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1
GEOMETRIA ANALITICA
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2
I TEMA COORDENADO CARTE IANO
1.- El sistema coordenado Unidimensional:
Representado por la recta numrica! "ue se determina por #1$%1& '#($%(& se tiene :
)a distancia diri*ida de #1 a #(es : #(- #1+ %(- %1 )a distancia no diri*idaes :
#1 #(
$ %1 & $ %(&
-, - -( -1 1 (
#1 /1 R1 S1 O / R #(
Distancia diri*ida
Distancia no diri*ida
E0emplo:
%%
122121xxPP:esPP =
231xxQP743)4(3xxPP 1221221 ====+====
231xxQP7)4(3xxPP1221221
======
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3
I TEMA COORDENADO CARTE IANO
(.- El sistema coordenado idimensional:
Un punto en el plano se determina mediante el par: # $%!'&
2
3
# $%!'&
I $4 ! 4&II $- ! 4&
III $- -& I5 $4 ! -&
El sistema de coordenadas en el planoconsiste en un par de rectas orientadasperpendiculares! llamadas e0escoordenadas.
Recta 6ori7ontal : e0e % $a8scisa&
Recta 9ertical: e0e ' $ordenada&
)a interseccin de am8as rectas es elori*en.
)as cuatro partes en "ue el plano "uedadi9idido por los e0es coordenadas se llaman
cuadrantes.)as coordenadas del punto # se representan por el par ordenado $%!'&
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4
DI TANCIA ENTRE ( #UNTO EN E)
#)ANO
Sean los puntos #1$%1! '1& ' #($%(! '(&
)a distancia entre #1 ' #(
Se determina por:
Esta e%presin se o8tiene
o8ser9ando la ;i*ura en cu'o
tri
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5
DI TANCIA ENTRE ( #UNTO EN E)
#)ANO
E0emplo 1: Si #1+ $= ! >& ' #(+ $ ? ! (& @allar d$#1! #(& +
E0emplo (: Demostrar "ue los puntos A$-( !-1& ! $(! ( & ' C$? ! -(& son los
9rtices de un tri
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6
DI5I IN DE UN EBMENTO EN UNA RAN
CONOCIDA
#( $%(! '(&
#$%!'&
#1 $%1! '1&
Sea el se*mento ' el punto "ue di9ide a
en la ra7n entonces! las coordenadas
de # Ser
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7
DI5I IN DE UN EBMENTO EN UNA RAN
CONOCIDA
en la ;i*ura #1/# #R#( entonces :
#ara 6allar la Ordenada ' del punto #
#( $%(! '(&
#
#1 $%1!'1&
$%!'&
/
R
%
'
!PP
PP
RP
QP
2
1
2
==
" 1!,1!
! yyy! yy1)y( !! yy! yy
! y! yy"yy)! ( yy"y!yy
y"y!PPPP
212121
21212
1
2
1
+
+=+=++=+
===
=
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8
DI5I IN DE UN EBMENTO EN UNA RAN
CONOCIDA
en la ;i*ura #1/# #R#( entonces :
#ara 6allar la a8scisa % del punto #
#( $%(! '(&
#
#1 $%1!'1&
$%!'&
/
R
%
'
!PP
PP
PR
QP
2
11==
" 1!,1!
