Apontamentos de Geometria Analítica
J.A.T.B. AGA.22
Aplicações Geométricas - ℝ3 Definição de uma recta • No espaço ℝ3 , a recta pode ser definida por:
i) Um ponto e um vector direcção;
ii) Dois pontos distintos;
iii) Intersecção de dois planos. Definição de um plano • No espaço ℝ3 , o plano pode ser definido por:
i) Um ponto e dois vectores geradores (linearmente independentes);
ii) Três pontos distintos e não colineares;
iii) Um ponto e um vector normal ao plano;
iv) Uma recta e um ponto que não pertence à recta;
v) Duas rectas concorrentes;
vi) Duas rectas estritamente paralelas.
Apontamentos de Geometria Analítica
J.A.T.B. AGA.23
Posição relativa de dois planos • Sejam os planos:
{ }= ∈ − ⋅ =�
ℝ3 : ( ) 0M X X P n
{ }= ∈ − ⋅ =�
ℝ3
1 1 : ( ) 0M X X Q n
Os planos podem ser classificados em:
a) Paralelos: � �� 1n n
i) Iguais ou coincidentes: = ⇔ ∧ ∈� ��1 1 M M n n Q M
ii) Estritamente paralelos: ⇔ ∧ ∉� �
� �1 1 M M n n Q M
b) Concorrentes: ∩ = ⇔� ��1 1 M M r n n
i) Oblíquos: ∧ ⊥� � � �� 1 1 n n n n
ii) Perpendiculares: ⊥� �
1n n • Resolvendo o problema relativo à intersecção ∩ 1M M , o sistema de
equações lineares resultante poderá ser:
a) Impossível: ∩ = ∅ ⇒ �1 1 M M M M
b) Possível e Simplesmente Indeterminado: ∩ =1M M r
c) Possível e Duplamente Indeterminado: ∩ = =1 1M M M M
Apontamentos de Geometria Analítica
J.A.T.B. AGA.24
Ângulo entre dois planos
• Sejam os planos:
{ }= ∈ − ⋅ =�
ℝ3 : ( ) 0M X X P n e { }= ∈ − ⋅ =
�ℝ
31 1 : ( ) 0M X X Q n
Designando:
θ θ π= ≤ ≤∡ 1( , ) , 0 / 2M M e α α π= ≤ ≤� �
∡ 1( , ) , 0n n :
a) α π θ α≤ ≤ ⇒ =0 / 2
θ α ⋅= =� �
� �1
1cos cos
n nn n
b) π α π θ π α< ≤ ⇒ = −/ 2
θ π α α ⋅= − = − = −� �
� �1
1cos cos( ) cos
n nn n
Apontamentos de Geometria Analítica
J.A.T.B. AGA.25
Concluindo:
θ α θ π⋅
= = ≤ ≤� �
� �1
1cos cos , 0 / 2
n n
n n
• Casos particulares:
i) α α π θ= ∨ = ⇒ = ⇒ = ∨ �1 10 0 M M M M
ii) α π θ π= ⇒ = ⇒ ⊥ 1/ 2 / 2 M M
Distância entre dois planos • Sejam os planos:
{ }= ∈ − ⋅ =�
ℝ3 : ( ) 0M X X P n
{ }= ∈ − ⋅ =�
ℝ3
1 1 : ( ) 0M X X Q n
Designando por 1,M Md a distância entre os planos:
a) Iguais ou coincidentes: = ⇒ =11 , 0M MM M d
b) Estritamente paralelos: ⇒ = =�1 11 , , , M M P M Q MM M d d d
c) Concorrentes: ∩ = ⇒ =11 , 0M MM M r d
Apontamentos de Geometria Analítica
J.A.T.B. AGA.26
Posição relativa de uma recta em relação a um plano • Considere a recta
{ }= = ∈ = + ∈� �
ℝ ℝ3( ; ) : , r L P a X X P ta t
e o plano
{ }= ∈ − ⋅ =�
ℝ3 : ( ) 0M X X Q n
A recta r pode ser classificada, em relação ao plano M, em:
a) Paralela ao plano: ⊥� �a n
i) Contida no plano: ⊂ ⇔ ⊥ ∧ ∈� �
r M a n P M
ii) Estritamente paralela ao plano: ⇔ ⊥ ∧ ∉� �
� r M a n P M
b) Secante ao plano: ∩ = ⇔ ⊥� �
r M I a n
i) Oblíqua ao plano: ⊥ ∧� � � �
� a n a n
ii) Perpendicular ao plano: � ��a n
• Resolvendo o problema relativo à intersecção ∩r M , o sistema de
equações lineares resultante poderá ser:
a) Impossível: ∩ = ∅ ⇒ � r M r M
b) Possível e Determinado: ∩ =r M I
c) Possível e Simplesmente Indeterminado: ∩ = ⇒ ⊂ r M r r M
Apontamentos de Geometria Analítica
J.A.T.B. AGA.27
Ângulo entre uma recta e um plano
• Sejam a recta e o plano:
{ }= = ∈ = + ∈� �
ℝ ℝ3( ; ) : , r L P a X X P ta t e { }= ∈ − ⋅ =
�ℝ
3 : ( ) 0M X X Q n
Designando:
θ θ π= ≤ ≤∡( , ) , 0 / 2r M e α α π= ≤ ≤� �
∡( , ) , 0a n :
a) α π θ π α≤ ≤ ⇒ = −0 / 2 / 2
θ π α α ⋅= − = =� �
� �sen sen( / 2 ) cosa na n
b) π α π θ α π< ≤ ⇒ = −/ 2 / 2
θ α π α ⋅= − = − = −� �
� �sen sen( / 2) cosa na n
Apontamentos de Geometria Analítica
J.A.T.B. AGA.28
Concluindo:
θ α θ π⋅
= = ≤ ≤� �
� �sen cos , 0 / 2a n
a n
• Casos particulares:
i) α α π θ π= ∨ = ⇒ = ⇒ ⊥0 / 2 r M
ii) α π θ= ⇒ = ⇒ ∨ ⊂�/ 2 0 r M r M Distância entre uma recta e um plano • Considere a recta
{ }= = ∈ = + ∈� �
ℝ ℝ3( ; ) : , r L P a X X P ta t
e o plano
{ }= ∈ − ⋅ =�
ℝ3 : ( ) 0M X X Q n
Designando por ,r Md a distância entre a recta e o plano:
a) Recta contida no plano: ⊂ ⇒ =, 0r Mr M d
b) Recta estritamente paralela ao plano: ⇒ =� , , r M P Mr M d d
c) Recta secante ao plano: ∩ = ⇒ =, 0r Mr M I d
Apontamentos de Geometria Analítica
J.A.T.B. AGA.29
Exemplo 4 : Considere a recta = + ∈
�ℝ : ( ) , r X t P ta t , em que = (1,2,3)P
e =�
(1,1,1)a , e os pontos = (2,3,5)Q e = (4,1,1)R . Determine:
a) Uma equação vectorial para o plano, M, que passa no ponto Q e contém a recta r.
b) A equação cartesiana para o plano M.
c) A distância do ponto R ao plano M.
d) O ponto, 1R , do plano M mais próximo do ponto R.
Solução:
a) Equação vectorial do plano M:
= + + ∈ ⇔�����
ℝ2( , ) , ( , ) X u v P ua vPQ u v
⇔ = + + ∈ℝ2 ( , , ) (1,2,3) (1,1,1) (1,1,2) , ( , )x y z u v u v
b) Seja o vector perpendicular ao plano M:
× = = −
� � �
�����1 1 1 (1, 1,0)1 1 2
i j ka PQ
Um vector normal ao plano M será qualquer vector paralelo ao vector ×�����
a PQ ; seja, por exemplo,
= × = −����� �
(1, 1,0)n a PQ
Equação cartesiana para o plano M:
− ⋅ = ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ − = −� � �
( ) 0 1X P n X n P n x y
Apontamentos de Geometria Analítica
J.A.T.B. AGA.30
c) Distância do ponto R ao plano M:
⋅= = =
���� �
�,4
2 22
R M
PR nd
n
d) A equação vectorial da recta, h, que passa no ponto R e é perpendicular ao plano M é
= + ∈ ⇔ = + − ∈�
ℝ ℝ( ) , ( , , ) (4,1,1) (1, 1,0) , X s R sn s x y z s s
Assim, o ponto 1R é obtido a partir da intersecção da recta h com o
plano M, isto é,
= + = −= − = ∩ = ⇔ == − = −
11
4
21
(2,3,1)1
1
x s
sy sR h M
Rz
x y
Exemplo 5 : Considere os planos − = − : 1M x y e + + =1 : 2 1M x y z . Sejam os pontos = (0,2,1)Q e = ∈(0,1,0)S M . Determine:
a) Uma equação vectorial para a recta = ∩ 1r M M .
b) Uma equação vectorial para a recta h que passa em Q e é paralela aos planos M e 1M .
c) Uma equação vectorial para a recta t que passa em S, está contida em M e é de máxima inclinação em relação a 1M .
