Funções Periódicas
• Uma função diz-se periódica se se repete ao longo da variável independente com um determinado período constante.
• Quando se observam fenômenos que se repetem periodicamente , como temperatura média diária ao longo de um mês , ordenação das folhas em uma planta etc., estes podem ser modelados pro funções trigonométricas.
As funções Trigonométricas
• Em matemática, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos.
• Ângulo É a região de um plano concebida pela abertura de duas semi-retas que possuem uma origem em comum, dividindo este plano em duas partes.
• A abertura do ângulo é uma propriedade invariante deste e é medida, no SI, em radianos.
Radiano
• O ângulo definido no centro de um círculo por um arco de circunferência com o mesmo comprimento que o raio do círculo é 1 radiano.
• O radiano é útil para distinguir entre quantidades de diferentes naturezas, mas com a mesma dimensão.
Radiano
• Por exemplo, velocidade angular pode ser medida em radianos por segundo (rad/s).
• Fixando a palavra radiano enfatiza-se o fato de a velocidade angular ser igual a 2 vezes a frequência rotacional.
Radiano
• Ângulos medidos em radianos são frequentemente apresentados sem qualquer unidade explícita.
• Quando, porém, uma unidade é apresentada, usualmente se usa o símbolo rad .
Radiano
• Existem 2 (aproximadamente 6.28318531) radianos num círculo completo, portanto:
2 rad = 360º
1rad =360º
2=
180º= 57,29577951º
• Em cálculos, ângulos devem ser representados em radianos nas funções trigonométicas, dado que simplifica e torna as coisas mais naturais.
Circulo trigonométrico
0 rad
/ 2
3 / 2
Eixo dos cossenos
Eixo dos senos
2
1
1
-1
-1
Circulo Trigonométrico Fundamental:Raio=1
Ângulos em Radianos
Seno
• O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a , define-se sen como sendo a proporção entre o cateto oposto a e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja:
sen =cateto oposto
hipotenusa
Seno
coseno
• O co-seno (usam-se ainda as formas coseno e cosseno) é uma função trigonométrica.Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a , define-se cos( ) como sendo a proporção entre o cateto adjacente a e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja:
cos =cateto adjacente
hipotenusa
Coseno
Seno x Coseno
Elementos de funções Seno x Coseno
• Amplitude: é a metade da distância entre os valores de máximo e mínimo.
• Período: é o tempo necessário para a oscilação evoluir um ciclo completo.
Seno x coseno
• De acordo com os gráficos , tanto as funções seno quanto coseno tem amplitude 1, pois -> 1-(-1)/2 = 1
• O período de ambas as funções é 2 que é o tempo necessário em radianos para a função completar um ciclo
Seno x coseno
• Note ainda que as duas tem fases deslocadas (uma em relação a outra)de
/2... ou seja:
cos x = sen(x +2
)
sen x= - cos(x+2
)
exercício
• A partir das duas funções a seguir , encontre a amplitude , o período e esboce o gráfico:
a) 3 sen 2t
b) -5 cosx
2
Resolução
a) como no maximo o valor que um seno pode assumir é 1
a amplitude vai ser dada pelo valor que está multiplicando o seno,
neste caso a amplitude da função é 3
O periodo é calculado se fazendo a substituição pelo periodo normal
de um seno que é 2 , assim:
2t=2
t=2
2=
Resolução
Resolução
b)usando o mesmo raciocinio a amplitude nesse caso é 5 ,
o sinal negativo só indica que a onda inicia com
valor negativo( começa em -5)
o periodo: x
2= 2 ..x = 2 * 2 = 4
Exercício 2
• Com base nos gráficos ache as funções originais...
Tangente
• Em trigonometria, é uma função trigonométrica. Define-se tan( ), como sendo a proporção entre o cateto oposto a e o cateto adjacente a em um triângulo retângulo
Tangente
tg x= Cateto oposto
Cateto adjacente=
senx
cos x
Os valores de tangentes mais usados na resolução de problemas
são as tangentes dos ângulos:
tg 30º=3
3tg 45º= 1
tg 60º = 3
Tangente
• O período de uma tangente sempre é igual a , pois o gráfico sempre se repete após unidades.
• Quanto a amplitude , no caso da tangente não faz sentido se trabalhar com a amplitude uma vez que ela se torna infinitamente grande quando se aproxima da assíntota vertical.
Tangente
Funções Trigonométrica
• A partir das 3 funções trigonométricas já introduzidas , podemos definir três outras funções trigonométricas : a secante, a co-secante e a co-tangente, dadas respectivamente por:
sec x =1
cos x
cosec x = 1
senx
cotg x= 1
tg x
Funções Inversas
• Em matemática, as funções trigonométricas inversas são as inversas das funções trigonométricas.
• Algumas vezes são chamadas de função de arco, pois retornam o arco correspondente a certa função trigonométrica
exemplo de funções inversas
Sabendo-se que sen =1
2 e que sen =0.4695 , encontre os
valores de e .
calculadora!!!