! xxx! xx1)x( !! xx! x
! x! xx"xx)! ( xx"x!xx
x"x!PPPP
212121
21212
1
2
1
+
+=+=++=+
===
=
x
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9
DI5I IN DE UN EBMENTO EN UNA RAN
CONOCIDA
#( $%(! '(&
#
#1 $%1!'1&
en la ;i*ura #1/# #R#( entonces :
$%!'&
/
R
O8ser9aciones
1. Si r ! el punto #$% ! '& est< en el interior del se*mento:
1. Si r F ! el punto #$% ! '& est< en el e%terior del se*mento:
(. Si #$%!'& es el punto medio del se*mento entonces la ra7n r + 1
)ue*o las coordenadas del punto # son:
%
'
!PP
PP
PR
QP
2
11==
21PP
21PP21PP
1PP
PP
2
1=
2
yyy#
2
xxx 2121
+=
+=
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1$
DI5I IN DE UN EBMENTO EN UNA RAN
CONOCIDA
E0emplo 1. Si A$(!& ' $,!=& son los e%tremos de un se*mento. @allar las
coordenadas del punto #$%!'& donde:
Solucin:3
1
P
AP=
25
41$
3
11
(4)
3
12
!1!xxx 21 ==
+
+
=
+
+=
4
17
3
11
(8)3
13
!1
!yyy 21 =
+
+
=
+
+=
4
17,
2
5P%L&'
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11
DI5I IN DE UN EBMENTO EN UNA RAN
CONOCIDA
E0emplo 1. Si A$(!& ' $,!=& son los e%tremos de un se*mento. @allar las
coordenadas del punto #$%!'& donde:
Solucin:3
1
P
AP=
4
17,
2
5P%L&'
==
==
=
4
17y
3
1
y8
3y
2
5
x3
1
x4
2x
3
1
P
AP
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12
DI5I IN DE UN EBMENTO EN UNA RAN
CONOCIDA
E0emplo (. @allar los puntos de triseccin ' el punto medio del se*mentocu'os e%tremos son: A$-(!& ' $> !-&
Solucin: A$-(!&
$>!-&
#$%!'&
/
1
1
1
#unto medio M$%!'& :
M
#$1G ! -1& /$(G !1&
==
==
=1y
2
1
y3
3)(y3
1$x
2
1
x2
6x
21
PAP
==
==
=1y2
y3
3)(y3
2x2
x2
6x
2QAQ
$
2
33
2
yyy2
2
26
2
xxx 2121 =
+=
+==
=
+=
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13
#ENDIENTE DE UNA RECTA
#1 $%1!'1&
)
%
'
ANBU)O DE INC)INACIN
Se llama
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14
#ENDIENTE DE UNA RECTA
Sea el
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#ENDIENTE DE UNA RECTA
m + T*
/
#1
$%1!'1&
)
#( $%(!'(&
3
2
'(- '1
%(- %1
OSER5ACIONES
1. Si m entonces el
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#ENDIENTE DE UNA RECTA
m + T*
/
#1
$%1!'1&
)
#( $%( !'(&
3
2
'(- '1
%(- %1
E0emplo 1: @allar la pendiente de la recta ) "ue pasa por los puntos :
#1
$(!1& ' #(
$?!>&
12
12
12 xx,
xx
yy*
=
3
5
2"5
1"6
xx
yy*
12
12==
=
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#ENDIENTE DE UNA RECTA
E0emplo (: )os 9rtices de un tri
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KNBU)O ENTRE DO RECTA
Sean las rectas )1 ' )("ue ;orman un
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KNBU)O ENTRE DO RECTA
DEMOSTRACIN
Sean las rectas )1 ' )("ue ;orman un
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2$
)A RECTA
DEINICIN: )a lLnea recta es el lu*ar *eomtrico de los puntos tales "uetomados dos puntos di;erentes cuales"uiera #1$ %1 ! '1& ' #($ %( ! '(& dellu*ar la pendiente m resulta siempre una constante.
ECUACIONES DE )A RECTA1& orma #unto #endiente :
Si la recta pasa por el punto #1$ %1 ! '1& ' cu'a pendiente es m entonces
la ecuacin de la recta est< dado por : ' - '1+ m $ % - %1 &
#1$%1!'(&
%
#($%( !'(&'
12
12
xx
yy*
=
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21
)A RECTA
#1$%1!'1&
%
#$%!!'&
'
DEMOSTRACIN
)a recta ) pasa por el punto #$%1! '1& ' tiene pendiente conocida m 'sea #$% ! '& un punto cual"uiera de la recta ).
)
#or de;inicin de pendiente de una recta se tiene:
)x*(xyyxx
yy* 11
1
1 ==
)x*(xyy%L 11 =
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22
)A RECTA
#$( ! ?&
%
#$%!!'&'
E0emplo. @allar la ecuacin de la recta ) "ue pasa por el punto #$( !?&' tiene pendiente .