Solução:
a) Equação vectorial da recta r:
= + ∈ ⇔ = + − ∈�
ℝ ℝ( ) , ( , , ) (0,1,0) (1,1, 3) , X t P ta t x y z t t
Apontamentos de Geometria Analítica
J.A.T.B. AGA.31
Convém notar que
∈ ∧ ∈ ∧ ×� � ��1 1 P M P M a n n
sendo = −�
(1, 1,0)n e =�1 (2,1,1)n os vectores normais aos planos M e 1M ,
respectivamente.
b) Equação vectorial da recta h:
= + ∈ ⇔ = + − ∈�
ℝ ℝ( ) , ( , , ) (0,2,1) (1,1, 3) , X u Q th u x y z u u
Convém notar que
∧ ⇒ ×� � �
� � �1 1 h M h M h n n
c) Equação vectorial da recta t:
= + ∈ ⇔ = + ∈�
ℝ ℝ( ) , ( , , ) (0,1,0) (3,3,2) , X v S vb v x y z v v
Convém notar que
⊂ ∧ ⊥ ⇒ ×� � �� t M t r b n a
Apontamentos de Geometria Analítica
J.A.T.B. AGA.32
Posição relativa entre duas rectas
• Sejam as rectas
{ }= = ∈ = + ∈� �
ℝ ℝ3( ; ) : , r L P a X X P sa s
{ }= = ∈ = + ∈� �
ℝ ℝ3
1 ( ; ) : , r L Q b X X Q tb t
As rectas podem ser classificadas em:
A) Complanares:
a) Paralelas: ���a b
i) Iguais ou coincidentes: = ⇔ ∧ ∈���1 r r a b Q r
ii) Estritamente paralelas: ⇔ ∧ ∉��
� �1 r r a b Q r
b) Concorrentes: ∩ = ⇔ ∧ ⋅ × =����� �� �
�1 0r r I a b PQ a b
i) Oblíquas: ∧ ⊥ ∧ ⋅ × =����� � �� � �
� 0a b a b PQ a b
ii) Perpendiculares: ⊥ ∧ ⋅ × =����� �� �
0a b PQ a b
B) Não Complanares ou enviesadas: ⋅ × ≠���� ��
0PQ a b • Resolvendo o problema relativo à intersecção ∩ 1r r , o sistema de
equações lineares resultante poderá ser:
a) Impossível: ∩ = ∅ ⇒ ∨�1 1 e são enviesadasr r r M r r
b) Possível e Determinado: ∩ =1r r I
c) Possível e Simplesmente Indeterminado: ∩ = =1 1r r r r
Apontamentos de Geometria Analítica
J.A.T.B. AGA.33
Ângulo entre duas rectas
• Sejam as rectas:
{ }= = ∈ = + ∈� �
ℝ ℝ3( ; ) : , r L P a X X P sa s
{ }= = ∈ = + ∈� �
ℝ ℝ3
1 ( ; ) : , r L Q b X X Q tb t
Designando:
θ θ π= ≤ ≤∡ 1( , ) , 0 / 2r r e α α π= ≤ ≤��
∡( , ) , 0a b :
a) α π θ α≤ ≤ ⇒ =0 / 2
θ α ⋅= =��
��cos cosa b
a b
b) π α π θ π α< ≤ ⇒ = −/ 2
θ π α α ⋅= − = − = −��
��cos cos( ) cosa b
a b
Apontamentos de Geometria Analítica
J.A.T.B. AGA.34
Concluindo:
θ α θ π⋅
= = ≤ ≤
��
��cos cos , 0 / 2a b
a b
• Casos particulares:
i) α α π θ= ∨ = ⇒ = ⇒ ∨ =� 1 10 0 r r r r
ii) α π θ π= ⇒ = ⇒ ⊥ 1/ 2 / 2 r r
Distância entre duas rectas
• Sejam as rectas
{ }= = ∈ = + ∈� �
ℝ ℝ3( ; ) : , r L P a X X P sa s
{ }= = ∈ = + ∈� �
ℝ ℝ3
1 ( ; ) : , r L Q b X X Q tb t
Designando por 1,r rd a distância entre as duas rectas:
A) Complanares:
a) Paralelas:
i) Iguais ou coincidentes: = ⇒ =11 , 0r rr r d
ii) Estritamente paralelas: ⇒ = =�1 11 , , , r r P r Q rr r d d d
b) Concorrentes: ∩ = ⇒ =11 , 0r rr r I d
Apontamentos de Geometria Analítica
J.A.T.B. AGA.35
B) Não complanares ou enviesadas:
Processo I
=���
1, 1r rd I I
onde os pontos 1I e I definem a recta perpendicular comum (recta s) às rectas r e 1r , isto é,
{ }= × = ∈ = + × ∈� �� �
ℝ ℝ3( ; ) : , s L I a b X X I ua b u
