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INTRODUCCION
La presente Gua de Ejercicios y Problemas de Matemtica I para el estudiante
representa uno de los objetivos de mejora continua que la Coordinacin Acadmica yel rea de Matemtica vienen realizando en cada semestre acadmico. Su
elaboracin est decididamente orientada a incrementar la calidad del proceso de
enseanza-aprendizaje de la Asignatura de Matemtica I, en la Unidad Acadmica de
Estudios Generales.
Esta Gua que se presenta, contiene ejercicios y problemas de aplicacin de
cada una de las sesiones de aprendizaje que se realizarn en el presente semestre
acadmico 2010 - II, por lo que est dividida en cuatro unidades, de acuerdo al silabo
correspondiente. Estas unidades son: Lgica matemtica y conjuntos, los nmeros
reales, funciones, tpicos de geometra analtica y aplicaciones de la programacin
lineal.
Es nuestra intencin y propsito, que la presente gua sea en un instrumento
bsico de trabajo para el estudiante y que contribuya a la formacin profesional y
acadmica de cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la
Asignatura de Matemtica I, as como tambin el de mejorar los procesos de
enseanza aprendizaje.
La Coordinacin del rea de Matemtica
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 2
SEMANA 1
LGICA MATEMTICA
1. ENUNCIADO. Es toda oracin o frase que exprese alguna idea, a travs de
afirmaciones, negaciones, preguntas, rdenes, saludos, emociones, etc.
2. ENUNCIADO ABIERTO. Es aquel enunciado que contiene variables o letras, pero no
tiene la propiedad de ser verdadero o falso.
3. PROPOSICIN LGICA. Una proposicin es un enunciado cuya propiedad
fundamental es la de ser verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas a la vez. Por tanto
no puede ser ambigua.
Una proposicin se representa simblicamente por letras minsculas tales como: p, q,
r, s, llamadas variables proposicionales.
4. VALOR DE VERDAD. Si p es una proposicin, su valor de verdad se denota con V(p)
y escribimos:
V(p) = V si el valor de p es verdadero y
V(p) = F si el valor de p es falso.
5. PROPOSICIN SIMPLE. Es aquella proposicin lgica que consta de un solo sujeto y
un predicado. Se llaman variables proposicionales.
6. PROPOSICIN COMPUESTA. Es aquella proposicin lgica compuesta de dos o ms
proposiciones simples.
7. OPERADORES LGICOS. Son signos que representan palabras y que son usadospara relacionar proposiciones. Tenemos:
- Conjuncin
- Disyuncin dbil o inclusiva
- Disyuncin fuerte o exclusiva
- Condicional
- Bicondicional
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ESTUDIOS GENERALES 3
- Negacin ~
8. TABLAS DE VERDAD.
9. SIGNOS DE AGRUPACIN. Los signos de agrupacin ( ) [ ] { }, , se usan en lgica
cuando se trata de obtener esquemas lgicos ms complejos. Otra finalidad de estossignos es darle mayor o menor jerarqua a los operadores.
10. FRMULA LGICA. Es una combinacin de variables proposicionales y operadores
lgicos. Se evala mediante tablas de verdad.
Las frmulas lgicas o esquemas moleculares, se evalan mediante tablas de valoresde verdad, el nmero de valores de verdad queda determinado por 2n , donde n es elnmero de proposiciones.
Si al evaluar una frmula lgica resulta que todos los valores de verdad de su operadorprincipal son verdaderos, entonces se tiene una TAUTOLOGA.
Si todos estos valores son falsos, es una CONTRADICCIN.
Si es una combinacin entre valores verdaderos y falsos, entonces se tiene unaCONTINGENCIA
CONJUNCIN
P Q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
DISYUNCINDBIL
p Q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
DISYUNCINFUERTE
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
CONDICIONAL
P Q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
BICONDICIONAL
p Q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
NEGACIN
p ~ p
V
F
F
V
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 4
EJERCICIOS
I. De las siguientes expresiones, indicar cules son proposiciones lgicas, justificar.
1. Hace calor!2. Todo nmero entero es negativo
3. Silencio!
4. 4 2 5x <
5. Viajo el fin de semana.
6. Las rosas son hermosas.
7. El verano es una estacin playera.
8. 8 4 6x +
9. El nmero 333 es divisible por 3.
10. 3 8 1 2 3+ = + +
11. Qu edad tienes?
12. Viva el Per!
13. Prohibido fumar
14. 3 1 7 2x x+
15. 3 4 10x y+ =
16. 6 es un nmero primo o 3 en un nmero impar.
II. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
1. O Alan Garca es el Presidente del Per o es el Presidente del Congreso.
2. Lima es la Ciudad de los Virreyes y Arequipa es la Ciudad Blanca.
3. 10 es mltiplo de 3 y 30 es divisor de 600
4. Noviembre tiene treinta das.
5. El da tiene 24 horas y una hora tiene 60 minutos.
6. ( )2 2 20.25 0.5 9 3 2 3 5 = = + =
7. ( ) ( ) ( )2 2 2 2 225 5 25 12 13 8 6 11 = = =
8. ( )23 21 3 5 12 3 3
3 2 6 8
+ = > =
9. ( )2 21
5 7 5 3 7 2 0.425
< = =
10. ( )2 2 20.36 0.6 4 2 5 3 4 = = =
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 5
11. ( ) ( ) ( )2 2 2 016 4 6 30 3 3 5 3 = = =
12. ( ) ( ) ( ) ( )22 0 1 2 249 7 2 0 x y x y = = + = +
13. ( )2 2
(5 1 6 10) 2 4+ = <
14. ( )53
41 22 5 1
3 22
4
+
+ = = +
15. ( ) ( ) ( )3 2 245 67 34 4 30 23 5 4 3 > = =
III. Establecer la tautologa, la contradiccin y la contingencia de las siguientesproposiciones:
1. ( ) ( ) ( )~p q p q p q
2. ( ) ( ) ( )~ ~ ~ ~p q p q p q
3. ( ) ( )~ ~ ~p q p r
4. ( ) ( ) ( )~p q p r q p
5. ( ) ( )~ ~p q p q
6. ( ) ( ) ( )p p q r p r
7. ( ) ( ) ( ){~ p p q r p r
8. ( ) ( )~ ~ ~ ~p q r r p q
9. ( ) ( )~ ~ ~ ~p q r p q r
10. ( ) ( )~ ~ ~ ~p r p q r
11. ( ) ( ) ( ){ }~p V q V p q p
12. ( ) ( ) ( ){ }~ ~p q p q p q V
13. ( ) ( ){ }~ ~ ~p q V V p V V V
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 6
14. ( ) ( )~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~p q p p q
IV. De la falsedad de ( ) ( )~ ~p q r s deduzca el valor de verdad de:
1. ( ) ( )~ ~ ~p q q p
2. ( ) ( )~ ~r q q q r s
3. ( ) ( )~r s q p s
V. Si ( ) ( ) ( )~ ~ ~ ~p r q s r s es verdadero, determine el valor de verdad
de:
1. ( ) ( ) ( )~p q q p r s
2. ( ) ( ) ( )~ ~q r s q p r
3. ( ) ( )q V p q F
VI. Si ( ) ( )p q q r es falso, determinar el valor de:
1. ( ) ( )~ ~ ~ ~p q r p r p
2. ( ) ( )~ ~w t x p q
3. ( ) ( )p F q V
VII. Si el esquema ( ) ( ) ( )p q r s p s es falso, hallar el valor de:
1. ( ) ( )~ ~ ~p q s p r s
2. ( ) ( )~ ~w t p p q u
3. ( ) ( ) ( )~p q q p p q
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 7
CUANTIFICADORES
FUNCIN PROPOSICIONAL. La funcin proposicional es un enunciado abierto de la forma( )P x , es decir, se trata de una expresin que contiene alguna variable que al ser sustituida
por un valor particular se convierte en proposicin.
Por ejemplo:
2( ) : 3 10P x x + > es un enunciado abierto
2(2) : 2 3 10P + > es una proposicin falsa
2
(3) : 3 3 10P + > es una proposicin verdadera
CUANTIFICADORES. Los cuantificadores sirven para transformar un enunciado abierto ofuncin proposicional en una proposicin para lo cual su misin es indicar cuntos
elementos de un conjunto dado, cumplen con cierta funcin proposicional.
1. CUANTIFICADOR UNIVERSAL. Representado por se emplea para afirmar quetodos los elementos de un conjunto cumplen con determinada funcin proposicional.
Notacin:
Ax
:, se lee: Para todo x que pertenece al conjunto A se cumple que
2. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL. Representado por , se usa para indicar que al
menos un elemento de un conjunto cumple con determinada funcin proposicional.Notacin: Ax /, se lee: Existe algn x que pertenece al conjunto A tal que se
cumple que
NEGACIN DE LOS CUANTIFICADORES.
[ ] :)(/~ AxxpAx ( )~ p x la negacin de un existencial da un universal
[ ] /)(:~ AxxpAx ( )~ p x la negacin de un universal da un existencial
NOTA.
En general, la proposicin universal ( ):x A P x es verdadera si la propiedad ( )P x lo es,
es decir, si cumple con cada uno de los elementos de A y es falso si hay al menos unelemento de A que no cumple la propiedad ( )P x .
En general, la proposicin existencial : ( )x A P x es verdadera si en A hay al menos un
elemento x que cumple ( )P x y es falsa si ningn elemento de A cumple con ( )P x , estoes, todo elemento de A no cumple ( )P x .
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ESTUDIOS GENERALES 8
EJERCICIOS
I. Dado el conjunto { 3, 2, 1, 0,1, 2, 3}A = . Determine el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
1) AxAx + 5/ 2) 2: 5 6 0x A x x =
3) x B /4
82
x 4) x B / 2 10 2x
5) x B : 4 61
x
x
=
+6) x A : 2 4 5x +
II. Consideremos el conjunto: { }/ 4 7A x x= < 2) x A / 4 2 12x + =
3) x A : 3 2 6x + 4) x A / 55
23>
x
5) x A / 72
13>
x6) x A : 34 5 6x >
7) x A / 2 3 13x > 8) x A : 3 9 24x
9) x A / 5
5
2>
x10) x A / 2( 8)( 1) 0x x+ + =
III. Dado el conjunto { 2, 1, 0,1, 3, 4, 5, 7}B = . Negar cada un de las siguientesproposiciones y dar su valor de verdad:
1) x B : 2 5 16x + > 2) x B : 2 3 26x =
3) x B / 5 1 38x + = 4) x B : 4 1 55
x +<
5) x B / 102 3
2
x>
6) x B / 2 2 45x
7) x B : 4 2 30x 8) x B / 5 3 10x +
9) x B : 2 24
x
x
=
10) x B / ( 6)( 9) 0x x + =
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ESTUDIOS GENERALES 9
SEMANA 2
CONJUNTOS
Agrupaciones?, para qu?
