em
100, 1.000 e 10.000.
K=100 h �cr
0,00 1,000,13 1,010,25 1,040,38 1,120,50 1,220,63 1,320,75 1,390,88 1,421,00 1,42
Tabela 3.7: Valores de �cr associados a crescentes valores de h, para K=100.
K=1.000 h �cr
0,00 1,000,13 1,060,25 1,310,38 1,600,50 1,860,63 2,130,75 2,390,88 2,541,00 2,56
Tabela 3.8: Valores de �cr associados a crescentes valores de h, para K=1.000.
54
K=10.000 h �cr
0,00 1,000,13 1,320,25 1,610,38 1,850,50 2,200,63 2,710,75 3,440,88 4,321,00 4,52
Tabela 3.9: Valores de �cr associados a crescentes valores de h, para K=10.000.
Os valores apresentados nas Tabelas 3.7 à 3.9 são plotados na Figura 3.8.
0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1
h = H/L
0
1
2
3
4
5
�cr
Coluna bi-apoiada; h=0,5K=100K=1.000K=10.000
Figura 3.8: Variação de �cr em função de h, para três valores de K.
Na Figura 3.8 comprova-se a constatação feita nas Figuras 3.6 e 3.7 de que a
rigidez do sistema está diretamente relacionada com o comprimento enterrado da
coluna. Na Figura 3.8 são apresentados apenas os casos da rigidez da base elástica
K = 100, 1.000 e 10.000, porém esse mesmo comportamento ocorre para qualquer
valor de K.
3.3.2. Influência no Modo Crítico
Os resultados dessa análise foram obtidos para valores de K iguais a 100,
1.000 e 10.000, e estão apresentados na Figura 3.9.
55
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra
Bi-apoiada; h = 0K qualquer
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra
Bi-apoiada; h = 0,25K = 100K = 1.000K = 10.000
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra
Bi-apoiada; h = 0,5K = 100K = 1.000K = 10.000
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra
Bi-apoiada; h = 0,75K = 100K = 1.000K = 10.000
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra
Bi-apoiada; h = 1K qualquer
Figura 3.9: Primeiro modo crítico da coluna para cinco valores de h, em função de K.
Através dos gráficos representados na Figura 3.9, observa-se que conforme
é aumentada a relação LHh /� , maiores variações são observadas nos modos
críticos da coluna. Entretanto, essas variações são mais perceptíveis para valores
elevados da rigidez da fundação já que para valores baixos de K (ver curvas para
K=100, por exemplo), essas variações quase não são notadas, e a influência do
trecho enterrado é muito pequena.
Vale notar também que os deslocamentos transversais atingem os seus
valores máximos em posições diferentes da coluna à medida que se modifica o
comprimento do seu trecho enterrado.
56
A Tabela 3.10 mostra uma comparação entre as posições da coluna em que
são observados os deslocamentos transversais máximos, para cinco relações de
LHh /� .
H x 0,00 0,500,25 0,650,50 0,730,75 0,821,00 0,50
Tabela 3.10: Posição dos deslocamentos transversais máximos para a coluna com cinco
relações distintas de h=H/L, e K = 10.000.
Verifica-se que, conforme a relação LHh /� aumenta, os deslocamentos
transversais máximos tendem a ocorrer mais próximos ao topo da coluna.
Entretanto, para a coluna totalmente enterrada )1( �h , sua deformada retorna à da
coluna totalmente desenterrada )0( �h , com os deslocamentos máximos voltando
a ocorrer em 50,0�x , encerrando a tendência verificada para 10 �� h .
3.4. Influência das Condições de Apoio
Para analisar a influência das condições de contorno do problema nas cargas
críticas e modos críticos da coluna em contato com uma base elástica, foram feitas
análises para cinco tipos distintos de condições de apoio da coluna, conforme
mostrado na Figura 3.10.
Figura 3.10: Definição das condições de apoio.
57
3.4.1. Influência na Carga Crítica
Os resultados dessa análise são apresentados nas Tabelas 3.11 à 3.15, e nas
Figuras 3.11 e 3.12.
Condição de apoio 1 K �cr
1,00 1,0010,00 1,03
100,00 1,22500,00 1,70
1.000,00 1,865.000,00 2,10
10.000,00 2,20 Tabela 3.11: Valores de �cr associados a valores crescentes de K, para a condição de
apoio 1.
Condição de apoio 2 K �cr
1,00 0,5010,00 0,51
100,00 0,56500,00 0,64
1.000,00 0,685.000,00 0,75
10.000,00 0,78 Tabela 3.12: Valores de �cr associados a valores crescentes de K, para a condição de
apoio 2.
Condição de apoio 3 K �cr
1,00 1,4310,00 1,44
100,00 1,51500,00 1,73
1.000,00 1,865.000,00 2,11
10.000,00 2,21 Tabela 3.13: Valores de �cr associados a valores crescentes de K, para a condição de
apoio 3.
58
Condição de apoio 4 K �cr
1,00 2,0010,00 2,01
100,00 2,09500,00 2,38
1.000,00 2,595.000,00 2,92
10.000,00 3,06 Tabela 3.14: Valores de �cr associados a valores crescentes de K, para a condição de
apoio 4.
Condição de apoio 5 K �cr
1,00 1,0010,00 1,01
100,00 1,10500,00 1,27
1.000,00 1,355.000,00 1,49
10.000,00 1,55 Tabela 3.15: Valores de �cr associados a valores crescentes de K, para a condição de
apoio 5.
0 2000 4000 6000 8000 10000
K
0
1
2
3
4
�cr
h=0,5; cc=variávelcond. 1cond. 2cond. 3cond. 4cond. 5
Figura 3.11: Variação de �cr em função de K, para cinco condições de apoio distintas.
59
1 10 100 1000 10000
K (log)
0
1
2
3
4
�cr
h=0,5; cc=variávelcond. 1cond. 2cond. 3cond. 4cond. 5
Figura 3.12: Variação de �cr em função de K, para cinco condições de apoio distintas, no
formato semi-log.
Através das Figuras 3.11 e 3.12 observa-se a influência das condições de
contorno da coluna nos valores obtidos para as cargas críticas. Como esperado,
dependendo das condições de apoio da coluna, suas cargas críticas adquirem
valores diferentes.
Observa-se que as maiores cargas críticas são obtidas para a coluna bi-
engastada na base e com deslocamento axial livre no topo (condição 4), sendo esta
condição, portanto, a que fornece maior rigidez à estrutura. Da mesma forma, as
menores cargas críticas ocorrem para a coluna sob a condição 2 devido às
deslocabilidades estarem livres no topo.
Percebe-se, também, que, para as coluna bi-apoiada (condição 1) e
engastada e apoiada (condição 3), suas cargas críticas possuem valores muito
próximos entre si a medida que aumenta-se a rigidez da fundação (a partir de
700�K , aproximadamente). Já para 10�K , as colunas sob as condição 1 e 5
possuem cargas críticas praticamente idênticas.
Quanto à forma dos gráficos, observa-se uma semelhança com aqueles
apresentados nas análises anteriores feitas neste capítulo, onde há um crescimento
das cargas críticas com o aumento da rigidez da fundação e tendência à
estabilização das curvas para valores elevados de K. Quanto mais rígida for a
estrutura, maiores serão os valores de K nos quais estabilização ocorrerá.
60
3.4.2. Influência no Modo Crítico
Os resultados dessa análise foram obtidos para valores de K iguais a 100,
1.000 e 10.000, e estão apresentados na Figura 3.13.
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra (x
)
Condição de apoio 1; h=0,5K=100K=1.000K=10.000
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra (x
)
Condição de apoio 2; h=0,5K=100K=1.000K=10.000
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra (x
)
Condição de apoio 3; h=0,5K=100K=1.000K=10.000
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra (x
)
Condição de apoio 4; h=0,5K=100K=10.000
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra (x
)
Condição de apoio 5; h=0,5K=100K=1.000K=10.000
Figura 3.13: Primeiro modo crítico da coluna para cinco condições de apoio distintas.
Na Figura 3.13 observa-se a grande influência das condições de apoio da
coluna nos seus respectivos modos de flambagem.
A rigidez da fundação também influi diretamente na forma da deformada
das colunas, as quais tendem a sofrer deslocamentos transversais cada vez
menores no seu trecho inferior à medida que a rigidez da fundação vai sendo
aumentada. Para as colunas com fundação com rigidez muito elevada
61
( 000.10�K , por exemplo), chega a ocorrer uma inversão nas curvaturas destas
colunas ao longo de seu comprimento, fazendo com que estas deformadas sejam
bastante irregulares, com a presença de mais de uma semi-onda.
3.5. Análise da Coluna com a Extremidade Inferior Livre
Colunas com a extremidade inferior livre, ou seja, sem nenhum tipo de
apoio, são comumente encontradas em problemas de Engenharia.
A fim de se analisar o comportamento destas colunas, foram feitas análises
para outras quatro condições de apoio, ilustradas na Figura 3.14.
Figura 3.14: Condições de apoio para a coluna com a extremidade inferior livre.
3.5.1. Influência da Rigidez da Fundação
3.5.1.1. Influência na Carga Crítica
Condição de apoio 6 K �cr
1,00 0,0310,00 0,10
100,00 0,31500,00 0,56
1.000,00 0,645.000,00 0,75
10.000,00 0,78 Tabela 3.16: Valores de �cr associados a crescentes valores de K (condição de apoio 6).
62
Condição de apoio 7 K �cr
1,00 0,1710,00 0,53
100,00 1,00500,00 1,29
1.000,00 1,555.000,00 2,10
10.000,00 2,20 Tabela 3.17: Valores de �cr associados a crescentes valores de K (condição de apoio 7).
Condição de apoio 8 K �cr
1,00 0,5210,00 0,65
100,00 1,10500,00 1,45
1.000,00 1,715.000,00 2,65
10.000,00 2,97 Tabela 3.18: Valores de �cr associados a crescentes valores de K (condição de apoio 8).
Condição de apoio 9 K �cr
1,00 0,5010,00 0,52
100,00 0,65500,00 1,01
1.000,00 1,245.000,00 1,48
10.000,00 1,55 Tabela 3.19: Valores de �cr associados a crescentes valores de K (condição de apoio 9).
63
0 2000 4000 6000 8000 10000
K
0
1
2
3
�cr
h=0,5; cc=variávelcond. 6cond. 7cond. 8cond. 9
Figura 3.15: Variação de �cr em função de K, para a coluna com quatro condições de
apoio distintas.
1 10 100 1000 10000
K (log)
0
1
2
3
�cr
h=0,5; cc=variávelcond. 6cond. 7cond. 8cond. 9
Figura 3.16: Variação de �cr em função de K, para a coluna com quatro condições de
apoio distintas, no formato semi-log.
