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GEOMETRIA ANALGEOMETRIA ANAL ÍÍTICATICA
ESTUDO DO PONTOESTUDO DO PONTO
B
AM
xBxMxA
yB
yM
yA
x
y
xM =xA + xB
2yM =
yA + yB
2e
0
PONTO MÉDIO
x
y
xC
yAA
B
C
xA xB
yB
yC
BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO
MM11
MM22
MM33GG
xG =xA + xB + xC
3yM =
yA + yB + yC
3e
Calcule as coordenadas do baricentro de um triângul o ABC, Calcule as coordenadas do baricentro de um triângul o ABC, sabendo que AD sabendo que AD éé uma de suas medianas e que A(uma de suas medianas e que A( --5, 8) e D(1, 5, 8) e D(1, --1). 1).
a) (0, 2) b) (a) (0, 2) b) (--1, 2) c) (2, 1, 2) c) (2, --1) d) (1) d) (--1, 1) e) (2, 1, 1) e) (2, --2)2)
x
y
xC
yAA
B
C
xA xB
yB
yC
ÁREA DE UM TRIÂNGULO
1yCxC
1yBxB
1yAxA
A = 1
2
x
y
4
1 A
B
C
2 6
3
5
③③③③
①①①① ②②②②
M
NP
AT = AMNP – (AT1 + AT2 + AT3)
( UFPR – 2012 ) Calcule a área do quadrilátero P 1P2P3P4 , cujas coordenadas cartesianas são dadas na figura abaixo.
( FURG-RS ) Os pontos (1,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano estão alinhados se e somente se:
a) k = 15 b) k = 11c) k = 14d) k = 12e) k = 13
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GEOMETRIA ANALGEOMETRIA ANAL ÍÍTICATICA
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOSDISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
B
AM
xBxMxA
yB
yM
yA
x
y
xM =xA + xB
2yM =
yA + yB
2e
0
PONTO MÉDIO
x
y
xC
yAA
B
C
xA xB
yB
yC
ÁREA DE UM TRIÂNGULO
1yCxC
1yBxB
1yAxA
A = 1
2
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
(dAB)2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2
2AB
2ABAB )y(y)x(xd −+−=
( UFRGS ) Sendo os pontos A (– 1, 5) e B(2, 1) vér tices consecutivos de um quadrado, o comprimento da diagonal desse quadrado é
x
yB – yA
A
B
xA xB
yA
yB
y
0
xB – xA
ESTUDO DO PONTO
2AB
2ABAB )y(y)x(xd −+−=
xx x
MA B=
+2
yy y
MA B=
+2
( UFPEL ) Na arquitetura, a matem( UFPEL ) Na arquitetura, a matem áática tica éé usada a usada a todo momento. A geometria todo momento. A geometria éé especialmente especialmente necessnecess áária no desejo de projetos. Essa parte da ria no desejo de projetos. Essa parte da MatemMatem áática ajuda a definir a forma dos espatica ajuda a definir a forma dos espa çços, os, usando as propriedades de figuras planas e usando as propriedades de figuras planas e ssóólidas. Ajuda tamblidas. Ajuda tamb éém a definir a medidas desses m a definir a medidas desses espaespa çços. Uma arquiteta os. Uma arquiteta éé contratada para fazer o contratada para fazer o jardim de uma residência, que deve ter o formato jardim de uma residência, que deve ter o formato triangular. Analisando a planta baixa, verificatriangular. Analisando a planta baixa, verifica --se se que os vque os v éértices possuem coordenadas rtices possuem coordenadas A(8,4); A(8,4); B(4,6); C(2,4). No ponto mB(4,6); C(2,4). No ponto m éédio do lado formado dio do lado formado pelos pontos A e C pelos pontos A e C éé colocado um suporte para colocado um suporte para luminlumin áárias. Considerando o texto e seus rias. Considerando o texto e seus conhecimentos, conhecimentos, éé correto afirmar que a distância correto afirmar que a distância do suporte atdo suporte at éé o ponto B mede, em unidades de o ponto B mede, em unidades de comprimento.comprimento.