SO)UCION: )
$1y3x%L63x5y
2)3(x5y)x*(xyy
-(2,5),3*
11
==
===
)x*(xyy%L 11 =
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23
)A RECTA
)a recta ) pasa por los puntos : #1$ %1! '1& ' #($ %(! '(& entonces la
pendiente ......$1&
( & Ecuacin de la Recta "ue pasa por ( puntos:
Si la recta ) pasa por lo puntos #1$ %1! '1& ' #($ %(! '(& su ecuacin
es:
DEMOSRACION:
#1$%1!'1&
%
#($%( !'(&'
Se conoce la ecuacin de la recta en su ;orma punto pendiente
' - '1+ m$ % - %1&......$(&
Rempla7ando $1& en $(& se tiene:
12
12
xx
yy*
=
)x(xxx
yyyy%L 1
12
121
=
)x(x
xx
yyyy%L 1
12
121
=
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24
)A RECTA
E0emplo. @allar la ecuacin de la recta ) "ue pasa por los puntos #1$ -( ! -&
' #($ , ! >&
SO)UCIN:)x(x
xx
yyyy%L 1
12
121
=
$2 y"3 x%L
6x362 y2 )(x2
3)3(y
2 )(x
6
9)3(y2 )(x
24
36)3(y
))2((x)2(4
)3(6))3((y
=
+=++=+
+=++
+
+=+
=
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25
)A RECTA
& #endiente ' ordenada en el ori*en:
Una Recta con #endiente m ' "ue corta al e0e ' en el punto $ !8 & su
ecuacin es :
DEMOSTRACIN:
' + m% 4 8
)
%
'
$ ! 8&
.*xy
*x."y$)*(x.y
)x*(xyy%L 11
+=
==
=
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)A RECTA
, & Ecuacin Simtrica
Si una Recta corta a los e0es
Coordenados en $ a ! & ' $ ! 8 &
su Ecuacin es :
? & Ecuacin Beneral
)a Ecuacin Beneral de una Recta esta representado por :
Donde :
En la Ecuacin $ 1 & si :
A + ' 4 C + es una recta @ori7ontal
+ A% 4 C + es una recta 5ertical
A% 4 ' 4 C + . . . $ 1 &
$ !8 &
$ a! & %
'
1.
y
/
x=+
B
Am =
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)A RECTA
Distancia de un punto a una Recta
Sea la Recta ): A% 4 ' 4 C + '
Sea el #unto #1$ %1! '1 & la distancia
d del punto # a la recta ) esta dado
por:
)
%
'
d
# $%1! '1&
Distancia entre dos rectas paralelas
Dadas las rectas paralelas :
)1: A% 4 ' 4C1+ ' )(: A% 4 ' 4C( +
la distancia de )1 a )( est< dado por:
22
11
A
CyAxL)d(P,
+
++=
22
2121
A
CC)L,d(L
+
=
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28
)A RECTA
)
%
'
d
# $? !, &
E0emplo1. @allar la distancia del punto
#$? ! ,& a la recta ) : % 4 ,' - >+
)22
11
A
CyAxL)d(P,
+
++=
55
25
25
25L)d(P,
43
64(4)3(5)L)d(P,
22
===
+
+=
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29
)A RECTA
)
%
'
d
/ $? !> &E0emplo(. @allar la distancia "ue e%isteentre el punto R$, ! -(& del plano ' larecta "ue pasa por los puntos #$- ! (& '/$? ! >&
SO)UCIN)
# $- !( &
R $, !-( &
Aplicamos la ecuacin punto pendientede la recta: ' - '1+m$% - %1&
535
515
5
15
5
15L)d(R,
21
72("2)"1(4)L)d(R,
A
CyAxL)d(R,
2222
11
====
+
+==
+
++=
21
84
3526* ==
+=
$72yx%L3x4"2y3)(x
2
12y =++=+=
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3$
)A RECTA
#osicin Relati9a de ( Rectas
Sean las rectas : )1: A1% 4 1' 4 C1 +
)(: A(% 4 (' 4 C(+
Si )1GG )(m1+ m(
Si )1)( m1. m(+ -1 A1A(4 1(+
Si )1' )(son coincidentes :
2
1
2
1
B
B
A
A =
2
1
2
1
2
1
CC
BB
AA ==
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)A CIRCUNERENCIA
DEEINICION: )a Circun;erencia es el lu*ar *eomtrico del con0unto depuntos en el plano tal "ue la distancia de un punto ;i0o a cada uno de elloses una constante.
Centro $C& : #unto ;i0o
radio r : distancia constante
d$# ! C& + r
C$6!P&
r
#$%!'&
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32
)A CIRCUNERENCIA
E)EMENTOS DE )A CIRCUNERENCIA
C
r
E
D
A )T
)N
1. Centro de la circun;erencia. C (. Radio de la circun;erencia r
. Di. Recta normal a la circun;erencia. )N
A
0
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)A CIRCUNERENCIA
Una Circun;erencia "ueda completamente de;inida! si se conoce su centro 'su radio.