Identidades trigonométrica
sen(- )= - cateto oposto
hipotenusa= sen
cos(- )= cateto adjacente
hipotenusa= cos
Identidades trigonométrica
Através do teorema de pitagoras podemos chegar a:
sen( 1 + 2 )= sen 1.cos 2 + cos 1.sen 2
cos( 1 + 2 ) = cos 1 . cos 2 sen 1 . sen 2
sen( 1- 2 )= sen 1.cos 2 cos 1.sen 2
cos( 1 2 ) = cos 1 . cos 2 + sen 1 . sen 2
Chamamos esse conjuntos de identidades de lei dos
senos.
exercício
• Dado que sen ( /12)=0.258 e que cos( /5)=0.809 , calcule sem usar a calculadora os seguintes valores:
a) sen(11 /12)
b) cos(- /5)
c) sen(13 /12)
Exercício
a)sen(11
12)
sen(11
12) = sen( -
12)
sen( - 12
)=sen .cos12
- cos . sen12
sen( - 12
)= 0 .cos12
- 1. sen12
, logo ...
sen(11
12) = sen(
12) = 0.258
Exercício
b)cos(5
)
cos(5
) = cos(5
) = 0.809
c)sen(13
12) = sen( +
12)
sen( + 12
)=sen .cos12
+ cos . sen12
sen( + 12
)= 0 .cos12
+ 1. sen12
, logo ...
sen(13
12) = sen(
12) = 0.258
Exercício
• Defina a amplitude e o período de cada uma das funções , em seguida esboce os gráficos.
a)ƒ(t)=2 sen t
b) g(x)= -5 sen 2x
c) h(x) = 3 cos x
5
d) f (x) =1
2cos
x
3
e)h(x) = 3cos x
f )g(t) = 5 sen2t
g) f (x) = 1+ 3cos2t
h)h(y) = 3cos2y
Exercício-Resolução
• 2 exercícios resolvidos e comentados , o resto fica para o aluno resolver.
b) g(x)= -5 sen 2x
Amplitude : o valor maximo que qualquer seno pode valer é
1 , se substituir-mos 1 na equação ficamos com
g(x)= -5 sen 2x=-5*1=-5 , como a amplitude deve ser obtida
como modulo retiramos o sinal ficando com...
[1]amplitude = 5
Exercício-Resolução
No caso do período da função analizamos somente o seno ...
sen 2x , se fosse um seno de x o periodo seria 2 , para calcular
o periodo de seno de 2x igualamos o 2x com x e depois substituimos
x por 2 , isso vale pra qualquer variavel ( x, y , t etc..)
logo:
2x=x ... 2x=2 ...x=2
2...x =
logo o periodo da função sen2x é igual a
[2]Período =
Exercício-ResoluçãoCom esses valores é só desenha um seno normal,
porém como a equação é g(x)= -5 sen 2x
devemos observar que o sinal negativo
no -5 faz com que o seno comun seja invertido .
Quanto ao periodo, no final do seno ao invés de
colocar 2 colocamos o novo perido calculado igual
a , confira o grafico, foram plotados duas
funçoes 5 sen2x (verde) e -5sex2x( vermelha)
para que o aluno entenda as implicações do sinal
negativo na função
Exercício-Resolução
g) f (x) = 1+ 3cos2t
Amplitude : o valor maximo que qualquer cosseno pode valer é
1 , se substituir-mos 1 na equação ficamos com
g(x)= 1+3 cos 2t =1+3*1= 4
[1]amplitude = 4
Exercício-Resolução
No caso do período da função analizamos somente o cosseno ...
cos 2t , se fosse um cosseno de t o periodo seria 2 , para calcular
o periodo do cosseno de 2t igualamos o 2t com t e depois substituimos
t por 2 , isso vale pra qualquer variavel ( x, y , t etc..)
logo:
2t=t ... 2t=2 ...t=2
2...t =
logo o periodo da função cos2t é igual a
[2]Período =
Exercício-ResoluçãoGrafico:
Para fazer o grafico temos que analisar a
equação inteira g(t)=1+3cos2t
primeiramente desenhamos o grafico de
3.cos 2t , e depois fazemos os ajustes
o periodo deve valer e a amplitude deve valer
inicialmente 3, o grafico ficaria da seguinte
maneira.
Exercício-ResoluçãoGrafico:
Como o grafico da função é g(t)=1+3cos2t
o que vai acontecer com o grafico inicial
é deslocar o grafico inteiro uma unidade pra
cima por que para cada valor da curva 3cos2t
uma unidade será somada .. o grafico final
está em vermelho e o original está em azul,
tudo para destacar o que acontece quando
se soma um valor a uma função trigonométrica
Referencias
[1] R. S. Ferreira, Matemática Aplicada às Ciências Agrárias - Análise de Dados e Modelos, 1º ed. Viçosa: Editora UFV, 1999.
[2] F. U. Coelho, Curso básico de Calculo, vol. 1, 1 ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2005.
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