En la vida diaria y en la vida profesional, nos encontramos ante situaciones en las cuales demanera natural agrupamos objetos, personas, proyectos, etc., que tienen alguna cualidad encomn. Por ejemplo los compaeros de la escuela, las enfermedades del corazn,estudiantes de matemtica, entre otros. Nos hacemos preguntas respecto a estas
agrupaciones y sus componentes, por eso la matemtica se encarga de estudiarlas y esteestudio es conocido como Teora de Conjuntos.
1. IDEA INTUITIVA DE CONJUNTO. De manera intuitiva diremos que un conjunto es una
coleccin bien definida de objetos. A cada uno de estos objetos le denominamoselemento del conjunto. Un conjunto se denota por una letra mayscula, sus elementosse encierran entre llaves y se separan por comas cuando el conjunto esta expresado
por extensin.
2. DETERMINACIN DE CONJUNTOS.
2.1. POR EXTENSIN. Aqu se listan todos los elementos del conjunto. Esta lista deelementos la escribimos entre llaves.
2.2. POR COMPRENSIN. Aqu se escribe una propiedad que cumplen todos loselementos que estn en el conjunto.
3. RELACIN DE PERTENENCIA. Cuando un elemento se encuentra en un conjunto sedice que este elemento pertenece al conjunto y se denota por pertenece.
4. SUBCONJUNTO. Es aquel que forma parte de otro. Se denota por y se lee es
subconjunto de est contenido en. Un conjunto A es subconjunto de B si y slo sicada elemento de A tambin es elemento de B y se denota por A B .
El conjunto vaco es subconjunto de todo conjunto A.
5. DIAGRAMA DE VENN-EULER. Son grficos que nos ayudan a ilustrar algunas ideas.En el caso de la teora de conjuntos se usan diagramas de Venn-Euler. Se usangeneralmente crculos para graficar los conjuntos y un rectngulo para el conjuntouniversal.
6. CARDINAL DE UN CONJUNTO. Es la cantidad o nmero de elementos de un conjuntoy se denota por ( )n A .
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ESTUDIOS GENERALES 10
7. CONJUNTOS ESPECIALES.
7.1. CONJUNTO UNIVERSAL. Es aquel formado por todos los elementos con loscuales estamos trabajando en un problema particular. Se denota por U . Es
muy importante establecer el conjunto universal, ya que eso determinar nuestromarco de referencia.
7.2. CONJUNTO VACO. Es aquel que carece de elementos. Se denota por { .
7.3. CONJUNTOS DISJUNTOS. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en
comn.
7.4. CONJUNTO UNITARIO. Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
7.5. CONJUNTO POTENCIA. El conjunto potencia de un conjunto A , es el conjunto
formado por todos los subconjuntos de A . Se denota por ( )P A y el nmero deelementos de ( ) 2nP A = , donde n es el nmero de elementos de A .
7.6. CONJUNTO FINITO. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es limitada.
7.7. CONJUNTO INFINITO. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es ilimitada.
Por ejemplo el conjunto de nmeros reales.
EJERCICIOS:
I. Expresar por extensin los siguientes conjuntos:
1. ( ){ }2/ 1 ; ; 1 4A x x n n n= =
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ESTUDIOS GENERALES 11
II. Resolver:
1. Si { }/ 1 5A x x= < . Determinar ( )P A .
2. Si { }/ 0 4A x x= . Determinar ( )P A .
3. Cules de las siguientes afirmaciones son falsas:
a) { }0 = b) { } { }0 =
c) { } = d) { }{ }
4. Dado el conjunto { }{ }3,4, 6 ,8A = , colocar verdadero o falso, segn corresponda:
a) { }3 A b) { }4 A c) 8 A
d) { }3,8 A e) A f) { }{ }6 A
g) { } A h) { }6 A i) { }6 A
5. Cules de los siguientes conjuntos son vacos:
a) { }/A x x= b) { }3/ 3B x x= =
c) ( ){ }/ 1/C x x= d) { }2/ 4 0D x x= + =
6. Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) { }/ 6 7A x x= <
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ESTUDIOS GENERALES 12
SEMANA 3
OPERACIONES CON CONJUNTOS.
1. UNIN. Dado dos conjunto A y B, la unin de A y B se define como:
{ }/A B x x A x B =
Siempre se cumple que A A =
2. INTERSECCIN. Dado dos conjuntos A y B, la interseccin de A y B se define como:
{ }/A B x x A x B =
Dos conjuntos son disjuntos si A B = . Adems siempre se cumple que A = .
3. DIFERENCIA. Dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos A y B se definecomo:
{ }/A B x x A x B =
A BU
A BU
A BU
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 13
4. DIFERENCIA SIMTRICA. Dado dos conjuntos A y B, la diferencia simtrica de A y B sedefine como:
( ) ( ){ }/A B x x A B x B A =
5. COMPLEMENTO. Dado un conjunto A y el conjunto universal U, donde A U , sedefine el complemento de A como:
{ }/'A x x U x A=
Siempre se cumple que: 'U = y ' U = .
EJERCICIOS
I. Resolver:
1. Sean los conjuntos: { }/ 2 9U x x=
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 14
3. Sean los conjuntos ( )( ){ }* / 2 1 0A x x x x= + = ,
( ) ( ){ }2 2/ 1 4 0B x x x= = y U A B= , determine ( ) 'E A B=
4. Considerando { }/ 4 6U x x= < , { }/ 0 4A x x x=
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 15
8. En un aula de 25 alumnos deportistas hay: 16 alumnos que practican bsquet, 14ftbol y 11 tenis. 6 alumnos practican los tres deportes, 2 practican ftbol y bsquet
pero no tenis, 1 practica bsquet y tenis pero no ftbol, 3 practican slo tenis.Cuntos alumnos practican slo 1 deporte? .
9. De un total de 200 personas sobre su preferencia acerca de dos productos A y B, 50dijeron no consumir el producto A y 40 no consumir el producto B. Si 15 personasmanifestaron no consumir ninguno de ellos. Cuntos consumen los dos productos?
10. De un conjunto de 40 personas se tiene la siguiente informacin: 15 personas que noestudian ni trabajan, 10 personas que estudian y 3 personas que estudian y trabajan.Cuntas personas realizan una sola actividad? .
11. En una reunin hay 160 personas de los cuales se tiene la siguiente informacin: los
que toman son el triple de los que fuman, los que fuman y toman son 40 y los que no
fuman ni toman son 12. Cuntos solamente toman?.
12. En una encuesta realizada en 100 viviendas de un distrito se obtuvo que:
60 casas tenan aparatos de TV a color 30 casas tenan equipo de sonido 20 casas tenan DVD 21 casas tenan TV a color y equipo de sonido. 15 casas tenan TV a color y DVD 4 casas tenan equipo de sonido y DVD.
Cuntas casas, como mximo, no tenan estos aparatos?
13. Un grupo de alumnos de Administracin ha planeado realizar una investigacin
sobre las respuestas de los espectadores a ciertos aspectos de las pelculas A, B yC. Despus de encuestar a 50 personas se obtuvo la siguiente informacin: 20 hanvisto la pelcula A; 17 han visto la pelcula B; 23 han visto la pelcula C. 6 han vistolas pelculas A y B, 8 han visto las pelculas B y C, 10 han visto las pelculas A y C.Adems se sabe que 2 han visto las tres pelculas. Cuntas personas han visto
una sola pelcula?, Cuntas personas han visto al menos dos pelculas?
14. En un conjunto de 40 personas, hay algunos que estudian o trabajan y otras que ni
estudian ni trabajan. Si hay 15 personas que no estudian ni trabajan, 10 personasque estudian; 3 personas que estudian y trabajan. Cuntas personas sloestudian? , Cuntas personas slo realizan una actividad?
15. En una encuesta realizada a personas adultas de la regin norte del pas, conrespecto al gnero de cine que preferan, se obtuvo la siguiente informacin: 120prefieren la comedia; 100 prefieren el gnero policial; 50 les gusta el suspenso. 10prefieren los gneros policial y comedia; 16 prefieren comedia y suspenso ; 16prefieren suspenso y policial. 6 les agrada los tres gneros.
Si se entrevist a un total de 290 personas, Cuntos optan por uno slo de estos
gneros? , Cuntos slo prefieren la comedia?
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ESTUDIOS GENERALES 16
16. En un aula hay 72 alumnos que gustan de la msica rock o salsa. La cantidad de los
que gustan el rock es el quntuplo de los que slo gustan la salsa; la cantidad de los
que slo gustan el rock es el triple de los que gustan ambos gneros. Cuntos
alumnos slo gustan de un gnero?
17. Un grupo de 60 chef se presentaron a un Concurso de Cocina en las siguientesespecialidades: postres, cremas y pastas. Obtenindose como resultado que: 30ganaron en la especialidad de pastas. 25 ganaron en la especialidad de postres. 20
ganaron en la especialidad de cremas. 5 ganaron en pastas y postres pero no encremas. 7 ganaron en pastas y cremas. 1 gan en las tres especialidades. Ademsse sabe que el nmero de los que ganaron slo postres es la mitad de los queganaron la especialidad de pastas. Determine cuantos ganaron, al menos, en dos de
las especialidades.
18. Para obtener la licencia de conducir, hay que aprobar necesariamente 3 exmenes:el mdico, el de manejo y el de reglas de trnsito. En una evaluacin de 80 personas
que solicitaron la licencia de conducir, aprobaron el examen mdico 26, y son tantos
como los que aprobaron el examen de manejo, pero la mitad de los que aprobaron el
examen de reglas de transito. 12 aprobaron el examen mdico y el de manejo; 8
aprobaron el examen mdico y el de reglas, 10 aprobaron el examen de manejo y
reglas. Si ninguno pudo obtener su licencia para conducir (es decir, ninguno aprob
los tres exmenes), determine cuntos aprobaron slo uno de los exmenes.