Ecuaciones de la Circun;erencia:
1& orma Ordinaria:
Sea el Centro de la Circun;erencia
C $ 6!P & ' radio r .
Si # $%!'& es un punto
#or distancia:
(& orma cannica
si el Centro es el ori*en su ecuacin es :
C$6!P&
r
#$%!'&
3
2
$% - 6&(4 $' - P&(+ r(
#$%!'&
3
2
!PC =
!)(y)(x 22 =+
222!yx =+
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34
)A CIRCUNERENCIA
E0emplo 1. Escri8ir la ecuacin de la circun;erencia de centro C$- ! -,& 'radio ?.
Solucin.
E0emplo (. )os e%tremos de un di
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35
)A CIRCUNERENCIA
E0emplo . @allar la ecuacin de la circun;erencia cu'o centro est< so8re el
e0e % ' "ue pasa por los dos puntos A$1 ! & ' $, ! >&
'
%
A
C$%!&
)a ecuacin de la circun;erencia:
( ) ( )
( ) ( ) 4 591791x7x
4 26 x3 61 68 xx912 xx
3 64"x91x
22
22
22
=+=+==
=++=++
+=+
r
364)(x91)(x)d(C,A)d(C,! 22 +=+==
( ) ( ) 45$"y7x 22 =+
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36
)A CIRCUNERENCIA
O8ser9aciones:
C$6!P&Si la circun;erencia es tan*ente ale0e % su ecuacin es :
%
'
P
%
'C$6!P&6
Si la circun;erencia es tan*ente al
e0e ' su ecuacin es :
( ) ( ) 222
yx =+
( ) ( ) 222 yx =+
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37
)A CIRCUNERENCIA
& Ecuacin Beneral
Desarrollando la ecuacin ordinaria de la circun;erencia tenemos:
Completando cuadrados lo lle9amos a su ;orma ordinaria
Esta ecuacin tiene la misma ;orma "ue:
Se llama ;orma *eneral de la circun;erencia. %(4 '(4 D% 4 E' 4 +
2
,
2
"CC'!&
E40E
2
1!
4
E
4
" 0!
4
E
4
"0
2
Ey
2
x
4
E
4
0"2
E
Eyy2
xx
$0Eyxyx
22
222
2222
2222
22
22
+=
++=++=
++
+
++=
+++
++
=++++
( ) ( )
). . . . . . . . ( 1$!2y2xyx
!2yy2xx!yx
22222
22222222
=+++
=+++=+
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38
)A CIRCUNERENCIA
E0emplo . Reduciendo las ecuaciones dadas a la ;orma ordinaria !determinar si representa o no una circun;erencia.
a. (%(4 ('( - >% 41' 4 Q +
8. ,%(4 ,'(4(=% - =' 4 ? +
c. 1>%( 4 1>'(- >,% 4 =' 4 1QQ +
Solucin.
- Si D( 4 E( - , la Circun;erencia es real
- Si D( 4 E( - , F la Circun;erencia es ima*inaria
- Si D( 4 E( - , + la Circun;erencia representa un punto
40E2
1! 22 +=
2,
2
"CC'!&
E
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)A CIRCUNERENCIA
)ue*o la ecuacin es una circun;erencia
de centro C $G( ! -?G(& ' radio
5)(y)2
3"(x1$)2(y)
2
3"2(x
2
25
2
9"7)
2
55y2(y)
2
33x2(x
$71$y6x2y2x/.
22522
252
22
22
22
=++=++
++=+++
+
=+++
5
52
5y
2
3x
54
25
4
9
2
7
2
55yy
2
33x"x
$2
75y3xy x
$71$y6x2y2x/.
22
22
22
22
22
=
++
=++=
+++
+
=+++
=+++
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4$
)A CIRCUNERENCIA
)ue*o la ecuacin representa el punto C$-QG( ! 1&
)ue*o la ecuacin representa un con0unto 9acLo ouna circun;erencia ima*inaria.
$)1"(y)2
7
(x)1"(y4)2
7
4(x
449"53)1y24(y)2
7x74(x
$538284y4x.
2222
22
2
22
=++=++
++=++
++
=+++ yx
7)4
1(y2)"(x)
4
116(y2)16(x
164"177)4
1
2
y
16(y)2
4
4x16(x
$1778y64x16y16x.
2222
22
22
22
=++=++
++=
+++
+
=+++
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41
CUR5A CNICA
Una Cnica es el con0unto de puntos cu'as distancias diri*idas a un punto
;i0o $ oco & ' a una Recta ;i0a $ Directri7 &! es una ra7n constante llamada
e%centricidad.