64
3.5.1.2. Influência no Modo Crítico
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra (x
)
Condição de apoio 6; h=0,5K = 100K = 1.000K = 10.000
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra (x
)
Condição de apoio 7; h=0,5K = 100K = 1.000K = 10.000
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra (x
)
Condição de apoio 8; h=0,5K = 100K = 1.000K = 10.000
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra (x
)
Condição de apoio 9; h=0,5K = 100K = 1.000K = 10.000
Figura 3.17: Primeiro modo crítico da coluna com a extremidade inferior livre e com
quatro condições de apoio distintas na extremidade superior.
65
3.5.2. Influência da Altura da Fundação
3.5.2.1. Influência na Carga Crítica
Condição de apoio 6 K=1.000 K=10.000
h �cr� �cr�
0,00 0,00 0,00 0,25 0,32 0,54 0,50 0,64 0,78 0,75 0,98 1,27 1,00 3,20 4,87
Tabela 3.20: Valores de �cr associados a crescentes valores de h, para K=1.000 e
K=10.000 (condição de apoio 6).
Condição de apoio 7 K=1.000 K=10.000
h �cr� �cr�
0,00 1,00 1,00 0,25 1,11 1,54 0,50 1,55 2,20 0,75 1,79 3,18 1,00 2,70 4,62
Tabela 3.21: Valores de �cr associados a crescentes valores de h, para K=1.000 e
K=10.000 (condição de apoio 7).
Condição de apoio 8 K=1.000 K=10.000
h �cr� �cr�
0,00 0,50 0,50 0,25 1,42 2,10 0,50 1,71 2,97 0,75 1,79 3,18 1,00 1,79 3,18
Tabela 3.22: Valores de �cr associados a crescentes valores de h, para K=1.000 e
K=10.000 (condição de apoio 8).
66
Condição de apoio 9 K=1.000 K=10.000
h �cr� �cr�
0,00 0,00 0,00 0,25 0,69 1,08 0,50 1,24 1,55 0,75 1,75 2,50 1,00 1,79 3,18
Tabela 3.23: Valores de �cr associados a crescentes valores de h, para K=1.000 e
K=10.000 (condição de apoio 9).
0 0.25 0.5 0.75 1
h = H/L
0
1
2
3
4
�cr
h=0,5; K=1.000; cc=variávelcond. 6cond. 7cond. 8cond. 9
Figura 3.18: Variação de �cr em função de h, para as quatro condições de contorno da
coluna com a extremidade inferior livre e K=1.000.
67
0 0.25 0.5 0.75 1
h = H/L
0
1
2
3
4
5
�cr
h=0,5; K=10.000; cc=variávelcond. 6cond. 7cond. 8cond. 9
Figura 3.19: Variação de �cr em função de h, para as quatro condições de contorno da
coluna com a extremidade inferior livre e K=10.000.
68
3.5.2.2. Influência no Modo Crítico
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra (x
)Condição de apoio 6; K = 1.000 h=variável
h=0,25h=0,50h=0,75
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra (x
)
Condição de apoio 7; K = 1.000h = variável
h=0,25h=0,50h=0,75
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra (x
)
Condição de apoio 8; K = 1.000h = variável
h=0,25h=0,50h=0,75
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra (x
)
Condição de apoio 9; K = 1.000h = variável
h=0,25h=0,50h=0,75
Figura 3.20: Variação do primeiro modo crítico da coluna com a extremidade inferior livre
para quatro condições de apoio distintas em função da variação na relação h=H/L, para
K=1.000.
69
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Al
tura
(x)
Condição de apoio 6; K = 10.000 h=variável
h=0,25h=0,50h=0,75
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra (x
)
Condição de apoio 7; K = 10.000h = variável
h=0,25h=0,50h=0,75
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra (x
)
Condição de apoio 8; K = 10.000h = variável
h=0,25h=0,50h=0,75
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deslocamento w(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Altu
ra (x
)
Condição de apoio 9; K = 10.000h = variável
h=0,25h=0,50h=0,75
Figura 3.21: Variação do primeiro modo crítico da coluna com a extremidade inferior livre
para quatro condições de apoio distintas em função da variação na relação h=H/L, para
K=10.000.
3.6. Comparação dos Resultados com o Método de Ritz
Para a análise dos resultados obtidos neste item, foram testadas funções de
aproximação com diferentes números de termos utilizados. Conforme mencionado
70
no item 2.8, uma boa função de aproximação é aquela que atende a todas as
condições de contorno do problema, fazendo com que sua convergência para o
resultado final seja muito mais rápida.
Para o caso particular de uma coluna bi-apoiada, foi visto que a função seno
atende às condições de apoio. Dessa forma, considera-se bastante adequado o seu
emprego como função de aproximação para a coluna com essas condições de
apoio.
Conforme usualmente adotado, essa função será expressa na forma de
séries. Entretanto, não se sabe a priori qual o número de termos necessário para se
encontrar uma boa aproximação. Sendo assim, foram testadas funções de
aproximação em forma de série de senos, com um a oito termos, ou seja,
��
�
8
1)(
iin xisenAf � (3.3)
Foram feitas análises para três valores de K, tomados em um intervalo
bastante amplo: K=10, K=1.000 e K=10.000. A Tabela 3.24 apresenta os valores
das cargas críticas obtidas através da solução analítica para a coluna bi-apoiada,
com os valores de K citados acima.
K �cr 10,00 1,03
1.000,00 1,8610.000,00 2,20
Tabela 3.24: Valores de �cr para três valores distintos de K.
Já as Tabelas 3.25, 3.26 e 3.27 apresentam os valores das cargas críticas
obtidas através do Método de Ritz para a mesma situação, utilizando-se diferentes
funções de aproximação, bem como o erro cometido ao se utilizar estas funções, o
qual é calculado a partir da expressão:
exato
exatoaprox
PPP
erro�
� (3.4)
onde Paprox é a carga crítica calculada pelo Método de Ritz e Pexato a carga crítica
calculada pela solução analítica.
71
K=10 n �cr Erro (%) 1 1,03 31069,7 �
�
2 1,03 51063,6 �
�
3 1,03 51063,6 �
�
4 1,03 61085,5 �
�
5 1,03 61085,5 �
�
6 1,03 61017,1 �
�
7 1,03 61017,1 �
�
8 1,03 71093,2 �
�
Tabela 3.25: Valores de �cr e do erro percentual cometido ao se utilizar funções de
aproximação com diferentes números de termos (K=10).
K=1.000
n �cr Erro (%) 1 2,48 11031,3 �
2 1,87 11052,3 �
�
3 1,86 21040,8 �
�
4 1,86 31088,8 �
�
5 1,86 31015,7 �
�
6 1,86 31045,1 �
�
7 1,86 31036,1 �
�
8 1,86 41001,4 �
�
Tabela 3.26: Valores de �cr e do erro percentual cometido ao se utilizar funções de
aproximação com diferentes números de termos (K=1.000).
K=10.000 n �cr Erro (%) 1 7,23 21029,2 �
2 2,55 11056,1 �
3 2,21 11057,4 �
�
4 2,21 11039,2 �
�
5 2,20 21095,7 �
�
6 2,20 21061,2 �
�
7 2,20 21073,1 �
�
8 2,20 31019,6 �
�
Tabela 3.27: Valores de �cr e do erro percentual cometido ao se utilizar funções de
aproximação com diferentes números de termos (K=10.000).
72
1 2 3 4 5 6 7 8
no de termos
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
erro
(%)
Coluna bi-apoiada; K = 1.000; h = 0,5
Figura 3.22: Variação do erro cometido ao se utilizar cada função de aproximação.
Analisando-se as Tabelas 3.25, 3.26 e 3.27 e a Figura 3.22, podem ser
tiradas algumas conclusões:
1a) A medida em que se utiliza um número maior de termos nas funções de
aproximação, diminui-se o erro cometido em relação às cargas críticas calculadas
através da solução analítica. Na Figura 3.22 está ilustrada essa situação para
K=1.000, entretanto esse comportamento se verifica para qualquer valor de K;
2a) Independentemente do número de termos utilizados nas funções de
aproximação, o erro cometido aumenta a medida em que se aumenta o valor de K;
3a) Esse erro torna-se especialmente importante quando se utilizam poucas
funções de aproximação para valores mais elevados de K;
4a) Ao se utilizar as funções de aproximação com um e dois termos, deve-se
tomar bastante cuidado, já que os erros cometidos podem ser bastante elevados,
chegando a atingir os 229% para K=10.000, utilizando-se apenas um termo na
função de aproximação.
3.7. Diagramas de Momento Fletor e Esforço Cortante
A fim de se conhecer como variam o momento fletor e o esforço cortante ao
longo da coluna, foram construídos seus diagramas para valores de K iguais a 100,
1.000 e 10.000.
73
Para o caso linear, têm-se as seguintes expressões para o momento e o
cortante, respectivamente:
xxEIwEIM ,�� � (3.5)
xxxEIwdx
dMQ ,�� (3.6)
Na formulação utilizada, emprega-se a coordenada x/L para representar o
comprimento da coluna. Assim, as expressões (3.5) e (3.6) podem ser reescritas
sob a forma a seguir de modo a representar da mesma maneira o momento fletor e
o esforço cortante ao longo do comprimento da coluna, ou seja:
EIMLwm xx �� , (3.7)
EIQLwq xxx
2
, �� (3.8)
Assim, após conhecidas as funções w(x) para os trechos enterrados e
desenterrados da coluna, basta calcular as segundas e terceiras derivadas destas
funções para se conhecer os diagramas de momento fletor e esforço cortante,
respectivamente. Esses diagramas apresentados a seguir representam a situação da
coluna após a flambagem, instante a partir do qual surgem também esforços de
flexão.
A Figura 3.23, mostrada a seguir, fornece os diagramas de momento fletor e
esforço cortante da coluna, para três valores distintos de K.
74
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
Momento Fletor (m)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Altu
ra (x
)
Diagrama de Momento Fletor - LinearK=100K=1.000K=10.000
(a)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Esforço Cortante (q)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Altu
ra (x
)
Diagrama de Esforço Cortante - LinearK=100K=1.000K=10.000
(b)
Figura 3.23: Diagramas de momento fletor linear e esforço cortante linear.
Observando-se o diagrama de momento fletor para K=100, verifica-se que
os esforços de tração e compressão ao longo do comprimento da coluna estão
sempre de um mesmo lado de sua seção transversal. Entretanto, isto não ocorre
para K=1.000 e K=10.000, quando esses esforços estão ora de um lado da seção,
ora do outro, resultando assim em maiores variações nos diagramas.