19. De una encuesta realizada a 130 personas para establecer sus preferencias de lecturasde las Revistas Magaly TV, Gisela y Caretas, se obtiene el resultado siguiente: todos
leen alguna de las tres revistas, 75 leen Magaly TV , 15 leen Magaly TV y Gisela pero
no Caretas, 11 leen Gisela y Caretas pero no Magaly TV , 20 leen slo Caretas. El
nmero de personas que leen las tres revistas es 12 y el nmero de los que leen Magaly
TV y Caretas es el doble del nmero de los que leen las 3 revistas. El nmero de los que
leen slo Gisela es el mismo que el total de los que leen Magaly TV y Caretas.
Determine:
a) El nmero de personas que leen solamente Magaly TV .
b) El nmero de personas que leen solo dos revistasc) El nmero de personas que leen solo Magaly TV y Caretas.
20. En la Unidad Acadmica de Estudios Generales, se realiz una encuesta a un grupo
de 200 alumnos, sobre la responsabilidad en el cumplimiento de sus tareas,
puntualidad a clase y confianza en aprobar sus cursos; obteniendo los siguientes
resultados: 100 responden que son responsables con sus tareas, 110 responden
tener confianza en aprobar sus cursos y 120 responden que su asistencia es puntual
a clase; 60 responden ser responsables en sus tareas y confan aprobar sus cursos,
20 responden ser responsables con sus tareas y ser puntuales a clase pero noconfan aprobar sus cursos, 80 responden ser puntuales a clase y confan en aprobar
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 17
sus cursos. Adems, segn la respuesta de los alumnos, se estima que 50 alumnos
son responsables, puntuales y confan aprobar sus cursos. Cuntos alumnos son
slo puntuales a clase?, Cuntos alumnos no son responsables, no llegan
puntuales a clase y no tienen confianza de aprobar sus cursos?, Cuntos alumnos
cumplen con, por lo menos, dos de las tres preguntas?
21. Un grupo de 160 jvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertas
marcas de bebida gaseosa (Coca Cola, Inca Kola y Pepsi) y se obtuvo el resultado
siguiente: los que beben Coca Cola son 59, los que beben Inca Kola 73 y los que
beben Pepsi 77. Los que beben Inca Kola y Pepsi son 22, Pepsi y Coca Cola 17,
solamente Coca Cola 30. Adems, los que beben Inca Kola y Pepsi, pero no Coca
Cola, son la mitad de los que solamente beben Coca Cola. Cuntos jvenes beben
las tres bebidas?, Cuntos jvenes beben solamente una de las tres bebidas.
22. En un estudio de mercado, para conocer la marca de automvil que prefieren los
peruanos, se realiz una encuesta a 310 personas obtenindose los siguientes
resultados: 140 personas prefieren la marca Nissan; 70 prefieren la marca Volvo y
110 la marca Toyota; 20 personas prefieren las marcas Volvo y Toyota pero no la
marca Nissan; 15 personas prefieren las marcas Volvo y Nissan; 25 personas
prefieren las marcas Nissan y Toyota. Adems se sabe que el nmero de personas
que prefieren las tres marcas, es la sptima parte de los que prefieren la marca
Volvo.
a) Cuntas personas no prefieren ninguna de las tres marcas mencionadas de
Automvil?
b) Cuntos personas prefieren, por lo menos, dos de las tres marcas?
c) Cuntas persona prefieren slo dos de las tres marcas de automvil?
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 18
SEMANA 4
ECUACIONES LINEALES
Una ecuacin es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las dos expresiones
que conforman una ecuacin son llamadas lados o miembros, y estn separados por el
signo de igualdad =. Toda ecuacin lineal con una incgnita se puede llevar a la
forma: 0ax b+ = , con 0a .
Resolver una ecuacin consiste en hallar el valor de la variable que hace verdadera
dicha igualdad.
La solucin es tambin llamada raz de la ecuacin siendo expresada por:a
bx
=
1. Resolver Rx
a) { } { }5 ( 4 1) 6 (3 5) ( 2)x x x x x + = +
b) [ ]4 3 ( 2) 2( 8) 4 ( 6)x x x x + + =
c) ( ) ( ) xxx 1423826 =
d) 2 24 3 (5 4) 3 ( 1)x x x x = +
e) ( ) ( ) ( )222 243513 = xxx3
73
xx=
f) 64
89
2
37=
+ xx
g)11 4 10
2 33 6
x xx
+ + =
h)21
53
14
98
3
72 =
+
xxx
2. Resolver las siguientes ecuaciones racionales:
a)4
2
2
=
+ x
x
x
x b)
4
1
2
2
2 2
2
=
++
x
x
xx
x
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 19
c)82
12
4
53
2
432
=
+
+
xxx
x
x
x
d) 39
14
3
12
3 2+
=
+
+
xx
x
x
x
e)xxx
x
x
x
6
13
6
432
+=
+
+
+
f)5
22
10
111=+
xx
g)xxx 21
4
2
3
3
1
=
h)6
666
+=
y
y
yy
y
i)xx
x
x
x
x
x
5
53
5
412
+
+=
+
+
+
j)14
114
7
8
37
12 +=
+
+
+ xx
x
x
k)34
4
9
1
32
2222
+=
+
+
xxx
x
xx
x
l)65
13
12
1
82
2222
++=
+
xxxxxx
4. Resolver las siguientes ecuaciones con radicales:
a) 6 2 5 0x + =
b) 2 9 9x x =
c) 3 2 5x x+ =
d) 2 7 1x x+ + =
e) 5 2 4 2x x+ =
f) 1 1x x + =
g) 5 14 2 1x x =
h) 5 2 4 5x x x+ + = +
i) 9 10 2 3 2x x x+ + =
j) 9 7 16 7x x x+ =
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 20
EJERCICIOS DE REPASO
1. Resolver Rx :
a) ( ) ( ) ( )43422 33 +=+ xxxx
b) 012
78
5
6
6
52
5
3
2
13
5
4=
+
xxx
c) ( )18
3
3
1
2
1
6
5+++=
xx
xx
d) ( )( ) ( )( )[ ]112112 ++=+ xxxxx
e) ( )( ) ( )4321 2 =+ xxxx
f) ( ) ( ) 522 22 =+ xx
g) 06
21
3
1
4
31 =
++
xxx
3. Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias:
a) 1
3
2
7
1
4
++=
xxx
b)9
43
33 2
=
+ x
x
x
x
x
x
c)5
8
5
7
3
51
xx
x
x +=
++
d)xxx
2
1
2
1
32
+
=
e) xxx
245
256
23
=
f)1
42
1
322
+=
+
+
xxx
x
x
x
g) 078
2
49
52
76
2222
=++
++
xx
x
x
x
xx
x
h)12
27
714
3
77
52
+
=
+ xx
x
xx
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 21
4. Resolver las siguientes ecuaciones con radicales:
a) 5 6 16 0x = b) 2 33 3x x+ =
c) 4 6 0x x = d) 3 3y y =
e) 31 8 1 0x x+ + = f) 2 3y y+ + =
g) 2 3 2 6x x x = + + h) 4 4 2 1x x x + + =
i) 32 2 12 1
x xx
+ =
j) 314 1111
x xx
+ =
APLICACIONES
1. El ingreso mensual total de una guardera por el cuidado de x nios est dado por450I x= , y sus costos mensuales totales estn dados por 380 3500C x= + . Cuntos
nios se necesitan inscribir mensualmente para llegar al punto de equilibrio? En otraspalabras cundo los ingresos igualan a los costos?
2. Una compaa de refinacin de maz produce gluten de maz para alimento de ganado,con un costo variable de $76 por tonelada. Si los costos fijos son $110,000 por mes y el
alimento se vende en $126 por tonelada, cuntas toneladas deben venderse para quela compaa tenga una utilidad mensual de $540,000?
3. Un fabricante de cartuchos para juegos de video, vende cada cartucho en $20. El costode fabricacin de cada cartucho es de $12. Los costos fijos mensuales son de $8000
.Durante el primer mes de ventas de un nuevo juego cuntos cartuchos debe venderel fabricante para llegar al punto de equilibrio?
4. Para una compaa que fabrica calentadores para acuarios, el costo combinado demano de obra y material es de $21 por calentador .Los costos fijos son $70,000. Si el
precio de venta de un calentador es $35.
a) Cuntos calentadores debe vender para que la compaa tenga una utilidad de
$140 000?
b) Cul ser el ingreso para esa utilidad?
5. La compaa Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 yun costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $60,000, determine:
a) El nmero de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de $90,000.
b) Cul ser el ingreso para esa utilidad?c) Cul ser el costo total para esa utilidad?
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ESTUDIOS GENERALES 22
6. Suponga que los consumidores comprarn q unidades de un producto al precio de
21000
+q
dlares por unidad. Cuntas unidades deber vender para obtener un ingreso
de $5000?.
7. Se sabe que los consumidores comprarn q unidades de un producto si el precio es
de 10200
+q
dlares por unidad. Cuntas unidades deber vender para obtener un
ingreso de $4000?.
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ESTUDIOS GENERALES 23
SEMANA 5
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
ECUACION DE SEGUNDO GRADO
Definicin.
Una ecuacin de segundo grado es aquella expresin en la que el exponente mximo es 2,
siendo adems racional y entera de la forma: 2 0ax bx c+ + = ; donde , ,a b c , son
nmeros reales y 0a .
Clases:
Completas: 2 0ax bx c+ + =
Incompletas: 2 0ax bx+ = donde 0c = ; 2 0ax c+ = donde 0b =
METODOS DE SOLUCION
Los mtodos para resolver una ecuacin de segundo grado son:
a) Factorizacin.
Se factoriza a travs del aspa simple. Para obtener las soluciones o races seiguala cada factor a cero:
Ejemplo:
Resolver: 032 2 =+ xx
Factorizando por aspa simple: 032 2 =+ xx
x2 3
x -1
Los factores son: 0)1)(32( =+ xx
Igualando a cero cada factor: 01;032 ==+ xx
Resolviendo se obtiene: 1;2
3== xx
El conjunto solucin es: 1;.2
3=SC
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ESTUDIOS GENERALES 24
b) Formula General:
Una ecuacin de segundo grado puede resolverse utilizando la formula general:
2 4
2
b b acx
a
= donde cba
,y son los coeficientes de la ecuacin.