17e)
13d)
5c)
3b)
37a)
ESTUDO DO PONTO
2AB
2ABAB )y(y)x(xd −+−=
xx x
MA B=
+2
yy y
MA B=
+2
( UFPR ( UFPR –– 2011 ) Durante um passeio, uma 2011 ) Durante um passeio, uma pessoa fez o seguinte trajeto: partindo de um pessoa fez o seguinte trajeto: partindo de um certo ponto, caminhou 3 km no sentido norte, certo ponto, caminhou 3 km no sentido norte, em seguida 4 km para o oeste, depois 1 km no em seguida 4 km para o oeste, depois 1 km no sentido norte novamente, e então caminhou 2 sentido norte novamente, e então caminhou 2 km no sentido oeste. Apkm no sentido oeste. Ap óós esse percurso, a s esse percurso, a que distância a pessoa se encontra do ponto que distância a pessoa se encontra do ponto de onde iniciou o trajeto?de onde iniciou o trajeto?
ESTUDO DO PONTO
2AB
2ABAB )y(y)x(xd −+−=
xx x
MA B=
+2
yy y
MA B=
+2
( UFRGS ( UFRGS –– 2013 ) Considere os gr2013 ) Considere os gr ááficos das ficos das funfun çções f e g, definidas por f(x) = xões f e g, definidas por f(x) = x 22 + x + x –– 2 e 2 e g(x) = 6 g(x) = 6 –– x, representadas no mesmo sistema x, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, e os pontos A e B, de coordenadas cartesianas, e os pontos A e B, intersecintersec çção dos grão dos gr ááficos das funficos das fun çções f e g, ões f e g, como na figura abaixo. como na figura abaixo.
A distância entre os A distância entre os pontos A e B pontos A e B éé: :
26e)
25d)
24c)
23b)
22a)
ESTUDO DO PONTO
2AB
2ABAB )y(y)x(xd −+−=
xx x
MA B=
+2
yy y
MA B=
+2
Seja uma circunferência cujo centro pertence Seja uma circunferência cujo centro pertence ao eixo das abscissas e os pontos (2, 2) e (8,4) ao eixo das abscissas e os pontos (2, 2) e (8,4) as extremidades de uma de suas cordas. A as extremidades de uma de suas cordas. A áárea da superfrea da superf íície limitada por essa cie limitada por essa circunferência mede: circunferência mede:
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GEOMETRIA ANALGEOMETRIA ANAL ÍÍTICATICA
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
ESTUDO DA RETA
EQUAÇÕES DA RETA
EQUAÇÃO GERAL
ax + by + c = 0
EQUAÇÃO REDUZIDA
y = mx + n
Coef. angular
Coef. linear
FORMAS DE OBTENÇÃO
0
1yx
1yx
1yx
BB
AA =
Dados 2 pontos
x
y
O 3
1
r
2
3
A
BP(x, y)
133
121
1yx= 0
x + 3y + 6 – 3 – 3x – 2y = 0– 2x + y + 3 = 0 geraly = 2x – 3 reduzida
Coef. angular
Coef. linear
ESTUDO DA RETA
EQUAÇÕES DA RETA
EQUAÇÃO GERAL
ax + by + c = 0
EQUAÇÃO REDUZIDA
y = mx + n
Coef. angular
Coef. linear