Si:
e + 1 la cnica se llama #ar
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42
)A #ARK1O)A
Es el con0unto de puntos "ue e"uidistan
de una recta ;i0a llamada directri7 ' de un
punto ;i0o llamado oco.
Elementos:
oco: #unto ;i0o
E0e ocal: Recta DD ' pasa por el oco
5rtice: #unto 5
Cuerda:
Cuerda ocal:
)ado Recto:
Radio 5ector:
Directri7 : DD
M#
M
R
D
D
5
N
2
@
D
)
%
PPM =
MN
!"
#$
!
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)A #ARK1O)A
Ecuaciones de la #ar
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44/73
44
)A #ARK1O)A
2
3
)
D
2
3
D
D
$p!&
o
o
5
5
#$%!'&
D
E)EMENTOS
1. El 9rtice 5$!&
(. El ;oco $p!&
. )ado Recto )R +S , p S
,. Ecuacin de la directri7: % + - p
)
R
)
'(+ ,p%
R
0- =
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45
)A #ARK1O)A
Ecuaciones de la #ar
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46
)A #ARK1O)A
E)EMENTOS
1. El 9rtice 5$!&
(. El ;oco $ ! p&
. )ado Recto )R +S , p S
,. Ecuacin de la directri7: ' + - p
2
3
DD
2
3
DD
o
o
5
5
3( + ,p'
) R
) R
0- =
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47
)A #ARK1O)A
E0emplo 1. @allar las coordenadas del ;oco! la ecuacin de la directri7 ' la
lon*itud del lado recto ' *ra;icar.
a. %(- 1(' + 8 . '( 4 =% +
Solucin:
2
3
DD
o5
1. 5rtice 5$!&(. oco $!p& $!&
. Directri7 ' + - p ' + -
,. )ado Recto )R+ |,p | )R + 1(
como p la par
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48
)A #ARK1O)A
E0emplo 1. @allar las coordenadas del ;oco! la ecuacin de la directri7 ' la
lon*itud del lado recto ' *ra;icar.
a. %(- 1(' + 8 . '( 4 =% +
Solucin:
2
3-(
D
D
o
5
1. 5rtice 5$!&(. oco $ p ! & $ -(! &
. Directri7 % + - p % + - $ -(& + (
,. )ado Recto )R+ |,p | )R + =
como pF la par
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49
)A #ARK1O)A
Ecuacin Ordinaria de la #ar
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5$
)A #ARK1O)A
$ ' - P &((+ ,p $ % - 6 &D
D
D
D
5
5
2
2
3
3
$6!P&
$6!P&
E)EMENTOS
1. El 9rtice 5$ 6 ! P&
(. El ;oco $6 4 p ! P&
. )ado Recto )R+ |,p |
,. Ecuacin de la directri7 % + 6 - p
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)A #ARK1O)A
Ecuacin Ordinaria de la #ar
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52
)A #ARK1O)A
$ % - 6 &(+ ,p $ ' - P &
DD
DD
5
5
2
2
3
3
$6!P&
$6!P&
E)EMENTOS
1. El 9rtice 5$ 6 ! P&
(. El ;oco $ 6 ! P 4 p&
. )ado Recto )R+ |,p |
,. Ecuacin de la directri7 ' + P - p
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)A #ARK1O)A
?. )a Ecuacin Beneral de la #ar
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)A #ARK1O)A
E0emplo( . @allar la ecuacin de la par
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55
)A #ARK1O)A
E0emplo . @allar las coordenadas del 9rtice ' del ;oco. )as ecuaciones
de la directri7 ' e0e! ' la lon*itud del lado recto.
,'(-,=% -(' - Q1 +
Solucin:
Completando cuadrados para la 9aria8le '! se tiene:
De donde 6 + -( ! P + ?G( ! ,p + 1( ! p+ 5rtice 5$ 6 ! P& 5$ -( ! ?G(&
oco $ 64p ! P & $ -( 4 ! ?G(& $ 1 ! ?G(&
Ec. De la directri7: % + 6 - p % + -( - % + -?