Procedimiento
a) Se halla el valor de los coeficientes : a, b y c
b) Se reemplaza el valor de los coeficientes en la frmula general.
c) Se reducen los trminos semejantes en cada miembro
d) Se despeja la incgnita.
Ejemplo:
Resolver: 0682 2 =+ xx
Los valores de cba , y son: 6,8,2 === cba
Reemplazando en la F.G.)2(2
)6)(2(4)8()8( 2 =x =
4
48648 =
4
168 =
4
48
Entonces:4
481
+=x y4
482
=x 31
=x y 12
=x
El conjunto solucin es: { }1;3. =SC
EJERCICIOS
Resolver las siguientes ecuaciones:a) 05562 =+ xx b) 02814 2 =x
c) 025102 =+ xx d) 0922 =+ ww
e) xxxx 8662 22 = f) 032 2 = yy
g) 07
2
3
5 2= xx h) 053 2 = xx
i) 224
2
=+xx j) 013.13.0 2 =+ xx
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ESTUDIOS GENERALES 25
k) ( ) ( ) 872215 2 = xxxx l) )23()12( 2 +=+ xxx
m) 2)32()23( = xxx n) 512
6
1
2=
+
xx
o) 643 =+ xx p)
EJERCICIOS DE REPASO
Resolver las siguientes ecuaciones:
1) x 2 = 81 2) 14x2 - 28 = 0
3) (x + 6)(x - 6) = 13 4) (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0
5) (x + 11)(x - 11) = 23 6) x2 = 7x
7) 21x2 + 100 = - 5 8) 2x2 - 6x = 6x2 - 8x
9) (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16 10) (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1)
11) x2 + 12x + 35 = 0 12) x2 - 3x + 2 = 0
13) x2 + 4x =285 14) 5x(x - 1) - 2(2x2 - 7x) = - 8
15) (x + 2)2 = 1 -x(x + 3) 16)2 3 13
3 2 6
x
x+ =
17)4 2 1
5 3 24
x x
x x
+ + =
+ +18)
2
24 2
x x+ =
19)2 2
6 2 3
x x x+ = 20)
5 8 7 4
1 2
x x
x x
=
+
APLICACIONES
1. Hallar la suma de dos nmeros consecutivos tales que su producto sea igual alproducto de los dos consecutivos siguientes disminuidos en 30.
2. Si la suma de un nmero con 3 se multiplica por la diferencia de dicho nmero con 2,se obtiene el cuadrado de dicho nmero menos 2. Hallar el nmero.
3. Un terreno rectangular de 4x8 m. se usa como jardn. Se decide poner una vereda entoda la orilla interior de modo que 12 m2 del terreno se dejen para flores. Cul debe
ser el ancho de la vereda?
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ESTUDIOS GENERALES 26
4. Una compaa determina que si produce y vende q unidades de un producto, el
ingreso total por las ventas ser q100 . Si el costo variable por unidad es de S/. 2 y
el costo fijo es S/. 1200, determine los valores de q para que la utilidad sea cero.
5. La ecuacin de ingresos de cierta compaa es:
2
340 4I p p=
; donde p es el precioen dlares del producto que fabrica esa compaa. Cul ser el precio para que elingreso sea de $ 6000, si el precio debe ser mayor de $ 40?
6. El ingreso mensual de cierta compaa est dado por ,7800 2ppR = donde p es elprecio en nuevos soles del producto que fabrica esa compaa. A que precio elingreso ser de S/. 10,000, si el precio debe ser mayor de S/. 50?
7. Cuando el precio de un producto es de p dlares por unidad, suponga que un
fabricante suministrar 23 4p p unidades del producto al mercado y que los
consumidores demandarn 224 p unidades. Si el valor de p para el cual la oferta
es igual a la demanda, se dice que el mercado esta en equilibrio, halle el valor de p .
8. Una compaa de muebles para computadoras tiene la ecuacin de ingresosmensuales dada por: 2450 9I p p= , donde p es el precio en dlares de cadamueble. Determine e precio de cada mueble para que el ingreso mensual sea de 5400dlares, si el precio debe ser mayor que 20 dlares.
9. Suponga que un comerciante vender q unidades de un producto, cuando el precio esde )110( q dlares por unidad. Determine el nmero de unidades que debe vender afin de obtener un ingreso por ventas de 3000 dlares, si debe vender ms de 50
unidades.10. Un fabricante de camisas puede vender q unidades semanales al precio de p dlares
por unidad, en donde qp = 150 . El costo total de producir q unidades de camisases de )401800( q+ dlares. Halle el nmero de camisas que debe vender a la semanapara obtener una utilidad de 1200 dlares, si el nmero de camisas debe ser mayorque 50.
11. Un fabricante de pantalones puede vender q unidades semanales al precio dep dlares por unidad, en donde qp = 185 . El costo total de producir q unidades depantalones es de )452800( q+ dlares. Halle el nmero de camisas que debe vender a
la semana para obtener una utilidad de 2000 dlares, si el nmero de camisas debeser mayor que 60.
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ESTUDIOS GENERALES 27
DESIGUALDADES LINEALES
Propiedades de las desigualdades
1) Si a b a c b c< + < +
2) Si 0a b
a b y c ac bc yc c
< > < <
3) Si 0a b
a b y c ac bc yc c
< < > >
Desigualdades Lineales
0ax b+ < , a yb son constantes y 0a
< se lee menor que
se lee menor o igual que
> se lee mayor que
se lee mayor o igual que
Ejemplo 1:Resolver: 4 8 3 5x x+
Pasando las variables al primer miembro: 4 3 5 8x x+
Simplificando: 7 13x
Dividiendo entre 7: 137
x
El conjunto solucin es: 13,7
CS =
Ejemplo 2:
Resolver: 2 6 6 9x x >
Pasando las variables al primer miembro: 2 6 9 6x x > +
Simplificando: 8 3x >
Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 8: 38
x <
El conjunto solucin es: 3,8
CS =
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ESTUDIOS GENERALES 28
Ejemplo 3:
Resolver: 4 3 223 2 4
x x < +
Multiplicando por 12 (MCD): 24 16 18 6x x < + Pasando las variables al primer miembro: 16 6 18 24x x <
Simplificando: 22 6x <
Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 6: 311
x >
El conjunto solucin es: 3 ;11
CS= +
EJERCICIOS:
I. Resolver:
1. 3 5 5 1x x > + 2.6 3 3
(2 6)2 4
x xx
3.2 15 5 2
(2 ) (8 5 )2 3 3
xx x
< > 4.2 4
(4 2) ( 2) (4 5)3 13x x x+ +
5.3 5 2 9
3 4 12 15
x x x ++ < + 6.
3 1 911 (5 14) (2 )
2 3 5x x x < + +
7.6 3 11 14
22 5 4 5 5
x xx+ < + > 8. 4 5 6 13x x+ >
9.5 1 7( 1)
3 2
x x + 12.
1 34
2 2x x
13.3(2 2) 6 3
2 5 10
x x x > + 14. 0.1(0.03 4) 0.02 0.434x x+ +
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ESTUDIOS GENERALES 29
SEMANA 6
APLICACIONES DE DESIGUALDADES LINEALES
Obtener ganancia: 0U> ; 0t tI C > No obtener prdida: 0U ; 0t tI C
1. Si al doble de la edad de Juan se resta 17 aos resulta menor que 35, pero mayor que31. Cul es la edad de Juan?.
2. Miguel tiene .520S para gastar en ropa. Si compra un terno que cuesta .250S y elprecio de unas camisas es de .30S cada una, determine el mayor nmero de camisasque l puede comprar.
3. Una empresa produce jarras de vidrio. Mencionadas jarras tienen un precio unitario deventa de .18S y un costo unitario de .13S . Si los costos fijos son .300000S ,determine el nmero mnimo de jarras que deben venderse para que la empresa tengautilidades.
4. Ricardo, se dedica a la venta de sndwich de pollo. El precio de venta al pblico es de.1.50S cada uno. Tiene un costo unitario de .0.80S y costo fijo de .20,S determine el
nmero de sndwich de pollo que deben venderse para que Ricardo no tengaprdidas.
5. En la produccin del peridico La Nueva se tienen: costos de materia prima en.0.20S y mano de obra en .0.30S , por unidad. El costo que se hace sin importar el
volumen de ventas, es de .1000S mensual. El precio de cada peridico es .1.00.S Determine el nmero de peridicos que se deben vender para que la editorial obtengautilidades.
6. Los nios de una escuela compran q unidades de galletas Dulces al precio de
102
q+ por unidad. Cul es el nmero mnimo de unidades de galletas que deben
venderse para que el ingreso sea mayor que .130.00S ?
7. Hoy, un fabricante tiene 2 500 unidades de un producto. El precio unitario del productoes .4S . El prximo mes el precio por unidad se incrementar en .0.50.S El fabricantequiere que el ingreso total recibido por la venta de las 2 500 unidades no sea menorque .10 750.S Cul es el nmero mximo de unidades que pueden venderse estemes?
8. Lupita prepara marcianos de fruta para vender en su barrio. Gasta .0.2S 0 en fruta y.0.20S en otros insumos (como azcar, bolsas de marcianos, etc...) por unidad.
Adems, debe aportar .20.00S mensual por consumo de luz, agua y gas que utiliza
para la preparacin de los mismos. Si los vende a .0.50S cada uno. Cuntosmarcianos debe elaborar y vender para obtener utilidades?
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 30
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Procedimiento:
Resolver la inecuacin como si fuera una ecuacin, las races o soluciones de la ecuacin,
sern los extremos del intervalo o los intervalos correspondientes al conjunto solucin.
Depende de la relacin de orden que tenga la inecuacin, para establecer el conjuntosolucin.
Sea la inecuacin: 02 ++ cbxax , entonces:
1) 02 =++ cbxax , al resolver supongamos que obtenemos como soluciones mx =1
y nx =2
2) Como la relacin de orden es entonces el conjunto solucin ser] [; ;x m n + y m< n
Nota:
Si la desigualdad hubiera sido solo > el conjunto solucin sera: ; ;x m n +
Si la inecuacin fuera: 02 ++ cbxax se procede de la misma forma pero el conjuntosolucin estara dado por [ ],m n , en el caso de ser solo < el conjunto solucin sera
;m n .