FORMAS DE OBTENÇÃO
0
1yx
1yx
1yx
BB
AA =
Dados 2 pontos
( UDESC ) A soma do coeficiente angular ( UDESC ) A soma do coeficiente angular com o coeficiente linear da reta que com o coeficiente linear da reta que passa pelos pontos passa pelos pontos A(A(1,5) e 1,5) e B( B( 4,14) 4,14) éé::
ESTUDO DA RETA
EQUAÇÕES DA RETA
EQUAÇÃO GERAL
ax + by + c = 0
EQUAÇÃO REDUZIDA
y = mx + n
Coef. angular
Coef. linear
FORMAS DE OBTENÇÃO
0
1yx
1yx
1yx
BB
AA =
Dados 2 pontos
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR
B
x
y
O
yB
yA
xBxA
A
αααα
(0, n)
αααα
yB– yA
xB– xA
r
AB
AB
xx
yym
−−
=
m = tg α
∆x∆y
m =
Conhecendo 2 pontos
Conhecendo a inclinação
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR
B
x
y
O
yB
yA
xBxA
A
αααα
(0, n)
αααα
yB– yA
xB– xA
r
AB
AB
xx
yym
−−
=
m = tg α
∆x∆y
m =
Conhecendo 2 pontos
Conhecendo a inclinação
x
y
Oα
A
B
–2 1
3
5
2)(135
m−−
−=
AB
AB
xx
yym
−−
=
32
m =
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR
B
x
y
O
yB
yA
xBxA
A
αααα
(0, n)
αααα
yB– yA
xB– xA
r
AB
AB
xx
yym
−−
=
m = tg α
∆x∆y
m =
Conhecendo 2 pontos
Conhecendo a inclinação
x
y
Oα
A
B–2
3
3
–1
2)331-m
−−−=(
AB
AB
xx
yym
−−
=
54
m −=
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR
B
x
y
O
yB
yA
xBxA
A
αααα
(0, n)
αααα
yB– yA
xB– xA
r
AB
AB
xx
yym
−−
=
m = tg α
∆x∆y
m =
Conhecendo 2 pontos
Conhecendo a inclinação
x
y
O120º45º
rt
� mr = tg 45º = 1
� mt = tg 120º – √3= – tg 60º =
60º
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR
B
x
y
O
yB
yA
xBxA
A
αααα
(0, n)
αααα
yB– yA
xB– xA
r
AB
AB
xx
yym
−−
=
m = tg α
∆x∆y
m =
Conhecendo 2 pontos
Conhecendo a inclinação
CASOS PARTICULARES
x
y
O
A B
–1 3
3
m = tg α
m = tg 0°
m = 0
EQUAÇÃO
y = 3
x
y
O
M
N
–12
3
m = tg α
m = tg 90°
m (não existe)
EQUAÇÃO
x = 2
( UFRGS ( UFRGS –– 2012 ) As equa2012 ) As equa çções das retas representadas no sistema de ões das retas representadas no sistema de coordenadas cartesianas abaixo são: coordenadas cartesianas abaixo são:
2x + y 2x + y –– 3 = 0, 5x 3 = 0, 5x –– 4y 4y –– 8 = 0 e x 8 = 0 e x –– 3y + 3 = 0. 3y + 3 = 0.
As equaAs equa çções de ões de r r e e s s são, respectivamente, são, respectivamente,
a) 2x + y a) 2x + y –– 3 = 0 e x 3 = 0 e x –– 3y + 3 = 0. 3y + 3 = 0. b) 2x + y b) 2x + y –– 3 = 0 e 5x 3 = 0 e 5x –– 4y 4y –– 8 = 0. 8 = 0. c) 5x c) 5x –– 4y 4y –– 8 = 0 e x 8 = 0 e x –– 3y + 3 = 0. 3y + 3 = 0. d) x d) x –– 3y + 3 = 0 e 2x + y 3y + 3 = 0 e 2x + y –– 3 = 0. 3 = 0. e) x e) x –– 3y + 3 = 0 e 5x 3y + 3 = 0 e 5x –– 4y 4y –– 8 = 0.8 = 0.