Ec del e0e : 2 + P ' + ?G( )R + 1(
2 )1 2 ( x5 = 2 )(y
2 41 2 x4
2 5
4
7 11 2 x
4
2 55 yy
$4
7 11 2 x5 yy$7 14 8 x2 $ y4 y
2
2
22
+=
+=++=+
==
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56
)A #ARK1O)A
E0emplo . @allar las coordenadas del 9rtice ' del ;oco. )as ecuaciones
de la directri7 ' e0e! ' la lon*itud del lado recto.
,'(-,=% -(' - Q1 +
Solucin:
Completando cuadrados para la 9aria8le '! se tiene:
De donde 6 + -( ! P + ?G( ! ,p + 1( ! p+ 5rtice 5$ 6 ! P& 5$ -( ! ?G(&
oco $ 64p ! P & $ -( 4 ! ?G(& $ 1 ! ?G(&
Ec. De la directri7: % + 6 - p % + -( - % + -?
Ec del e0e : 2 + P ' + ?G( )R + 1(
9 64 8 x2 57 14 8 x42 5
5 yy4 2 +=++=
+( ) 7148x2$y4y2 +=
21 2 ( x
2
5y2 41 2 x
4
2 55 yy
22 +=
+=
+
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)A #ARK1O)A
E0emplo ,. @allar las coordenadas del 9rtice ' del ;oco. )as ecuaciones
de la directri7 ' e0e! ' la lon*itud del lado recto.
,%(4 ,=' 4 1(% 1?J +
Solucin:
Completando cuadrados para la 9aria8le %! se tiene:
De donde 6 + -G( ! P + QG( ! ,p + -1( ! p+ -
5rtice 5$ 6 ! P& 5$ - G( ! QG( &
oco $ 6 ! P 4 p & $ -G( ! QG( &$ -G( ! 1G( &
Ec. De la directri7: ' + P - p ' + QG( 4 ' + 1 G ( (' 1 + (
Ec del e0e : % + 6 % + -G( (% 4 + )R + 1(
7= 2)12(y3= 2)(x
4212y4
16812y
4
9
4
15912y
4
93xx
$4
15912y3xx$15948y12x4x
2
2
22
=+
+=+=++=++
=++=++
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58
)A #ARK1O)A
E0emplo ,. @allar las coordenadas del 9rtice ' del ;oco. )as ecuaciones
de la directri7 ' e0e! ' la lon*itud del lado recto.
,%(4 ,=' 4 1(% 1?J +
Solucin:
Completando cuadrados para la 9aria8le %! se tiene:
De donde 6 + -G( ! P + QG( ! ,p + -1( ! p+ -
5rtice 5$ 6 ! P& 5$ - G( ! QG( &
oco $ 6 ! P 4 p & $ -G( ! QG( &$ -G( ! 1G( &
Ec. De la directri7: ' + P - p ' + QG( 4 ' + 1 G ( (' 1 + (
Ec del e0e : % + 6 % + -G( (% 4 + )R + 1(
1 64 8 y91 5 94 8 y49
3 xx4 2 +=++=
++( ) 1548y12x4x2 +=+
)
2
7"y(12
2
3x42y12
4
93xx
22 =
++=
++
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59
)A E)I# E
De;inicin:
Dado ( puntos ;i0os 1' ( un numero (a la elipse es el con0unto de
puntos cu'a suma de las distancias de un punto de la cur9a a sus puntos
;i0os es siempre i*ual a (a.
(1
#
Cocos: 1! (
C : centro
2/P0P0 21 =+
R2/,002/ 21 >
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6$
)A E)I# E
E)EMENTOS DE )A E)I#SE:
ocos: 1 ' ( .
E0e ocal: Es la recta "ue pasa por
los ocos.
5rtice: #untos 51' 5(.
Centro: C #unto medio de 51 ' 5(.
E0e Normal: Recta "ue pasa por el centro
' es al e0e ocal.
E0e Ma'or: Se*mento
E0e Menor: Se*mentoCuerda: Se*mento
Cuerda ocal: se*mento
)ado Recto: Se*mento
Directri7: Rectas DD.