Ejemplo:
Resolver 2 6 0x x
1) 2 6 0x x = 0)2)(3( =+ xx 31 =x 22 =x
2) Como la inecuacin es el conjunto solucin es ] [; 2 3;x +
Para analizar:
Si la inecuacin es de la forma 0)( 2 + bax el conjunto solucin es:
.
Si la inecuacin es de la forma 0)( 2 + bax el conjunto solucin es:
Cul sera el conjunto solucin si en las desigualdades cuadrticas anteriores no existe eligual?
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ESTUDIOS GENERALES 31
EJERCICIOS
Resolver:
1. 028112 ++ xx 2. 0583 2 + xx
3. 05143 2 xx 4. 04 2 x
5. 0814 2 x 6. 0344 2 ++ xx
7. 012 2 + xx 8. 0532 + xx
9. x2 - x < 0 10. 0583 2 + xx
11. 55145 2 + xx 12. 0962 + xx
13. 01682 ++ xx 14. 1211)2)(3( +++ xxx
15. 421072 ++ xxx 16. )3)(2(3)3(2 + xxx
17. 1523 22 +++ xxxx 18. 0483 2 + xx
19. 2( 4) 0x > 20. 2(2 5) 0x <
7/27/2019 Guia Mate1 2010 II Final
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 32
SEMANA 7
APLICACIONES DE DESIGUALDADES CUADRTICAS
(Produccin y utilidades). Las ventas mensuales x de cierto artculo cuando su precio esp dlares estn dadas por xp 3200 = . El costo de producir x unidades al mes delartculo es )5650( xC += dlares. Cuntas unidades de este articulo debern producirse
y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2200 dlares?
Solucin.
)()( unidadporpreciovendidasunidadesI =
)3200( xxI =
23200 xxI =
El costo C (en dlares) de fabricar x unidades es xC 5650 += , la utilidad U (mensual)obtenida por producir y vender x unidades est dada por:
CIU =
)5650()3200( 2 xxxU +=
2195 3 650U x x=
Dado que la utilidad U debe ser al menos de $2200, tenemos que
2200U
2195 3 650 2200x x
Al escribir esto en la forma estndar y dividir todo entre -3 (notando que el signo de ladesigualdad se invierte), se obtiene la desigualdad:
2 65 950 0x x +
Que es una inecuacin cuadrtica, por lo tanto, el conjunto solucin de la desigualdad es elintervalo cerrado [ ]8.42;2.22
Rpta.
Para alcanzar la meta requerida el nmero de unidades producidas y vendidas por mesdebe estar entre 22.2 y 42.8 inclusive.
xpI =
7/27/2019 Guia Mate1 2010 II Final
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 33
(Decisin de precios). Una peluquera tiene un promedio de 120 clientes semanales a uncosto actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de 75% en el precio, la
peluquera perder 10 clientes. Cul debe ser el precio mximo que puede cobrarse demodo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales?
Solucin.
Sea x el numero de incremento de 75% por encima de $8. Entonces el precio por corte decabello es (8 0,75 )x+ dlares, y el nmero de clientes ser de (120 10 )x por semana.
Entonces: corteporprecioclientesdenumerosemanalestotalesIngresos =
)75.08)(10120( xxI +=
Los ingresos por los 120 clientes actuales son 960$8120 = por tanto los nuevos ingresos
deben ser al menos $960
(120 10 )(8 0,75 ) 960x x +
Simplificando
210 7,5 0x x
Por tanto la solucin de la desigualdad es el intervalo [ ]4/3,0
Esto es, el precio de un corte de cabello debe estar entre $8 y $( 8 + 0,75(4/3) )=$9.00
Rpta. El precio mximo que puede cobrarse es $9.00
(Ingresos del fabricante). Al precio de p dlares por unidad, x unidades de cierto articulo
pueden venderse al mes en el mercado con xp 5500 = . Cuntas unidades debern
venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $12500?
Solucin:
preciounidadesdenumerosemanalestotalesIngresos =
; 12500I
12500)5500( xx 125005500 2 xx 0125005005 2 + xx
025001002 + xx 0)50( 2 x
La solucin de la desigualdad es 50=x
Rpta. Al mes se deben venderse 50 unidades.
)5-(500 xxI =
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 34
EJERCICIOS
1. Si x rboles producen (60 )x frutos cada uno. Cuntos rboles habrn de
plantarse para que la prxima cosecha supere los 9000 frutos?
2. La fbrica de cierto articulo ha estimado que su ganancia en miles de dlares estadado por la expresin 2( ) 6 30 10G x x x= + donde ( x en miles) es el nmero de
unidades producidas Qu nivel de produccin le permitir obtener una ganancia de almenos S/. 14 000?
3. La demanda mensual de un cierto artculo cuando su precio es de p euros viene dada
por
=
3
200 px unidades. Los costes generales de la planta son 650 euros
mensuales y el coste de produccin de cada unidad es de 56. Qu producciones
garantizan que el beneficio mensual sea de por lo menos 2500 euros?
4. El costo de producir x lmparas esta dado 2300 70C x x= + + . Si estas se pueden
vender a140 soles. Cuntas deben producirse y venderse para obtener utilidades
semanales de al menos 900 soles?
5. Juguetes BASA puede vender al mes, a un precio p por unidad, x unidades de ciertoartculo, con 120p x= . Si a la empresa le cuesta (160 15 )x+ dlares producir x
unidades, Cuntas unidades debern producirse y venderse cada mes con objeto deobtener una utilidad de al menos $1100?
6. Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25 cada una. Elcosto C (en dlares) de producir x unidades cada semana, est dado por
240000 300C x x= + . Cuntas unidades debern producirse y venderse a la
semana para obtener alguna utilidad?
7. Las ventas mensuales x de cierto producto cuando su precio es p dlares estdada por: 240 4p x= . El costo de producir x unidades del mismo
artculo es 700 20C x= + dlares. Cuntas unidades de ste artculo debern
producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de $2300?
8. Si el precio p de cierto articulo depende de la cantidad demandada q y est dadopor 120 2p q= , y adems se tienen costos fijos de $300 y el costo de unidad es de
$20. Cuntas unidades deben producirse y venderse para obtener utilidades de almenos $900?
9. Un fabricante de relojes puede producir un reloj marca TIC TAC con un costo de $15por unidad. Se estima que si el precio de venta del reloj es x , entonces el nmero derelojes que se vende por semana es (125 )x .
Expresa el monto semanal de las utilidades del fabricante como funcin de x
Determina cual debe ser el precio de venta, si se busca que se alcance alguna utilidad.
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 35
10. Al precio de p dlares por unidad, x unidades de cierto artculo pueden venderseal mes en el mercado con 600 5p x= . Cuntas unidades debern venderse
cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $18000?
11. En el ejercicio anterior, si cuesta (800 75 )x+ dlares producir x unidades. Cuntas
unidades debern producirse y venderse con el objeto de obtener una utilidad de almenos $5500?
12. En el ejercicio 10, si cuesta (2800 45 )x+ dlares producir x unidades. A qu preciop deber venderse cada unidad para generar una utilidad mensual de por lo menos
$3200?
13. UNIQUE vende 300 unidades de un cosmtico cuando su precio unitario es de $60.Por cada disminucin de $5 en el precio se vendern 45 unidades ms. Qu precio
mximo deber fijar para obtener ingresos de al menos $19500?
14. Un editor puede vender 12000 ejemplares de un libro al precio de $25 cada uno; porcada dlar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. Quprecio mximo deber fijarse a cada ejemplar con el objeto de lograr ingresos de por lo
menos de $ 300000?
15. Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la semana cobrndoles $4 porcorte. Por cada incremento de 50% en el precio el peluquero pierde 8 clientes. Quprecio mximo deber fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520?
16. Un estilista cobra $20 por cortar el cabello, con ese precio tiene 120 clientes por
semana. Si sabe que por cada dlar que aumente el precio, perder cuatro clientes,Qu precio mximo deber fijar para obtener ingresos semanales de al menos$2500?
17. Un comerciante puede vender 8 electrodomsticos a $15 cada uno. Por cada
incremento de $2 en el precio, deja de vender 1 electrodomstico. Cadaelectrodomstico le cost al comerciante $7, quien desea generar utilidades de al
menos $64. Qu precio mximo podr fijar y qu cantidad se vender a este precio?
18. Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzanas que debevender rpidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p cntimospor kilo, vender x kilos, con 1000 20x p= . Qu precio deber fijar con el fin de
obtener ingresos de por lo menos $12000?
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 36
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO:
El valor absoluto de un nmero real x , denotado por x , se define como:
; : 0
; : 0
x xx
x x
=
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 47
5) Dada la grfica de la funcin:
a) Hallar)0()6()2(
)3()7(
fff
ff
++
+
b) Hallar los x para los cuales se cumple que
.0)( =xf c) Halle el dominio y el rango.
d) Indique los intervalos de crecimiento ydecrecimiento.
e) Indique los intervalos en que la funcin esconstante.
f) En qu intervalos la funcin es negativa?
g) Hallar los puntos de interseccin con los ejescoordenados.
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 48
SEMANA 10
FUNCIONES ESPECIALES
Funciones especiales
1. Funcin constante.cxf =)( , donde c es una constante, ( ) =fDom , ( ) { }cfRan =
2. Funcin lineal,)( baxxf += con 0a , ( ) =fDom .
3. Funcin cuadrtica,)( 2 cbxaxxf ++= con 0a , ( ) =fDom .
4. Funcin polinomial),()( xpxf = donde )(xp es un polinomio, ( ) =fDom
5. Funcin Racional( )
( )( )
p xf x
q x= , donde )()( xqyxp son funciones polinomiales.
( ) { }0)(/ == xqxfDom
6. Funcin radical
( ) ( )nf x p x= , si n es par, ( ) 0)(: xpfDom
7. Funcin por partes o tramos( )
( )
( )
=
33
22
11
,)(
,)(
,)(
)(
fDomxxf
fDomxxf
fDomxxf
xf ( ) ( ) ( )21 fDomfDomfDom = ( )3fDom .