Vale notar também a correspondência dos gráficos quanto à relação (3.6),
ou seja, como a função esforço cortante é a derivada da função momento fletor,
todos os pontos de máximos locais do gráfico do momento correspondem a zeros
no gráfico do cortante. Para a situação em que K=1.000, esses pontos são 26,0�x
e 73,0�x .
4. Formulação do Problema Não-Linear
Neste capítulo é apresentada a resolução do problema não-linear, formulado
a partir do funcional de energia não-linear. É feita a análise do equilíbrio e da
estabilidade da coluna para dois casos: o primeiro, quando a fundação for
considerada com comportamento linear de acordo com o Modelo de Winkler
Linear; e o segundo, com a fundação com comportamento não-linear, de acordo
com o Modelo de Winkler Não-Linear.
Assim como formulado no Capítulo 2, deseja-se obter as equações
diferenciais não-lineares da coluna e as soluções destas.
No final deste capítulo é apresentada uma metodologia para resolução deste
problema através do Método de Ritz, objetivando-se obter uma função
aproximada que descreva o caminho pós-crítico não-linear da coluna.
Neste capítulo são utilizadas as coordenadas locais da coluna, definidas na
Figura 1.1.
4.1. Equações Diferenciais para a Coluna com um Trecho sem Fundação e outro sob Fundação Elástica Não-Linear
Inicialmente será analisado o problema da coluna com um trecho sem
fundação e outro com fundação elástica não-linear, tomando como ponto de
partida os funcionais de energia não-lineares.
Para o trecho da coluna sem fundação, o funcional de energia não-linear,
com os limites de integração definidos pelas coordenadas locais é dado por:
dxwwPwwwwwEIH
xxxxxxxxxx� ��
���
���
�
� ��
�
�
� �
1
0
4242222 ,41,
21,,
41,,,
21
� , (4.1)
e para o trecho com fundação, por
76
dxwwPwwwwwEIH
xxxxxxxxxx� ��
���
���
�
� ��
�
�
� �
2
0
4242222 ,41,
21,,
41,,,
21
�
dxwkdxkwHH
43
0
2
0
22
21
21
�� ��
(4.2)
Observa-se que ambos os funcionais são da forma:
dxwwwxf xxx ),,,,(� (4.3)
ou seja, possuem os mesmos termos do funcional de energia quadrático descrito
pela expressão (2.34).
Para se deduzir as equações diferenciais não-lineares, são aplicadas mais
uma vez as ferramentas do Cálculo Variacional, da mesma forma como foi feito
no Capítulo 2. Já foi visto que a Equação de Euler para um funcional como o da
expressão (4.3) é a seguinte:
0)()( ´´2
2
´ � � www fdxdf
dxdf (4.4)
Para o trecho sem fundação, a função f é dada pela expressão:
��
���
���
�
� ��
�
�
� � 4242222 ,
41,
21,,
41,,,
21
xxxxxxxxxx wwPwwwwwEIf (4.5)
Calculando-se individualmente os termos fw, ´wf e ´´wf , obtém-se:
0�wf (4.6)
��
�
�
��
�
���
���
���
�
���
��
��
�
�
��
�
���
���
����
����
���
�
���
����
����
�
�
3
32
2
22
2
2
)()(221
)()()()(221
dxxdw
dxxdwP
dxxdw
dxxwd
dxxdw
dxxwdEIf w
(4.7)
�����
�
�
�����
�
�
��
���
����
����
��
��
���
����
����
����
�
����
�
��� 4
2
2
2
2
2
2
2
)()(21
)()(2)(2
21
dxxdw
dxxwd
dxxdw
dxxwd
dxxwd
EIf w (4.8)
Substituindo-os então na Equação de Euler e fazendo as simplificações
possíveis, chega-se à equação diferencial não-linear do trecho sem fundação:
77
0)()(41)()(
)()()(23
)()()(23
)()()(2
)()()()(4
4
4
42
4
4
4
42
2
2
2
223
2
2
3
33
2
2
3
2
2
3
3
2
2
���
���
����
����
���
�
���
����
����
��
���
����
���
�
���
����
����
��
���
����
���
�
���
����
����
��
���
����
���
���
����
����
��
���
����
����
�
����
���
���
����
����
�
dxxdw
dxxwdEI
dxxdw
dxxwdEI
dxxwdEI
dxxdw
dxxwdP
dxxwdP
dxxdw
dxxwdEI
dxxwd
dxxdw
dxxwdEI
dxxwdEI
dxxwd
dxxdw
dxxwdEI
(4.9)
Para o trecho com fundação, parte-se do funcional obtido na Equação 4.2. A
função f, nesse caso, é dada pela expressão:
43
24242222
21
21,
41,
21,,
41,,,
21
wk
kwwwPwwwwwEIf xxxxxxxxxx
�
���
���
�
��
���
��
����
(4.10)
Em seguida são calculados os termos fw, ´wf e ´´wf , isto é:
33 )(2)( xwkxkwf w �� (4.11)
��
�
�
��
�
���
���
���
�
���
��
��
�
�
��
�
���
���
����
����
���
�
���
����
����
�
�
3
32
2
22
2
2
)()(221
)()()()(221
dxxdw
dxxdwP
dxxdw
dxxwd
dxxdw
dxxwdEIf w
(4.12)
�����
�
�
�����
�
�
��
���
����
����
��
��
���
����
����
����
�
����
�
��� 4
2
2
2
2
2
2
2
)()(21
)()(2)(2
21
dxxdw
dxxwd
dxxdw
dxxwd
dxxwd
EIf w (4.13)
Notar que os termos ´wf e ´´wf são os mesmos que os calculados
anteriormente para a coluna sem fundação.
Após a substituição dos três termos na Equação de Euler e sua conseqüente
simplificação, chega-se à equação diferencial não-linear deste trecho da coluna,
expressa em (4.14).
78
0)()(41)()(
)()()(23
)()()(23
)()()(2)(
)()()(4)(2)(
4
4
42
4
4
4
42
2
2
2
223
2
2
3
33
2
23
2
2
3
3
2
23
3
���
���
����
����
���
�
���
����
����
��
���
����
���
�
���
����
����
��
���
����
���
�
���
����
����
��
���
����
���
���
����
����
����
�
����
��
���
����
���
���
����
����
��
dxxdw
dxxwdEI
dxxdw
dxxwdEI
dxxwdEI
dxxdw
dxxwdP
dxxwdP
dxxdw
dxxwdEI
dxxwd
dxxdw
dxxwdEI
dxxwdEI
dxxwd
dxxdw
dxxwdEIxwkxkw
(4.14)
Por fim, observa-se que esta equação é idêntica àquela obtida em (4.9) para
o caso da coluna sem fundação, diferindo-se apenas nos dois primeiros termos,
relativos à fundação.
4.2. Equações Diferenciais para a Coluna com Um Trecho Sem Fundação e Outro Sob Fundação Elástica Linear
A dedução das equações diferenciais não-lineares, para o caso da coluna
com trecho sob fundação elástica com comportamento linear é exatamente igual a
que foi feita no item anterior.
Para o trecho sem fundação, a equação já foi definida em (4.9) e para o
trecho com fundação elástica linear, parte-se do funcional de energia não-linear do
caso em questão, escrito em (4.15), com os seus limites de integração definidos
pelas coordenadas locais,
� ��
���
���
�
� ��
�
�
� �
2
0
4242222 ,41,
21,,
41,,,
21H
xxxxxxxxxx dxwwPwwwwwEI�
dxkwH
2
0
2
21
��
(4.15)
Seguindo o mesmo procedimento apresentado anteriormente, obtém-se a
equação diferencial descrita a seguir:
79
0)()(41)()(
)()()(23
)()()(23
)()()(2)(
)()()(4)(
4
4
42
4
4
4
42
2
2
2
223
2
2
3
33
2
23
2
2
3
3
2
2
���
���
����
����
���
�
���
����
����
��
���
����
���
�
���
����
����
��
���
����
���
�
���
����
����
��
���
����
���
���
����
����
����
�
����
��
���
����
���
���
����
����
��
dxxdw
dxxwdEI
dxxdw
dxxwdEI
dxxwdEI
dxxdw
dxxwdP
dxxwdP
dxxdw
dxxwdEI
dxxwd
dxxdw
dxxwdEI
dxxwdEI
dxxwd
dxxdw
dxxwdEIxkw
(4.16)
Observe que partindo-se da equação (4.14) e:
a) eliminando-se os dois primeiros termos, obtém-se a equação diferencial
da coluna sem fundação (4.9);
b) eliminando-se apenas o segundo termo, obtém-se a equação diferencial
da coluna com fundação linear (4.16);
c) não eliminando-se nenhum termo, obtém-se a própria equação diferencial
da coluna com fundação não-linear (4.14).
4.3. Método de Ritz – Caminho Pós-Crítico Não-Linear
Como pode ser visto, as equações diferenciais não-lineares são equações
muito complexas e não possuem soluções analíticas. Dessa forma, buscam-se
outros métodos que tornem possível a resolução do problema não-linear.
O método adotado neste trabalho é o Método de Ritz, já descrito
anteriormente no Capítulo 2. Relembrando o que foi dito, esse método consiste
basicamente na substituição da solução analítica por uma função de aproximação
no funcional de energia. A função de aproximação possui, usualmente, a forma de
uma série onde cada termo deve respeitar as condições de contorno forçadas do
problema. Caso as funções também atendam as condições de contorno naturais, a
convergência torna-se mais rápida.
As funções de aproximação têm a seguinte forma:
j
n
jjn Af ��
�
�
1
(4.17)
80
Neste problema, as funções �j adotadas na análise não-linear são exatamente
as autofunções obtidas analiticamente no Capítulo 2, já que todas elas atendem às
condições de contorno e continuidade. Em virtude dessa escolha, um único termo
da série (4.17) já é suficiente para se obter uma solução precisa do caminho pós-
crítico na vizinhança do ponto crítico. Vale mencionar que essa escolha foi
motivada pelos bons resultados obtidos, combinados com sua simplicidade de
implementação computacional.
Como a coluna está subdividida em dois trechos, a função �j foi dividida em
duas partes.
���
��
���
22
11
0;0;
Hx(x)wHx(x)w
j� (4.18)
Vale lembrar que os limites de cada função estão definidos em termos das
coordenadas locais. Cada função deve ser substituída no seu funcional
correspondente. No caso da coluna sob fundação elástica linear, a função �j=w1(x)
é substituída no funcional da expressão (4.1) e a função �j=w2(x), em (4.15). Para
o caso da coluna sob fundação elástica não-linear, a substituição das funções
�j=w1(x) e �j=w2(x) devem ser, respectivamente, nos funcionais das expressões
(4.1) e (4.2).