D D
D D
/
51 5(C
) )M
1
(1
N RR
1 (
21%%
21
MN
MQ
#$
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61
)A E)I# E
Ecuaciones de la Elipse:
1& Centro en el Ori*en ' e0e ocal el
e0e % su ecuacin es:
8( + a( - c(
Elementos
1. )os 9rtices son: 51$ -a! & 5($ a! & :
(. )os ;ocos: 1$- c! & ($c ! &
. E%tremos del e0e menor: 1$ ! -8& ! ($ ! 8&
,. )ado recto : ?. Ecuacin de la directri7:
>. E%centricidad :
5(51
(1$-a!& $a!&
D D
DD
3
2(
1
1
y
/
x2
2
2
2
=+
/
2LR
2
= /
x2
=
1/
'
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62
)A E)I# E
Ecuaciones de la Elipse:
(& Si el e0e ocal es el e0e 2 su ecuacin
es:
8(+ a(- c(
Elementos
1. )os 9rtices son: 51$ ! -a & 5($ ! a &
(. )os ;ocos: 1$ ! - c& ($ ! c &
. E%tremos del e0e menor: 1$ -8 ! & ! ($ 8 ! &
,. )ado recto :
?. Ecuacin de la directri7: >. E%centricidad :
51
5(
1
(
$!-c&
$!c&
3
2
1 (
1
/
y
.
x2
2
2
2
=+
/
2LR
2
=
/y
2
= 1/
'
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63
)A E)I# E
51
5(
1
(
$!-c&
$!c&
3
2
1 (
E0emplo: @allar las coordenadas del 9rtice ' ;ocos! la lon*itud de los e0es ma'or ' menor ! la
e%centricidad ' la lon*itud del lado recto.
Bra;icar la cur9a.J%(4 ,'(+ >
Solucin:Di9idiendo cada trmino entre >
a + ! 8+ ( ! c(+ a(- 8(+ J - , +
1. )os 9rtices son: 51$ ! - & 5
($ ! &
(. )os ;ocos: 1$ ! - & ($ ! &
. E%tremos del e0e menor: 1$ -( ! & ! ($ ( ! &
,. )ado recto : ?. E%centricidad :
>. )on*itud del e0e ma'or +(a +>
Q. )on*itud del e0e menor + (8 + ,
19
y
4
x364y9x
2222 =+=+
5 5
3
8
/
2LR
2
== 35
/
' ==
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64
)A E)I# E
5(51
(1
D D
DD
3
2(
1
E0emplo:
@allar las coordenadas del 9rtice ' ;ocos!la
lon*itud de los e0es ma'or ' menor !la
e%centricidad ' la lon*itud del lado recto.Bra;icar la cur9a.1> %(4 (? '(+ ,Solucin:Di9idiendo cada trmino entre ,
a + ? ! 8+ , ! c(+ a(- 8(+ (? 1> + J c +
1. )os 9rtices son: 51$-? ! & 5
($ ? ! &
(. )os ;ocos: 1$ - ! & ($ ! &
. E%tremos del e0e menor: 1$ ! -, & ! ($ ! , &
,. )ado recto : ?. E%centricidad :
>. )on*itud del e0e ma'or +(a + 1
Q. )on*itud del e0e menor + (8 + =
116
y
25
x4$$25y16x
2222 =+=+
5
32
/
2LR
2
== 53
/
' ==
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65
)A E)I# E
ECUACIN ORDINARIA DE )A E)I#SE :
1 - Si el centro es el #unto C$ 6 ! P&
' tiene e0e ocal #aralelo al
e0e 3! su ecuacin es:
)A E)I# E
5(51
(1
D D
DD
3
2(
1
O
C
P
6
Elementos
1. )os 9rtices son: 51$ 6 -a!P & 5($6 4 a !P & :
(. )os ;ocos: 1$ 6- c!P & ($ 6 4 c !P &
. E%tremos del e0e menor: 1$ 6 ! P - 8& ! ($6 !P4 8&
,. )ado recto : ?. E%centricidad
>. Ecuacin de la directri7:
8(+a(-c(( ) ( ) 1
y
/
x2
2
2
2 =+
/
2LR
2
=
/x
2
=
1/
'
7/26/2019 Geometria Anlitica_ Matemtica bsica
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66
)A E)I# E
ECUACIN ORDINARIA DE )A E)I#SE :
(- Si el centro es el punto C$ 6!P&
el e0e ocal es #aralelo al e0e '
su ecuacin es:
Elementos
1. )os 9rtices son: 51$6 P -a & 5($ 6 ! P4a &
(. )os ;ocos: 1$ 6 ! P- c& ($ 6 ! P 4c &
. E%tremos del e0e menor: 1$ 6- 8 ! P& !
($ 6 4 8 ! P&,. )ado recto :
?. Ecuacin de la directri7:
>. E%centricidad :
51
5(
1
(
3
2
1 (C
6
P
DD
( ) ( )1
/
y
x
2
2
2
2
=
+
/2LR 2=
/y
2
=
1/
'
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67
)A E)I# E
ECUACIN BENERA) DE )A E)I#SE)a Ecuacin Beneral es: Donde A ' son del mismo si*no.