Os pontos 1I e I devem verificar as condições seguintes:
∈ ∧ ∈ ∧ ×��� ���1 1 1 I r I r I I a b
ou
∈ ∧ ∈ ∧ × × =��� � ��
1 1 1 ( ) 0I r I r I I a b
Apontamentos de Geometria Analítica
J.A.T.B. AGA.36
Processo II
Seja o plano auxiliar M tal que
∧ ⊂� 1 r M r M
definido por
{ }= ∈ − ⋅ × =��
ℝ3 : ( ) 0M X X Q a b
Designando por 1P o ponto que corresponde à projecção ortogonal do
ponto P sobre o plano M, então
⋅ ×= = =
×
���� ������
��1, 1 ,r r P M
QP a bd P P d
a b
Apontamentos de Geometria Analítica
J.A.T.B. AGA.37
Exemplo 6 : Considere as rectas
= + ∈�
ℝ : ( ) , r X u P ua u , em que = −(2,0, 1)P e =�
(1,1,1)a
= + ∈�
ℝ1 : ( ) , r X t Q tb t , em que = −(1,1, 4)Q e =�
(2,0,1)b
a) Mostre que as rectas r e 1r são enviesadas (não complanares).
b) Determine a distância entre as rectas r e 1r .
c) Uma equação vectorial para a recta, h, perpendicular comum às rectas r e 1r .
Solução:
a) As rectas r e 1r , não sendo paralelas (os vectores �a e
�b não são
paralelos), são rectas enviesadas já que
− −⋅ × = = ≠
���� ��1 1 3
1 1 1 6 02 0 1
PQ a b
isto é, { }���� ��, ,PQ a b é um conjunto linearmente independente.
b) A distância entre as rectas r e 1r é:
⋅ ×= = =
×
���� ��
��1,6
66
r r
PQ a bd
a b
em que
× = = −
� � �
��1 1 1 (1,1, 2)2 0 1
i j ka b
Apontamentos de Geometria Analítica
J.A.T.B. AGA.38
c) Equação vectorial da recta, h, perpendicular comum às rectas r e 1r :
α α α α α= + × ∈ ⇔ = − + − ∈��
ℝ ℝ( ) , ( , , ) (2,0, 1) (1,1, 2) , X I a b x y z
em que = = −(2,0, 1)I P é o ponto da recta r pertencente à recta h. Exemplo 7 : Considere o plano e + − = : 3M x y z , os pontos = (3,5,2)P e
= (1,5,2)Q e a recta
= + ∈�
ℝ1 : ( ) , r X t R ta t , em que =1 (1,2,3)R e =�
(2,1,0)a
Determine:
a) Uma equação vectorial para a recta 1r contida no plano M, que é
concorrente e perpendicular à recta r.
b) Uma equação vectorial para a recta 2r que passa no ponto P, é
concorrente com a recta r e faz um ângulo de °60 com o plano M.
c) O ponto R pertencente à recta r, tal que P, Q e R são vértices de um triângulo com 1 unidade de área.
Solução:
a) Equação vectorial da recta 1r :
= + ∈ ⇔ = + − ∈�
ℝ ℝ( ) , ( , , ) (3,3,3) ( 1,2,1) , X u I ub u x y z u u
Convém notar que
= ∩I r M e ⊥ ∧ ⊥ ⇔ ×� � �� � � �
� b a b n b a n
sendo = −�
(1,1, 1)n o vector normal ao plano M.
Apontamentos de Geometria Analítica
J.A.T.B. AGA.39
b) Existem duas soluções possíveis para a recta 2r . A equação vectorial
de uma dessas rectas é:
= + ∈ ⇔�
ℝ( ) , X v P vc v
− + − −⇔ = + ∈
ℝ6 2 3 9 3 3 3
( , , ) (3,5,2) , , , 6 6 6
x y z v v
Convém notar que
= ° ⇒ = °� �
∡ ∡2( , ) 60 ( , ) 30r M c n
e
α⊥ = ×������ � �
1c n a R P
sendo α = −�
( 1,2,4)n o vector normal ao plano α que passa no ponto P e contém a recta r (as rectas r e 2r são complanares).
c) Notando que
[ ]×
∈ ∧ = =
���� ����
A 12PQR
PR PQR r
obtém-se = (7,5,3)R .
Top Related