Em ambos os casos, o funcional de energia não-linear resultante, col� , é
dado pela soma dos dois funcionais,
21 ��� �col (4.19)
onde 1� e 2� são os funcionais não-lineares da coluna dos seus trechos sem e com
fundação, respectivamente.
No programa desenvolvido com o software MAPLE 7.0, para que se
obtenham as expressões completas das soluções analíticas de cada trecho, é
preciso que se forneçam valores numéricos para os parâmetros de carga crítica e
de rigidez da fundação elástica. Ou seja, de uma forma geral, as soluções
analíticas w1(x) e w2(x) só podem ser escritas em função das constantes Cj (j=1..8),
as quais, como já foi visto, são determinadas pelas autofunções correspondentes.
Sendo assim, são escritas a seguir, de uma forma geral, as funções fn,
correspondentes à solução analítica do problema e adotadas em cada um dos
trechos da coluna.
81
Para o trecho sem fundação:
� � )cos()( 43211 xCxsenCxCCxwfn ���� ����� (4.20)
Para o trecho com fundação linear:
� �
)4222/1(8
)4222/1(7
)4222/1(6
)4222/1(52
44224422
44224422
xKxK
xKxKn
eCeC
eCeCxwf��������
������
�
����
��������
��������
(4.21)
Pelo Método de Ritz, em seguida, multiplicam-se as expressões (4.20) e
(4.21) por uma constante, aqui denominada por �, que será o deslocamento
transversal máximo da coluna, já que o modo crítico foi normalizado de tal forma
que a amplitude máxima seja igual a um. As expressões resultantes são
denominadas � �xw m1 e � �xw m2 , ou seja,
� � � �
� � � �xwxwxwxw
m
m
22
11
�
�
�
�
(4.22)
Feito isso, substituem-se as expressões (4.22) no funcional de energia não-
linear, col� . Em seguida, faz-se a integração deste funcional resultante nos limites
correspondentes a cada um dos trechos da coluna. Prossegue-se diferenciando a
expressão resultante com relação a constante � e igualando-a à zero.
Após a simplificação dessa última expressão, obtém-se a equação de
equilíbrio não-linear que tem a seguinte forma polinomial:
0235
24
53
321 ����� ������� NNNNN (4.23)
onde N1, N2, N3, N4 e N5 são valores numéricos que multiplicam cada parcela desta
equação. A solução desse polinômio é uma expressão na qual � é dado em
função de �, na forma
� ��� g� (4.24)
Finalmente, ao se plotar esta equação, tem-se o gráfico do caminho pós-
crítico da coluna.
5. Resultados da Análise Não-Linear
Neste capítulo são apresentados os resultados das análises feitas para o
problema não-linear, incluindo variações na rigidez e altura da fundação bem
como nas condições de apoio da coluna.
O problema é analisado para a fundação ora com comportamento linear,
segundo o Modelo Linear de Winkler, ora com comportamento não-linear,
segundo o Modelo Não-Linear de Winkler.
O objetivo maior neste ponto do trabalho é estudar o caminho pós-crítico da
coluna a partir do momento em que esta perde sua estabilidade.
Nos resultados apresentados, o caminho pós-crítico é representado através
de um gráfico no qual no eixo das abscissas são apresentados os valores dos
deslocamentos transversais máximos e no eixo das ordenadas, a relação entre
carga aplicada e a carga crítica da coluna.
O caminho pós-crítico também poderia ser representado através de
grandezas proporcionais às adotadas, como, por exemplo, tensão/tensão crítica �
deformação específica máxima, ou ainda, momento/momento crítico � curvatura
máxima.
Os resultados deste capítulo foram comparados com os obtidos através de
um programa computacional baseado no método dos elementos finitos.
Da mesma forma como foi feito no Capítulo 3, é novamente importante
mencionar que o problema aqui analisado refere-se à coluna bi-apoiada, com
fundação até metade do seu comprimento, conforme ilustrado na Figura 5.1. O
problema se modificará na medida em que forem sendo feitas alterações nas suas
condições de apoio e altura e rigidez da fundação.
83
Figura 5.1: Problema padrão.
5.1. Resultados Obtidos pelo Método de Ritz para a Coluna com Fundação Elástica Linear
Neste item são apresentados os resultados obtidos através do método de Ritz
para o caso da coluna com uma fundação elástica linear, conforme descrito no
Capítulo 4.
São analisados os casos da coluna sob diferentes condições de apoio e altura
e rigidez da fundação, de modo a se verificar a influência destes parâmetros no
comportamento do caminho pós-crítico da coluna.
5.1.1. Influência da Rigidez da Fundação
Nas Figuras 5.2.a e 5.2.b são apresentados os caminhos pós-críticos de uma
coluna bi-apoiada, com 5,0/ �� LHh , em função de diversos valores adotados
para o parâmetro de rigidez do solo, K.
84
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
wmáx
0.999
1
1.001
1.002
1.003
1.004�
/�cr
Caminho pós-críticoBi-apoiada; H/L = 0,5Variação da rigidez da fundação
K = 0,1
K = 1
K = 10
K = 100
K = 1.000
K = 10.000
K = 50.000
(a)
0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2
wmáx
0.98
1
1.02
1.04
1.06
1.08
�/�
cr
Caminho pós-críticoBi-apoiada; H/L = 0,5Variação da rigidez da fundação
K = 0,1
K = 1
K = 10
K = 100
K = 1.000
K = 10.000
K = 50.000
(b)
Figura 5.2: Variação do caminho pós-crítico de uma coluna bi-apoiada, com fundação até
a metade de seu comprimento, em função de diversos valores adotados para K.
A única diferença entre essas figuras é a escala em que estão apresentados
os resultados. Enquanto a primeira mostra o caminho pós-crítico em seu trecho
inicial, a segunda mostra esses mesmos resultados para maiores deflexões. No
eixo das ordenadas estão plotados os valores de cr�� / e todas as curvas partem
do valor um. Sendo assim, este ponto representa o início do caminho pós-crítico.
Para valores de cr�� / inferiores a um, a coluna ainda não atingiu a sua
carga crítica, logo não existem deformações transversais. Ou seja, até esse
momento, as únicas deformações sofridas pela coluna são deformações axiais, e
estes pontos constituem o caminho fundamental o qual é representado pelo eixo
vertical do gráfico máxcr w��� / .
Ao atingir a carga crítica, a coluna perde a estabilidade e passa a sofrer
também deformações transversais causadas pelos esforços de flexão. Desse
momento em diante, a carga pode aumentar ou diminuir à medida que a coluna
continua a deformar-se, o que irá depender do tipo de solo no qual parte da coluna
está imersa.
Pelos gráficos da Figura 5.2, observa-se que não existe uma relação direta
entre a rigidez da fundação e a rigidez efetiva do caminho pós-crítico. Nota-se,
85
inicialmente, que a curvatura do caminho pós-crítico decresce com a rigidez da
fundação, apresentando uma bifurcação simétrica estável. Entretanto, para valores
de K em torno de 100, há uma pequena mudança de concavidade, apresentando a
coluna uma bifurcação simétrica instável (visível para pequenas deformações, no
gráfico da Figura 5.2.a). A seguir a rigidez pós-crítica volta a crescer com o
aumento da rigidez da fundação. Cabe lembrar que a rigidez global do sistema
está intimamente ligada à forma do modo crítico bem como a relação entre a
energia interna de deformação do trecho enterrado e do trecho desenterrado.
Entretanto, quando esses mesmos resultados são plotados em um gráfico
onde o eixo das ordenadas representa a variação da carga aplicada � (e não mais
a relação cr�� / ), conforme mostrado na Figura 5.3, é possível notar diretamente a
influência da rigidez da fundação na capacidade de carga da estrutura.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
wmáx
0.8
1.2
1.6
2
2.4
�
Caminho pós-críticoBi-apoiada; H/L = 0,5Variação da rigidez da fundação
K = 1
K = 10
K = 100
K = 1.000
K = 10.000
K = 50.000
Figura 5.3: Variação das cargas com as deflexões em colunas com as mesmas
condições citadas na Figura 5.2.
Pode-se acrescentar ao que foi dito no parágrafo anterior que, quanto maior
for a rigidez da fundação, maiores serão as cargas que a coluna conseguirá
suportar para uma mesma deformação.
86
5.1.2. Influência da Altura da Fundação
Observa-se através da Figura 5.4 que, para o valor de K aqui analisado, o
caminho pós-crítico é sempre estável independente da relação LHh /� .
Entretanto, como no caso anterior, não há uma relação direta entre a curvatura
inicial do caminho pós-crítico e a profundidade da fundação. A influência da
rigidez na capacidade de carga da coluna pode ser melhor observada na Figura 5.5
que apresenta a variação da flecha máxima com o parâmetro de carga �.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
wmáx
0.9996
1
1.0004
1.0008
1.0012
�/�
cr
Caminho pós-críticoBi-apoiada; K=10.000Variação da altura da fundaçã o
h=0,25h=0,5h=0,75
(a)
0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2
wmáx
0.995
1
1.005
1.01
1.015
1.02
1.025
�/�
cr
Caminho pós-críticoBi-apoiada; K=10.000Variação da altura da fundação
h=0,25h=0,5h=0,75
(b)
Figura 5.4: Variação do caminho pós-crítico de uma coluna bi-apoiada, com fundação
elástica com K = 10.000, em função de três relações distintas de H/L.
87
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
wmáx
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
�
Caminho pós-críticoBi-apoiada; K=10.000Variação da altura da fundação
h=0,25h=0,5h=0,75
Figura 5.5: Variação das cargas com as deflexões em colunas com as mesmas
condições citadas na Figura 5.4.
5.1.3. Influência das Condições de Contorno
A influência das condições de contorno no caminho pós-crítico é ilustrada
nas Figuras 5.7 e 5.8, onde são mostrados os caminhos pós-críticos para uma
coluna semi-enterrada com K=10.000, considerando as cinco configurações já
analisadas no Capítulo 3 e reapresentadas na Figura 5.6.
Figura 5.6: Condições de contorno.
88
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
wmáx
0.999
1
1.001
1.002
1.003
1.004
1.005
�/�
cr
Caminho pós-críticoH/L = 0,5; K=10.000Variação das condições de contorno
cond. 2
cond. 1
cond. 3
cond. 5
cond. 4
(a)
0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2
wmáx
1
1.04
1.08
1.12
�/�
cr
Caminho pós-críticoH/L = 0,5; K=10.000Variação das condições de contorno
cond. 2
cond. 1
cond. 3cond. 5
cond. 4
(b)
Figura 5.7: Variação do caminho pós-crítico de uma coluna com fundação até metade do
seu comprimento e K=10.000, em função de cinco condições de apoio distintas.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
wmáx
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
�
Caminho pós-críticoH/L = 0,5; K=10.000Variação das condições de contorno
cond. 2
cond. 1
cond. 3
cond. 5
cond. 4
Figura 5.8: Variação das cargas com as deflexões em colunas com as mesmas
condições citadas na Figura 5.7.
