Fundamentos de Matemática
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 4
9 de janeiro de 2012
Aula 4 Fundamentos de Matemática 1
Negação
Aula 4 Fundamentos de Matemática 2
Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?
x < 1.
Resposta: x ≥ 1.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?
x < 1.
Resposta: x ≥ 1.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?
x < 1.
Resposta: x ≥ 1.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?
x < 1.
Resposta: x ≥ 1.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p},
então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸
conjuntouniverso
− A.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p},
então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸
conjuntouniverso
− A.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p},
então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸
conjuntouniverso
− A.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p},
então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸
conjuntouniverso
− A.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p},
então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸
conjuntouniverso
− A.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).
Exemplo: a negação de p < −a ou p > a é p ≥ −a e p ≤ a quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −a ≤ p ≤ a.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).
Exemplo: a negação de p < −a ou p > a é p ≥ −a e p ≤ a quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −a ≤ p ≤ a.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).
Exemplo: a negação de p < −a ou p > a é p ≥ −a e p ≤ a quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −a ≤ p ≤ a.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).
Exemplo: a negação de p < −a ou p > a é p ≥ −a e p ≤ a quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −a ≤ p ≤ a.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).
Exemplo: a negação de p < −a ou p > a é p ≥ −a e p ≤ a quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −a ≤ p ≤ a.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).
Exemplo: a negação de −a < p < a (isto é, −a < p e p < a) ép ≤ −a ou p ≥ a.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).
Exemplo: a negação de −a < p < a (isto é, −a < p e p < a) ép ≤ −a ou p ≥ a.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).
Exemplo: a negação de −a < p < a (isto é, −a < p e p < a) ép ≤ −a ou p ≥ a.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).
Exemplo: a negação de −a < p < a (isto é, −a < p e p < a) ép ≤ −a ou p ≥ a.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).
Exemplo: a negação de −a < p < a (isto é, −a < p e p < a) ép ≤ −a ou p ≥ a.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (∼ p) = p.
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Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (∼ p) = p.
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Contrapositiva
Aula 4 Fundamentos de Matemática 24
Contrapositiva
Dada uma sentença A⇒ B, sua contrapositiva é a sentença
∼ B ⇒∼ A.
Regras do Jogo
Exemplo: a contrapositiva da sentença (m representa um númeronatural)
se m2 é um número par, então m é um número par
é a sentença
se m é um número ímpar, então m2 é um número ímpar .
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Contrapositiva
Dada uma sentença A⇒ B, sua contrapositiva é a sentença
∼ B ⇒∼ A.
Regras do Jogo
Exemplo: a contrapositiva da sentença (m representa um númeronatural)
se m2 é um número par, então m é um número par
é a sentença
se m é um número ímpar, então m2 é um número ímpar .
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Contrapositiva
Dada uma sentença A⇒ B, sua contrapositiva é a sentença
∼ B ⇒∼ A.
Regras do Jogo
Exemplo: a contrapositiva da sentença (m representa um númeronatural)
se m2 é um número par, então m é um número par
é a sentença
se m é um número ímpar, então m2 é um número ímpar .
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Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
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Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
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Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
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Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
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Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
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Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
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Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
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Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
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Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
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Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
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Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
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Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
Aula 4 Fundamentos de Matemática 39
Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
Aula 4 Fundamentos de Matemática 40
Teorema
A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.
Corolário:
A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
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Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 4 Fundamentos de Matemática 42
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 4 Fundamentos de Matemática 43
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 4 Fundamentos de Matemática 44
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 4 Fundamentos de Matemática 45
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 4 Fundamentos de Matemática 46
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 4 Fundamentos de Matemática 47
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 4 Fundamentos de Matemática 48
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 4 Fundamentos de Matemática 49
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 4 Fundamentos de Matemática 50
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 4 Fundamentos de Matemática 51
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 4 Fundamentos de Matemática 52
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 4 Fundamentos de Matemática 53
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Aula 4 Fundamentos de Matemática 54
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
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Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
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Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
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