8. Funcin valor absoluto
( ) f x x= , donde, 0
, 0
x si xx
x si x
=
+ x 43>x
( ) ]3 / 4 , 2Dom f =
4 43 2
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 49
EJERCICIOS
Determine el dominio de las siguientes funciones:
1. 9)( =xf
2. ( ) xxxf 22 =
3. 2518)( xxxf +=
4. 216)( xxf =
5. xxf 25)( =
6.xx
xxf
2
3)(
2
=
7.232
25)(
2
4
+=
xx
xxxf
8.x
xxxf
24)(
2+
=
9. 12
3
)( 2 +=
xx
x
xf
10.16
22)(
2
+=
x
xxf
11.1
326)(
2+
=
x
xxf
12.6
)(2
+=
xx
xxf
13. ( )2147)(
=
xxxf
14. xx
xxf 5
32
49)( +
+=
15. 21
2
)( +
= x
x
xf
16.x
xxf
26
32)(
+
=
17.12
1054)(
2
2
++
++=
xx
xxxf
18. 65)( 2 += xxxf
19. 4
65)(
2
+
+
= x
xxxf
20.
>
=
0;1
2;2)(
3xx
xxxf
OPERACIONES CON FUNCIONES
1. Suma de funciones( )( ) ( ) ( )xgxfxgf +=+ , ( ) ( )gDomfDomgfDom =+ )(
2. Diferencia de funciones( )( ) ( ) ( )xgxfxgf = , ( ) ( )gDomfDomgfDom = )(
3. Multiplicacin de funciones( )( ) ( ) ( )xgxfxfg .= , ( ) ( )gDomfDomgfDom =).(
4. Divisin de funciones
( )
( )
( )xg
xf
xg
f=
, ( ) ( )gDomfDomgfDom =+ )( { }0)(/ = xgx
5. Composicin de funciones
( ) ( ),)()( xgfxgf = { })()()()( fDomxggDomxgfDom =
( ) ( ),)()( xfgxfg = { })()()()( gDomxffDomxfgDom =
Observacin
Las operaciones entre funciones estn definidas siempre y cuando el dominio de lasnuevas funciones sea distinto de vaco.
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 50
7321
Ejemplos
1. Si ( ) 1 ( ) 2,f x x y g x x= = + hallar ))(( xgf + y ( )( )f
xg
SolucinComo ( ) ];1Dom f = y ( )Dom g = , entonces:
( ) ];1Dom f g+ = , ] { };1 2f
Domg
=
Luego:
( ) 21)()()( ++=+=+ xxxgxfxgf
2
1
)(
)()(
+
==
x
x
xg
xfx
g
f
2. Si [ ]7,3,2)( = xxxf y 3,0,4)( += xxxg . Hallar ( ) )(xgf y ( ) )(xfg
Solucin
a) { })()()()( fDomxggDomxgfDom = ( ) [ ]7,343,0 + xx
31
743
+
x
x
3,0)( =gfDom 1 0 3
Por lo tanto:( ) ( ) ( ) xxxfxgfxgf =+=+== 2)4(24)()(
b) { })()()()( gDomxffDomxfgDom =
[ ] ( ) 3,027,3 xx
21
12
320
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 51
2) Sean lasfunciones:
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 52
y
x
y
GRFICA DE FUNCIONES
1) Funcin constante
cxf =)( , c constante
( )Dom f = , ( ) { }cfRan =
3) Funcin cuadrtica
2)( xxf =
( )Dom f = , ( ) [0;Ran f = +
4) Funcin valor absoluto
, 0( )
, 0
x xf x x
x x
= =
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 53
EJERCICIOS
I. Determinar las intersecciones con los ejes coordenados, dominio, rango y grfica de lassiguientes funciones:
1. 5)( =xf
2. 2)( =xf
3. 32)( += xxf
4. xxf 41)( =
5. xxf 4)( =
6. 5)( = xxf
7. 13)( += xxf
8. 262)( ++= xxf
9. xxf 41)( =
10. 3)( = xxf
11. xxf 32)( =
12.x
xf2
1)( =
13.1
3)(
=
xxf
14.
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 54
SEMANA 11
FUNCIN LINEAL
RECTAS
Pendiente de una recta
Sean 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y dos puntos diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la
recta se define como: 2 1
2 1
y y cambio verticalm
x x cambio horizontal
= =
Podemos caracterizar la orientacin de una recta por su pendiente:
Pendiente cero Recta horizontal
Pendiente indefinida Recta vertical
Pendiente positiva Recta que sube de izquierda a derecha
Pendiente negativa Recta que desciende de izquierda a derecha
ECUACIONES DE RECTAS
Ecuacin punto pendiente
Sea la recta L con pendiente m que pasa por el punto 0 0( , )x y , tiene por ecuacin:
0 0( )y y m x x =
Ejemplo 1: Hallar la recta que pasa por (1,4) que tiene pendiente 5.
Solucin.
Tenemos punto de paso (1,4) y m = 5 luego la ecuacin de la recta es 4 5( 1)y x =
simplificando : 5 1L y x= .
Ecuacin que pasa por dos puntos
Sea la recta L que pasa por los puntos 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y . Entonces la ecuacin de recta
es:2 1
1 1
2 1( )
y y
y y x xx x
=
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 55
Ejemplo 2: Hallar la ecuacin de la recta L que pasa por: (-1,2) y (3,5).
Solucin.
Es claro que5 2 3
3 ( 1) 4
m
= =
y tomando como punto de paso cualquiera de ellos,
digamos el punto (3,5) se tiene la ecuacin: ( )3
5 34
y x = . Reduciendo tenemos:
3 11:
4 4L y x= + .
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas Paralelas
Dos rectas 1 2L y L son paralelas, si sus pendientes 1 2m y m son iguales. Es decir:
21//LL si slo si 21 mm = .
Rectas Perpendiculares
Dos rectas 1 2L Ly son perpendiculares, si sus pendientes 1 2m y m satisfacen la
siguiente relacin 1 2. 1m m = .
Es decir 1 2 12
1
L L mm
= si y solo si .
Ejemplo 3:
Hallar la ecuacin de la recta L (y su perpendicular) que pasa por el punto (1,2) y es
paralela a la recta 2 3y x= .
Solucin. Si L pasa por el punto (1,2) y es paralela a la recta 2 3y x= entonces la
pendiente de L es 2. Luego aplicando la ecuacin punto pendiente tenemos
2 2( 1) : 2y x L y x = = . Luego la ecuacin de la recta L1 perpendicular a L y que
pasa por (1,2) es L1: ( )1
2 12
y x = resolviendo tenemos L1:1 3
2 2y x= + que es la
recta perpendicular a L.
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 56
Ejercicios
1) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
a) (1,1) y (2,5) b)1 3
,3 5,2 4
y
c) (-2,3) y (0,6)
2) En cada uno de los ejercicios siguientes, hallar la ecuacin de la recta con lascondiciones dadas:
a) Pasa por el punto (-2,1) con pendiente m = 3.
b) Pasa por4
2;5
y m = 5.
c) Pasa por1 6
;
5 5
y3
2
4
m =
d) Pasa por (-1,3) y (2,5)
e) Pasa por el punto3
,12
y2
7 31
2 4
m =
f) Pasa por el origen y de pendiente -4.
g) Corta al eje X en 3, de pendiente 2.
h) Corta al eje Y en 5 de pendiente 4.
i) Corta al eje X en 6 y al eje Y en 3.
j) Pasa por (1,5) y paralela a la recta y = -x + 3.
k) Pasa por el punto (-2, 5) y perpendicular a la recta y = 3x + 2.
l) Pasa por el punto (2, 4) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (0, 2) y(-1, 5).
m) Pasa por el punto (2,1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (2,6) y(9,1).
n) Que pasa por (0,4) y paralelo a la recta L: 2x + y = -1
o) Es perpendicular a la recta y = -x + 2 y pasa por el punto (3,4).
p) Pasa por el punto (5,6) y perpendicular a la recta que corta a los ejes X e Y en 3 y 4respectivamente.
q) Pasa por (5, 4) y paralela al eje Y.
r) Pasa por (2, 4) y paralela al eje X.
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 57
APLICACIONES
Demanda Lineal Oferta Lineal
m es cantidad de equilibrio
n es precio de equilibrio.
Ejemplo
Supongamos que la demanda por semana de un producto es de 150 unidades a un precio
de $ 40 por unidad y de 300 unid. A un precio de $ 35 por unidad. Hallar la ecuacin de
demanda, si dicha ecuacin es lineal.
Solucin.
Segn los datos, es claro que q = 150 y p = 40; tambin q = 300 y p = 35. Por el hecho que
es lineal, el precio p y la cantidad q estn relacionados linealmente, de modo que podemosrepresentar en un plano cartesiano de ejes q y p, los puntos ( ) ( )150,40 300,35y , hallando
as la ecuacin de la recta que pasa por dichos puntos. Hallando la pendiente, tenemos que35 40 1
300 150 30m
= =
, y tomando como punto de paso, cualquiera de ellos, digamos (40, 150)
tenemos la recta 1 45430 3
p q
= + , que es la ecuacin de demanda.
q
pPendiente
negativa
q
p
Pendientepositiva
q
p
m
n (m,n) Punto de equilibrio
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 58
EJERCICIOS
1) (Ecuacin de demanda). Suponga que los clientes demandaran 60 unidades de unproducto cuando el precio es de $ 20 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $40 cada una. hallar la ecuacin de la demanda, suponiendo que es lineal. Hallar el
precio por unidad cuando se requiere 35 unidades.2) (Ecuacin de demanda). La demanda semanal para un libro que se vende mucho es de
30,000 ejemplares cuando el precio es de $ 15 c/u y de 20, 000 libros cuando el precioes de $ 25 c/u. hallar la ecuacin de demanda para el libro, sabiendo que es lineal.
3) (Ecuacin de oferta). Un fabricante de cocinas produce 200 unidades cuando el precioes de $ 800 y de 300 cocinas cuando el precio es de $ 1 500. Hallar la ecuacin deoferta, sabiendo que es lineal.
4) (Ecuacin de oferta). Suponga que un fabricante de zapatos colocara en el mercado50 mil pares cuando el precio es $ 35 el par y 35 mil pares de zapatos cuando el precio
es de $ 30. determine la ecuacin de oferta, sabiendo que p y q estn relacionadoslinealmente.
5) (Funcin de demanda). Sea la funcin de demanda de un producto:551
( )4
qp f q
= = .
Si la demanda de un producto es de 255, Cul ser el precio unitario (en dlares) delproducto?