89
Observa-se que para as condições de contorno aqui analisadas, o caminho
pós-crítico é sempre estável. Nota-se também que há uma influência marcante das
condições de contorno no comportamento pós-crítico da coluna.
Em resumo, observa-se uma grande influência de todas as variáveis no
caminho pós-crítico e, portanto, na capacidade de carga pós-flambagem da
estrutura.
5.2. Resultados Obtidos pelo Método de Ritz para a Coluna com Fundação Elástica Não-Linear
De modo a considerar a fundação com um comportamento não-linear, foi
adotado o modelo de Winkler Não-Linear. Esse modelo é muito utilizado para
representar a maioria dos solos usualmente encontrados na natureza, pois
considera que ocorre perda de rigidez à medida que se aumentam as forças
exercidas pela estrutura sobre o solo (Greimann, et al., 1987). Nesse caso,
diferentemente de em um modelo linear, a reação exercida pelo solo não é
proporcional às deflexões da coluna.
Desta forma, o funcional (2.27), apresentado no Capítulo 2, e reescrito em
(5.1), é o que representa o problema estudado neste item.
� ��
���
���
�
� ��
�
�
� �
L
xxxxxxxxxx dxwwPwwwwwEI0
4242222 ,41,
21,,
41,,,
21
�
dxwkdxkwHH
43
0
2
0 21
21
�� ��
(5.1)
A fim de se verificar a influência da rigidez não-linear do solo no caminho
pós-crítico da coluna, foi construído o gráfico apresentado na Figura 5.9.
90
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
wmáx
0.992
0.994
0.996
0.998
1
1.002�/�
cr
Caminho pós-críticoFundação Não-LinearBi-apoiada; H/L=0,5; K=1.000Variação da rigidez não-linear da fundação
Knl=1.000Knl=10.000Knl=100.000
(a)
0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2
wmáx
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
1
1.02
�/�
cr
Caminho pós-críticoFundação Não-LinearBi-apoiada; H/L=0,5; K=1.000Variação da rigidez não-linear da fundação
Knl=1.000Knl=10.000Knl=100.000
(b)
Figura 5.9: Variação do caminho pós-crítico de uma coluna bi-apoiada, com fundação até
metade do seu comprimento e K = 1.000, em função de diversos valores adotados para
Knl.
A Figura 5.9 mostra que à medida que a rigidez da base aumenta, a coluna
sofre uma perda de rigidez global, passando a apresentar uma bifurcação instável.
Isso pode ser visto ao se tomar um valor constante para o deslocamento
transversal máximo e observar o valor correspondente da relação cr�� / . Nota-se,
no gráfico da Figura 5.9.a que, por exemplo, para uma deformação igual a 0,05, a
relação cr�� / da coluna com Knl = 1.000 é um pouco superior a 1,00, enquanto
para a coluna com Knl = 100.000, este valor é menor ( 994,0/ �cr�� ). Ou seja,
essa última coluna tem uma capacidade de suporte menor do que a primeira.
Na Figura 5.10, onde estão apresentados os resultados de um problema
idêntico ao anterior, porém com um valor maior para a rigidez linear do solo,
observa-se que a forma do caminho pós-crítico é muito semelhante à das figuras
anteriores, inclusive com a ordem das curvas sendo mantida. A diferença, nesse
caso, é que, por se tratar de uma coluna cuja fundação possui maior rigidez linear,
consegue-se atingir cargas com valores mais elevados do que as verificadas no
caso anterior.
91
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
wmáx
0.992
0.994
0.996
0.998
1
1.002�
/�cr
Caminho pós-críticoFund. não-linearBi-apoiada; H/L=0,5; K=10.000Variação da rigidez não-linear da fundação
K = 100.000K = 1.000.000K = 10.000.000
(a)
0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2
wmáx
0.92
0.96
1
1.04
�/�
cr
Caminho pós-críticoFund. não-linearBi-apoiada; H/L=0,5; K=10.000Variação da rigidez não-linear da fundação
K = 100.000K = 1.000.000K = 10.000.000
(b)
Figura 5.10: Variação do caminho pós-crítico de uma coluna bi-apoiada, com fundação
até metade do seu comprimento e K = 10.000, em função de diversos valores adotados
para Knl.
Foi estudado também o caminho pós-crítico da coluna engastada e livre,
chegando-se à resultados muito semelhantes aos da coluna bi-apoiada.
5.3. Resultados Obtidos pelo Programa de Elementos Finitos
A título de comparação dos resultados aqui obtidos para a carga crítica e
para o comportamento inicial do caminho pós-crítico, a coluna também foi
analisada a partir de um programa computacional baseado no método dos
elementos finitos, desenvolvido por Silveira (1995).
Nesse programa, a coluna é discretizada em vinte elementos, os quais
correspondem a vinte e um pontos nodais, sendo que cada um deles possui três
deslocabilidades. Nessa análise, utilizou-se uma coluna com as características
apresentadas na Tabela 5.1.
92
E 1.000I 1L 10
Tabela 5.1: Dados do problema analisado pelo método dos elementos finitos.
No programa, as cargas são escritas em função da variável P, e a rigidez da
fundação, em função de k. A seguir, são apresentados os resultados fornecidos
pelo programa.
5.3.1. Influência das Imperfeições na Coluna
No programa dos elementos finitos foi simulada, inicialmente, a situação da
coluna com imperfeições.
Estas imperfeições podem ter várias origens. As mais comuns são:
(a) Imperfeições quanto à posição da aplicação da carga axial – neste caso a
coluna pode estar recebendo cargas de forma que haja uma excentricidade entre o
eixo vertical da coluna e o seu ponto de aplicação.
(b) Imperfeições quanto à geometria do eixo da coluna – geralmente
causadas por defeitos durante o seu processo de construção.
(c) Imperfeições nos apoios – nem sempre os apoios são executados ou
trabalham de forma a representar perfeitamente aqueles usados na modelagem do
problema.
Para a coluna engastada na base e livre no topo (condição 2), essas
imperfeições foram representadas através da introdução de uma pequena carga
lateral, �, no seu topo, fazendo com que o seu comportamento fosse visivelmente
modificado, como pode ser observado na Figura 5.11.
93
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
w/L (x/L=1)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
P/P cr
Caminho pós-crítico - MEFEngastada e livre; h = 0,5; k = 1.000Variação da imperfeição da coluna
� = 0,1� = 0,01� = 0,001� = 0,0001
Figura 5.11: Influência da imperfeição da coluna no caminho pós-crítico.
Nesta análise, verifica-se que quanto menor for o valor da força �� que
caracteriza a imperfeição da coluna, mais as curvas se aproximam do eixo
vertical. Dessa forma, projeta-se que o caminho pós-crítico descrito pela coluna
sem imperfeições, seja representado no gráfico anterior através de uma reta que
coincide com o eixo das ordenadas até 1/ �crPP , seguido por uma reta paralela
ao eixo das abscissas.
Percebe-se, também, que uma coluna submetida a grandes imperfeições tem
sua rigidez diminuída, devido aos maiores deslocamentos observados, resultantes
do processo de carregamento.
5.4. Comparação dos Resultados
Para que fosse feita uma comparação entre os resultados obtidos pelos
programas baseados na utilização da solução analítica com aqueles obtidos pelo
94
programa de elementos finitos, fez-se necessário o estabelecimento de uma
correlação entre os dados do problema.
No programa de elementos finitos foram utilizados os seguintes dados:
10�L ; 000.1�k
Porém, todas as análises até este ponto do trabalho haviam sido feitas com a
consideração da coluna com comprimento unitário.
Dessa forma, resolveu-se reescrever os programas para a condição acima e
os resultados foram obtidos em função da variável P, garantindo-se, assim, uma
uniformidade entre os mesmos.
5.4.1. Comparação entre os Caminhos Pós-Críticos
A comparação entre os caminhos pós-críticos possui grande importância na
comparação entre os dois métodos, pois representa um resultado que só é obtido
no final do processo de cálculo realizado pelo programa desenvolvido neste
trabalho.
Sendo assim, caso fossem constatadas grandes diferenças entre os caminhos
pós-criticos, os possíveis erros seriam facilmente denunciados neste momento.
Para a comparação, foi escolhida, portanto, a situação da coluna bi-apoiada,
cuja fundação se estende até a meia-altura da coluna e com coeficiente de rigidez
linear igual a 1.000.
A Figura 5.12 apresenta os resultados, representados através dos caminhos
pós-críticos obtidos pelos dois métodos.
95
0 0.0004 0.0008 0.0012 0.0016 0.002
wmáx (x/L=0,5)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
P/P cr
Caminho pós-críticoComparação entre os métodosBi-apoiada; H/L = 0,5; L=10; k=1.000
RitzMEF
Figura 5.12: Caminhos pós-críticos obtidos através dos dois métodos.
A curva cheia, correspondente ao caminho pós-crítico calculado através do
método de Ritz, caracteriza-se por uma reta paralela ao eixo das abscissas, com
1/ �PcrP , enquanto a curva tracejada, correspondente ao método dos elementos
finitos, aproxima-se bastante desta solução. As diferenças entre as duas soluções,
observadas apenas nos trechos inicias dos gráficos, tendem a inexistir para
maiores deflexões e se devem às pequenas imperfeições consideradas no modelo
de elementos finitos e que são necessárias para se obter o caminho não-linear de
equilíbrio. Essas diferenças podem ser minimizadas diminuindo-se as
imperfeições usadas na modelagem por elementos finitos.
A origem dessa diferença entre as soluções é explicada nos parágrafos
seguintes.
No programa baseado no método de Ritz, conforme descrito no Capítulo 4,
a solução analítica obtida para o problema linear é substituída no funcional de
energia não-linear, obtendo-se, assim, uma excelente aproximação para a solução
do problema não-linear.
Já no programa dos elementos finitos é necessário que se imponha uma
pequena imperfeição na coluna para que o programa funcione corretamente.
96
Assim, de modo a se representar esta imperfeição, foram aplicados momentos em
ambas as extremidades da coluna, com valor igual a 0,01.
5.4.2. Comparação entre as Cargas Críticas
Apesar das cargas críticas não serem resultados obtidos a partir da análise
não-linear, considera-se importante sua inclusão neste capítulo pois servem como
mais um elemento na comparação entre os resultados obtidos através da solução
analítica com aqueles fornecidos pelo programa de elementos finitos.