ESTUDO DA RETA
EQUAÇÕES DA RETA
EQUAÇÃO GERAL
ax + by + c = 0
EQUAÇÃO REDUZIDA
y = mx + n
Coef. angular
Coef. linear
FORMAS DE OBTENÇÃO
0
1yx
1yx
1yx
BB
AA =
Dados 2 pontos
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR
AxBxAyBy
m−
−=m = tg α
Dados 1 ponto e o coef. angular
y – yo = m(x – xo)
( UFPR ) Sabe-se que a reta r passa pelos pontos A = (−2,0) e P = (0,1) e que a reta s é paralela ao eixo das ordenadas e passa pelo ponto Q = (4,2). Se B é o ponto em que a reta s intercepta o eixo das absciss as e C é o ponto de interseção das retas r e s, então o perímetro do tr iângulo ABC é:
)3(5e)
)33(3d)
)5(3c)
)33(5b)
)53(3a)
+
+
+
+
+
5
5
( UFSC ) Calcular a área da região limitada pelas retas y = 5, 5x + 2y - 95 = 0, x = 0 e y = 0.
GABARITO: 90
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GEOMETRIA ANALGEOMETRIA ANAL ÍÍTICATICA
POSIPOSIÇÇÕES DE 2 RETASÕES DE 2 RETAS
ESTUDO DA RETA
EQUAÇÕES DA RETA
EQUAÇÃO GERAL
ax + by + c = 0
EQUAÇÃO REDUZIDA
y = mx + n
Coef. angular
Coef. linear
FORMAS DE OBTENÇÃO
0
1yx
1yx
1yx
BB
AA =
Dados 2 pontos
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR
Dados 1 ponto e o coef. angular
y – yo = m(x – xo)
B
x
y
O
yB
yA
xBxA
A
αααα
(0, n)
αααα
yB– yA
xB– xA
r
AB
AB
xx
yym
−−
=m = tg α
POSIÇÕES RELATIVAS
PARALELAS: mr = ms
CONCORRENTES: mr ≠ ms
PERPENDICULARES: mr . ms = – 1
EQUAÇÕES DA RETA
EQUAÇÃO GERAL
ax + by + c = 0
EQUAÇÃO REDUZIDA
y = mx + n
Coef. angular
Coef. linear
FORMAS DE OBTENÇÃO
0
1yx
1yx
1yx
BB
AA =
Dados 2 pontos
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR
Dados 1 ponto e o coef. angular
y – yo = m(x – xo)
AB
AB
xx
yym
−−
=m = tg α
POSIÇÕES RELATIVAS
PARALELAS: mr = ms
PERPENDICULARES: mr . ms = – 1
( UFRGS ) Os pontos A(-1,3) e B(5,- 1) são extremidades de uma das diagonais de um quadrado. A equação da reta suporte da outra diagonal é:
a) 2x - 3y - 1 = 0b) 2x + 3y - 7 = 0 c) 3x + 2y - 8 = 0 d) 3x - 2y - 4 = 0
EQUAÇÕES DA RETA
EQUAÇÃO GERAL
ax + by + c = 0
EQUAÇÃO REDUZIDA
y = mx + n
Coef. angular
Coef. linear
FORMAS DE OBTENÇÃO
0
1yx
1yx
1yx
BB
AA =
Dados 2 pontos
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR
Dados 1 ponto e o coef. angular
y – yo = m(x – xo)
AB
AB
xx
yym
−−
=m = tg α
POSIÇÕES RELATIVAS
PARALELAS: mr = ms
PERPENDICULARES: mr . ms = – 1
( UFPR – 2011 ) Um balão de ar quente foi lançado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura ao lado descreve a situação de maneira simplificada. Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas do ponto P, indicado na figura, são, então:
a) (21,7). b) (22,8). c) (24,12).d) (25,13). e) (26,15).