6) (Funcin de demanda). Sea la funcin de demanda de un producto:2200 2
( )3
qp f q
= = . Si la demanda de un producto es de 350, Cul ser el precio
unitario (en dlares) del producto?
7) (Funcin de demanda). Se tienen dos bienes B1, B2, cuyas funciones de demanda
son:90 3
( )5
pq f q
= = y ( ) 140 12q f q p= = , respectivamente, donde p est expresado
en dlares.
Si el precio unitario de ambos bienes es de $ 5, 75, Cul de los dos bienes tendrmayor demanda?.
Existe algn precio del mercado para el cual la demanda de ambos bienes sea la
misma?
8) (Funcin de oferta). Se tienen dos bienes A, B, con ecuaciones de oferta dadas por( ) 5 20p f q q= = y ( ) 15 120p f q q= = respectivamente. Un consumidor acude al
mercado con las intenciones de comprar uno, cualquiera de dichos bienes. Si elconsumidor esta dispuesto a pagar $ 12 por cada unidad del bien comprado, Cul delos bienes debera comprar?
9) (Funcin de oferta) Una compaa va a entregar mensualmente 5000 linternas debolsillo a un precio de s/.50 la unidad; si el precio unitario es de s/ 35, ofrece 2000unidades. Suponiendo que la funcin de la oferta es lineal. Obtenga la funcin de la
oferta.
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 59
10) (Punto de equilibrio) Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinadobien son, respectivamente:
180 156 18
2
pq s p
= = y . Obtenga el punto de equilibrio.
11) (Ecuacin de costo). Suponga que el costo para producir 10 unidades de un productoes de $ 40 y el costo para 20 unidades es de $ 70. Si el costo C esta relacionado deforma lineal con la produccin q, determine el costo de producir 35 unidades.
12) (Ecuacin de demanda). Una compaa ha analizado sus ventas y ha encontrado quesus clientes compran 10 artculos mas de sus productos por cada s/ 2,50 de reduccinen el precio unitario. Cuando el precio es de s/ 12,75 la compaa vende 500 unidades.Asumiendo que la relacin entre la cantidad demandada q y el precio unitario p es lineal.Cul es la ecuacin de la demanda?
13) (Ecuacin de oferta). En un cierto mercado se sabe que cuando el precio de una
lmpara es de s/ 2000, no hay lmparas disponibles, sin embargo, por cada s/ 1000 deaumento en el precio, se dispone de 20 lmparas ms para el mercado. Asumiendo quela relacin entre la cantidad ofrecida S y el precio unitario p es lineal. Cul es laecuacin de la oferta?
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 60
SEMANA 12
FUNCIN CUADRTICA
FUNCIN CUADRTICA
f es una funcin cuadrtica si y slo si puede escribirse en la forma 2( ) = + +f x ax bx c ;donde a, b y c son constantes, con 0a .
Representacin grfica de una funcin cuadrtica.
Su grfica es una curva, llamada parbola, y es simtrica respecto a la recta verticalhx = , llamada eje de simetra y con vrtice ( )khV , .
si 0>a , 2= + +y ax bx c si 0
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MA TE MA TI CA I SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II
ESTUDIOS GENERALES 61
Ejemplo 1
Determinar dominio, rango y grfica de 352)( 2 +== xxxfy
Solucin:
Primero hallamos el vrtice
Como ,2=a 5=b y 3=c , luego h= 2)2(2
8
2=
=
a
by 13)2(5)2(2)2( 2 =+=f
Entonces el vrtice es: )1,2(=V
Como 02 >=a , entonces la parbola se abre hacia arriba
Grfica
Ejemplo 2
Determinar dominio, rango y grfica de 2342)( xxxfy ==
Solucin:
Primero hallamos el vrtice
Como ,3=a 4=b y 2=c , luego h= 1)3(2
6
2=
=
a
by
4)1(3)1(42)1( 2 ==f
Entonces el vrtice es: )4,1(=V
Como 03
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ESTUDIOS GENERALES 62
EJERCICIOS
Determinar dominio, rango, intersecciones con los ejes coordenados y graficar lassiguientes funciones:
a) 2( ) 4 1= = +y f x x x
b) 2232)( xxxfy ==
c) 2342)( xxxfy ==
d) 2( ) 3 4= = +y k x x
e) 2( ) 2 8= = y h x x x
f) ( ) ( 3) 14= + f x x x
g) 2( ) 6 13= = + +t f s s s
h) 2( ) 2 4= = + y g t t t
i) ( ) ( 3) 14= + f x x x
j) 261)( xxxfy ++==
k) 154)( 2 +== xxxfy
l) ( )32)( +== xxxfy
m) xxxfy +== 2)(
n) 25)( xxfy ==
o) 7)( 2 +== xxfy
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ESTUDIOS GENERALES 63
APLICACIN DE LA FUNCIN CUADRTICA
Recuerda:
Ejemplo:
El ingreso de una empresa algodonera se estima a travs del tiempo de acuerdo a la
siguiente funcin2
24 288 64I t t= + , donde I es el ingreso en miles de dlares y t es eltiempo medido en aos.
a) En que ao se alcanzar el mximo ingreso y cunto ser ?
b) Grafique la funcin ingreso.
Resolucin:
a) 224 288 64I t t= +
Luego 2(6) 24(6) 288(6) 64I = +
(6) 800I =
El mximo ingreso se alcanzar en el 6to ao.
El mximo ingreso ser de 800 mil dlares.
b)
U = IT - CT IT = p.q donde: p precio unitario.q cantidad.
V (h, k) =
a
bf
a
b
2,
2el vrtice de una parbola.
I
t6
800(6,800)
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ESTUDIOS GENERALES 64
APLICACIONES
1. La funcin de demanda de un fabricante de muebles es qqfp 71400)( == , dondep es el precio (en euros) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).
a) Encuentre el nivel de produccin que maximiza el ingreso total del fabricante.b) Determine el ingreso mximo.
2. La funcin de demanda para una compaa de seguros para autos esqqfp 132600)( == , donde p es el precio (en dlares) por unidad cuando se
demandan q unidades (semanales).
a) Determine el nivel de produccin que maximizar el ingreso total del fabricante.
b) Determine el ingreso mximo.
c) Grafique la funcin ingreso.
3. La funcin de demanda para el fabricante de un producto es ,31200)( qqfp == endonde p es el precio por unidad cuando los consumidores demandan q unidades.
a) Determine el nivel de produccin que maximizar el ingreso.
b) Determine este ingreso mximo.
c) Grafique la funcin ingreso.
4. La utilidad diaria por la venta de rboles de jardinera de un almacn, esta dada por2
( ) 169 16= + P x x x , en donde x es el numero de rboles vendidos.
a) Determine la cantidad de rboles vendidos que maximizar la utilidad.
b) Determine dicha utilidad mxima.
5. El ingreso mensual por conceptos de venta de q unidades de cierto artculo est dado
por 201.012)( qqqI = soles. Determine el nmero de unidades que debe vendersecada mes con el propsito de maximizar el ingreso. Cul es el mximo ingresocorrespondiente?
6. Para una empresa dedicada a la venta de materiales de construccin se tiene que la
funcin ingreso se expresa como 2500100
2+=
ppI , determinar el ingreso mximode dicha empresa.
7. Un grupo de inversionistas le encarg a una compaa de investigacin de mercadoque estimara los f(t) miles de alumnos que estudiaron en cierta universidad entre los
aos 2000 y 2008, donde 20082000,)12(9
10)( = ttttf . Estime el nmero
mximo de alumnos que estudiaron en la universidad entre esos aos. Indique el aoen que se obtuvo la mxima cantidad de alumnos.
8. Una compaa de productos de belleza estima que t meses despus de la introduccinde un nuevo perfume, h(t) miles de mujeres lo usarn, donde
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ESTUDIOS GENERALES 65
.120,360018)( 2 += ttth Estime el nmero mximo de mujeres que usarn el
producto.
9. Una fbrica vende 300 carteras al mes, a $15 cada una. Se desea aumentar el precio yse estima que por cada incremento de $1 en el precio de venta, se vendern 4 carterasmenos. Si el costo de cada cartera es de $10.
a) Hallar la funcin utilidad mensual.
b) Determinar el nmero de carteras que se deben vender para obtener la utilidadmxima.
c) Graficar la funcin utilidad.
10. Los costos de produccin de una empresa que ensambla computadoras se expresamediante la funcin 600007803)( 2 += qqC , en donde q representa el nmero decomputadoras ensambladas.
a) Determinar la cantidad de computadoras que se deben ensamblar para que elcosto sea mnimo.
b) Determinar dicho costo.
c) Graficar la funcin costo.
11. Se estima que, de aqu a t aos, el nmero de personas que visitarn el parque delas leyendas ser dado por la funcin 300012030)( 2 += tttN .
a) Actualmente Cul es el nmero de personas que visitan el parque de las
leyendas?b) Determinar el ao en que ser registrado el menor nmero de visitantes.
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ESTUDIOS GENERALES 66
SEMANA 13
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES
Sistema de Ecuaciones Lineales.
Al conjunto de ecuaciones:
=+
=+
253
542
yx
yxse le llama sistema de 2 ecuaciones lineales
con 2 variables. Las variables o incgnitas son x e y. el problema consiste en encontrarvalores para x e y para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas (de manerasimultnea). a estos valores se les llama soluciones del sistema.
Interpretacin Geomtrica.
Como las ecuaciones del sistema son lineales, sus grficas son rectas. Si los dibujamos enun mismo plano, existen slo 3 posibilidades:
1 .
2.
3.
y
L1
L2
(xo;yo)
xo x
L1
L2
y
x
y
x
L1L2
Un slo punto de interseccin.El sistema tiene solucin nica:
0
0
x x
y y
=
=
No hay interseccin.El sistema no tiene solucin.
Infinitos puntos de interseccin.El sistema tiene infinitas soluciones.Se le llama Solucin paramtrica.