A%(4 '(4 D% 4 E' 4 +
E0emplo. )a ecuacin de una elipse es J%(4 (?'(- >% 4 1?' 4 > + ! reduciresta ecuacin a la ;orma ordinaria ' determinar las coordenadas decentro! 9rtices! ;ocos! lon*itudes del e0e ma'or ' menor! lado recto '
la e%centricidadSolucin:
a(+ (? ! 8(+J c(+ a(- 8(+ (? - J +1>
a + ? ! 8 + ! c + ,
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )1
9
3y
2 5
2x
2 2 53y2 52x9
2 23 6"3 636 yy2 524 xx9
"3 66 yy2 54 xx9
"3 61 5 $ y )2 5 y(3 6 x )(9 x
$3 61 5 $ y3 6 x2 5 y9 x
22
22
2222
22
22
22
=+
+
=++
++=++++
=+++
=++
=+++
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68
)A E)I# E
5(51
(1
3
2
(
1
O C
1. Centro: C$( ! -& ! 6 + ( ! P+ -
(. 5rtices:: 51$ 6 -a!P & 5($ 6 4 a !P &
51$ (-? ! - & 5($ (4? ! - & 51$ - ! - & 5($ Q ! - &
(. ocos: 1$ 6- c!P & ($ 6 4 c !P & 1$ -( ! - & ($ > !- &. E%tremos del e0e menor: 1$ 6 ! P - 8& ! ($6 !P4 8& 1$ ( ! ->& ! ($ ( ! &
,. )ado recto : ?. E%centricidad:
a(+ (? ! 8(+J
c(+ a(- 8(+ (? - J +1>
a + ? ! 8 + ! c + ,
5
18
5
2x9
/
2LR
2
===5
4
/
' ==
( ) ( )1
9
3y
25
2x22
=+
+
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69/73
69
)A E)I# E
E0emplo. )os ;ocos de una elipse son los puntos 1$-, ! -(& ' ($ -, ! ->&! ' la
lon*itud de cada lado recto es > . @allar la ecuacin de la elipse ' su
e%centricidad.
Solucin:
51
5(
1
(
3
2
1 (
El e0e ;ocal de la elipse es paralelo a l e0e ' laecuacin es de la ;orma:
C1/
)"(y
)"(x2
2
2
2
=+
3/.....(26/
2
/
2LR
.....(14.........//
24("2 )"6"002;
222
22222
21
===
==
====
7/26/2019 Geometria Anlitica_ Matemtica bsica
70/73
7$
)A E)I# E
Reempla7ando $(& en $1&
21
42
/'
11 6
4 )(y
1 2
4 )(x%'& /;< / ; ' ':'L & '
4 )4 ,(2
62,
2
44C
0y0d '*'d ;- & '':' !E
324/
"1/4/$1 )4 )(/"(/$4"3 /"/
22
21
2
===
=+++
=
==
===+=
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71
E0emplo. )os ;ocos de una elipse son los puntos 1$-( ! -(& ' ($ , ! -( & . @allar
la ecuacin de la elipse si uno de sus 9rtices est< so8re la recta
) : % ' = + .
Solucin:
)A E)I# E
5(51
(1
2
O
C
Con los datos del pro8lema ! la
ecuacin de la elipse es:
%( ) ( )
1
y
/
x2
2
2
2
=+
5/$8/L )/,(
2 )C(1,2
22
,2
42
C )C(,
==++=
+
16925/
362)0,d(0
2222
21
===
=== ( ) ( ) 116
2y
25
1x%E
22
=++
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72
E0emplo. )a ecuacin de una elipse es J%(4 ,'( =' ( + . @allar la
e%centricidad ' lado recto.
Solucin:
)A E)I# E
( ) ( )( ) ( )
3
5'
/
'
38
32(4)
/2LR
5549/4,9/
1,$19
1y
4
$x
3643212yy4$x9
2
222222
22
22
==
===
======
===
+
=+=++
7/26/2019 Geometria Anlitica_ Matemtica bsica
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73
)A #ARK1O)A
E0emplo . Con los datos de la ;i*ura . @allar el ;oco! ecuacin de la directri7!lon*itud del lado recto.
Solucin:
-,
$!(&
5
)a par
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