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GEOMETRIA ANALGEOMETRIA ANAL ÍÍTICATICA
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETADISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
EQUAÇÕES DA RETA
EQUAÇÃO GERAL
ax + by + c = 0
EQUAÇÃO REDUZIDA
y = mx + n
Coef. angular
Coef. linear
FORMAS DE OBTENÇÃO
0
1yx
1yx
1yx
BB
AA =
Dados 2 pontos
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR
Dados 1 ponto e o coef. angular
y – yo = m(x – xo)
AB
AB
xx
yym
−−
=m = tg α
POSIÇÕES RELATIVAS
PARALELAS: mr = ms
PERPENDICULARES: mr . ms = – 1
x
y
O
yp
xp
P(xp, yP)
r: r: aax + x + bby + y + cc = 0= 0
d =√a2 + b2
|a.xP + b.yP + c|
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
EQUAÇÕES DA RETA
EQUAÇÃO GERAL
ax + by + c = 0
EQUAÇÃO REDUZIDA
y = mx + n
Coef. angular
Coef. linear
FORMAS DE OBTENÇÃO
0
1yx
1yx
1yx
BB
AA =
Dados 2 pontos
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR
Dados 1 ponto e o coef. angular
y – yo = m(x – xo)
AB
AB
xx
yym
−−
=m = tg α
POSIÇÕES RELATIVAS
Paralelas: mr = ms
Perpendiculares: mr . ms = – 1
x
y
P(xp, yP)
r: r: aax + x + bby + y + cc = 0= 0
d =√a2 + b2
|a.xP + b.yP + c|
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
( UFSC – 2010 ) Em um mapa de um deserto, localizado sobre um sistema de eixos cartesianos ortogonal, o faminto Coiote, cuja posição é dada pelo ponto P(1,2), vai tentar capturar o Papa-léguas, que se aproxima do Coiote descrevendo uma trajetória retilínea segundo a equação 3x + 4y = 31. A menor distância que o Coiote deve percorrer para capturar o Papa-léguas é de:
RESPOSTA: 04
EQUAÇÕES DA RETA
EQUAÇÃO GERAL
ax + by + c = 0
EQUAÇÃO REDUZIDA
y = mx + n
Coef. angular
Coef. linear
FORMAS DE OBTENÇÃO
0
1yx
1yx
1yx
BB
AA =
Dados 2 pontos
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR
Dados 1 ponto e o coef. angular
y – yo = m(x – xo)
AB
AB
xx
yym
−−
=m = tg α
POSIÇÕES RELATIVAS
Paralelas: mr = ms
Perpendiculares: mr . ms = – 1
x
y
P(xp, yP)
r: r: aax + x + bby + y + cc = 0= 0
d =√a2 + b2
|a.xP + b.yP + c|
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
( UFSC ) Dados os pontos A(1, −−−−1), B(−−−−1, 3) e C(2, 7), determine a medida da altura do triângulo ABC relativa ao lado BC.
