EXAME N. 1 - GABARITO - PROVA 1

01 FALSO OU VERDADEIRO Classi�que as a�rmações abaixo em falso (F) ou verdadeiro (V), jus-

ti�cando a resposta.

(a) (F) Se an =1

2n� 7 ; então sup (an) + inf (an) = �1:

(b) (F) A sequência de termo geral an = (�1)n + (2n + 3n)1=n converge para 3:

(c) (V) Se an > 0; 8n; e limn!1

�1

nan

�= 0 então

1Pn=1

an diverge.

(d) (F) Se a sequência (�1)nan é convergente, então lim an = 0:

::::::::::::::::::JUSTIFICATIVAS

(a) A sequência (an) converge para zero e seus primeiros termos são:

�15; � 1

3; �1 ; 1 ; 1

3;1

5; : : : # 0:

Vemos que sup (an) = 1 e inf (an) = �1, de onde resulta que sup (an) + inf (an) = 0:

(b) Temos que

an = (�1)n + (2n + 3n)1=n = (�1)n + 3��2

3

�n+ 1

�1=n;

de onde segue que ��������a2n = 1 + 3

h�23

�2n+ 1i1=2n

! 1 + 3 = 4

a2n�1 = �1 + 3h�23

�2n+ 1

i1=2n! �1 + 3 = 2:

Como lim a2n 6= lim a2n�1, deduzimos que a sequência (an) é divergente.

(c) Olhando a hipótese limn!1

�1

nan

�= 0 sob a forma

limn!1

�1=n

an

�= 0

vemos que a sequência (an) torna-se, a partir de certa ordem, maior do que 1=n e como a sérieP1=n é

divergente, então a sériePan também diverge, por comparação.

(d) A sequência an = (�1)n é divergente e, contudo, a sequência bn = (�1)n an converge para 1:

02 CALCULANDO SOMAS INFINITAS Em cada caso, calcule o valor da soma da série:

(a)1Xn=3

22n�1 cos(n� + �3 )

6n�1(b)

1Xn=2

�1np2� 1

n+1p2

�:

::::::::::SOLUÇÃO

(a) Trata-se de uma série geométrica e para colocá-la na forma padrão, usamos a relação

cos(n� + �3 ) = cos (n�) cos (�=3) =

12 (�1)

n

e chegamos a:

1Xn=3

22n�1 cos(n� + �3 )

6n�1=

1Xn=3

22n�2 (�1)n

6n�1=

1Xn=3

4n�1 (�1)n

6n�1(faça n� 2 = k)

=1Xk=1

4k+1 (�1)k+2

6k+1=

1Xk=1

42 � 4k�1 (�1)k�1 � (�1)62 � 6k�1

= �1636

1Xk=1

��46

�k�1= �4

9

1Xk=1

��23

�k�1= �4

9� 1

1 + 23

=�415

(b) Trata-se de uma série de encaixe e se designarmos bn =1np2, teremos

b2 = 1=p2 e lim bn = lim

�2�1=n

�= 1:

Assim,1Xn=2

�1np2� 1

n+1p2

�=

1Xn=2

(bn � bn+1) = b2 � lim bn =1p2� 1.

03 TESTANDO A CONVERGÊNCIA Investigue a convergência ou divergência das séries:

(a)1Xn=1

�(�1)nn3

+

�1� 3

n

�n�(b)

1Xn=1

(n!)2

(3n)!

(c)1Xn=1

5p4n3

5p2n3 + 6n

(d)1Xn=1

(�1)n5nn2 + 2

:

::::::::::SOLUÇÃO

(a) Série Divergente (Critério do n-ésimo Termo)

2

Conforme vimos em sala de aula,

lim

�1� 3

n

�n=

13pe

e lim(�1)nn3

= 0

e, sendo assim,

lim an = lim

�(�1)nn3

+

�1� 3

n

�n�= lim

(�1)nn3

+ lim

�1� 3

n

�n= 0 + 1= 3

pe = 1= 3

pe 6= 0:

(b) Série Convergente (Critério da Razão)

Temos que an =(n!)2

(3n)!, de modo que

L = lim

����an+1an

���� = lim [(n+ 1)!]2(3n+ 3)!� (3n)!(n!)2

= lim

�(n+ 1)! (n+ 1)!

n!n!� (3n)!

(3n+ 3) (3n+ 2) (3n+ 1) (3n)!

�= lim

"(n+ 1)2

(3n+ 3) (3n+ 2) (3n+ 1)

#= 0 < 1:

(c) Série Divergente (Critério do n-ésimo Termo)

Temos que an =5p4n3

5p2n3 + 6n

e, portanto,

lim an = limn3=5 � 5

p4

n3=5 � 5p2 + 6=n2

= lim5p4

5p2 + 6=n2

=5p4

5p26= 0:

Neste caso, a divergência da série pode, também, ser comprovada pelo Critério da Comparação.

(d) Série Convergente (Critério de Leibniz)

Seja bn =5n

n2 + 2e consideremos a função extensão f (x) =

5x

x2 + 2. Temos:

� lim bn = lim5n

n2 + 2= 0:

� O decrescimento da sequência (bn) será estabelecido pelo sinal da derivada de f (x). Temos

f 0 (x) =5�x2 + 2

�� 5x (2x)

(x2 + 2)2=�5x2 + 10(x2 + 2)2

< 0; para x � 3:

Assim, a sequência (bn) torna-se decrescente a partir do terceiro termo. Trata-se de uma série alternada,

nas condições do Critério de Leibniz, sendo, portanto, convergente.

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