( )
=
=
x r
r Ry f r
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ESTUDIOS GENERALES 67
Mtodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, antes de usar uno de los mtodos, es
conveniente alinear los trminos en x y en y:
A. Mtodo de eliminacin por adicin
Ilustramos este mtodo para el sistema:
=+
=+
)2.....(253
)1.....(542
yx
yx
Busquemos que los coeficientes de la variable x sean iguales, excepto por el signo, para
esto multiplicamos a la ecuacin (1) por 3 y a la ecuacin (2) por -2, as queda un sistema
equivalente:
=
=+
4106
15126
yx
yx
Luego sumamos ambas ecuaciones, miembro a miembro, obtenemos: 112 =y que es unaecuacin lineal en la variable y, fcil de resolver: 2/11=y
Para obtener el valor de x, reemplazamos 2/11=y en cualquiera de las ecuaciones
originales (1) (2), para este caso elegimos la ecuacin (1):
=
=+
2/11
542
y
yx
5)2/11(42 =+x
que es una ecuacin lineal en la variable x, fcil de resolver, as 2/17=x . Por lo tanto, la
solucin del sistema es nica: 2/11,2/17 == yx
Esta solucin cumple en ambas ecuaciones.
B. Mtodo de eliminacin por sustitucin
Ilustramos este mtodo, con el sistema:
=+
=+
)2.....(253
)1.....(542
yx
yx
Primero escogemos una de las ecuaciones, en este caso (1) y despejamos una de lasvariables, en este caso despejamos la variable y, as obtenemos:
=+
=
2534
25
yx
xy
Luego sustituimos el valor de y en la ecuacin (2), resultando una ecuacin lineal, de una
variable, fcil de resolver:
2)4
25(53 =
+
xx , luego 2/17=x .
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ESTUDIOS GENERALES 68
(0,0)
(-1,1)
x + y = 0x
y
Reemplazamos, el valor hallado de x en la ecuacin (1) se obtiene una ecuacin lineal en lavariable y, fcil de resolver:
54)2
17(2 =+
y , luego 2/11=y .
Por lo tanto, la solucin del sistema es nica: 2/11,2/17 == yx .
Esta solucin cumple en ambas ecuaciones. Se pudo haber elegido la ecuacin (2) y
despejar la variable x, y proceder de manera similar.
SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES.
Un sistema de ecuaciones no lineales es aquel sistema en el que al menos una ecuacin noes lineal. Se puede resolver un sistema no lineal, por el Mtodo de eliminacin porsustitucin.
Ejemplos:
1. Resolver:
=+
=
0
2
yx
xy
Despejamos una variable (cualquiera) de la ecuacin lineal.
Por ejemplo y, as:
=+
=
0
2
yx
xy
luego reemplazamos en la ecuacin no lineal: 2xx = , la cual es una ecuacincuadrtica, que al resolver se obtiene: 10 == xx .
Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos:
s 0=x entonces 0=y ; s 1=x entonces 1=y .
Por lo tanto, las soluciones del sistema no lineal son:
=
=
0
0
y
x
=
=
1
1
y
x
Forma Grfica
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ESTUDIOS GENERALES 69
2. Resolver:
+=
+=
1
1
xy
xy
Observamos que en la ecuacin lineal, la variable y est despejado. Slo queda sustituir
en la ecuacin no lineal: 1 1+ = +x x , la cual es una ecuacin con radical que nos lleva auna ecuacin cuadrtica. Resolviendo se obtiene: 1)1( 2 +=+ xx , entonces resolviendose tiene: 10 == xx
Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos:
s 0=x entonces 1=y ; s 1=x entonces 0=y
Por lo tanto las soluciones del sistema no lineal son:
=
=
1
0
y
x
=
=
0
1
y
x
Forma Grfica
I. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
=+
=+
5123
34
yx
yxb)
=
=
5438
3625
wv
wv
c)
=+
=+
2
11
6
5
8
3
22
1
3
2
yx
yx
d)
=+
=
3
2
2
1
6
1
4
1
2
1
wz
wz
e)
=+
=+
326
6124
pq
qpf)
=+
=
1932
3
pq
qp
II. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
a)
=+
=
03
4y 2
yx
xb)
+=
+=
43
6
xy
yxc)
=
=
0
82
2
xy
yx
d)
=
=
2qp
qp
e)
2 0
3 2 1 0
p q
q p
= = f)
25
1
p q
p q
= = +
(0,1)(-1,0)
y = x+1
x
y
1= +y x
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ESTUDIOS GENERALES 70
APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES.
1. En los problemas siguientes, se proporciona una ecuacin de oferta y una de demanda
para un producto. Si p representa el precio por unidad en dlares y q el nmero de
unidades por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio.
a) Oferta:3
2100
p q= + ; demanda:7
12100
p q= +
b) Oferta: 35 2 250 0q p + = ; demanda: 65 785 0q p+ =
c) Oferta : 2 20p q= + ; demanda : 2200 2p q=
2. En los problemas a) , b) y c) se representa el ingreso total en TI dlares y TC el
costo total en dlares para un fabricante. si q representa tanto el nmero de unidades
producidas como el nmero de unidades vendidas. Encuentre la cantidad de equilibrio .Esquematice un diagrama de equilibrio
=
+=
qI
qCa
T
T
3
45002)
+=
=
60085.0
05.0)
qC
qIb
T
T
+=
=
303
)10()
2
qC
qIc
T
T
3. Si las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son: 125 250 0p p = y100 1100 0p q+ = respectivamente, encuentre el precio de equilibrio y la cantidad de
equilibrio.
5. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son;6
5150
p q = y9
20 0150
p q+ =
respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dlares y q el nmerode unidades, encuentre el punto de equilibrio y mustrelo grficamente.
6. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 2q = 20 y p + 2q2 -200 = 0 ,respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dlares y q el nmero deunidades, encuentre el punto de equilibrio y mustrelo grficamente.
7. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 4q = 24 y p + 4q2 -248 = 0
respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dlares y q el nmerode unidades, encuentre el punto de equilibrio y mustrelo grficamente.
8. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son: 3 200 1800 0q p + = y
3 100 1800 0q p+ = , respectivamente, donde p representa el precio por unidad en
dlares y q el nmero de unidades vendidas por periodo.
a) Encuentre, algebraicamente, el precio de equilibrio y dedzcalo por medio de unagrfica.
b) Encuentre el precio de equilibrio, cuando se fija un impuesto de 27 centavos porunidad, al proveedor.
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ESTUDIOS GENERALES 71
9. A un precio de $2400, la oferta de cierto bien es de 120 unidades, mientras que sudemanda es 560 unidades. Si el precio aumenta a $2700 por unidad, la oferta y la
demanda sern de 160 y 380 unidades respectivamente.
a) Determine las ecuaciones de oferta y de demanda, suponiendo que son lineales.
b) Determine el precio y la cantidad de equilibrio.
10. El punto de equilibrio de mercado para un producto, ocurre cuando se produce 13500unidades a un precio de $ 4,50 por unidad. El productor no ofertar unidades a $1 y elconsumidor no demandara unidades a $20. Encuentre las ecuaciones de oferta y
demandas si ambas son lineales.
11. A un precio de 50 soles por kg. la demanda de un cierto artculo es de 4500kg., mientrasque la oferta es de 3300kg. Si el precio se incrementa en 10 soles por kg., la demanda
y la oferta sern de 4400 y 4200kg., respectivamente. Encontrar la ecuacin de la ofertay demanda sabiendo que son lineales, indicando el punto de equilibrio.
12. Un empresario de ropa para nios observa, que el punto de equilibrio del mercadoocurre cunado se producen 10000 unidades a un precio de 40 soles por unidad. El
consumidor no demandar unidades a un precio de 50 soles la unidad y el productor noofertar unidades a 20 soles la unidad. Hallar la ecuacin de la oferta y demandasabiendo que son lineales.
13. Un fabricante vende todo lo que produce .Su ingreso total esta dado por : 7TI q= y
el costo total es 6 800T
C q= + donde q representa el nmero de unidades
producidas y vendidas .
a) Encuentre el nivel de produccin en el punto de equilibrio y dibuje el diagrama deequilibrio.
b) Encuentre el nivel de produccin en el punto de equilibrio, si el costo total seincrementa en 5%.
14. Un fabricante vende un producto a $ 8,35 por unidad, y vende todo lo que produce.Los costos fijos son de son de $2116 y el costo variable es de $ 7,20 por unidad
.A que nivel de produccin existirn utilidades de $ 4600?. A que nivel deproduccin ocurre el punto de equilibrio?
15. La compaa de Sandalias Cmodas fabrica sandalias para las que el costo delmaterial es de $ 0.80 por par, y el costo de de mano de obra es de adicionales e $
0,90 por par. Hay costos adicionales por par de $0.30 .Los costos fijos son de $70,000.Si cada par se vende a $ 2,50 Cuntos pares se deben vender para que lacompaa llegue al equilibrio?
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ESTUDIOS GENERALES 72
FUNCIN EXPONENCIAL
Es la funcin de la forma y = 1,0)( >= aaconxaxf .
Representacin grfica. Segn la base de la funcin exponencial se tiene:
Si a >1 (funcin creciente) Si 0 < a < 1 (funcin decreciente)
Observacin: Si a = e 2,7182, entonces a > 1
Nota:
Propiedades de los exponentes:
a) .m n m nx x x+ = b) 1( ) mxmx
=
Ejemplo 1
Graficar, hallar dominio y rango de la funcin: 3( ) 5 4xf x = +
a) Base : 5 > 1, entonces la funcin es creciente.
b) Asntota Horizontal: y = 4
c) Punto de paso: x 3 = 0
x = 3 , luego f(3) = 5. Punto de paso: (3,5)
x
xa
1
y
x
xa
1
y
( ) 0,R f x = +
( )D f x =
( ) 0,R f x = +
( )D f x =
4
y
x
4y =
3( ) 5 4xf x = +
3
5
( )f x = dom
( ) 4 ;f x = + rang
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ESTUDIOS GENERALES 73
Ejemplo 2
Graficar, hallar dominio y rango de la funcin: ( )2
1( ) 3
2
x
f x+
=
a) La base es
( )
1
2
< 1, entonces la funcin es decreciente.
b) Asntota Horizontal: 3y =
c) Punto de paso: x + 2 = 0 2x = , luego f(-2) = -2. Punto de paso: (-2,-2)
Ejemplo 3
Graficar, hallar dominio y rango de la funcin: 2 8( ) 2xf x e = +
a) La base es: e 2,7182, e > 1 , entonces la funcin es creciente.
b) Asntota Horizontal: y = 2
c) Punto de paso: 2x 8 = 0 x = 4 , luego f(4) = 3. Punto de paso: (4,3)
( )f x = dom
( ) 3 ;f x = +