Na Tabela 5.2 são relacionadas algumas situações para as quais essas
comparações foram feitas, bem como os respectivos valores obtidos para as cargas
críticas.
Coluna bi-apoiada (cond. 1) 5,0/ �� LHh
k MEF Sol. analítica Diferença (%) 10 147,18 147,56 0,26
100 341,66 341,90 0,07 1.000 478,33 478,52 0,04
Coluna bi-apoiada (cond. 1) 1/ �� LHh
k MEF Sol. analítica Diferença (%) 10 199,63 200,00 0,18
100 647,80 648,09 0,04 1.000 2.013,28 2014,06 0,04
Coluna engastada e livre (cond. 2) 0/ �� LHh
k MEF Sol. analítica Diferença (%) 1.000 24,51 24,68 0,68
Coluna engastada e livre (cond. 2) 5,0/ �� LHh
k MEF Sol. analítica Diferença (%) 1.000 59,84 59,93 0,15
Tabela 5.2: Comparação entre as cargas críticas.
Analisando-se os resultados acima, observa-se que as cargas críticas obtidas
através dos dois métodos possuem valores muito próximos, com a diferença entre
elas sendo sempre inferior a 1%. Essa pequena diferença é devida a erros
numéricos inerentes aos programas, causados por arredondamentos de resultados
e propagados com os processos de cálculo.
Sendo assim, os resultados obtidos para as cargas críticas através de ambos
os programas podem ser considerados compatíveis.
97
Outras comparações poderiam ainda vir a ser apresentadas, envolvendo
cargas críticas e caminho pós-críticos, entretanto, considerando-se que todos os
resultados apresentados neste capítulo estavam de acordo com os fornecidos pelo
programa dos elementos finitos, considerou-se os mesmos suficientes para
comprovar que o programa desenvolvido neste trabalho, baseado na utilização da
solução exata, está correto.
5.5. Diagramas de Momento Fletor e Esforço Cortante
Da mesma forma como foi feito no Capítulo 3 para o caso linear, neste item
são apresentados os diagramas de momento fletor e de esforço cortante para o
caso não-linear.
Como mostrado no Capítulo 3, as expressões do momento e do cortante são
dadas por
�EIM � (5.2)
dxdMQ � (5.3)
No problema não-linear, tem-se que
��
���
��� 2,
211, xxx ww� (5.4)
Logo, nesse caso, as expressões do momento e do cortante ficam
���
���
�� 2),(211, xxx wEIwM (5.5)
),(),(),(211, 22
xxxxxxx wwEIwEIwQ �
��
��� (5.6)
Já foi visto anteriormente neste capítulo, que no problema não-linear o
caminho pós-crítico é representado por uma curva que varia na medida em que a
coluna se deforma. A Figura 5.13 mostra o gráfico do caminho pós-crítico para a
situação da coluna bi-apoiada, com fundação até a metade da sua altura e
K=1.000.
98
0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2
wmáx
1.86
1.864
1.868
1.872
1.876
1.88
1.884
�
Caminho pós-críticoBi-apoiada; h = 0,5; K = 1.000
Figura 5.13: Caminho pós-crítico.
Sendo assim, para se construir os diagramas, faz-se necessário definir em
que pontos do processo a coluna está sendo analisada. São tomados, portanto, os
deslocamentos transversais máximos iguais a 0,02 e 0,20 e seus respectivos
valores de carga correspondentes.
wmáx P 0,02 1,860,20 1,88
Tabela 5.3: Pontos do caminho pós-crítico.
Os diagramas para o caso não-linear estão apresentados na Figura 5.14.
99
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Momento Fletor
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Altu
ra
Diagrama de Momento Fletor - Não-LinearBi-apoiada, h=0,5; K=1.000
wmáx=0,02wmáx=0,20
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30
Esforço Cortante
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Altu
ra
Diagrama de Esforço Cortante - Não-LinearBi-apoiada, h=0,5; K=1.000
wmáx=0,02wmáx=0,20
Figura 5.14: Diagramas de momento fletor linear e esforço cortante não-linear.
Observa-se que, tanto nos diagramas de momento fletor como nos de
esforço cortante, há uma grande variação nas suas amplitudes na medida em que
se tomam pontos onde a deformação sofrida pela coluna é maior. Conforme era
esperado, esses esforços tendem a aumentar com o decorrer do processo de
carregamento.
Por fim, comparando-se estes diagramas com os obtidos para o caso linear,
percebe-se que ambos possuem exatamente a mesma forma, distinguindo-se
apenas nas amplitudes, que, neste caso, não foram normalizadas.
6. Conclusões
No presente trabalho é analisada a estabilidade de colunas, e tem como
principal objetivo de pesquisa apresentar uma solução analítica para o problema
de colunas semi-enterradas. Essa solução é obtida usando-se as ferramentas de
cálculo variacional e a teoria de equações diferenciais ordinárias, juntamente com
programas de álgebra simbólica.
A análise do problema linear iniciou-se com a dedução de um funcional de
energia, formulado a partir do Princípio da Energia Potencial Estacionária, do qual
se obtiveram as equações diferenciais para os trechos enterrados e desenterrados
da coluna. Após definidas as condições de contorno e continuidade, recai-se em
um problema de autovalor, do qual busca-se obter sua solução não-trivial a partir
das raízes da equação do determinante característico, que são as cargas críticas do
problema. Entretanto, esta equação é bastante extensa e complexa, com a presença
de diversos termos não-lineares envolvendo funções exponenciais e
trigonométricas e que apresenta grande sensibilidade numérica. Sua solução é
encontrada através de uma cuidadosa análise numérica, observando-se
graficamente os pontos onde a curva troca de sinal para, a seguir, usando o
método de regula-falsi, obter os zeros da equação com a precisão desejada. Os
modos críticos são determinados a menos de uma constante multiplicativa
arbitrária, a partir dos valores obtidos para as cargas críticas. As determinações
das constantes fornecem a solução analítica do problema, ou os modos críticos.
Cabe ressaltar que a solução analítica deste problema se tornou possível em
virtude dos programas de álgebra simbólica hoje disponíveis que permitem a
manipulação algébrica de expressões complexas. Basta lembrar que o
determinante característico de ordem 8 gera 8! termos, isto é, 8.064 parcelas não-
lineares.
Nos resultados obtidos na análise linear, enfatizou-se a análise das cargas
críticas e modos críticos para a coluna sob as mais diversas condições, incluindo
variações em suas condições de apoio, comprimento do trecho enterrado, bem
como a rigidez da fundação.
101
Verificou-se a influência da rigidez e altura da fundação elástica linear no
comportamento da coluna, comprovando-se que estes fatores estão diretamente
relacionados à rigidez da estrutura como um todo. Mostrou-se que, quanto
maiores forem os valores destes parâmetros, maiores serão as cargas críticas da
coluna, bem como menores serão as variações das deformações ao longo da
coluna, as quais tendem a atingir os seus valores máximos no trecho desenterrado,
em posições próximas ao topo da coluna.
Foi verificado, também, que a coluna totalmente enterrada e a coluna
totalmente desenterrada, possuem exatamente a mesma deformada, independente
de qualquer fator.
A influência das condições de apoio também foi verificada, observando que
as mesmas têm grande influência no valor da carga crítica e nos modos críticos.
Quanto à análise não-linear, também partiu-se da dedução de um funcional
de energia. Entretanto, após deduzidas as suas equações diferenciais, verificou-se
que as mesmas são complexas de tal forma que não possuem solução analítica,
sendo necessária a utilização de métodos aproximados para que se obtenha a
solução deste tipo de problema. Para isso, foi adotado o método de Ritz, o qual,
com base nos resultados obtidos, provou ser bastante eficiente. Nesse método
usou-se como funções de interpolação as autofunções obtidas do problema de
autovalor que atendem todas as condições de contorno e continuidade. Isso
possibilitou se obter, com apenas um modo, uma aproximação de qualidade para o
caminho pós-crítico na vizinhança do ponto de bifurcação.
Nesta etapa do trabalho, estudou-se o comportamento pós-crítico da coluna,
sendo o seu trecho inicial comparado com resultados obtidos através do método
dos elementos finitos.
Observou-se que, em geral, a coluna apresenta uma bifurcação simétrica
estável. Entretanto, verificou-se que não há uma relação direta entre a rigidez e a
altura da fundação na rigidez pós-flambagem da coluna. Isso ocorre devido à
variação da energia associada a cada modo crítico.
102
6.1. Sugestões
Sobre os trabalhos a serem realizados futuramente envolvendo o assunto
abordado nesta Dissertação, podem ser feitas as seguintes sugestões:
� análise do comportamento do caminho pós-crítico para maiores
deflexões, através da utilização do programa de elementos finitos e
implementação de modelos de fundações não-lineares neste mesmo
programa, permitindo uma validação da formulação aqui utilizada;
� análise do comportamento não-linear da coluna, quando submetida a
diversas imperfeições;
� execução de trabalhos experimentais, objetivando-se a descoberta de
novos modelos que melhor caracterizem o comportamento do solo. Pode-se,
por exemplo, buscar um modelo que leve em conta o atrito causado pelo
contato na interface solo-coluna;
� estudo do contato unilateral de colunas sob fundação não-linear.
7. Referências Bibliográficas
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com Restrições Unilaterais de Contato. Tese de Doutorado – PUC-Rio, Rio de
Janeiro.
105
8. Apêndices
8.1. Introdução
Nos apêndices a seguir encontram-se exemplos dos programas utilizados ao
longo desta Dissertação, desenvolvidos com o programa de álgebra simbólica
MAPLE.
Os programas apresentados a seguir referem-se à coluna bi-apoiada, com
fundação até a metade da sua altura total e coeficiente de rigidez linear K = 100,
conforme representado na Figura 8.1.
Figura 8.1: Situação analisada nos apêndices.
No Apêndice B, é mostrado o programa no qual a função de aproximação
utilizada possui 8 termos.
