Gerência Financeira das Reservas Técnicas
Fonteira Eficiente
Definição
É o segmento, na linha de combinação, constituído por todas as carteiras de investimentos atraentes para um investidor racional, ou seja, aquele que avalia a relação risco/retorno em suas decisões.
De outro modo, na fronteira eficiente, é possível selecionar uma carteira que apresenta, para um dado nível de risco, o maior retorno possível.
As alternativas de investimento que atendem a essa orientação foram denominadas por Markowitz de eficientes.
A escolha da melhor carteira é determinada pela postura do investidor em relação ao dilema risco/retorno presente na avaliação de investimentos.
Exemplo Considere uma carteira composta por duas
ações A e B com os seguintes dados: Retorno esperado dos retornos da ação A: 20% Retorno esperado dos retornos da ação B: 12% Desvio-padrão dos retornos da ação A: 36% Desvio-padrão dos retornos da ação B: 22% Correlação entre os retornos das ações A e B:
0,20
%A %B retorno C risco C0,00 1,00 12,00% 22,00%0,10 0,90 12,80% 20,82%0,15 0,85 13,20% 20,48%0,20 0,80 13,60% 20,30%
0,2225 0,7775 13,78% 20,29%0,25 0,75 14,00% 20,31%0,30 0,70 14,40% 20,50%0,45 0,55 15,60% 22,07%0,50 0,50 16,00% 22,90%0,75 0,25 18,00% 28,61%0,90 0,10 19,20% 32,91%1,00 0,00 20,00% 36,00%
carteira de var. mín. 22,25% 77,75% 13,78% 20,29%
Linha de Combinação
20,29%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40%
Risco (desvio-padrão) da carteira
Ret
orn
o e
sper
ado
da
cart
eira
Considerações para carteiras com mais de dois ativos Quando temos mais de dois ativos,
podemos formar carteiras com combinações de apenas 1 ativo, de 2 ativos, ..., de (n-1) ativos e de n ativos.
Para cada uma delas, pode-se ainda alocar diferentes proporções, de modo que teremos uma infinidade de carteiras possíveis.
Neste caso, a fronteira eficiente será descrita pelo segmento MN a seguir:
Considerações para carteiras com mais de dois ativos
**
**
*
*
*
*
* M
* N
Desvio-padrão dos retornos
Retorno esperado
Considerações para carteiras com mais de dois ativos As preferências de dois investidores A e
B diante de carteiras dispostas na fronteira eficiente são dadas por suas respectivas curvas de indiferença.
As curvas de indiferença refletem as diferentes posturas perante o risco.
Considerações para carteiras com mais de dois ativos
**
**
*
*
*
*
* M
* N
Desvio-padrão dos retornos
Retorno esperado
**
Investidor B
Investidor A
Considerações para carteiras com mais de dois ativos Neste exemplo, diante do mesmo
conjunto de oportunidades, o investidor A seleciona uma carteira de ativos de menor risco que B.
Assim, como A tem maior aversão ao risco, o retorno prometido para A é menor que o esperado por B.
Considerações para carteiras com mais de dois ativos Na prática, o cálculo da fronteira eficiente
neste caso é realizado por meio de softwares financeiros.
Podemos obter uma carteira da fronteira eficiente para um dado retorno esperado por meio dos seguintes métodos:
Multiplicadores de Lagrange Solver (excel)
Considerações para carteiras com mais de dois ativos Para o exemplo abaixo, calcule o risco
da carteira da fronteira eficiente sabendo que a taxa de retorno esperada para esta carteira é de 6%:
Estados da natureza
Probabilidade
Ação A Ação B Ação C
Favorável 0,25 12,59%
17,23% 18,22%
Estável 0,50 0,38% 1,04% 4,60%
Desfavorável 0,25 -8,66%
-11,57%
-13,18%
Considerações para carteiras com mais de dois ativos Multiplicadores de Lagrange
Função objetivo (função a ser minimizada)
Restrições
Substituindo por , vem:
3,2323,1312,12123
23
22
22
21
21
2 222 WWWWWWWWWc
3
1
3
1
1
)()(
ii
iiic
W
REWRE
3,22123,12112,12123
221
22
22
21
21
2 )1(2)1(22)1( WWWWWWWWWWWWc
)1( 21 WW 3W
Considerações para carteiras com mais de dois ativos Multiplicadores de Lagrange
Logo, temos:
Devemos derivar as funções f e g em relação às variáveis X1 e X2:
)()(),(),(3
121
221 i
iicc REXREXXgeXXf
)()(
)()(
22)(2)2(2
22)(2)2(2
322
311
233,23,23,12,1
2313,2
23
222
2
233,13,23,12,1
2323,1
23
211
1
REREW
g
REREW
g
WWW
f
WWW
f
Considerações para carteiras com mais de dois ativos Multiplicadores de Lagrange
Assim, para minimizar f, devemos resolver o sistema abaixo:
0)()()()()()(
0))()((22)(2)2(2
0))()((22)(2)2(2
323132211
32233,23,23,12,1
2313,2
23
222
31233,13,23,12,1
2323,1
23
211
REWREWREREWREWRE
REREWW
REREWW
c
Considerações para carteiras com mais de dois ativos Multiplicadores de Lagrange
Achando os valores para o exemplo:
Estados da natureza Probabilidade Ação A Ação B Ação CFavorável 0,25 12,59% 17,23% 18,22%Estável 0,50 0,38% 1,04% 4,60%Desfavorável 0,25 -8,66% -11,57% -13,18%
Retorno Médio 1,17% 1,94% 3,56%Variância 0,0057 0,0104 0,0124Desvio-padrão 7,55% 10,22% 11,15%
Matriz de covariânciaAção A Ação B Ação C
Ação A 0,00571 0,00772 0,00826Ação B 0,00772 0,01045 0,01121Ação C 0,00826 0,01121 0,01243
Considerações para carteiras com mais de dois ativos Multiplicadores de Lagrange
Montando o sistema sujeito à restrição de uma taxa de retorno de 6% e resolvendo-o, temos:
A variância da carteira é 0,0076 e o risco (desvio-padrão), 8,7%
%43535,4
%73232,7
%39797,3
229266,0
0244,00163,00239,0
0024,00163,00009,00014,0
0083,00239,00014,00032,0
3
2
1
21
21
21
ouW
ouW
ouW
WW
WW
WW
Considerações para carteiras com mais de dois ativos Solver
Considerações para carteiras com mais de dois ativos Solver
No campo “Definir célula de destino”, escolher a célula onde consta a fórmula a ser minimizada.
No campo “Células variáveis”, escolher as células onde constam as posições investidas em cada ativo (W1 e W2).
No campo de restriçoes, deve-se colocar a restrição inicial do problema que era de o retorno esperado ser 6%.
Considerações para carteiras com mais de dois ativos
Solver Para estes valores, foi encontrado:
W1 3,97
W2 -7,34
W3 4,37
retorno da carteira 0,059999984 0,06
variância da carteira 0,007625247
Considerações para carteiras com mais de dois ativos
Podemos ainda resolver este problema utilizando a restrição sem venda a descoberto, o que implica que cada Wi deve ser maior ou igual a zero.
Neste caso, uma solução analítica é mais complexa, pois precisaremos de programação matemática para resolução do problema.
Para este mesmo problema, utilize a ferramenta solver do excel com estas restrições.
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