RESPOSTA: 04
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GEOMETRIA ANALGEOMETRIA ANAL ÍÍTICATICA
ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIAESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
x
y
C
αααα x
y P
ββββ x - αααα
y - ββββR
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
EQUAÇÃO REDUZIDA
(x – αααα)2 + (y – ββββ )2 = R2
EQUAÇÃO GERAL
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
A = - 2αααα B = - 2 ββββ C = αααα2 + ββββ2 – R2
Determine as coordenadas do centro e o raio das circunferências:
a) x2 + y2 – 4x – 6y - 12 = 0b) x2 + y2 – 8x – 2y + 1 = 0
a) C (2, 3); R = 5b) C (4, 1); R = 4
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
EQUAÇÃO REDUZIDA
(x – αααα)2 + (y – ββββ )2 = R2
EQUAÇÃO GERAL
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
A = - 2αααα B = - 2 ββββ C = αααα2 + ββββ2 – R2
Resposta: 12
EQUAÇÃO GERAL
ax + by + c = 0
EQUAÇÃO REDUZIDA
y = mx + n
RETA - FORMAS DE OBTENÇÃO
0
1yx
1yx
1yx
BB
AA =
Dados 2 pontos
AxBxAyBy
m−
−=
m = tg α
Dados 1 ponto e o coef. angular
y – yo = m(x – xo)
2222bbbb2222aaaa
||||ccccPPPPb.y
b.y
b.y
b.y
PPPPa.x
a.x
a.x
a.x
|||| dddd
+
++=
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
CIRCUNFERÊNCIA
(x – αααα)2 + (y – ββββ )2 = R2
x2+y2+Ax+By+C = 0
A = - 2αααα
B = - 2 ββββ
C = αααα2 + ββββ2 – R2
RESPOSTA: 03
EQUAÇÃO GERAL
ax + by + c = 0
EQUAÇÃO REDUZIDA
y = mx + n
RETA - FORMAS DE OBTENÇÃO
0
1yx
1yx
1yx
BB
AA =
Dados 2 pontos
AxBxAyBy
m−
−=
m = tg α
Dados 1 ponto e o coef. angular
y – yo = m(x – xo)
2222bbbb2222aaaa
||||ccccPPPPb.y
b.y
b.y
b.y
PPPPa.x
a.x
a.x
a.x
|||| dddd
+
++=
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
CIRCUNFERÊNCIA
(x – αααα)2 + (y – ββββ )2 = R2
x2+y2+Ax+By+C = 0
A = - 2αααα
B = - 2 ββββ
C = αααα2 + ββββ2 – R2
RESPOSTA: 18
EQUAÇÃO GERAL
ax + by + c = 0
EQUAÇÃO REDUZIDA
y = mx + n
RETA - FORMAS DE OBTENÇÃO
0
1yx
1yx
1yx
BB
AA =
Dados 2 pontos
AxBxAyBy
m−
−=
m = tg α
Dados 1 ponto e o coef. angular
y – yo = m(x – xo)
2222bbbb2222aaaa
||||ccccPPPPb.y
b.y
b.y
b.y
PPPPa.x
a.x
a.x
a.x
|||| dddd
+
++=
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
CIRCUNFERÊNCIA
(x – αααα)2 + (y – ββββ )2 = R2
x2+y2+Ax+By+C = 0
A = - 2αααα
B = - 2 ββββ
C = αααα2 + ββββ2 – R2
( FGV-SP ) A reta 3x + 4y - 6 = 0 determina na circunferência x 2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0 uma corda de comprimento igual a:
EQUAÇÃO GERAL
ax + by + c = 0
EQUAÇÃO REDUZIDAy = mx + n
RETA - FORMAS DE OBTENÇÃO
0
1yx
1yx
1yx
BB
AA =
Dados 2 pontos
AxBxAyBy
m−
−= m = tg α
Dados 1 ponto e o coef. angular
y – yo = m(x – xo)
2222bbbb2222aaaa
||||ccccPPPPb.y
b.y
b.y
b.y
PPPPa.x
a.x
a.x
a.x
|||| dddd
+
++=
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
CIRCUNFERÊNCIA
(x – αααα)2 + (y – ββββ )2 = R2
x2+y2+Ax+By+C = 0
A = - 2αααα B = - 2 ββββ C = αααα2 + ββββ2 – R2
2AB
2ABAB )y(y)x(xd −+−=
x
y
C
αααα x
y P
ββββ x - αααα
y - ββββR
DISTÂNCIA ENTRE 2 PONTOS
EQUAÇÃO REDUZIDA
EQUAÇÃO GERAL
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS ( R > r)
TANGENTES
C1 C2C1 C2
R rR
d(C1, C2) = R + r
r
d(C1, C2) = R – r
SECANTES
C1 C2
R
R – r < d(C1, C2) < R + r
r
NÃO SE INTERCEPTAM
C1 C2
d(C1, C2) > R + r
C1
C2
d(C1, C2) < R – r
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