8.2. Apêndice A
Programa para o Cálculo das Cargas Críticas e Modos Críticos
>restart: >with(DEtools): with(LinearAlgebra): >Digits:=28: Equação diferencial do trecho sem fundação: >eq1:=diff(w1(x),x,x,x,x)+(lambda^2*Pi^2*diff(w1(x),x,x))=0: >sol1:=dsolve(eq1):
106
>w[1]:=rhs(sol1): >w[1,x]:=diff(w[1],x): >w[1,xx]:=diff(w[1],x,x): >w[1,xxx]:=diff(w[1],x,x,x): Equação diferencial do trecho com fundação: >eq2:=diff(w2(x),x,x,x,x)+(lambda^2*Pi^2*diff(w2(x),x,x))+(K*w2(x))=0: >sol2[inicial]:=dsolve(eq2): >sol2a:=subs(_C1=_C5,_C2=_C6,_C3=_C7,_C4=_C8,sol2[inicial]): > sol2:=rhs(sol2a): >w[2]:=sol2: >w[2,x]:=diff(w[2],x): >w[2,xx]:=diff(w[2],x,x): >w[2,xxx]:=diff(w[2],x,x,x): Condições de contorno definidas pelos apoios: >exp1:=eval(w[1],x=1/2): >exp2:=eval(w[1,xx],x=1/2): >exp3:=eval(w[2],x=0): >exp4:=eval(w[2,xx],x=0): Condições de continuidade: >w[1,x=0]:=eval(w[1],x=0): >w[2,x=a]:=eval(w[2],x=1/2): >w[1,x_x=0]:=eval(w[1,x],x=0): >w[2,x_x=a]:=eval(w[2,x],x=1/2): >w[1,xx_x=0]:=eval(w[1,xx],x=0): >w[2,xx_x=a]:=eval(w[2,xx],x=1/2): >w[1,xxx_x=0]:=eval(w[1,xxx],x=0): >w[2,xxx_x=a]:=eval(w[2,xxx],x=1/2): >exp5:=w[1,x=0]-w[2,x=a]: >exp6:=w[1,x_x=0]-w[2,x_x=a]: >exp7:=w[1,xx_x=0]-w[2,xx_x=a]: >exp8:=w[1,xxx_x=0]-w[2,xxx_x=a]: Solução trivial: >solve({exp1,exp2,exp3,exp4,exp5,exp6,exp7,exp8},{_C1,_C2,_C3,_C4,_C5,_C6,_C7,_C8}): Cálculo dos elementos da matriz dos coeficientes: >a11:=coeff(exp1,_C1): >a21:=coeff(exp2,_C1): >a31:=coeff(exp3,_C1): >a41:=coeff(exp4,_C1): >a51:=coeff(exp5,_C1): >a61:=coeff(exp6,_C1): >a71:=coeff(exp7,_C1): >a81:=coeff(exp8,_C1): >a12:=coeff(exp1,_C2): >a22:=coeff(exp2,_C2): >a32:=coeff(exp3,_C2): >a42:=coeff(exp4,_C2): >a52:=coeff(exp5,_C2): >a62:=coeff(exp6,_C2): >a72:=coeff(exp7,_C2): >a82:=coeff(exp8,_C2):
107
>a13:=coeff(exp1,_C3): >a23:=coeff(exp2,_C3): >a33:=coeff(exp3,_C3): >a43:=coeff(exp4,_C3): >a53:=coeff(exp5,_C3): >a63:=coeff(exp6,_C3): >a73:=coeff(exp7,_C3): >a83:=coeff(exp8,_C3): >a14:=coeff(exp1,_C4): >a24:=coeff(exp2,_C4): >a34:=coeff(exp3,_C4): >a44:=coeff(exp4,_C4): >a54:=coeff(exp5,_C4): >a64:=coeff(exp6,_C4): >a74:=coeff(exp7,_C4): >a84:=coeff(exp8,_C4): >a15:=coeff(exp1,_C5): >a25:=coeff(exp2,_C5): >a35:=coeff(exp3,_C5): >a45:=coeff(exp4,_C5): >a55:=coeff(exp5,_C5): >a65:=coeff(exp6,_C5): >a75:=coeff(exp7,_C5): >a85:=coeff(exp8,_C5): >a16:=coeff(exp1,_C6): >a26:=coeff(exp2,_C6): >a36:=coeff(exp3,_C6): >a46:=coeff(exp4,_C6): >a56:=coeff(exp5,_C6): >a66:=coeff(exp6,_C6): >a76:=coeff(exp7,_C6): >a86:=coeff(exp8,_C6): >a17:=coeff(exp1,_C7): >a27:=coeff(exp2,_C7): >a37:=coeff(exp3,_C7): >a47:=coeff(exp4,_C7): >a57:=coeff(exp5,_C7): >a67:=coeff(exp6,_C7): >a77:=coeff(exp7,_C7): >a87:=coeff(exp8,_C7): >a18:=coeff(exp1,_C8): >a28:=coeff(exp2,_C8): >a38:=coeff(exp3,_C8): >a48:=coeff(exp4,_C8): >a58:=coeff(exp5,_C8): >a68:=coeff(exp6,_C8): >a78:=coeff(exp7,_C8): >a88:=coeff(exp8,_C8):
108
Montagem da matriz dos coeficientes: >A:=Matrix([[a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18],[a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28],[a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38],[a41,a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48],[a51,a52,a53,a54,a55,a56,a57,a58],[a61,a62,a63,a64,a65,a66,a67,a68],[a71,a72,a73,a74,a75,a76,a77,a78],[a81,a82,a83,a84,a85,a86,a87,a88]]): >det:=Determinant(A): >K:=100: Plotagem do gráfico do determinante (determinante x lambda): >plot(Re(det),lambda=0..5.0,y=-1..1): Definição do intervalo de variação de lambda para observação do ponto onde ocorre troca de sinal (repetir este procedimento até que o determinante atinja a ordem de cinco casas decimais): >for lambda from 1.2 by 0.1 to 1.4 do determ[lambda]:=print(simplify(det)) end do: Definição do valor obtido para a primeira carga crítica: >lambda:=1.222755491: Cálculo dos novos elementos da matriz dos coeficientes: >b11:=simplify(a11): >b12:=simplify(a12): >b13:=simplify(a13): >b14:=simplify(a14): >b15:=simplify(a15): >b16:=simplify(a16): >b17:=simplify(a17): >b18:=simplify(a18): >b21:=simplify(a21): >b22:=simplify(a22): >b23:=simplify(a23): >b24:=simplify(a24): >b25:=simplify(a25): >b26:=simplify(a26): >b27:=simplify(a27): >b28:=simplify(a28): >b31:=simplify(a31): >b32:=simplify(a32): >b33:=simplify(a33): >b34:=simplify(a34): >b35:=simplify(a35): >b36:=simplify(a36): >b37:=simplify(a37): >b38:=simplify(a38): >b41:=simplify(a41): >b42:=simplify(a42): >b43:=simplify(a43): >b44:=simplify(a44): >b45:=simplify(a45): >b46:=simplify(a46): >b47:=simplify(a47): >b48:=simplify(a48): >b51:=simplify(a51): >b52:=simplify(a52):
109
>b53:=simplify(a53): >b54:=simplify(a54): >b55:=simplify(a55): >b56:=simplify(a56): >b57:=simplify(a57): >b58:=simplify(a58): >b61:=simplify(a61): >b62:=simplify(a62): >b63:=simplify(a63): >b64:=simplify(a64): >b65:=simplify(a65): >b66:=simplify(a66): >b67:=simplify(a67): >b68:=simplify(a68): >b71:=simplify(a71): >b72:=simplify(a72): >b73:=simplify(a73): >b74:=simplify(a74): >b75:=simplify(a75): >b76:=simplify(a76): >b77:=simplify(a77): >b78:=simplify(a78): >b81:=simplify(a81): >b82:=simplify(a82): >b83:=simplify(a83): >b84:=simplify(a84): >b85:=simplify(a85): >b86:=simplify(a86): >b87:=simplify(a87): >b88:=simplify(a88): Montagem da nova matriz dos coeficientes: >B:=Matrix([[b11,b12,b13,b14,b15,b16,b17,b18],[b21,b22,b23,b24,b25,b26,b27,b28],[b31,b32,b33,b34,b35,b36,b37,b38],[b41,b42,b43,b44,b45,b46,b47,b48],[b51,b52,b53,b54,b55,b56,b57,b58],[b61,b62,b63,b64,b65,b66,b67,b68],[b71,b72,b73,b74,b75,b76,b77,b78],[b81,b82,b83,b84,b85,b86,b87,b88]]): Redução de ordem da matriz B através da eliminação da sua terceira coluna e última linha: >W:=Matrix([[b11,b12,b14,b15,b16,b17,b18],[b21,b22,b24,b25,b26,b27,b28],[b31,b32,b34,b35,b36,b37,b38],[b41,b42,b44,b45,b46,b47,b48],[b51,b52,b54,b55,b56,b57,b58],[b61,b62,b64,b65,b66,b67,b68],[b71,b72,b74,b75,b76,b77,b78]]): >V:=Vector([_C1,_C2,_C4,_C5,_C6,_C7,_C8]): Montagem do sistema matricial: >Q:=W.V: Vetor correspondente à coluna eliminada da matriz B sem o elemento da sua última linha: >R:=Vector([-b13,-b23,-b33,-b43,-b53,-b63,-b73]): Resolução do sistema matricial: >sols:=solve({Q[1]=R[1], Q[2]=R[2], Q[3]=R[3], Q[4]=R[4], Q[5]=R[5], Q[6]=R[6], Q[7]=R[7]}, {_C1,_C2,_C4,_C5,_C6,_C7,_C8}): >sols[1]:
110
>sols[2]: >sols[3]: >sols[4]: >sols[5]: >sols[6]: >sols[7]: >V:=subs(sols[1],sols[2],sols[3],sols[4],sols[5],sols[6],sols[7],V): Cálculo da amplitude normalizada dos elementos do vetor das constantes: >ampnorm:=sqrt(((V[1])^2)+((V[2])^2)+((V[3])^2)+((V[4])^2)+((V[5])^2)+((V[6])^2)+((V[7])^2)+1): >Vnorm:=V/ampnorm: >C3:=1/ampnorm: Montagem do vetor normalizado das constantes: >C:=Vector([Re(Vnorm[1]),Re(Vnorm[2]),Re(C3),Re(Vnorm[3]),Vnorm[4],Vnorm[5],Vnorm[6],Vnorm[7]]): >ee1:=_C1=C[1]: >ee2:=_C2=C[2]: >ee3:=_C3=C[3]: >ee4:=_C4=C[4]: >ee5:=_C5=C[5]: >ee6:=_C6=C[6]: >ee7:=_C7=C[7]: >ee8:=_C8=C[8]: >w[1]: >w[2]: Autofunção w1(x) após a substituição das constantes: >w[1]:=subs(ee1,ee2,ee3,ee4,ee5,ee6,ee7,ee8,w[1]): Autofunção w2(x) após a substituição das constantes: >w[2]:=subs(ee1,ee2,ee3,ee4,ee5,ee6,ee7,ee8,w[2]): Plotagem dos gráficos das funções w1(x) e w2(x): >with(plottools):plot([w[1],x,x=0..0.5]):plot([w[2],x,x=0..0.5]): Comandos para exportação dos dados dos gráficos das funções w1(x) e w2(x): Para o gráfico de w1(x): >inf:=0: >inter:=0.01: >sup:=0.5: >cont:=0: for x from inf by inter to sup do cont:=cont+1 end do: cont: >W1:=array(1..cont): >X:=array(1..cont): >cont:=0: >fd:=fopen("u:\\saidaw1.dat",WRITE,BINARY): >for x from inf by inter to sup do cont:=cont+1: X[cont]:=x; W1[cont]:=simplify(w[1]): fprintf(fd,"%f , %f \n",X[cont],W1[cont]): end do: > fclose(fd):
111
Para o gráfico de w2(x): >inf:=0: >inter:=0.01: >sup:=0.5: >cont:=0: for x from inf by inter to sup do cont:=cont+1 end do: cont: >W2:=array(1..cont): >X:=array(1..cont): >cont:=0: >fd := fopen("u:\\saidaw2.dat",WRITE,BINARY): >for x from inf by inter to sup do cont:=cont+1: X[cont]:=x; W2[cont]:=simplify(w[2]): fprintf(fd,"%f , %f \n",X[cont],Re(W2[cont])): end do: >fclose(fd): 8.3. Apêndice B
Programa para o Cálculo das Cargas Críticas através do Método Aproximado de Ritz
>restart; >with(DEtools):with(LinearAlgebra): >Digits:=16: Função aproximada para os deslocamentos transversais: >w(x):=A1*sin(Pi*x)+A2*sin(2*Pi*x)+A3*sin(3*Pi*x)+A4*sin(4*Pi*x)+A5*sin(5*Pi*x)+A6*sin(6*Pi*x)+A7*sin(7*Pi*x)+A8*sin(8*Pi*x): Equação parametrizada de energia: >eq:=int((diff(w(x),x,x)^2)-(lambda^2*Pi^2)*(diff(w(x),x)^2),x=0..1)+int(K*w(x)^2,x=0..1/2): Equações de equilíbrio: >deq1:=diff(eq,A1): >deq2:=diff(eq,A2): >deq3:=diff(eq,A3): >deq4:=diff(eq,A4): >deq5:=diff(eq,A5): >deq6:=diff(eq,A6): >deq7:=diff(eq,A7): >deq8:=diff(eq,A8): Solução trivial do sistema: >solve({deq1,deq2,deq3,deq4,deq5,deq6,deq7,deq8},{A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8}): Cálculo dos elementos da matriz dos coeficientes: >a11:=coeff(deq1,A1): >a12:=coeff(deq1,A2): >a13:=coeff(deq1,A3): >a14:=coeff(deq1,A4):
112
>a15:=coeff(deq1,A5): >a16:=coeff(deq1,A6): >a17:=coeff(deq1,A7): >a18:=coeff(deq1,A8): >a21:=coeff(deq2,A1): >a22:=coeff(deq2,A2): >a23:=coeff(deq2,A3): >a24:=coeff(deq2,A4): >a25:=coeff(deq2,A5): >a26:=coeff(deq2,A6): >a27:=coeff(deq2,A7): >a28:=coeff(deq2,A8): >a31:=coeff(deq3,A1): >a32:=coeff(deq3,A2): >a33:=coeff(deq3,A3): >a34:=coeff(deq3,A4): >a35:=coeff(deq3,A5): >a36:=coeff(deq3,A6): >a37:=coeff(deq3,A7): >a38:=coeff(deq3,A8): >a41:=coeff(deq4,A1): >a42:=coeff(deq4,A2): >a43:=coeff(deq4,A3): >a44:=coeff(deq4,A4): >a45:=coeff(deq4,A5): >a46:=coeff(deq4,A6): >a47:=coeff(deq4,A7): >a48:=coeff(deq4,A8): >a51:=coeff(deq5,A1): >a52:=coeff(deq5,A2): >a53:=coeff(deq5,A3): >a54:=coeff(deq5,A4): >a55:=coeff(deq5,A5): >a56:=coeff(deq5,A6): >a57:=coeff(deq5,A7): >a58:=coeff(deq5,A8): >a61:=coeff(deq6,A1): >a62:=coeff(deq6,A2): >a63:=coeff(deq6,A3): >a64:=coeff(deq6,A4): >a65:=coeff(deq6,A5): >a66:=coeff(deq6,A6): >a67:=coeff(deq6,A7): >a68:=coeff(deq6,A8): >a71:=coeff(deq7,A1): >a72:=coeff(deq7,A2): >a73:=coeff(deq7,A3): >a74:=coeff(deq7,A4): >a75:=coeff(deq7,A5): >a76:=coeff(deq7,A6): >a77:=coeff(deq7,A7): >a78:=coeff(deq7,A8): >a81:=coeff(deq8,A1): >a82:=coeff(deq8,A2): >a83:=coeff(deq8,A3): >a84:=coeff(deq8,A4):
113
>a85:=coeff(deq8,A5): >a86:=coeff(deq8,A6): >a87:=coeff(deq8,A7): >a88:=coeff(deq8,A8): Montagem da matriz dos coeficientes: >A:=Matrix([[a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18],[a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28],[a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38],[a41,a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48],[a51,a52,a53,a54,a55,a56,a57,a58],[a61,a62,a63,a64,a65,a66,a67,a68],[a71,a72,a73,a74,a75,a76,a77,a78],[a81,a82,a83,a84,a85,a86,a87,a88]]): Cálculo do determinante da matriz dos coeficientes: >det:=Determinant(A): Definição do valor de K: >K:=100: Plotagem do gráfico do determinante em função de lambda: >plot(det,lambda=0..3): Cálculo dos "zeros" da equação do determinante, ou seja, os valores de lambda crítico: >sols:=fsolve(det,lambda=0..3): 8.4. Apêndice C
Programa para a Determinação do Caminho Pós-Crítico pelo Método de Ritz
>restart: >with(DEtools):with(LinearAlgebra): >Digits:=28: Equação não-linear de energia: >eq:=(1/2)*(int((diff(w1(x),`$`(x,2))^2+diff(w1(x),`$`(x,2))^2*diff(w1(x),x)^2+1/4*diff(w1(x),`$`(x,2))^2*diff(w1(x),x)^4)-(lambda^2*Pi^2)*(diff(w1(x),x)^2+1/4*diff(w1(x),x)^4),x=0..1/2)+(int((diff(w2(x),`$`(x,2))^2+diff(w2(x),`$`(x,2))^2*diff(w2(x),x)^2+1/4*diff(w2(x),`$`(x,2))^2*diff(w2(x),x)^4)-(lambda^2*Pi^2)*(diff(w2(x),x)^2+1/4*diff(w2(x),x)^4),x=0..1/2)+int(K*w2(x)^2,x=0..1/2))): >K:=100: Soluções analíticas do primeiro modo para os dois trechos da coluna, multiplicadas pela deformação máxima, eta: >w1(x):=eta*(.3477919632084519324259548976-.6955839264169038648519097952*x+.2552517158943698746690828252*sin(1.222755491*Pi*x)+.6994747110113814273054096696*cos(1.222755491*Pi*x)): >w2ssimp(x):=eta*((-.9372549613267057111867346126e-1-.2204271039792308380897392562*I)*exp(-1/2*(-2.990261981541302162*Pi^2-2*(2.235416679562828727954103469*Pi^4-400)^(1/2))^(1/2)*x)+(.9372549613267057111867346126e-1+.2204271039792308380897392562*I)*exp(1/2*(-2.990261981541302162*Pi^2-2*(2.235416679562828727954103469*Pi^4-400)^(1/2))^(1/2)*x)+(-.9372549613267057111867346126e-1+.2204271039792308380897392562*I)*exp(-1/2*(-
114
2.990261981541302162*Pi^2+2*(2.235416679562828727954103469*Pi^4-400)^(1/2))^(1/2)*x)+(.9372549613267057111867346126e-1-.2204271039792308380897392562*I)*exp(1/2*(-2.990261981541302162*Pi^2+2*(2.235416679562828727954103469*Pi^4-400)^(1/2))^(1/2)*x)): >w2(x):=simplify(w2ssimp(x)): Parte da equação da energia correspondente ao trecho sem fundação, sem as integrais (apenas o integrando): >eq1:=(1/2)*((diff(w1(x),`$`(x,2))^2+diff(w1(x),`$`(x,2))^2*diff(w1(x),x)^2+1/4*diff(w1(x),`$`(x,2))^2*diff(w1(x),x)^4)-(lambda^2*Pi^2)*(diff(w1(x),x)^2+1/4*diff(w1(x),x)^4)): Parte da equação da energia correspondente ao trecho com fundação, sem as integrais (apenas o integrando): >eq2:=(1/2)*((diff(w2(x),`$`(x,2))^2+diff(w2(x),`$`(x,2))^2*diff(w2(x),x)^2+1/4*diff(w2(x),`$`(x,2))^2*diff(w2(x),x)^4)-(lambda^2*Pi^2)*(diff(w2(x),x)^2+1/4*diff(w2(x),x)^4)): >eq3:=(1/2)*(K*w2(x)^2): Integração das equações nos limites correspondentes: >result1:=evalf(int(eq1,x=0..1/2)): >result2:=evalf(int(eq2,x=0..1/2)): >result3:=evalf(int(eq3,x=0..1/2)): Soma das expressões resultantes das integrações parciais da equação de energia: >result:=result1+result2+result3: Diferenciação da equação de energia com relação à constante eta: >deq:=diff(result,eta)=0: Obtenção das soluções da equação: >sols:=solve(deq): Equação do caminho pós-crítico obtida no passo anterior, com a exclusão dos eventuais termos imaginários: >lambda:=10./(.7493603222425851246429222776e61+.3103995191846389273196978993e62*eta^2)*(-1.*(.7493603222425851246429222776e59+.3103995191846389273196978993e60*eta^2)*(-.4292742585478404914157583436e62*eta^2-.9307860685020762120352519378e62*eta^4-.1120391842219411467898222441e62))^(1/2): Carga crítica já obtida anteriormente: >lcr:=1.222755491: Plotagem do gráfico do caminho pós-crítico: >plot([lambda/lcr],eta=-0..0.5): Exportação dos dados do gráfico do caminho pós-crítico: >inf:=0: >inter:=0.0002: >sup:=0.2: >cont:=0: for eta from inf by inter to sup do cont:=cont+1 end do: cont: >L:=array(1..cont): >ETA:=array(1..cont): >cont:=0: >fd := fopen("u:\\camposcr.dat",WRITE,BINARY): >for eta from inf by inter to sup do cont:=cont+1:
115
ETA[cont]:=eta; L[cont]:=simplify(lambda): fprintf(fd,"%f , %.7f \n",ETA[cont],L[cont]): end do: >fclose(fd);
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